Reálná funkce dvou a více proměnných I

y0) funkce f podle pro-
m nnØ y v bod A:
De nice 2.3.1: Je-li funkce z = f(x;y) de novanÆ v n jakØm okol O(A) bodu
A = [x0;y0] a existuje-li koneŁnÆ limita
f0x(x0;y0) = lim
h!0
f(x0 + h;y0) f(x0;y0)
h ;
pak ji naz vÆme parciÆln derivac funkce f podle prom nnØ x v bod A: Existuje-
li koneŁnÆ limita
f0y(x0;y0) = lim
k!0
f(x0;y0 + k) f(x0;y0)
k ;
pak ji naz vÆme parciÆln derivac funkce f podle prom nnØ y v bod A:
4
Z vlastnost limit v me, e limita existuje nejv „e jedna. Je-li de novÆna par-
ciÆln derivace f0x(x;y) = limh!0 f(x+h;y) f(x;y)h v ka dØm bod [x;y] mno iny
M D(f); pak je ka dØmu bodu [x;y] mno iny M płiłazena prÆv jedna hod-
nota f0x(x;y): Proto je f0x(x;y) v mno in M funkŁn m płedpisem funkce dvou
prom nn ch a f0x je na M funkc . Stejn tak, je-li de novÆna v ka dØm bod
mno iny M parciÆln derivace f0y(x;y) = limk!0 f(x;y+k) f(x;y)k ; je v mno in M
funkc dvou prom nn ch i parciÆln derivace f0y: FormÆln mø eme uva ovat v
otevłenØ mno in M funkci z = f(x;y) dvou prom nn ch a volit libovoln , ale
pevn , prom nnou y pro v poŁet parciÆln derivace f0x; pł padn volit libovoln ,
ale pevn , prom nnou x pro v poŁet parciÆln derivace f0y:
V dy je spln no, e de niŁn obory parciÆln ch derivac jsou podmno inami
de niŁn ho oboru funkce f: Tam, kde nen de novÆna funkce, nemø e existovat
ani parciÆln derivace (rozmyslete si proŁ).
2.3.2 ParciÆln derivace funkce v ce prom nn ch
De nice 2.3.2: Je-li funkce u = f(x1;x2;:::;xn) de novanÆ v n jakØm okol
O(A) bodu A = [a1;a2;:::;an] a existuje-li koneŁnÆ limita
f0xi(a1;a2;:::;an) = lim
hi!0
f(a1;:::;ai 1;ai + hi;ai+1;:::;an) f(a1;a2;:::;an)
hi ;
pak ji naz vÆme parciÆln derivac funkce f podle i-tØ prom nnØ xi v bod A;
i 2f1;2;:::;ng:
4
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
20 Funkce dvou a v ce prom nn ch
Pł klad 2.3.1: Je dÆna funkce
f : u = sin (xyz) + zexzy + 2y:
Najd te parciÆln derivace f0x;f0y;f0z v bodech M1 = [1;0;1] a M2 = [ =2;1;1]:
e„en : Postupn poŁ tÆme
f0x(x;y;z) =

sin (xyz) + zexzy + 2y
0
x
= cos (xyz) (xyz)0x + zexzy
xz
y
0
x
+ 0 =
= yz cos (xyz) + z
2
y e
xz
y ;
kde jsme płi parciÆln m derivovÆn pova ovali prom nnØ y;z za konstanty. Ana-
logicky
f0y(x;y;z) =

sin (xyz) + zexzy + 2y
0
y
= cos (xyz) (xyz)0y + zexzy
xz
y
0
y
+ 2 =
= xz cos (xyz) xz
2
y2 e
xz
y + 2;
płiŁem za konstantn pova ujeme prom nnØ x;z: Podobn
f0z(x;y;z) =

sin (xyz) + zexzy + 2y
0
z
= cos (xyz) (xyz)0z+1 exzy +z exzy
xz
y
0
z
+0 =
= xy cos (xyz) + exzy + xzy exzy ;
kde jsme płi parciÆln m derivovÆn pova ovali za konstanty prom nnØ x;y: Pro
v„echny funkce mus b t spln no y 6= 0; aby byly de novÆny. V bod M1 = [1;0;1]
tato podm nka spln na nen , proto funkce ani jej parciÆln derivace neexistuj . V
