Základy geometrie

ı bodP = pprime∩AB, kter´y je hledan´ym potenˇcn´ım
stˇredem
A
B
kS
o
k′
S′
P
p′
• bodem P ved’me teˇcny t1,t2 ke kruˇznici k a doplˇnme pˇr´ısluˇsn´e body T1,T2 dotyku (viz
´uloha Teˇcny z bodu ke kruˇznici na stranˇe 28)
A
B
kS
o
k′
S′
P
p′
t1
t2
T1
T2
- 55 -
4. Mocnost bodu ke kruˇznici Z´aklady geometrie
• stˇred S1 hledan´e kruˇznice k1(S1,r1) pak leˇz´ı na ose o a na pˇr´ımce ST1 (kruˇznice k a k1
maj´ı vnˇejˇs´ı dotyk)
A
B
kS
o
k′
S′
P
p′
t1
t2
T1
T2
k1
S1
• podobnˇe prot´ın´a pˇr´ımka ST2 osu o v bodˇe S2, kter´y je stˇredem druh´e hledan´e kruˇznice
k2(S2,r2), jeˇz tak´e proch´az´ı dan´ymi body A,B a dot´yk´a se dan´e kruˇznice k (kruˇznice k
a k2 maj´ı vnitˇrn´ı dotyk)
A
B
kS
o
k′
S′
P
p′
t1
t2
T1
T2
k1
S1
k2
S2
a50
- 56 -
Z´aklady geometrie 5. Geometrick´a zobrazen´ı v rovinˇe
Diskuze:
´Uloha nem´a ˇz´adn´e ˇreˇsen´ı, jestliˇze jeden z bod˚u A,B leˇz´ı ve vnitˇrn´ı a druh´y ve vnˇejˇs´ı oblasti
kruˇznice k nebo jestliˇze oba body A,B leˇz´ı na kruˇznici k; leˇz´ı-li oba body A,B ve vnitˇrn´ı
nebo ve vnˇejˇs´ı oblasti kruˇznice k, pak m´a ´uloha pr´avˇe dvˇe ˇreˇsen´ı; jestliˇze pr´avˇe jeden z bod˚u
A,B leˇz´ı na kruˇznici k, jedn´a se o Pappovu ´ulohu BBk, kter´a se ˇreˇs´ı pomoc´ı mnoˇzin vˇsech
bod˚u dan´e vlastnosti a m´a pr´avˇe jedno ˇreˇsen´ı.
5. Geometrick´a zobrazen´ı v rovinˇe
V´yklad
• geometrick´ym zobrazen´ım v rovinˇe se rozum´ı pˇredpis, kter´y libovoln´emu bodu X
roviny pˇriˇrazuje jako jeho obraz pr´avˇe jeden bod Xprime t´eˇze roviny
• jestliˇze v dan´em zobrazen´ı spl´yv´a bod X se sv´ym obrazem Xprime, pak se bod X = Xprime
naz´yv´a samodruˇzn´ym bodem dan´eho zobrazen´ı
• necht’ U je geometrick´y ´utvar a Uprime jeho obraz v dan´em zobrazen´ı; jestliˇze obraz kaˇzd´eho
bodu ´utvaru U je opˇet bodem tohoto ´utvaru, pak obraz Uprime spl´yv´a s ´utvarem U a takov´y
´utvar U = Uprime se naz´yv´a samodruˇzn´ym ´utvarem dan´eho zobrazen´ı; je-li kaˇzd´y bod
samodruˇzn´eho ´utvaru U samodruˇzn´y, pak je ´utvar U tzv. silnˇe samodruˇzn´y v dan´em
zobrazen´ı, jinak je slabˇe samodruˇzn´y
5.1. Shodn´a zobrazen´ı (shodnosti) v rovinˇe
V´yklad
• prost´e zobrazen´ı v rovinˇe se naz´yv´a shodn´ym zobrazen´ım nebo kr´atce shodnost´ı,
pr´avˇe kdyˇz pro kaˇzd´e dva body X,Y roviny a jejich obrazy Xprime,Y prime v tomto zobrazen´ı
plat´ı |XprimeY prime| = |XY|, tj. shodnost zachov´av´a d´elku ´useˇcky
• zvl´aˇstn´ım pˇr´ıpadem shodnosti je tzv. identita, v n´ıˇz je kaˇzd´emu bodu X roviny pˇriˇrazen
