Základy geometrie

se vˇzdy tˇri zeˇsesti sestrojen´ych os prot´ınaj´ı v jednom
bodˇe: z´ısk´ame tak celkem ˇctyˇri pr˚useˇc´ıky S1=o12∩o13∩o14, S2=o12∩o23∩o24, S3=o13∩
∩ o23 ∩ o34 a S4=o14 ∩ o24 ∩ o34; podle M4 pro kaˇzd´y takto sestrojen´y bod Si, kde
i=1,2,3,4, plat´ı, ˇze jeho vzd´alenost od dan´ych pˇr´ımek a,b,c je stejn´a, a je to tedy stˇred
hledan´e kruˇznice; pro vˇetˇs´ı pˇrehlednost sestrojme tyto kruˇznice postupnˇe
a
b
c
C
o14
o23
A
B
o12
o13
o34
o24
S1
S2
S3
S4
- 23 -
3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti Z´aklady geometrie
• bodem S1 ved’me kolmice k dan´ym teˇcn´am a,b,c a v pr˚useˇc´ıc´ıch najdeme pˇr´ısluˇsn´e body
dotyku; bodS1 leˇz´ı ve vnitˇrn´ı oblasti troj´uheln´ıkaABC a kruˇznicek1(S1,r1=|aS1|=|bS1|=
=|cS1|) se tud´ıˇz naz´yv´a kruˇznic´ı troj´uheln´ıku ABC vepsanou
a
b
c
C
o14
o23
A
B
o12
o13
o34
o24
S1
S2
S3
S4
k1
- 24 -
Z´aklady geometrie 3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti
• podobnˇe sestrojme kruˇznici k2(S2,r2=|aS2|=|bS2|=|cS2|) tzv. pˇripsanou ke stranˇe a
troj´uheln´ıka ABC
a
b
c
C
o14
o23
A
B
o12
o13
o34
o24
S1
S2
S3
S4
k1
k2
- 25 -
3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti Z´aklady geometrie
• analogicky pro kruˇznici k3(S3,r3=|aS3|=|bS3|=|cS3|) pˇripsanou ke stranˇe b troj´uheln´ıka
ABC
a
b
c
C
o14
o23
A
B
o12
o13
o34
o24
S1
S2
S3
S4
k1
k2
k3
- 26 -
Z´aklady geometrie 3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti
• a koneˇcnˇe je doplnˇena i kruˇznice k4(S4,r4=|aS4|=|bS4|=|cS4|) pˇripsan´a ke stranˇe c
troj´uheln´ıka ABC
a
b
c
C
o14
o23
A
B
o12
o13
o34
o24
S1
S2
S3
S4
k1
k2
k3
k4
a50
Diskuze:
V obecn´em pˇr´ıpadˇe m´a ´uloha pr´avˇe ˇctyˇri ˇreˇsen´ı; jsou-li dvˇe z pˇr´ımek a,b,c rovnobˇeˇzn´e a tˇret´ı
je s nimi r˚uznobˇeˇzn´a, m´a tato ´uloha pr´avˇe dvˇe ˇreˇsen´ı (pro rovnobˇeˇzky se sestroj´ı osa p´asu
jimi urˇcen´eho - viz mnoˇzina M3 na stranˇe 12 v pˇrehledu nejuˇz´ıvanˇejˇs´ıch mnoˇzin vˇsech bod˚u
dan´e vlastnosti); jsou-li vˇsechny tˇri dan´e pˇr´ımky a,b,c rovnobˇeˇzn´e, nem´a ´uloha ˇz´adn´e ˇreˇsen´ı
(osy pˇr´ısluˇsn´ych p´as˚u jsou tak´e rovnobˇeˇzn´e).
- 27 -
3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti Z´aklady geometrie
3.4. Teˇcny z bodu ke kruˇznici
ˇReˇsen´e ´ulohy
Pˇr´ıklad: Dan´ym bodem M ved’te teˇcny k dan´e kruˇznici k(S,r).