bod M2 = [ =2;1;1] plat
f0x(M2) = f0x( =2;1;1) = 1 cos =2 + 1 e =2 = e =2;
f0y(M2) = f0y( =2;1;1) = ( =2) cos =2 ( =2) e =2 + 2 = 2 ( =2) e =2;
f0z(M2) = f0z( =2;1;1) = ( =2) cos =2 + e =2 + ( =2) e =2 = (1 + =2) e =2:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.3 ParciÆln derivace 21
Pł klad 2.3.2: Je dÆna funkce f : z = ln (x2y) 3x2 + 2y: Najd te parciÆln
derivace f0x;f0y a zjist te, kde existuj . UrŁete hodnoty obou parciÆln ch derivac
v bodech M1 = [ 1; 1] a M2 = [1;1]:
e„en : Nejprve najdeme de niŁn obor D(f) = f[x;y] 2 E2;x 6= 0;y > 0g
funkce f: Pro parciÆln derivaci f0x dostÆvÆme
f0x(x;y) = ln (x2y) 3x2 + 2y 0x = 1x2y (x2y)0x 6x = 1x2y 2xy 6x:
Podobn
f0y(x;y) = ln (x2y) 3x2 + 2y 0y = 1x2y (x2y)0y + 2 = 1x2y x2 + 2 =
= 1y + 2 = 1 + 2yy :
De niŁn obory D(f0x) = D(f0y) = D(f); a to i płes skuteŁnost, e funkŁn płed-
pisy pro parciÆln derivace existuj obecn i pro y < 0: Proto nejsou v bod M1
parciÆln derivace de novÆny. V bod M2 existuj ob parciÆln derivace a dosa-
zen m do funkŁn ch płedpisø z skÆme
f0x(1;1) = 4; f0y(1;1) = 3:
CviŁen 2.3.1: VypoŁt te hodnoty f0x(A);f0y(A) parciÆln ch derivac funkce
f(x;y) = 13py 3 px v bod A = [1;1].
CviŁen 2.3.2: UrŁete parciÆln derivace prvn ho łÆdu a jejich de niŁn obory:
1. f(x;y) = x2y + yx3 ,
2. f(x;y) = arctg yx,
3. f(x;y) = ex=y cosy.
2.3.3 Vztah mezi existenc parciÆln ch derivac a spoji-
tost funkce
Stejn jako u funkce jednØ prom nnØ mø e b t funkce z = f(x;y) spojitÆ v bod
A = [x0;y0] a płitom nemus m t n kterou z parciÆln ch derivac f0x(A); f0y(A).
Pł kladem mø e b t funkce f : z = px2 + y2: Jej m grafem je ku elovÆ plocha
s vrcholem V = [0;0] a nen obt nØ se v poŁtem płesv dŁit, e ani jedna z par-
ciÆln ch derivac v bod V neexistuje. Płitom je funkce f v bod V spojitÆ, jak
vid me na grafu funkce f:
V teorii funkce jednØ prom nnØ platilo tvrzen : MÆ-li funkce f v bod x0
koneŁnou derivaci, pak je f v bod x0 spojitÆ, tj. limx!x0 f(x) = f(x0): U funkce
dvou a v ce prom nn ch je situace slo it j„ a nestaŁ płedpoklÆdat existenci
parciÆln ch derivac prvn ho łÆdu, abychom m li zaji„t nou spojitost funkce.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
22 Funkce dvou a v ce prom nn ch
ObrÆzek 2.7: Graf funkce f : z = px2 + y2:
Pł klad 2.3.3: UkÆ eme si situaci na grafu funkce dvou prom nn ch
f : z =
0 pro xy 6= 0
1 pro xy = 0
de novanou v ka dØm bod prostoru E2:
Grafem tØto funkce je rovina (xy) s v jimkou souładnicov ch os x;y; na kte-
r ch jsou funkŁn hodnoty rovny 1. V„imn te si, e napł klad v bod O = [0;0]
existuj parciÆln derivace f0x;f0y a jsou rovny nule. Plat toti
f0x(0;0) = lim
h!0
f(0 + h;0) f(0;0)
h = limh!0
1 1
h = 0;
f0y(0;0) = lim
k!0