tent´yˇz bod Xprime = X
- 57 -
5. Geometrick´a zobrazen´ı v rovinˇe Z´aklady geometrie
Z´akladn´ı vlastnosti shodnost´ı
• obrazem kaˇzd´e ´useˇcky AB je ´useˇcka AprimeBprime s n´ı shodn´a (|AprimeBprime| = |AB|)
• obrazy rovnobˇeˇzn´ych pˇr´ımek jsou rovnobˇeˇzn´e pˇr´ımky, tj. shodnost zachov´av´a rovnobˇeˇz-
nost
• obrazem kaˇzd´eho troj´uheln´ıka ABC je troj´uheln´ık AprimeBprimeCprime s n´ım shodn´y
Rozdˇelen´ı shodnost´ı
• pˇr´ım´e – libovoln´y troj´uheln´ık a jeho obraz jsou pˇr´ımo shodn´e, tj. maj´ı souhlasnou
orientaci vrchol˚u
◦ identita, posunut´ı (translace), otoˇcen´ı (rotace), stˇredov´a soumˇernost
• nepˇr´ım´e – libovoln´y troj´uheln´ık a jeho obraz jsou nepˇr´ımo shodn´e, tj. maj´ı nesou-
hlasnou orientaci vrchol˚u
◦ osov´a soumˇernost, posunut´a soumˇernost
A B
C
A′
B′
C′
A′′
B′′
C′′
přímo
shodné
nepřímo
shodné
Skl´ad´an´ı shodnost´ı
• sloˇzen´ım dvou pˇr´ım´ych nebo dvou nepˇr´ım´ych shodnost´ı vznikne pˇr´ım´a shodnost
• sloˇzen´ım pˇr´ım´e a nepˇr´ım´e shodnosti vznikne nepˇr´ım´a shodnost
• kaˇzdou pˇr´ımou shodnost lze sloˇzit ze dvou osov´ych soumˇernost´ı
• kaˇzdou nepˇr´ımou shodnost lze sloˇzit ze stˇredov´e soumˇernosti a osov´e soumˇernosti
- 58 -
Z´aklady geometrie 5. Geometrick´a zobrazen´ı v rovinˇe
5.1.1. Posunut´ı (translace)
V´yklad
• posunut´ı (translace) v rovinˇe je pˇr´ım´a shodnost, kter´a kaˇzd´emu bodu X roviny
pˇriˇrazuje obraz Xprime tak, ˇze plat´ı −−→XXprime = vectors, kde vectors je dan´y vektor
• vektoru vectors se ˇr´ık´a vektor posunut´ı, jeho d´elka ud´av´a d´elku posunut´ı a jeho smˇer
urˇcuje smˇer posunut´ı
• posunut´ı je jednoznaˇcnˇe urˇceno vektorem posunut´ı
• posunut´ı nem´a samodruˇzn´e body; (slabˇe) samodruˇzn´e jsou vˇsechny pˇr´ımky rovnobˇeˇzn´e
se smˇerem posunut´ı
• je-li pˇr´ımka pprime obrazem dan´e pˇr´ımky p v posunut´ı, pak plat´ı p bardbl pprime
vectors
X
X′
A
B
C
A′ B′
C′
Varianta Apolloniovy ´ulohy Bpp
ˇReˇsen´e ´ulohy
Pˇr´ıklad: Sestrojte kruˇznici, kter´a proch´az´ı dan´ym bodem A a dot´yk´a se dan´ych r˚uzn´ych
rovnobˇeˇzn´ych pˇr´ımek p,q (p bardbl q,p negationslash= q).
Rozbor ´ulohy:
- 59 -
5. Geometrick´a zobrazen´ı v rovinˇe Z´aklady geometrie
• pˇredpokl´adejme, ˇze ´uloha je vyˇreˇsena: naˇcrtnˇeme kruˇznici k o stˇredu S a libovoln´em
polomˇeru r, zvolme na n´ı bod A, pˇridejme rovnobˇeˇzn´e teˇcny p,q a nyn´ı zkoumejme
vztahy, kter´e je zde moˇzno vyuˇz´ıt...
