Základy geometrie

VYSOK´A ˇSKOLA B´AˇNSK´A – TECHNICK´A UNIVERZITA OSTRAVA
Z´AKLADY GEOMETRIE
Jiˇr´ı Doleˇzal
Vytvoˇreno v r´amci projektu Operaˇcn´ıho programu Rozvoje lidsk´ych zdroj˚u
CZ.04.1.03/3.2.15.1/0016
Studijn´ı opory s pˇrevaˇzuj´ıc´ımi distanˇcn´ımi prvky pro pˇredmˇety teoretick´eho
z´akladu studia.
Tento projekt je spolufinancov´an Evropsk´ym soci´aln´ım fondem
a st´atn´ım rozpoˇctem ˇCesk´e republiky
ESF – ROVN´E PˇR´ILEˇZITOSTI PRO VˇSECHNY
ISBN 80-248-1202-9
Z´aklady geometrie Obsah
Obsah
Obsah 3
Pˇredmluva projektu 5
Pokyny ke studiu 6
´Uvod 7
1 Planimetrie 8
1. Konstrukˇcn´ı planimetrick´e ´ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2. Apolloniovy a Pappovy ´ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1. Z´akladn´ı mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti v rovinˇe . . . . . . . . . . . . . 10
3.2. Apolloniova ´uloha BBB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3. Apolloniova ´uloha ppp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4. Teˇcny z bodu ke kruˇznici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.5. Pappova ´uloha BBp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.6. Pappova ´uloha Bkp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.7. Varianta Apolloniovy ´ulohy ppk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4. Mocnost bodu ke kruˇznici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1. Definice a z´akladn´ı vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2. Chord´ala a potenˇcn´ı stˇred . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3. Apolloniova ´uloha BBp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4. Apolloniova ´uloha BBk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5. Geometrick´a zobrazen´ı v rovinˇe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1. Shodn´a zobrazen´ı (shodnosti) v rovinˇe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1.1. Posunut´ı (translace) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Varianta Apolloniovy ´ulohy Bpp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1.2. Otoˇcen´ı (rotace) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Konstrukce rovnostrann´eho troj´uheln´ıka z dan´ych prvk˚u . . . . . . . . 64
5.1.3. Stˇredov´a soumˇernost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
- 3 -
Obsah Z´aklady geometrie
Konstrukce ´useˇcky z dan´ych prvk˚u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.1.4. Osov´a soumˇernost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Konstrukce bodu dan´e vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2. Podobn´a zobrazen´ı (podobnosti) v rovinˇe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2.1. Stejnolehlost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Spoleˇcn´e teˇcny dvou kruˇznic s r˚uzn´ymi polomˇery . . . . . . . . . . . . 79
ˇCtverec vepsan´y do ostro´uhl´eho troj´uheln´ıka . . . . . . . . . . . . . . . 83
Varianta Apolloniovy ´ulohy Bpp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Pappova ´uloha Bpk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Varianta Apolloniovy ´ulohy ppk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2 Stereometrie 110
1. Uˇzit´e pojmy a metody zobrazen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2. Rovinn´e ˇrezy hranat´ych tˇeles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.1. Prostorov´a osov´a afinita mezi dvˇema rovinami . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.1.1. ˇRez krychle rovinou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.1.2. ˇRez kolm´eho ˇctyˇrbok´eho hranolu rovinou . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.1.3. ˇRez kolm´eho pˇetibok´eho hranolu rovinou . . . . . . . . . . . . . . . 122
2.2. Prostorov´a stˇredov´a kolineace mezi dvˇema rovinami . . . . . . . . . . . . . . 127
2.2.1. ˇRez pravideln´eho ˇctyˇrbok´eho jehlanu rovinou . . . . . . . . . . . . . 128
2.2.2. ˇRez pˇetibok´eho jehlanu rovinou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3. Pr˚unik pˇr´ımky s tˇelesem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.1. Pr˚unik pˇr´ımky s hranolem, v´alcem, jehlanem a kuˇzelem . . . . . . . . . . . . 137
3.1.1. Pr˚unik pˇr´ımky s kolm´ym ˇctyˇrbok´ym hranolem . . . . . . . . . . . . 137
3.1.2. Pr˚unik pˇr´ımky s rotaˇcn´ım v´alcem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.1.3. Pr˚unik pˇr´ımky s pravideln´ym ˇctyˇrbok´ym jehlanem . . . . . . . . . . 142
3.1.4. Pr˚unik pˇr´ımky s rotaˇcn´ım kuˇzelem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
A Pracovn´ı listy 148
Literatura 177
Rejstˇr´ık 178
- 4 -
Z´aklady geometrie Pˇredmluva projektu
STUDIJN´I OPORY S PˇREVAˇZUJ´IC´IMI
DISTANˇCN´IMI PRVKY PRO PˇREDMˇETY
TEORETICK´EHO Z´AKLADU STUDIA
je n´azev projektu, kter´y uspˇel v r´amci prvn´ı v´yzvy Operaˇcn´ıho programu Rozvoj lidsk´ych
zdroj˚u. Projekt je spolufinancov´an st´atn´ım rozpoˇctem ˇCR a Evropsk´ym soci´aln´ım fondem.