f(0;0 + k) f(0;0)
k = limk!0
1 1
k = 0:
SouŁasn je v„ak vid t, e funkce f nen v bod O spojitÆ. StaŁ napł klad
zvolit posloupnosti bodø Xn = [ 1n;0]; ~Xn = [ 1n; 1n]; kterØ konverguj k bodu
O = [0;0] a płitom plat limn!1f(Xn) = 1; limn!1f( ~Xn) = 0: Proto neexistuje
limX![0;0] f(X) a funkce f nen tedy v bod [0;0] spojitÆ.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.3 ParciÆln derivace 23
ObrÆzek 2.8: Graf funkce pł kladu 2.3.3
Je tłeba si uv domit, e parciÆln derivace poskytuj informace o cho-
vÆn funkce f pouze ve sm rech rovnob n ch se souładnicov mi
osami x;y a proto z jejich existence nevypl vÆ spojitost.
Tvrzen : MÆ-li funkce f v okol O(A) bodu A 2 D(f) parciÆln derivace
f0x;f0y; kterØ jsou v O(A) ohraniŁenØ, pak je funkce f v bod A spojitÆ.
Tvrzen nebudeme dokazovat. Je v„ak nutnØ si uv domovat døle itost spln n
płedpokladø pro łe„en konkrØtn ch matematick ch œloh a dal„ hlub„ souvislosti
mezi matematick mi v sledky. Jsou-li pro parciÆln derivace spln ny siln j„ po-
adavky, ne je jejich ohraniŁenost, pak se uvÆd j zpravidla jen ony. Napł klad
mohou b t v„echny parciÆln derivace f0xi v okol O(A) bodu A 2 D(f) spojitØ.
Pak je potłebnØ si uv domit, e jsou spojitØ takØ na uzÆv ru O1(A) O(A) n -
jakØho okol bodu A a e okol O1(A) je ohraniŁenou mno inou. Ze zÆkladn ch
v t o spojit ch funkc ch pak z skÆme informaci, e funkce spojitÆ na uzavłenØ
a ohraniŁenØ mno in je ohraniŁenÆ funkce. T m zdøvodn me ohraniŁenost ka dØ
parciÆln derivace f0xi v okol O1(A) a nÆsledn spojitost funkce f v samotnØm
bod A:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
24 Funkce dvou a v ce prom nn ch
2.3.4 ParciÆln derivace vy„„ ch łÆdø
PłedpoklÆdejme napł klad, e mÆ funkce f parciÆln derivace f0x v ka dØm bod
[x;y] 2 U D(f).
ParciÆln derivace f0x je limita, kterÆ mÆ v ka dØm bod [x;y] 2 U prÆv jednu
hodnotu f0x(x;y) a je proto na U op t funkc dvou prom nn ch.
OznaŁme g(x;y) = f0x(x;y): Pak se mø eme ptÆt, zda existuj parciÆln de-
rivace funkce g podle jednotliv ch prom nn ch x nebo y. Existuje-li g0x(x;y) =
(f0x(x;y))0x ; pak pou ijeme struŁn j„ oznaŁen f00xx(x;y) a nÆzev parciÆln deri-
vace druhØho łÆdu funkce f podle prom nnØ x: Podobn g0y(x;y) = (f0x(x;y))0y =
f00xy(x;y) nazveme sm „enou parciÆln derivac druhØho łÆdu funkce f stejn tak,
jako parciÆln derivaci (f0y)0x = f00yx: Funkci f00yy nazveme parciÆln derivac dru-
hØho łÆdu funkce f podle prom nnØ y: Budou-li existovat v„echny dÆle uva ovanØ
parciÆln derivace, mø eme v tomto postupu pokraŁovat k parciÆln m derivac m
tłet ho łÆdu f000xxx; f000xxy; f000xyx; f000yxx; f000xyy; f000yxy; f000yyx; f000yyy a dal„ m vy„„ m łÆdøm
parciÆln ch derivac . Schematicky lze situaci znÆzornit n e uveden m diagramem.