S
k
p
q
A
• stˇred S kruˇznice k zˇrejmˇe mus´ı leˇzet na ose o p´asu omezen´eho rovnobˇeˇzkami p,q (viz
mnoˇzinuM3 na stranˇe 12 v pˇrehledu nejuˇz´ıvanˇejˇs´ıch mnoˇzin vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti)
S
k
p
q
A
o
• na pˇr´ımce o zvolme bod Sprime tak, aby kruˇznice kprime(Sprime,r=|SA|) kolem nˇej opsan´a ne-
proch´azela bodem A; kruˇznice kprime se tak´e dot´yk´a rovnobˇeˇzek p,q a odpov´ıd´a kruˇznici k
v posunut´ı urˇcen´em smˇerov´ym vektorem vectors = Sprime −S; v tomto posunut´ı je obrazem bodu
A ∈ k bod Aprime ∈ kprime; v n´asleduj´ıc´ı konstrukci zkusme tedy nejprve zvolit kruˇznici kprime a
jej´ım posunut´ım v opaˇcn´em smˇeru vyˇreˇs´ıme danou ´ulohu
S
k
p
q
A
o
S′ k′
A′
vectors
a50
- 60 -
Z´aklady geometrie 5. Geometrick´a zobrazen´ı v rovinˇe
Konstrukce:
• zad´an´ı ´ulohy: je d´an bod A a dvˇe r˚uzn´e rovnobˇeˇzn´e pˇr´ımky p,q (p bardbl q,p negationslash= q)
p
q
A
• nejprve sestrojme osu o (o bardbl p bardbl q) rovinn´eho p´asu omezen´eho rovnobˇeˇzkami p,q
p
q
A
o
• d´ale zvolme na pˇr´ımce o bod Sprime a doplˇnme kruˇznici kprime(Sprime,r=|op|=|oq|), kter´a se dot´yk´a
pˇr´ımek p,q
p
q
A
o
S′ k′
- 61 -
5. Geometrick´a zobrazen´ı v rovinˇe Z´aklady geometrie
• ved’me pˇr´ımku a tak, ˇze a bardbl o,A ∈ a, a najdˇeme jeden jej´ı pr˚useˇc´ık Aprime1 s kruˇznic´ı kprime;
body A,Aprime1 pak urˇcuj´ı vektor vectors1 = A − Aprime1 zpˇetn´eho posunut´ı T1, o nˇemˇz byla zm´ınka
v rozboru ´ulohy
p
q
A
o
S′ k′
aA
′1
vectors1
• v posunut´ı T1 sestrojme obraz S1 stˇredu Sprime (plat´ı S1A bardbl SprimeAprime1) a t´ım z´ısk´ame stˇred
hledan´e kruˇznice k1(S1,r), kter´a proch´az´ı dan´ym bodem A a dot´yk´a se dan´ych r˚uzn´ych
rovnobˇeˇzek p,q
p
q
A
o
S′ k′
aA
′1
vectors1
S1
k1
• pˇr´ımka a prot´ın´a kruˇznici kprime jeˇstˇe v bodˇe Aprime2, kter´y spolu s bodem A urˇcuje vektor
vectors2 = A−Aprime2 zpˇetn´eho posunut´ı T2
p
q
A
o
S′ k′
aA
′1
vectors1
S1
k1
A′2vectors
2
- 62 -
Z´aklady geometrie 5. Geometrick´a zobrazen´ı v rovinˇe
• opˇet najdˇeme obraz S2 stˇredu Sprime v posunut´ı T2 (podobnˇe plat´ı S2A bardbl SprimeAprime2) a obdrˇz´ıme
stˇred kruˇznice k2(S2,r), kter´a je druh´ym ˇreˇsen´ım dan´e ´ulohy
p
q
A
o
S′ k′
aA
′1
vectors1
S1
k1
A′2vectors
2
S2 k
2
a50
Diskuze:
´Uloha m´a pr´avˇe dvˇe ˇreˇsen´ı, leˇz´ı-li dan´y bod A uvnitˇr p´asu urˇcen´eho dan´ymi r˚uzn´ymi rov-
nobˇeˇzkami p,q; jestliˇze bod A leˇz´ı na nˇekter´e z pˇr´ımek p nebo q (A ∈ p nebo A ∈ q), pak
m´a ´uloha jedin´e ˇreˇsen´ı (varianta Pappovy ´ulohy Bpp); leˇz´ı-li bod A vnˇe p´asu urˇcen´eho rov-
nobˇeˇzkami p,q, pak ´uloha nem´a ˇz´adn´e ˇreˇsen´ı.