Partnery projektu jsou Region´aln´ı stˇredisko v´ychovy a vzdˇel´av´an´ı, s.r.o. v Mostˇe, Univerzita
obrany v Brnˇe a Technick´a univerzita v Liberci. Projekt byl zah´ajen 5.1.2006 a bude ukonˇcen
4.1.2008.
C´ılem projektu je zpracov´an´ı studijn´ıch materi´al˚u z matematiky, deskriptivn´ı geometrie,
fyziky a chemie tak, aby umoˇznily pˇredevˇs´ım samostatn´e studium a t´ım minimalizovaly poˇcet
kontaktn´ıch hodin s uˇcitelem. Je zˇrejm´e, ˇze vytvoˇren´e texty jsou urˇceny student˚um vˇsech
forem studia. Studenti kombinovan´e a distanˇcn´ı formy studia je vyuˇzij´ı k samostudiu, studenti
v prezenˇcn´ı formˇe si mohou doplnit z´ıskan´e vˇedomosti. Vˇsem student˚um texty pomohou pˇri
procviˇcen´ı a ovˇeˇren´ı z´ıskan´ych vˇedomost´ı. Nezanedbateln´ym c´ılem projektu je umoˇznit zv´yˇsen´ı
kvalifikace ˇsirok´emu spektru osob, kter´e nemohly ve studiu na vysok´e ˇskole z r˚uzn´ych d˚uvod˚u
(soci´aln´ıch, rodinn´ych, politick´ych) pokraˇcovat bezprostˇrednˇe po maturitˇe.
V r´amci projektu jsou vytvoˇreny jednak standardn´ı uˇcebn´ı texty v tiˇstˇen´e podobˇe, konci-
povan´e pro samostatn´e studium, jednak e-learningov´e studijn´ı materi´aly, pˇr´ıstupn´e prostˇred-
nictv´ım internetu. Souˇc´ast´ı v´ystup˚u je rovnˇeˇz banka testov´ych ´uloh pro jednotliv´e pˇredmˇety,
na n´ıˇz si studenti ovˇeˇr´ı, do jak´e m´ıry zvl´adli prostudovan´e uˇcivo.
Bliˇzˇs´ı informace o projektu m˚uˇzete naj´ıt na adrese http://www.studopory.vsb.cz/.
Pˇrejeme v´am mnoho ´uspˇech˚u pˇri studiu a budeme m´ıt radost, pokud v´am pˇredloˇzen´y text
pom˚uˇze pˇri studiu a bude se v´am l´ıbit. Protoˇze nikdo nen´ı neomyln´y, mohou se i v tomto
textu objevit nejasnosti a chyby. Pˇredem se za nˇe omlouv´ame a budeme v´am vdˇeˇcni, pokud
n´as na nˇe upozorn´ıte.