Diagram pokraŁuje dal„ mi kroky, pokud odpov daj c parciÆln derivace existuj .
Pro funkci f(x;y;z) tł prom nn ch by se u ka dØ funkce „ipky d lily do tł sm rø
a celÆ struktura by proto byla je„t slo it j„ . V diagramu je naznaŁena otÆzka,
zda nen mo nØ si v poŁet zjednodu„it a zda mø e nastat situace, kdy jsou si
sm „enØ parciÆln derivace f00xy; f00yx navzÆjem rovny.
f
HHj
f0y

f0x
HHj
f00yy f00
xy
?= f00
yx
@R f00
xx H
Hj @R @
@@R?
f00yxx f00xyy
?

f00xxx f00xxy
f00xyx f00xyy
f00yyx f00yyy
Odpov dÆvÆ tvrzen , kterØ uvedeme bez døkazu.
Tvrzen : Jsou-li parciÆln derivace f00xy; f00yx funkce z = f(x;y) spojitØ
v bod A = [x0;y0]; pak plat rovnost f00xy(A) = f00yx(A):
Døsledek: Jsou-li spojitØ parciÆln derivace f000xxy;f000xyx v bod A; pak plat
rovnost f000xxy(A) = ((f0x)00xy)(A) = ((f0x)00yx)(A) = f000xyx(A); proto e se jednÆ o spojitØ
sm „enØ parciÆln derivace druhØho łÆdu funkce f0x v bod A:
Pro funkci f; kterÆ mÆ v bod A = [x0;y0] spojitØ parciÆln derivace n{tØho
łÆdu lze dokÆzat, e płi v poŁtu parciÆln ch derivac n{tØho łÆdu
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.4 Slo enÆ funkce 25
a) nezÆle na poład derivovÆn ,
b) hodnota parciÆln derivace n{tØho łÆdu funkce f v bod A zÆvis pouze na
tom, kolikrÆt se derivovalo podle prom nnØ x a kolikrÆt podle prom nnØ y.
Pł klad 2.3.4: VypoŁt te parciÆln derivace ŁtvrtØho łÆdu funkce
f(x;y) = xex+y:
e„en : Funkce f(x;y) = xex+y = xexey je spojitÆ v E2 a mÆ zde spojitØ
parciÆln derivace libovolnØho łÆdu, proto e parciÆln m derivovÆn m se zachovÆvÆ
spojitost exponenciÆln funkce a spojitost polynomu, kter exponenciÆln funkci
nÆsob . Proto jsou si sm „enØ parciÆln derivace odpov daj c ho typu navzÆjem
rovny a v poŁet lze znaŁn zjednodu„it. VypoŁteme nejprve
f0x(x;y) = (xex)0x ey = (x + 1)ex+y; f0y(x;y) = xex (ey)0y = xex+y:
Pak
f00xx(x;y) = (f0x(x;y))0x = ((x + 1)ex)0x ey = (x + 2)ex+y
a podobn m zpøsobem
f00xy(x;y) = (x + 1)ex+y; f00yy(x;y) = xex+y:
ParciÆln derivace tłet ho łÆdu pak jsou
f000xxx(x;y) = (x + 3)ex+y; f000xxy(x;y) = (x + 2)ex+y;
f000xyy(x;y) = (x + 1)ex+y; f000yyy(x;y) = xex+y;
a koneŁn
f(4)xxxx(x;y) = (x + 4)ex+y; f(4)xxxy(x;y) = (x + 3)ex+y;
f(4)xxyy(x;y) = (x + 2)ex+y; f(4)xyyy(x;y) = (x + 1)ex+y;
f(4)yyyy(x;y) = xex+y:
CviŁen 2.3.3: UrŁete parciÆln derivace:
1. f00xx;f00xy;f00yy, jestli e f(x;y) = arctg x yx+y,
2. f000xxy, jestli e f(x;y) = sin 2x cosy,
3. f00xyy, jestli e f(x;y) = xy + cosxy.