Pozn´amka:
Na z´avˇer poznamenejme, ˇze ´ulohu je moˇzno ˇreˇsit snadno tak´e jen s pouˇzit´ım mnoˇzin vˇsech
bod˚u dan´e vlastnosti (viz mnoˇziny M1 na stranˇe 11 a M3 na stranˇe 12).
5.1.2. Otoˇcen´ı (rotace)
V´yklad
• otoˇcen´ı (rotace) kolem stˇredu S o ´uhel velikosti ϕ (0◦ < ϕ ≤ 360◦) v dan´em kladn´em
nebo z´aporn´em smyslu je pˇr´ım´a shodnost, kter´a pˇriˇrazuje bodu S t´yˇz bod Sprime = S a
kaˇzd´emu jin´emu bodu X negationslash= S roviny pˇriˇrazuje obraz Xprime tak, ˇze plat´ı:
1. bod Xprime leˇz´ı na kruˇznici o stˇredu S a polomˇeru |SX|
2. polopˇr´ımka SXprime se z´ısk´a otoˇcen´ım polopˇr´ımky SX o dan´y ´uhel otoˇcen´ı velikosti
ϕ v dan´em smyslu (kladn´em, tj. proti smˇeru pohybu hodinov´ych ruˇciˇcek; nebo
z´aporn´em, tj. po smˇeru pohybu hodinov´ych ruˇciˇcek)
- 63 -
5. Geometrick´a zobrazen´ı v rovinˇe Z´aklady geometrie
• otoˇcen´ı je jednoznaˇcnˇe urˇceno stˇredem otoˇcen´ı S, velikost´ı ´uhlu otoˇcen´ı ϕ a dan´ym
smyslem otoˇcen´ı
• pro velikost ϕ = 360◦ ´uhlu otoˇcen´ı jsou vˇsechny body roviny samodruˇzn´e, pro ϕ negationslash= 360◦
je samodruˇzn´y pouze stˇred S; pro velikost ϕ = 360◦ ´uhlu otoˇcen´ı jsou vˇsechny pˇr´ımky ro-
viny (silnˇe) samodruˇzn´e, pro velikost ϕ = 180◦ jsou (slabˇe) samodruˇzn´e vˇsechny pˇr´ımky
jdouc´ı bodem S, v ostatn´ıch pˇr´ıpadech (ϕ negationslash= 360◦,ϕ negationslash= 180◦) otoˇcen´ı samodruˇzn´e pˇr´ımky
nem´a
S
X
X′
ϕ
A B
C
A′
B′
C′
Konstrukce rovnostrann´eho troj´uheln´ıka z dan´ych prvk˚u
ˇReˇsen´e ´ulohy
Pˇr´ıklad: Jsou d´any tˇri navz´ajem r˚uzn´e rovnobˇeˇzn´e pˇr´ımky a,b,c (a bardbl b bardbl c) a bod A ∈ a;
sestrojte rovnostrann´y troj´uheln´ık ABC tak, aby byl B ∈ b a C ∈ c.
Rozbor ´ulohy:
- 64 -
Z´aklady geometrie 5. Geometrick´a zobrazen´ı v rovinˇe
• pˇredpokl´adejme, ˇze ´uloha je vyˇreˇsena: naˇcrtnˇeme rovnostrann´y troj´uheln´ık ABC, jeho
vrcholy A,B,C ved’me po ˇradˇe tˇri r˚uzn´e rovnobˇeˇzn´e pˇr´ımky a,b,c a nyn´ı zkoumejme
vztahy, kter´e je zde moˇzno vyuˇz´ıt...