ESF – ROVN´E PˇR´ILEˇZITOSTI PRO VˇSECHNY
- 5 -
Pokyny ke studiu Z´aklady geometrie
POKYNY KE STUDIU
Pro zv´yraznˇen´ı jednotliv´ych ˇc´ast´ı textu jsou pouˇz´ıv´any ikony a barevn´e odliˇsen´ı, jejichˇz
v´yznam nyn´ı objasn´ıme.
V´yklad
oznaˇcuje samotn´y v´yklad uˇciva dan´e ˇc´asti.
ˇReˇsen´e ´ulohy
oznaˇcuj´ı vzorov´e pˇr´ıklady, kter´e jsou tˇeˇziˇstˇem pr´ace.
Pˇr´ıklad: uv´ad´ı zad´an´ı pˇr´ıkladu.
Literatura
obsahuje seznam knih, kter´e byly pouˇzity pˇri tvorbˇe pˇr´ısluˇsn´eho textu a na kter´e byly pˇr´ıpadnˇe
uvedeny odkazy k hlubˇs´ımu prostudov´an´ı t´ematu.
- 6 -
Z´aklady geometrie ´Uvod
´Uvod
• pˇredkl´adan´y studijn´ı materi´al je sp´ıˇse sb´ırkou komfortnˇe ˇreˇsen´ych ´uloh neˇz souvisl´ym
uˇcebn´ım textem
• jednotliv´e ´ulohy jsou pˇritom ˇreˇseny metodou krok po kroku, tj. od zad´an´ı aˇz po ˇreˇsen´ı
je vyr´ysov´ana s´erie nˇekolika obr´azk˚u opatˇren´ych vysvˇetluj´ıc´ım koment´aˇrem
• uˇcebn´ı l´atka je rozdˇelena do dvou kapitol: Planimetrie a Stereometrie; v kaˇzd´e z nich je
struˇcnˇe a heslovitˇe pˇripojena potˇrebn´a teorie
• v kapitole Planimetrie jsou ˇreˇseny pˇredevˇs´ım konstrukˇcn´ı ´ulohy, v nichˇz se uˇz´ıvaj´ı
mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti, mocnost bodu ke kruˇznici a geometrick´a zobrazen´ı
v rovinˇe
• v kapitole Stereometrie je uk´az´ano ˇreˇsen´ı rovinn´ych ˇrez˚u na hranat´ych tˇelesech a kon-
strukce pr˚uniku pˇr´ımky s dan´ym tˇelesem
• pro pohodl´ı ˇcten´aˇrovo je pˇripojen dodatek s n´azvem Pracovn´ı listy, v nˇemˇz jsou sebr´ana
zad´an´ı vˇsech 26 ´uloh vyˇreˇsen´ych v pˇredchoz´ı ˇc´asti
• na z´avˇer je uveden pˇrehled uˇzit´e literatury a rejstˇr´ık v´yznamn´ych pojm˚u
• na webov´ych str´ank´ach projektu (http://www.studopory.vsb.cz/) lze naj´ıt interak-
tivn´ı verzi tˇechto materi´al˚u vˇcetnˇe 9 virtu´aln´ıch 3D model˚u ke stereometrick´ym ´uloh´am,
dalˇs´ı aktu´aln´ı informace a ˇradu dokument˚u ve form´atu PDF volnˇe ke staˇzen´ı...