2.4 Slo enÆ funkce
Z teorie funkce jednØ prom nnØ znÆme pojem slo enØ funkce f(g(x))
a podm nky jej existence. V prostoru E2 je situace analogickÆ, i kdy
pon kud slo it j„ .
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
26 Funkce dvou a v ce prom nn ch
Uka me si, jak mø e slo enÆ funkce dvou prom nn ch płirozen m zpøsobem
vzniknout. Vedle kartØzsk ch souładnic [x;y] bodu prostoru E2 mø eme pou t
jeho polÆrn souładnice [ ;’]: VzÆjemn vztah mezi souładnicemi [x;y]; [ ;’]
a geometrick v znam souładnic [ ;’] je patrn z nÆsleduj c ho obrÆzku.
-
6






M = [x;y]
y
x

x
y
’
Parametr mÆ v znam prøvodiŁe bodu [x;y]; ’ je œhel prøvodiŁe s kladn m
sm rem souładnicovØ osy x: Z pravoœhlØho trojœheln ku o stranÆch x;y; ; um me
vyjÆdłit souładnice
x = g1( ;’) = cos’; y = g2( ;’) = sin’;
pomoc dvou funkc prom nn ch ;’:
Je-li nyn dÆna funkce dvou prom nn ch, napł klad z = f(x;y) = x2 + y2;
pak płevodem tØto funkce do polÆrn ch souładnic pomoc funkc
x = g1( ;’) = cos’; y = g2( ;’) = sin’
z skÆme novou funkci F( ;’) de novanou funkŁn m płedpisem
F( ;’) = f(g1( ;’);g2( ;’)) = g1( ;’)2 + g2( ;’)2 =
= 2 cos2 ’ + 2 sin2 ’ = 2:
V tomto konkrØtn m pł klad je funkce F funkc obou nov ch prom nn ch
;’; i kdy funkŁn płedpis prom nnou ’ neobsahuje.
V mnoha œlohÆch mÆme snahu vyjÆdłit v slednou funkci jako funkci prom n-
n ch x;y: Toho lze snadno dosÆhnout formÆln m płeznaŁen m prom nn ch danØ
funkce f a prom nn ch u transformaŁn ch funkc .
2.4.1 Slo enÆ funkce dvou a v ce prom nn ch
De nice 2.4.1: M jme funkci f : z = f(u;v) de novanou na mno in N E2
a funkce u = g1(x;y); v = g2(x;y) de novanØ na mno in M E2: Jestli e pro
ka d bod A 2 M patł bod B = [g1(A);g2(A)] do mno iny N; pak łekneme, e
płedpisem F(x;y) = f(g1(x;y);g2(x;y)) je na mno in M de novanÆ slo enÆ
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.4 Slo enÆ funkce 27
funkce F = f(g1;g2): Płitom plat F(A) = f(g1(A);g2(A)) = f(B): Funkci f
naz vÆme vn j„ slo kou funkce F a funkce g1;g2 jej mi vnitłn mi slo kami.