A
B
C
a
b
c
• z vlastnost´ı rovnostrann´eho troj´uheln´ıka plyne,ˇze otoˇcen´ı kolem stˇreduAo ´uhel velikosti
60◦ v kladn´em smyslu pˇriˇrazuje vrcholu B obraz Bprime = C
A
B
C
a
b
c =B′
60◦
- 65 -
5. Geometrick´a zobrazen´ı v rovinˇe Z´aklady geometrie
• pro ˇreˇsen´ı ´ulohy bude tedy staˇcit v tomto otoˇcen´ı sestrojit obraz bprime pˇr´ımky b a naj´ıt
pr˚useˇc´ık pˇr´ımek bprime,c (d´a se uk´azat, ˇze jeden z ´uhl˚u, kter´e sv´ıraj´ı pˇr´ımka b a jej´ı obraz bprime
m´a velikost rovnu velikosti ´uhlu pouˇzit´eho otoˇcen´ı)
A
B
C
a
b
c =B′
60◦
b′
60◦
a50
Konstrukce:
• zad´an´ı ´ulohy: jsou d´any tˇri navz´ajem r˚uzn´e rovnobˇeˇzn´e pˇr´ımky a,b,c (a bardbl b bardbl c) a bod
A ∈ a
A
a
b
c
- 66 -
Z´aklady geometrie 5. Geometrick´a zobrazen´ı v rovinˇe
• sestrojme obraz b1 pˇr´ımky b v otoˇcen´ı R1 kolem stˇredu A o ´uhel velikosti 60◦ v kladn´em
smˇeru a to napˇr´ıklad takto: na pˇr´ımce b sestrojme bod B∗ tak, ˇze AB∗ ⊥ b, urˇceme jeho
obraz B∗1 v otoˇcen´ı R1 a t´ımto ved’me pˇr´ımku b1 ⊥ AB∗1,B∗1 ∈ b1
A
a
b
c
b1
B∗
B∗1
• pr˚useˇc´ık C1 = b1 ∩ c je pak vrcholem hledan´eho rovnostrann´eho troj´uheln´ıka AB1C1,
jehoˇz tˇret´ı vrchol B1 najdeme na pˇr´ımce b
A
a
b
c
b1
B∗
B∗1
B1
C1
- 67 -
5. Geometrick´a zobrazen´ı v rovinˇe Z´aklady geometrie
• tyt´eˇz konstrukce proved’me tak´e v otoˇcen´ı R2, kter´e se od R1 liˇs´ı pouze z´aporn´ym
smyslem otoˇcen´ı: obrazem B∗2 bodu B∗ v otoˇcen´ı R2 sestrojme pˇr´ımku b2 ⊥ AB∗2,B∗2 ∈ b2
jako obraz pˇr´ımky b v tomto otoˇcen´ı R2
A
a
b
c
b1
B∗
B∗1
B1
C1
b2
B∗2
• pr˚useˇc´ık C2 = b2 ∩ c je pak rovnˇeˇz vrcholem hledan´eho rovnostrann´eho troj´uheln´ıka
AB2C2, kter´y je druh´ym ˇreˇsen´ım dan´e ´ulohy; troj´uheln´ıky AB1C1 a AB2C2 jsou zˇrejmˇe
osovˇe soumˇern´e podle pˇr´ımky AB∗
A
a
b
c
b1
B∗
B∗1
B1
C1
b2
B∗2
B2
C2
a50
Diskuze:
´Uloha m´a vˇzdy pr´avˇe dvˇeˇreˇsen´ı osovˇe soumˇern´a podle pˇr´ımky jdouc´ı bodem A kolmo k pˇr´ımce
a.