- 7 -
Kapitola 1. Planimetrie Z´aklady geometrie
Planimetrie
Tematick´y obsah
• Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti
◦ Z´akladn´ı mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti, ˇReˇsen´e ´ulohy
• Mocnost bodu ke kruˇznici
◦ Definice a z´akladn´ı vlastnosti, Chord´ala a potenˇcn´ı stˇred, ˇReˇsen´e ´ulohy
• Geometrick´a zobrazen´ı
◦ Posunut´ı, Otoˇcen´ı, Stˇredov´a soumˇernost, Osov´a soumˇernost, Stejnolehlost
1. Konstrukˇcn´ı planimetrick´e ´ulohy
V´yklad
• v r´amci tohoto studijn´ıho materi´alu byly zpracov´any zejm´ena ˇreˇsen´e konstrukˇcn´ı
´ulohy
• v tˇechto ´uloh´ach jde pˇredevˇs´ım o to sestrojit (zkonstruovat) pˇredepsan´y geometrick´y
´utvar, kter´y bude m´ıt poˇzadovan´e vlastnosti
• pˇritom jsou uˇz´ıv´any v´yhradnˇe tzv. eukleidovsk´e konstrukce pomoc´ı prav´ıtka a kru-
ˇz´ıtka
• ˇc´asti postupu ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ı ´ulohy:
1. Rozbor: pˇredpokl´ad´ame, ˇze ´uloha je vyˇreˇsen´a, naˇcrtneme ilustraˇcn´ı obr´azek a
snaˇz´ıme se naj´ıt vztahy mezi dan´ymi a hledan´ymi ´utvary
- 8 -
Z´aklady geometrie 2. Apolloniovy a Pappovy ´ulohy
2. Konstrukce: na z´akladˇe rozboru sestav´ıme postup konstrukce a podle nˇej pro-
vedeme konstrukci graficky (v pˇredkl´adan´em studijn´ım materi´alu je prov´adˇena
pˇr´ımo grafick´a konstrukce krok po kroku opatˇren´a vysvˇetluj´ıc´ım koment´aˇrem)
3. Zkouˇska: kontrola spr´avnosti konstrukce
4. Diskuze: v t´eto ˇc´asti se stanovuj´ı podm´ınky ˇreˇsitelnosti ´ulohy a poˇcet ˇreˇsen´ı
podle vz´ajemn´e polohy zadan´ych prvk˚u; pˇritom postupujeme tak, ˇze proch´az´ıme
jednotliv´e kroky konstrukˇcn´ıho postupu a zkoum´ame poˇcet moˇzn´ych ˇreˇsen´ı tˇechto
jednotliv´ych krok˚u (u nˇekter´ych ´uloh je diskuze pˇrenech´ana ˇcten´aˇri jako cviˇcen´ı)
2. Apolloniovy a Pappovy ´ulohy
V´yklad
• vˇetˇs´ı ˇc´ast zde ˇreˇsen´ych ´uloh patˇr´ı mezi tzv. Apolloniovy a Pappovy ´ulohy
• zad´an´ı tzv. obecn´e Apolloniovy ´ulohy: sestrojte kruˇznici, kter´a se dot´yk´a tˇr´ı dan´ych
kruˇznic
• pˇripust´ıme-li v obecn´e Apolloniovˇe ´uloze dotyk hledan´e kruˇznice tak´e s pˇr´ımkami pˇr´ı-
padnˇe proch´azen´ı body, dostaneme s´erii des´ıti tzv. Apolloniov´ych ´uloh: BBB, BBp,
BBk, Bpp, Bpk, Bkk, ppp, ppk, pkk, kkk (B – bod, p – pˇr´ımka, k – kruˇznice)
- 9 -
3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti Z´aklady geometrie
• v r´amci tˇechto studijn´ıch materi´al˚u byly vyˇreˇseny n´asleduj´ıc´ı Apolloniovy ´ulohy: BBB
(viz strana 15), BBp (strana 46), BBk (strana 51), Bpp - varianta rovnobˇeˇzky (stra-
na 59), Bpp - varianta r˚uznobˇeˇzky (strana 87), ppp (strana 18), ppk - varianta rov-
nobˇeˇzky (strana 39), ppk - varianta r˚uznobˇeˇzky (strana 96)
• speci´aln´ım pˇr´ıpadem Apolloniov´ych ´uloh jsou ´ulohy Pappovy: dvˇema ze tˇr´ı dan´ych
´utvar˚u jsou vˇzdy pˇr´ımka nebo kruˇznice s dan´ym bodem dotyku
• takto lze z´ıskat s´erii ˇsesti Pappov´ych ´uloh: BBp, BBk, Bpp, Bkk, Bpk, Bkp
• v r´amci tˇechto studijn´ıch materi´al˚u byly vyˇreˇseny n´asleduj´ıc´ı Pappovy ´ulohy: BBp
(strana 31), Bpk (strana 91), Bkp (strana 34)
• komplexnˇe zpracovan´e ˇreˇsen´ı vˇsech Apolloniov´ych a Pappov´ych ´uloh je pod´ano napˇr.