4
¨asto pou vÆme pro vn j„ a vnitłn slo ky slo enØ funkce oznaŁen
z = z(u;v);u = u(x;y);v = v(x;y):
Podobn jako u funkce dvou prom nn ch mø eme de novat płedpisem
F(x;y;z) = f(g1(x;y;z);g2(x;y;z);g3(x;y;z))
slo enou funkci tł prom nn ch a obecn ji płedpisem
F(x1;x2;:::;xn) = f(g1(x1;x2;:::;xn);g2(x1;x2;:::;xn);:::;gn(x1;x2;:::;xn))
slo enou funkci n prom nn ch v prostoru En:
2.4.2 ParciÆln derivace slo enØ funkce
pp KomentÆł 2.4.1: Płi łe„en praktick ch œloh se setkÆvÆme se slo e-
nou funkc dvou prom nn ch F(x;y) = f(g1(x;y);g2(x;y)); kde druhÆ vnitłn
slo ka g2(x;y) = 1; je konstantn funkc . Pak chÆpeme płi oznaŁen F(x;y) =
h(g1(x;y)) = f(g1(x;y);1) slo enou funkci F jako slo en funkce jednØ pro-
m nnØ h(u) s jednou funkc dvou prom nn ch g(x;y) = g1(x;y): Slo enÆ funkce
F(x;y) = h(g(x;y)) mÆ z pohledu praktickØho poŁ tÆn parciÆln ch derivac
mnoho spoleŁnØho se slo enou funkc F(x) = h(g(x)) jednØ prom nnØ. Płi de-
rivovÆn funkc jednØ prom nnØ jsme pou vali v tu o derivaci slo enØ funkce
h : y = f(g(x)); kterou mø eme zapsat napł klad ve tvaru h0(x) = (f(g(x)))0 =
f0u(u) g0(x); kde u = g(x) a oznaŁen f0u(u) znamenÆ derivaci funkce f podle
celØho argumentu u = g(x): Płipome me, e pro pou it vzorce je nutnØ, aby
existovaly v„echny derivace, kterØ se ve vzorci vyskytuj .
CviŁen 2.4.1:
1. Funkce ’(u) mÆ v ka dØm bod u derivaci. Uka te, e funkce z = ’(x2 +y2)
spl uje rovnici
y @z@x x @z@y = 0:
e„en : Zavedeme-li oznaŁen u = g(x;y) = x2 + y2; pak
z0x = ’0u(u) g0x = ’0u(u) 2x;
z0y = ’0u(u) g0y = ’0u(u) 2y:
Dosazen m do levØ strany rovnice pł kladu skuteŁn obdr me
y @z@x x @z@y = (2xy 2xy)’0u(u) = 0:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
28 Funkce dvou a v ce prom nn ch
2. Uka te, e funkce z = f(x+ay) (f(u) mÆ derivaci, a je nenulovÆ konstanta)
spl uje rovnici z0y = az0x.
3. Uka te, e je-li w = ’(x2 + y2 + z2); kde x = r cosucosv; y = r cosusinv;
z = r sinu (r > 0 je konstanta), pak plat rovnice @w=@u = 0; @w=@v = 0:
4. Dv ma postupy najd te @z=@x a @z=@y funkce z = arctg (x=y); kde
x = usinv; y = ucosv:
ParciÆln derivace slo enØ funkce obsahuj c ob vnitłn slo ky je slo it j„ , jak
si ukÆ eme v nÆsleduj c m odstavci.
Lagrangeova v ta
Z Lagrangeovy v ty o pł røstku pro funkci jednØ prom nnØ mø eme odvodit
podobnou v tu pro funkci dvou prom nn ch.
V ta: Je-li funkce f de novanÆ v n jakØm okol O"(A) bodu A = [a1;a2]
a mÆ-li v tomto okol ob parciÆln derivace prvn ho łÆdu f0x a f0y; pak pro bod
B = [b1;b2] 2 O"(A) je spln no
f(B) f(A) = f0x(C) (b1 a1) + f0y(D) (b2 a2);
kde C = [ ;b2]; D = [a1; ]; płiŁem le mezi a1 a b1 a le mezi a2 a b2:
-
6
x
y
‘B‘C
‘D
‘
A
a1 b1
b2

a2
O(A)
Zdøvodn n : VyjÆdł me-li rozd l funkŁn ch hodnot f(B) f(A) ve tvaru
f(b1;b2) f(a1;a2) = (f(b1;b2) f(a1;b2)) + (f(a1;b2) f(a1;a2));
pak si staŁ uv domit, e rozd ly v zÆvorkÆch jsou funkce, v nich se m n
pouze jedna prom nnÆ. OznaŁ me-li si proto napł klad g(x) = f(x;b2); pak
g0(x) = f0x(x;b2) a proto g(b1) g(a1) = g0( ) (b1 a1): StejnØ œvahy lze provØst
takØ pro funkci h(y) = f(a1;y): Obdr me tak vztah uveden ve v t .