Rozbor ´ulohy:
• pˇredpokl´adejme, ˇze ´uloha je vyˇreˇsena: naˇcrtnˇeme kruˇznici k o stˇredu S a libovoln´em
polomˇeru r, zvolme dvˇe jej´ı nerovnobˇeˇzn´e teˇcny t1,t2, kter´e se prot´ınaj´ı v bodˇe M, a
nyn´ı zkoumejme vztahy, kter´e zde plat´ı...
k
S M
T1
t1
T2
t2
• zˇrejmˇe je ST1 ⊥ t1 a ST2 ⊥ t2, kde T1 resp. T2 je bod dotyku teˇcny t1 resp. teˇcny t2 a
kruˇznice k
k
S M
T1
t1
T2
t2
- 28 -
Z´aklady geometrie 3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti
• ´useˇcku SM je tedy z bodu T1 i z bodu T2 vidˇet pod prav´ym ´uhlem a podle vlast-
nost´ı mnoˇziny M5 (viz strana 13) z pˇrehledu nejuˇz´ıvanˇejˇs´ıch mnoˇzin vˇsech bod˚u dan´e
vlastnosti leˇz´ı body T1,T2 na Thaletovˇe kruˇznici l(O, 12|SM|) sestrojen´e nad pr˚umˇerem
SM
k
S M
T1
t1
T2
t2
O
l
a50
Konstrukce:
• zad´an´ı ´ulohy: je d´ana kruˇznice k(S,r) a bod M
k
S
M
- 29 -
3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti Z´aklady geometrie
• podle z´avˇeru rozboru sestrojme Thaletovu kruˇznici l(O, 12|SM|) nad pr˚umˇerem SM,
kde bod O je tedy stˇredem ´useˇcky SM
k
S
MO
l
• nyn´ı staˇc´ı naj´ıt pr˚useˇc´ıky T1,T2 dan´e kruˇznice k a sestrojen´e kruˇznice l a v´est jimi
hledan´e teˇcny t1=MT1,t2=MT2 z bodu M ke kruˇznici k
k
S
MO
l
T1
t1
T2
t2
a50
Diskuze:
´Uloha m´a pr´avˇe dvˇe ˇreˇsen´ı osovˇe soumˇern´a podle pˇr´ımky SM, leˇz´ı-li dan´y bod M ve vnˇejˇs´ı
oblasti dan´e kruˇznice k; jestliˇze je bod M bodem kruˇznice k, pak m´a ´uloha pr´avˇe jedno ˇreˇsen´ı
(bod M je souˇcasnˇe bodem dotyku dan´e kruˇznice k, sestrojen´e Thaletovy kruˇznice l i hledan´e
teˇcny t); v pˇr´ıpadˇe, ˇze bod M leˇz´ı ve vnitˇrn´ı oblasti kruˇznice k, ˇreˇsen´ı neexistuje (Thaletova
kruˇznice l kruˇznici k neprot´ın´a nebo pro S=M kruˇznice l neexistuje).
- 30 -
Z´aklady geometrie 3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti
3.5. Pappova ´uloha BBp
ˇReˇsen´e ´ulohy
Pˇr´ıklad: Sestrojte kruˇznici, kter´a proch´az´ı dan´ym bodem A a dot´yk´a se dan´e pˇr´ımky t
v dan´em bodˇe T.
Rozbor ´ulohy:
• pˇredpokl´adejme, ˇze ´uloha je vyˇreˇsena: naˇcrtnˇeme kruˇznici k o stˇredu S a libovoln´em
polomˇeru r, zvolme na n´ı dva body A,T, v bodˇe T doplˇnme teˇcnu t a nyn´ı zkoumejme
vztahy, kter´e zde plat´ı...