v diplomov´e pr´aci Evy Pat´akov´e
(viz http://geometrie.kma.zcu.cz/work/AU/uvod/uvod.html)
3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti
3.1. Z´akladn´ı mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti v rovinˇe
V´yklad
• mnoˇzinou M vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti V rozum´ıme takov´y geometrick´y ´utvar
G, jehoˇz body splˇnuj´ı n´asleduj´ıc´ı dvˇe podm´ınky:
1. kaˇzd´y bod ´utvaru G m´a danou vlastnost V
2. kaˇzd´y bod, kter´y m´a danou vlastnost V, je bodem ´utvaru G
- 10 -
Z´aklady geometrie 3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti
Pˇrehled nejuˇz´ıvanˇejˇs´ıch mnoˇzin vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti v rovinˇe
M1
• mnoˇzina vˇsech bod˚u, kter´e maj´ı od dan´eho bodu S danou vzd´alenost r, je kruˇznice
k(S,r)
S
r
k
• tato kruˇznice je tak´e mnoˇzinou vˇsech stˇred˚u kruˇznic, jeˇz maj´ı dan´y polomˇer r a proch´a-
zej´ı dan´ym bodem S
S
r
k
M2
• mnoˇzina vˇsech bod˚u, kter´e maj´ı stejnou vzd´alenost od dvou dan´ych navz´ajem r˚uzn´ych
bod˚u A,B, je osa ´useˇcky AB, kter´a je kolm´a k ´useˇcce AB a proch´az´ı jej´ım stˇredem S
A
B
S
o
- 11 -
3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti Z´aklady geometrie
• tato osa ´useˇcky je tak´e mnoˇzinou vˇsech stˇred˚u kruˇznic, jeˇz proch´azej´ı dan´ymi body A,B
A
B
S
o
M3
• mnoˇzina vˇsech bod˚u, kter´e maj´ı stejnou vzd´alenost od dvou dan´ych navz´ajem r˚uzn´ych
rovnobˇeˇzek p,q (p negationslash= q,p bardbl q), je osa p´asu jimi omezen´eho
bardbl
bardbl
p
q
obardbl
• tato osa p´asu je tak´e mnoˇzinou vˇsech stˇred˚u kruˇznic, jeˇz se dot´ykaj´ı dan´ych rovnobˇeˇzek
p,q
bardbl
bardbl
p
q
obardbl
M4
• mnoˇzina vˇsech bod˚u, kter´e maj´ı stejnou vzd´alenost od dvou dan´ych r˚uznobˇeˇzek p,q,
jsou navz´ajem kolm´e osy o1,o2 (o1 ⊥ o2) ´uhl˚u sevˇren´ych pˇr´ımkami p,q
p
q
V o
1
o2
- 12 -
Z´aklady geometrie 3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti
• tyto osy ´uhl˚u jsou tak´e vyjma jejich pr˚useˇc´ıku V=o1∩o2 mnoˇzinou vˇsech stˇred˚u kruˇznic,
jeˇz se dot´ykaj´ı dan´ych r˚uznobˇeˇzek p,q
p
q
V o
1
o2
M5
• mnoˇzina vˇsech bod˚u, z nichˇz je danou ´useˇcku AB vidˇet pod prav´ym ´uhlem, je kruˇznice
sestrojen´a nad pr˚umˇerem AB (tzv. Thaletova kruˇznice nad dan´ym pr˚umˇerem) vyjma
bod˚u A,B
• tato Thaletova kruˇznice je jinak tak´e mnoˇzinou vˇsech vrchol˚u prav´ych ´uhl˚u, jejichˇz
ramena proch´azej´ı dan´ymi dvˇema r˚uzn´ymi body A,B
A
B
S
k
M6
• mnoˇzina vˇsech stˇred˚u kruˇznic, kter´e se dot´ykaj´ı dan´e pˇr´ımky p v jej´ım dan´em bodˇe T,
je pˇr´ımka n jdouc´ı dan´ym bodem T kolmo k dan´e pˇr´ımce p (norm´ala pˇr´ımky p v bodˇe
T; T ∈ n,n ⊥ p) vyjma bodu T
T
p
n
T
p
n
- 13 -