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.4 Slo enÆ funkce 29
Tvrzen : Maj -li funkce u = u(x;y); v = v(x;y) spojitØ parciÆln derivace
prvn ho łÆdu na otevłenØ mno in O(A); A = [x0;y0]; a funkce z = f(u;v)
mÆ spojitØ parciÆln derivace prvn ho łÆdu na otevłenØ mno in O(B);
B = [u(A);v(A)]; płiŁem pro ka d bod C 2 O(A) plat [u(C);v(C)] 2 O(B);
pak slo enÆ funkce
z = F(x;y) = f(u(x;y);v(x;y))
mÆ v okol O(A) spojitØ parciÆln derivace prvn ho łÆdu a plat
@F(A)
@x =
@f(B)
@u
@u(A)
@x +
@f(B)
@v
@v(A)
@x ;
@F(A)
@y =
@f(B)
@u
@u(A)
@y +
@f(B)
@v
@v(A)
@y ;
resp.
F0x(A) = f0u(B) u0x(A) + f0v(B) v0x(A);
F0y(A) = f0u(B) u0y(A) + f0v(B) v0y(A)
v alternativn m zÆpisu parciÆln ch derivac .
Zdøvodn n : UkÆ eme si platnost prvn ho z uveden ch vztahø. S vyu it m
Lagrangeovy v ty a płi oznaŁen u(t) = u(x0 +t;y0); v(t) = v(x0 +t;y0) mø eme
psÆt
F0x(x0;y0) = limt!0 F(x0 + t;y0) F(x0;y0)t =
= limt!0 f(u(x0 + t;y0);v(x0 + t;y0)) f(u(x0;y0);v(x0;y0))t =
= lim
t!0
f(u(x
0 + t;y0);v(x0 + t;y0)) f(u(x0;y0);v(x0 + t;y0))
t +
+ f(u(x0;y0);v(x0 + t;y0)) f(u(x0;y0);v(x0;y0))t

=
= lim
t!0
f(u(t);v(t)) f(u(0);v(t)) + f(u(0);v(t)) f(u(0);v(0))
t =
= limt!0 f
0
u( ;v(t)) (u(t) u(0)) + f
0
v(u(0); ) (v(t) v(0))
t =
= limt!
0 f
0
u( ;v(t)) limt!0
u(t) u(0)
t + f
0
v(u(0); ) limt!0
v(t) v(0)
t =
= f0u(u(x0;y0);v(x0;y0)) u0x(x0;y0) + f0v(u(x0;y0);v(x0;y0)) v0x(x0;y0);
kde je mezi u(t) a u(0); je mezi v(t) a v(0): Płi pou it pravidel pro poŁ tÆn
s limitami jsme vyu ili existence a spojitosti potłebn ch parciÆln ch derivac .
Druh ze vztahø bychom odvodili analogick m zpøsobem.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
30 Funkce dvou a v ce prom nn ch
pp KomentÆł 2.4.2: Vzorce pro parciÆln derivace slo enØ funkce budeme
zapisovat zkrÆcen ve tvaru
F0x = f0u u0x + f0v v0x; F0y = f0u u0y + f0v v0y:
Płi konvenci "vynechÆvÆn ŁÆrky" mø eme takØ psÆt
Fx = fu ux + fv vx; Fy = fu uy + fv vy
nebo @F
@x =
@f
@u
@u
@x +
@f
@v
@v
@x a
@F
@y =
@f
@u
@u
@y +
@f
@v
@v
@y :
ZejmØna płi v poŁtu parciÆln ch derivac vy„„ ch łÆdø je potłebnØ m t neu-
stÆle na pam ti skuteŁnost, e parciÆln derivace f0u = @f=@u; f0v = @f=@v
jsou op t slo enØ funkce dvou prom nn ch, tj. f0u = f0u(u(x;y);v(x;y));
f0v = f0v(u(x;y);v(x;y)):
Pł klad 2.4.1: Najd te parciÆln derivace z0x;z0y;z00xx funkce
F : z = f(u(x;y);v(x;y)) v te-li, e vn j„ slo ka f : z = f(u;v) mÆ spojitØ
parciÆln derivace druhØho łÆdu f00uu;f00uv;f00vv a u = xy; v = x=y:
e„en :
F0x = f0u u0x + f0v v0x = f0u (xy)0x + f0v
x
y
0
x
= yf0u + 1yf0v;
F0y = f0u u0y + f0v v0y = f0u (xy)0y + f0v
x
y
0
y
= xf0u xy2f0v;
F00xx = (F0x)0x = (yf0u + 1yf0v)0x = y (f00uu u0x + f00uv v0x) + 1y (f00vu u0x + f00vv v0x) =
= y (f00uu y + f00uv 1y) + 1y (f00vu y + f00vv 1y) = y2 f00uu + 2f00uv + 1y2 f00vv:
pp KomentÆł 2.4.3: V pł pad slo enØ funkce
p(x;y;z) = q(u(x;y;z);v(x;y;z);w(x;y;z))
by m la pravidla pro v poŁet parciÆln ch derivac o jeden sŁ tanec v ce, tj. napł -
klad p0z = q0u u0z + q0v v0z + q0w w0z a pro slo enou funkci
F(x1;x2; ;xn) = f(g1(x1;x2; ;xn);g2(x1;x2; ;xn); ;gn(x1;x2; ;xn))
n prom nn ch by souŁet obsahoval prÆv n sŁ tancø tvaru
@F(A)
@xi =
nX
k=1
@f(B)
@gk
@gk(A)
@xi ;
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.4 Slo enÆ funkce 31
kde A = [x1;x2;:::;xn]; B = [g1(A);g2(A);:::;gn(A)]:
Ve zkrÆcenØm tvaru (bez uveden bodø, v nich mÆme parciÆln derivace uva-
ovat) by m lo pravidlo tvar
@F
@xi =
nX
k=1
@f
@gk
@gk
@xi:
CviŁen 2.4.2: (PłedpoklÆdÆme, e existuj potłebnØ derivace Łi parciÆln de-
rivace uva ovan ch funkc .)
1. Najd te @z=@x a @z=@y funkce z = f(u;v); kde u = x2 y2; v = exy:
2. Uka te, e funkce w = f(u;v); kde u = x+at;v = y+bt (a;b jsou konstanty)
spl uje rovnici wt = awx + bwy:
3. Uka te, e funkce z = y’(x2 y2) spl uje rovnici
1
x
@z
@x +
1
y
@z
@y =
z
y2:
4. Uka te, e funkce z = xy + x’(y=x) spl uje rovnici
x@z@x + y@z@y = xy + z:
5. Uka te, e funkce z = ey’

yex2=(2y2)

spl uje rovnici
(x2 y2)@z@x + xy@z@y = xyz:
pp KomentÆł 2.4.4: V jednØ z dal„ ch ŁÆst tohoto textu budeme pracovat
se slo enou funkc p(r;s;t) = q(x(r;s;t);y(r;s;t);z(r;s;t)) tł prom nn ch ve
speciÆln m pł pad , kdy jsou slo ky slo enØ funkce zÆvislØ jen na jednØ spoleŁnØ
prom nnØ t a budeme ji zapisovat jako funkci
p(t) = q(x(t);y(t);z(t)); t 2 I;
de novanou na intervalu I R: Existuj -li potłebnØ parciÆln derivace vn j„
slo ky a vnitłn ch slo ek, pak podle vzorce pro derivaci slo enØ funkce dostaneme
p0(t) = q0x(x(t);y(t);z(t)) x0(t)+q0y(x(t);y(t);z(t)) y0(t)+q0z(x(t);y(t);z(t)) z0(t):
(2.1)
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
32 Funkce dvou a v ce prom nn ch
Pł klad 2.4.2: VypoŁ tejte derivaci z0(t) funkce z = e3x+2y; kde x = cost;
y = t2:
e„en :
Pł m m v poŁtem: slo en m funkc a v poŁtem derivace z skÆme
z(t) = e3 cost+2t2 =) z0(t) = e3 cost+2t2 ( 3 sint + 4t); t 2R:
Podle vzorce pro d