- 68 -
Z´aklady geometrie 5. Geometrick´a zobrazen´ı v rovinˇe
5.1.3. Stˇredov´a soumˇernost
V´yklad
• stˇredov´a soumˇernost se stˇredem S je pˇr´ım´a shodnost, kter´a pˇriˇrazuje bodu S t´yˇz
bod Sprime = S a kaˇzd´emu jin´emu bodu X negationslash= S roviny pˇriˇrazuje obraz Xprime tak, ˇze plat´ı:
1. bod Xprime leˇz´ı na polopˇr´ımce opaˇcn´e k polopˇr´ımce SX
2. |SXprime| = |SX|
• stˇredov´a soumˇernost je jednoznaˇcnˇe urˇcena stˇredem S soumˇernosti
• samodruˇzn´y je pr´avˇe jen stˇred S soumˇernosti; (slabˇe) samodruˇzn´e jsou vˇsechny pˇr´ımky
jdouc´ı bodem S
• stˇredov´a soumˇernost je speci´aln´ım pˇr´ıpadem otoˇcen´ı o ´uhel velikosti 180◦
• je-li pˇr´ımka pprime obrazem pˇr´ımky p v dan´e stˇredov´e soumˇernosti, pak plat´ı pprime bardbl p
S
X
X′
A B
CA′B′
C′
Konstrukce ´useˇcky z dan´ych prvk˚u
ˇReˇsen´e ´ulohy
Pˇr´ıklad: Jsou d´any dvˇe r˚uznobˇeˇzn´e pˇr´ımky a,b a bod S, kde S negationslash∈ a,S negationslash∈ b; sestrojte ´useˇcku
AB tak, aby mˇela stˇred v bodˇe S a aby platilo A ∈ a,B ∈ b.
- 69 -
5. Geometrick´a zobrazen´ı v rovinˇe Z´aklady geometrie
Rozbor ´ulohy:
• pˇredpokl´adejme, ˇze ´uloha je vyˇreˇsena: r˚uznobˇeˇzky a,b proch´azej´ı po ˇradˇe krajn´ımi body
A,B ´useˇcky AB, kter´a m´a stˇred v bodˇe S; nyn´ı zkoumejme vztahy, kter´e je zde moˇzno
vyuˇz´ıt...
A
B
S
a
b
• uvaˇzujme pr˚useˇc´ık R = a∩b a jeho obraz Rprime ve stˇredov´e soumˇernosti o stˇredu S
A
B
S
a
b
R
R′
• v t´eto stˇredov´e soumˇernosti je obrazem bodu A bod Aprime = B a obrazem pˇr´ımky a = AR
je pˇr´ımka aprime = BRprime, kde aprime bardbl a; podobnˇe je obrazem bodu B bod Bprime = A a obrazem
pˇr´ımky b je pˇr´ımka bprime = ARprime,bprime bardbl b
A
B
S
a
b
R
R′
b′
a′
B′=
=A′
a50
- 70 -
Z´aklady geometrie 5. Geometrick´a zobrazen´ı v rovinˇe
Konstrukce:
• zad´an´ı ´ulohy: jsou d´any dvˇe r˚uznobˇeˇzn´e pˇr´ımky a,b a bod S, pro kter´y plat´ı S negationslash∈ a,S negationslash∈ b
S
a
b
• sestrojme bod Rprime soumˇern´y podle stˇredu S s pr˚useˇc´ıkem R = a∩b
S
a
b
R
R′
- 71 -
5. Geometrick´a zobrazen´ı v rovinˇe Z´aklady geometrie
• bodem Rprime ved’me pˇr´ımku aprime bardbl a,Rprime ∈ aprime a pˇr´ımku bprime bardbl b,Rprime ∈ bprime
S
a
b
R
R′
b′
a′
• pr˚useˇc´ık A = a∩bprime a pr˚useˇc´ık B = b∩aprime jsou pak krajn´ımi body hledan´e ´useˇcky AB,
kter´a m´a stˇred v dan´em bodˇe S
S
a
b
R
R′
b′
a′
A
B
a50
Diskuze:
´Uloha m´a vˇzdy pr´avˇe jedno ˇreˇsen´ı.