k
S
A
T
t
• stˇred S kruˇznice k mus´ı leˇzet na norm´ale n teˇcny t v bodˇe T (viz mnoˇzinu M6 na
stranˇe 13 v pˇrehledu nejuˇz´ıvanˇejˇs´ıch mnoˇzin vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti)
k
S
A
T
t
n
- 31 -
3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti Z´aklady geometrie
• souˇcasnˇe mus´ı stˇred S kruˇznice k leˇzet tak´e na ose o ´useˇcky AT (viz mnoˇzinu M2 na
stranˇe 11 v pˇrehledu nejuˇz´ıvanˇejˇs´ıch mnoˇzin vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti); proˇreˇsen´ı t´eto
´ulohy se tedy vyuˇzij´ı hned dvˇe r˚uzn´e mnoˇziny bod˚u dan´e vlastnosti
k
S
A
T
t
n
O
o
a50
Konstrukce:
• zad´an´ı ´ulohy: je d´an bod A, pˇr´ımka t a na n´ı bod T (T ∈ t)
A
T
t
- 32 -
Z´aklady geometrie 3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti
• podle rozboru sestrojme nejprve norm´alu n pˇr´ımky t v bodˇe T: T ∈ n a n ⊥ t
A
T
t
n
• d´ale sestrojme osu o ´useˇcky AT: O ∈ o, kde bod O je stˇredem ´useˇcky AT, a o ⊥ AT
A
T
t
n
O
o
• bod S=n∩o je pak stˇredem hledan´e kruˇznice k(S,r=|SA|=|ST|), kter´a proch´az´ı dan´ym
bodem A a dot´yk´a se dan´e pˇr´ımky t v dan´em bodˇe T
A
T
t
n
O
o
k
S
a50
- 33 -
3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti Z´aklady geometrie
Diskuze:
´Uloha m´a pr´avˇe jedno ˇreˇsen´ı, jestliˇze bod A neleˇz´ı na pˇr´ımce t; je-li A ∈ t a Anegationslash=T, pak
´uloha nem´a ˇz´adn´e ˇreˇsen´ı (norm´ala n a osa o ´useˇcky AT jsou rovnobˇeˇzn´e); je-li A=T, m´a
´uloha nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı (vˇsechny kruˇznice, jejichˇz stˇredy leˇz´ı na norm´ale n vyjma
bodu A=T).
3.6. Pappova ´uloha Bkp
ˇReˇsen´e ´ulohy
Pˇr´ıklad: Sestrojte kruˇznici, kter´a se dot´yk´a dan´e kruˇznice k(S,r = |ST|) v dan´em bodˇe T a
dan´e pˇr´ımky p.
Rozbor ´ulohy:
• pˇredpokl´adejme, ˇze ´uloha je vyˇreˇsena: naˇcrtnˇeme kruˇznici kprime o stˇredu Sprime a libovoln´em
polomˇeru rprime, zvolme na n´ı bod T, pˇrikresleme kruˇznici k(S,r), kter´a se dot´yk´a kruˇznice
kprime v bodˇe T, doplˇnme teˇcnu p ke kruˇznici k a nyn´ı zkoumejme vztahy, kter´e zde plat´ı...
k′
S
k
S′
T
p
- 34 -
Z´aklady geometrie 3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti
• stˇred Sprime kruˇznice kprime mus´ı leˇzet na norm´ale n=ST kruˇznice k v bodˇe T (viz mnoˇzinu M7
na stranˇe 14 v pˇrehledu nejuˇz´ıvanˇejˇs´ıch mnoˇzin vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti)
k′
S
k
S′
T
p
n
• souˇcasnˇe mus´ı m´ıt stˇred Sprime kruˇznice kprime stejnou vzd´alenost rprime od pˇr´ımky p i od pˇr´ımky
t, kter´a je spoleˇcnou teˇcnou kruˇznic k a kprime v bodˇe T
k′
S
k
S′
T
p
n
t
T′
- 35 -
3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti Z´aklady geometrie