3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti Z´aklady geometrie
M7
• mnoˇzina vˇsech stˇred˚u kruˇznic, kter´e se dot´ykaj´ı dan´e kruˇznice k(S,r=|ST|) v jej´ım
dan´em bodˇe T, je pˇr´ımka n=ST (norm´ala kruˇznice k v bodˇe T) vyjma bod˚u S,T
T
k n
S
T
k n
S
M8
• mnoˇzina vˇsech stˇred˚u kruˇznic, kter´e se dot´ykaj´ı dan´e kruˇznice k(S,r) a maj´ı dan´y
polomˇer rprime, jsou soustˇredn´e kruˇznice k1(S,r +rprime) (pro vnˇejˇs´ı dotyk s k) a k2(S,|r−rprime|)
(pro vnitˇrn´ı dotyk s k)
r+r′
|r−r′|
k
S
k1
k2
pro r > r′
k
S
k1
k2
pro r > r′
- 14 -
Z´aklady geometrie 3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti
r+r′
|r−r′|
k
S
k1
k2
pro r < r′
k
S
k1
k2
pro r < r′
3.2. Apolloniova ´uloha BBB
ˇReˇsen´e ´ulohy
Pˇr´ıklad: Sestrojte kruˇznici, kter´a proch´az´ı tˇremi dan´ymi navz´ajem r˚uzn´ymi body A,B,C.
Rozbor ´ulohy:
• pˇredpokl´adejme, ˇze ´uloha je vyˇreˇsena: naˇcrtnˇeme kruˇznici k o stˇredu S a libovoln´em
polomˇeru r, zvolme na n´ı tˇri navz´ajem r˚uzn´e body A,B,C a nyn´ı zkoumejme vztahy,
kter´e zde plat´ı...
A
B
C
S
k
- 15 -
3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti Z´aklady geometrie
• zˇrejmˇe pro body A,B,C,S plat´ı |AS|=|BS|=|CS|=r (viz mnoˇzinu M1 na stranˇe 11
v pˇrehledu nejuˇz´ıvanˇejˇs´ıch mnoˇzin vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti)
A
B
C
S
k
r
r
r
• stˇred S kruˇznice k m´a stejnou vzd´alenost r od bodu A i od bodu B, a mus´ı tedy leˇzet
na ose ´useˇcky AB (viz mnoˇzinu M2 na stranˇe 11 v pˇrehledu nejuˇz´ıvanˇejˇs´ıch mnoˇzin
vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti); ze stejn´eho d˚uvodu leˇz´ı tak´e na ose ´useˇcky AC a souˇcasnˇe
na ose ´useˇcky BC; staˇc´ı tedy sestrojit dvˇe z tˇechto tˇr´ı os, naj´ıt jejich pr˚useˇc´ık S, kter´y
je nutnˇe stˇredem hledan´e kruˇznice k (viz n´asleduj´ıc´ı konstrukce)
A
B
C
S
k
r
r
r
a50
Konstrukce:
- 16 -
Z´aklady geometrie 3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti
• zad´an´ı ´ulohy: jsou d´any tˇri navz´ajem r˚uzn´e body A,B,C
A
B
C
• podle z´avˇeru rozboru sestrojme napˇr. osy oa a oc ´useˇcek BC a AB: oa ⊥ BC,Sa ∈ oa,
kde Sa je stˇredem ´useˇcky BC, podobnˇe oc ⊥ AB,Sc ∈ oc, kde Sc je stˇredem ´useˇcky AB
A
B
C
Sc
oc
Sa
oa
• bod S=oa ∩oc je pak stˇredem hledan´e kruˇznice k(S,r=|SA|=|SB|=|SC|), kter´a je tzv.
kruˇznic´ı opsanou troj´uheln´ıku ABC
A
B
C
Sc
oc
Sa
oa
S
k
a50
- 17 -
3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti Z´aklady geometrie
Diskuze:
´Uloha m´a vˇzdy pr´avˇe jedno ˇreˇsen´ı vyjma pˇr´ıpadu, kdy dan´e navz´ajem r˚uzn´e body A,B,C
leˇz´ı v jedn´e pˇr´ımce (jsou tzv. koline´arn´ı), v tomto pˇr´ıpadˇe ˇreˇsen´ı neexistuje (osy ´useˇcek
AB,BC,AC jsou rovnobˇeˇzn´e a nelze tedy sestrojit jejich pr˚useˇc´ık).