- 72 -
Z´aklady geometrie 5. Geometrick´a zobrazen´ı v rovinˇe
5.1.4. Osov´a soumˇernost
V´yklad
• osov´a soumˇernost s osou o je nepˇr´ım´a shodnost, kter´a kaˇzd´emu bodu X roviny
pˇriˇrazuje obraz Xprime tak, ˇze plat´ı:
1. bod Xprime = X, pr´avˇe kdyˇz bod X leˇz´ı na ose o soumˇernosti
2. bod Xprime leˇz´ı na kolmici k ose o veden´e bodem X a to v opaˇcn´e polorovinˇe urˇcen´e
osou o neˇz bod X
3. |oXprime| = |oX|
• osov´a soumˇernost je jednoznaˇcnˇe urˇcena osou o soumˇernosti
• samodruˇzn´ymi body jsou pr´avˇe jen vˇsechny body osy o; silnˇe samodruˇzn´a je osa o, slabˇe
samodruˇzn´e jsou vˇsechny pˇr´ımky kolm´e k ose o
• pˇr´ımka p a jej´ı obraz pprime maj´ı stejnou odchylku od osy o soumˇernosti
o
X
X′
A B
C
A′
B′
C′
Konstrukce bodu dan´e vlastnosti
ˇReˇsen´e ´ulohy
Pˇr´ıklad: Je d´ana pˇr´ımka p a dva r˚uzn´e body A,B (A negationslash= B) leˇz´ıc´ı uvnitˇr jedn´e poloroviny
s hraniˇcn´ı pˇr´ımkou p; sestrojte na pˇr´ımce p bod R, v nˇemˇz se odraz´ı paprsek vyslan´y z bodu
A do bodu B.
- 73 -
5. Geometrick´a zobrazen´ı v rovinˇe Z´aklady geometrie
Rozbor ´ulohy:
• pˇredpokl´adejme, ˇze ´uloha je vyˇreˇsena: paprsek, kter´y se odr´aˇz´ı v bodˇe R pˇr´ımky p,
proch´az´ı bodem A i bodem B; nyn´ı zkoumejme vztahy, kter´e je zde moˇzno vyuˇz´ıt...
A
B
R
p
• ´useˇcky AR a BR maj´ı tedy stejnou odchylku ϕ od pˇr´ımky p
A
B
R
p
ϕ
ϕ
• uvaˇzujeme-li obraz Bprime bodu B v osov´e soumˇernosti s osou p, pak ´useˇcka BprimeR m´a od
pˇr´ımky p tut´eˇz odchylku ϕ a body A,R,Bprime tud´ıˇz leˇz´ı v jedn´e pˇr´ımce
A
B
R
p
ϕ
ϕ
B′
ϕ
a50
- 74 -
Z´aklady geometrie 5. Geometrick´a zobrazen´ı v rovinˇe
Konstrukce:
• zad´an´ı ´ulohy: je d´ana pˇr´ımka p a dva r˚uzn´e body A,B, kter´e leˇz´ı uvnitˇr jedn´e poloroviny
urˇcen´e pˇr´ımkou p
A
B
p
• sestrojme obraz Bprime bodu B v osov´e soumˇernosti s osou p
A
B
p
B′
- 75 -
5. Geometrick´a zobrazen´ı v rovinˇe Z´aklady geometrie
• pr˚useˇc´ık R = p∩ABprime je pak hledan´ym bodem odrazu na dan´e pˇr´ımce p
A
B
p
B′
R
• na z´avˇer doplˇnme pr˚ubˇeh paprsku, kter´y vych´az´ı z dan´eho bodu A a v sestrojen´em bodˇe
R se odr´aˇz´ı od dan´e pˇr´ımky p do dan´eho bodu B
A
B
p
B′
R
a50
Diskuze:
´Uloha m´a vˇzdy pr´avˇe jedno ˇreˇsen´ı.
- 76 -
Z´aklady geometrie 5. Geometrick´a zobrazen´ı v rovinˇe
Pozn´amka:
Tato ´uloha m˚uˇze m´ıt i jin´e zad´an´ı: na pˇr´ımce p sestrojte bod R tak, aby d´elka lomen´e ˇc´ary
ARB byla co nejmenˇs´ı.