• podle vlastnost´ı mnoˇziny M4 (viz strana 12) z pˇrehledu nejuˇz´ıvanˇejˇs´ıch mnoˇzin vˇsech
bod˚u dan´e vlastnosti leˇz´ı tedy bod Sprime na jedn´e z os ´uhl˚u sevˇren´ych pˇr´ımkami t a p; pro
ˇreˇsen´ı t´eto ´ulohy se tedy vyuˇzij´ı hned dvˇe r˚uzn´e mnoˇziny bod˚u dan´e vlastnosti
k′
S
k
S′
T
p
n
t
T′
o
R
a50
Konstrukce:
• zad´an´ı ´ulohy: je d´ana kruˇznice k(S,r=|ST|) s bodem T dotyku (T ∈ k) a pˇr´ımka p
Sk
T
p
- 36 -
Z´aklady geometrie 3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti
• podle rozboru sestrojme nejprve norm´alu n=ST kruˇznice k v bodˇe T
Sk
T
p
n
• nyn´ı doplˇnme teˇcnu t ke kruˇznici k v bodˇe T (T ∈ t a t ⊥ n) a najdˇeme pr˚useˇc´ık R=t∩p
Sk
T
p
n
t
R
- 37 -
3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti Z´aklady geometrie
• bodem R sestrojme obˇe osy o1 a o2 (o1 ⊥ o2) ´uhl˚u sevˇren´ych pˇr´ımkami t a p
Sk
T
p
n
t
R
o1
o2
• bod S1=n∩o1 je pak stˇredem hledan´e kruˇznice k1(S1,r1=|S1T|), kter´a se dot´yk´a dan´e
kruˇznice k v dan´em bodˇe T (tzv. vnˇejˇs´ı dotyk) a tak´e se dot´yk´a dan´e pˇr´ımky p
Sk
T
p
n
t
R
o1
o2
T1
k1
S1
- 38 -
Z´aklady geometrie 3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti
• podobnˇe je bod S2=n ∩ o2 tak´e stˇredem hledan´e kruˇznice k2(S2,r2=|S2T|), kter´a se
dot´yk´a dan´e pˇr´ımky p a s danou kruˇznic´ı k m´a v dan´em bodˇe T tzv. vnitˇrn´ı dotyk
Sk
T
p
n
t
R
o1
o2
T1
k1
S1
T2
k2
S2
a50
Diskuze:
Necht’ t je teˇcna kruˇznice k v bodˇe T. ´Uloha m´a pr´avˇe dvˇe ˇreˇsen´ı, jestliˇze pˇr´ımka p je
r˚uznobˇeˇzn´a s teˇcnou t a souˇcasnˇe T negationslash∈ p; je-li T ∈ p a pˇr´ımka p nen´ı teˇcnou kruˇznice k
(tj. p negationslash= t), pak ´uloha nem´a ˇz´adn´e ˇreˇsen´ı; ´uloha m´a pr´avˇe jedno ˇreˇsen´ı, jestliˇze je p bardbl t a
souˇcasnˇe T negationslash∈ p (pˇri ˇreˇsen´ı se m´ısto mnoˇziny M4 vyuˇzije mnoˇzina M3 – viz strana 12); je-li
pˇr´ımka p teˇcnou kruˇznice k v bodˇe T (tj. p = t), pak m´a ´uloha nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı.
3.7. Varianta Apolloniovy ´ulohy ppk
ˇReˇsen´e ´ulohy
Pˇr´ıklad: Sestrojte kruˇznici, kter´a se dot´yk´a dvou dan´ych r˚uzn´ych rovnobˇeˇzn´ych pˇr´ımek p,q
(p bardbl q,p negationslash= q) a dan´e kruˇznice k(S,r).
- 39 -
3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti Z´aklady geometrie
Rozbor ´ulohy:
• pˇredpokl´adejme, ˇze ´uloha je vyˇreˇsena: naˇcrtnˇeme kruˇznici kprime o stˇredu Sprime a libovoln´em
polomˇerurprime, zvolme dvˇe jej´ı navz´ajem r˚uzn´e rovnobˇeˇzn´e teˇcnyp,q (p bardbl q,p negationslash= q), kruˇznici
k(S,r), kter´a se dot´yk´a kruˇznice kprime, a nyn´ı zkoumejme vztahy, kter´e zde plat´ı...