3.3. Apolloniova ´uloha ppp
ˇReˇsen´e ´ulohy
Pˇr´ıklad: Sestrojte kruˇznici, kter´a se dot´yk´a tˇr´ı dan´ych navz´ajem r˚uzn´ych pˇr´ımek a,b,c.
Rozbor ´ulohy:
• pˇredpokl´adejme, ˇze ´uloha je vyˇreˇsena: naˇcrtnˇeme kruˇznici k o stˇredu S a libovoln´em
polomˇeru r, zvolme tˇri jej´ı navz´ajem r˚uzn´e teˇcny a,b,c a nyn´ı zkoumejme vztahy, kter´e
zde plat´ı...
S
k
a
b
c
- 18 -
Z´aklady geometrie 3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti
• zˇrejmˇe pro pˇr´ımky a,b,c a bod S plat´ı |aS|=|bS|=|cS|=r, tj. stˇred S kruˇznice k m´a
stejnou vzd´alenost r od pˇr´ımek a,b,c
S
k
a
b
c r
r
r
Ta
Tb
Tc
• podle vlastnost´ı mnoˇziny M4 (viz strana 12) z pˇrehledu nejuˇz´ıvanˇejˇs´ıch mnoˇzin vˇsech
bod˚u dan´e vlastnosti mus´ı tedy bod S leˇzet na jedn´e z os ´uhl˚u pˇr´ımkami a,b sevˇren´ych;
ze stejn´eho d˚uvodu leˇz´ı tak´e na jedn´e z os ´uhl˚u sevˇren´ych pˇr´ımkami a,c a souˇcasnˇe
na jedn´e z os ´uhl˚u sevˇren´ych pˇr´ımkami b,c; t´ım je nalezen vztah mezi dan´ymi (pˇr´ımky
a,b,c) a hledan´ymi (kruˇznice k, pˇredevˇs´ım jej´ı stˇred S) prvky a je moˇzno pˇristoupit
k n´asleduj´ıc´ı konstrukci
S
k
a
b
c r
r
r
Ta
Tb
Tc
a50
- 19 -
3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti Z´aklady geometrie
Konstrukce (dosti n´aroˇcn´a na pˇresnost r´ysov´an´ı):
• zad´an´ı ´ulohy: jsou d´any tˇri navz´ajem r˚uzn´e pˇr´ımky a,b,c
a
b
c
- 20 -
Z´aklady geometrie 3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti
• podle z´avˇeru rozboru sestrojme nejprve pr˚useˇc´ık C=a ∩ b dan´ych pˇr´ımek a,b a j´ım
ved’me obˇe osy o14 a o23 (o14 ⊥ o23) ´uhl˚u pˇr´ımkami a,b sevˇren´ych
a
b
c
C
o14
o23
- 21 -
3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti Z´aklady geometrie
• tot´eˇz proved’me analogicky v bodˇe B=a∩c: zde z´ısk´ame osy o13 a o24 (o13 ⊥ o24) ´uhl˚u
sevˇren´ych pˇr´ımkami a,c; a jeˇstˇe naposled rozdˇelme osami o12 a o34 (o12 ⊥ o34) ´uhly
sevˇren´e pˇr´ımkami b,c (ty se prot´ınaj´ı v bodˇe A=b∩c)
a
b
c
C
o14
o23
A
B
o12
o13
o34
o24
- 22 -
Z´aklady geometrie 3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti
• pˇri pˇresn´em r´ysov´an´ı mus´ı vyj´ıt, ˇze