5.2. Podobn´a zobrazen´ı (podobnosti) v rovinˇe
• prost´e zobrazen´ı v rovinˇe se naz´yv´a podobn´ym zobrazen´ım nebo kr´atce podobnost´ı,
pr´avˇe kdyˇz pro kaˇzd´e dva body X,Y roviny a jejich obrazy Xprime,Y prime v tomto zobrazen´ı
plat´ı |XprimeY prime| = k|XY|, kde k negationslash= 0 je dan´a konstanta zvan´a koeficient podobnosti
• zvl´aˇstn´ım pˇr´ıpadem podobnosti je pro k = 1 shodnost
Z´akladn´ı vlastnosti podobnost´ı
• obrazem kaˇzd´e ´useˇcky AB v podobnosti s koeficientem k je ´useˇcka AprimeBprime d´elky |AprimeBprime| =
= k|AB|
• obrazy rovnobˇeˇzn´ych pˇr´ımek jsou rovnobˇeˇzn´e pˇr´ımky, tj. podobnost zachov´av´a rov-
nobˇeˇznost
• obrazem kaˇzd´eho troj´uheln´ıka ABC je podobn´y troj´uheln´ık AprimeBprimeCprime
V´yznamn´y z´astupce podobn´eho zobrazen´ı
• stejnolehlost
5.2.1. Stejnolehlost
V´yklad
• stejnolehlost se stˇredem S a koeficientem k je pˇr´ım´a podobnost, kter´a:
1. bodu S pˇriˇrazuje obraz Sprime = S
2. bodu X negationslash= S pˇriˇrazuje obraz Xprime tak, ˇze plat´ı |SXprime| = |k|·|SX| a pˇritom bod Xprime
leˇz´ı na polopˇr´ımce SX pro k > 0 (obr. a), resp. bod Xprime leˇz´ı na polopˇr´ımce opaˇcn´e
k polopˇr´ımce SX pro k < 0 (obr. b)
- 77 -
5. Geometrick´a zobrazen´ı v rovinˇe Z´aklady geometrie
a) k > 0 a |k| > 1
S
X
X′
A B
C
A′
B′
C′
b) k < 0 a |k| < 1
S
X
X′
A B
C
A′B′
C′
• stejnolehlost je jednoznaˇcnˇe urˇcena stˇredem S a koeficientem k
• stejnolehlost se stˇredem S a koeficientem k = −1 je stˇredov´a soumˇernost se stˇredem S;
stejnolehlost s koeficientem k = 1 je identita
• pro k negationslash= 1 je samodruˇzn´ym bodem pr´avˇe jen stˇred S, slabˇe samodruˇzn´e jsou vˇsechny
pˇr´ımky proch´azej´ıc´ı bodem S
• je-li pˇr´ımka pprime obrazem pˇr´ımky p v dan´e stejnolehlosti, pak plat´ı pprime bardbl p
• obraz Uprime omezen´eho ´utvaru U je zvˇetˇsen´y pro |k| > 1 (obr. a) a zmenˇsen´y pro |k| < 1
(obr. b)
• kaˇzd´e dvˇe kruˇznice v rovinˇe jsou stejnolehl´e
- 78 -
Z´aklady geometrie 5. Geometrick´a zobrazen´ı v rovinˇe
Spoleˇcn´e teˇcny dvou kruˇznic s r˚uzn´ymi polomˇery
ˇReˇsen´e ´ulohy
Pˇr´ıklad: Sestrojte spoleˇcn´e teˇcny dvou dan´ych kruˇznic k(S,r) a kprime(Sprime,rprime), kde r negationslash= rprime.
Rozbor ´ulohy:
• pˇredpokl´adejme, ˇze ´uloha je vyˇreˇsena: naˇcrtnˇeme dvˇe kruˇznice k(S,r),kprime(Sprime,rprime) o nestej-
n´ych polomˇerech, doplˇnme jejich spoleˇcn´e teˇcny t1,t2, a nyn´ı zkoumejme vztahy, kter´e
je zde moˇzno vyuˇz´ıt...
S
S′
k k′
t1
t2
• z vlastnost´ı stejnolehlosti vypl´yv´a, ˇze pr˚useˇc´ık S1 teˇcen t1,t2 se stˇrednou s = SSprime dan´ych
kruˇznic k,kprime je stˇredem stejnolehlosti, v n´ıˇz si tyto kruˇznice odpov´ıdaj´ı
S
S′
k k′
t1
t2
S1
s
- 79 -
5. Geometrick´a zobrazen´ı v rovinˇe Z´aklady geometrie
• ke konstrukci bodu S1 vyuˇzijeme vhodnˇe zvolen´y bod A ∈ k a jemu odpov´ıdaj´ıc´ı obraz
Aprime ∈ kprime ve zm´ınˇen´e stejnolehlo