S′
k′
p
q
k
S
• stˇred Sprime kruˇznice kprime mus´ı leˇzet na ose o p´asu omezen´eho rovnobˇeˇzkami p,q (viz mnoˇzinu
M3 na stranˇe 12 v pˇrehledu nejuˇz´ıvanˇejˇs´ıch mnoˇzin vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti) a pro
polomˇer rprime kruˇznice kprime plat´ı rprime=12|pq|
S′
k′
p
q
k
S
o
r′
- 40 -
Z´aklady geometrie 3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti
• podle vlastnost´ı mnoˇziny M8 (viz strana 14) z pˇrehledu nejuˇz´ıvanˇejˇs´ıch mnoˇzin vˇsech
bod˚u dan´e vlastnosti mus´ı tedy bod Sprime leˇzet tak´e na jedn´e ze soustˇredn´ych kruˇznic
l1(S,r+rprime) nebo l2(S,|r−rprime|); v n´aˇcrtku je zvolen vnˇejˇs´ı dotyk kruˇznic k,kprime a stˇred Sprime
tedy leˇz´ı na kruˇznici l1(S,r+rprime)
S′
k′
p
q
k
S
o
r′ r+r
′
l1
a50
Konstrukce:
• zad´an´ı ´ulohy: jsou d´any dvˇe r˚uzn´e rovnobˇeˇzky p,q (p bardbl q,p negationslash= q) a kruˇznice k(S,r)
p
q
k
S
- 41 -
3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti Z´aklady geometrie
• nejprve sestrojme osu o p´asu omezen´eho rovnobˇeˇzkami p,q, na n´ıˇz bude leˇzet stˇred
hledan´e kruˇznice
p
q
k
S
o
• d´ale sestrojme kruˇznice l1(S,r+rprime) a l2(S,|r−rprime|), kde rprime = 12|pq| = |op| = |oq|, na nichˇz
leˇz´ı stˇredy kruˇznic, kter´e se dot´ykaj´ı kruˇznice k a maj´ı zjiˇstˇen´y polomˇer rprime
p
q
k
S
o
l1
l2
- 42 -
Z´aklady geometrie 3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti
• nyn´ı postupnˇe hledejme pr˚useˇc´ıky osy o s kruˇznicemi l1,l2: osa o prot´ın´a kruˇznici l1
ve dvou bodech, jeden z nich oznaˇcme S1 a podle rozboru je to stˇred hledan´e kruˇznice
k1(S1,rprime), kter´a se dot´yk´a dan´ych rovnobˇeˇzek p,q i dan´e kruˇznice k(S,r); body dotyku
na pˇr´ımk´ach p,q jsou pr˚useˇc´ıky tˇechto pˇr´ımek s kolmic´ı k ose o vedenou bodem S1; bod
dotyku kruˇznic k1 a k najdeme jako pr˚useˇc´ık ´useˇcky SS1 s kruˇznic´ı k
p
q
k
S
o
l1
l2
S1
k1
• druh´y pr˚useˇc´ık osy o a kruˇznice l1 oznaˇcme S2 a opiˇsme kolem nˇej kruˇznici k2(S2,rprime);
kruˇznice k1 a k2 jsou zˇrejmˇe osovˇe soumˇern´e podle kolmice k ose o veden´e stˇredem S;
souˇcasnˇe maj´ı obˇe tato ˇreˇsen´ı k1,k2 vnˇejˇs´ı dotyk s danou kruˇznic´ı k
p
q
k
S
o
l1
l2
S1
k1
S2 k
2
- 43 -
3. Mnoˇziny vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti Z´aklady geometrie
• tˇret´ım ˇreˇsen´ım ´ulohy je kruˇznice k3(S3,rprime), kde bod S3 je jedn´ım z pr˚useˇc´ık˚u osy o
s kruˇznic´ı l2; v tomto pˇr´ıpadˇe najdeme bod dotyku kruˇznic k3 a k jako pr˚useˇc´ık kruˇznice
k s polopˇr´ımkou SS3
p
q
k
S
o
l1
l2
S1
k1
S2 k
2
S3
k3
• analogicky doplˇnme posledn´ı kruˇznici k4(S4,rprime), kde S4 je druh´ym pr˚useˇc´ıkem osy o a
kruˇznice l2; tato kruˇznice k4 je opˇet osovˇe soumˇern´a s kruˇznic´ı k3 podle t´eˇze osy; obˇe
tato ˇreˇsen´ı k3,k4 maj´ı s danou kruˇznic´ı k vnitˇrn´ı dotyk
p
q
k
S
o
l1
l2
S1
k1
S2 k
2
S3
k3
S4
k4
a50
Diskuze:
´Uloha m˚uˇze m´ıt ˇctyˇri, tˇri, dvˇe, jedno nebo ˇz´adn´e ˇreˇsen´ı. Podrobnˇejˇs´ı proveden´ı diskuze je
pˇrenech´ano ˇcten´aˇri jako cviˇcen´ı.
- 44 -
Z´aklady geometrie 4. Mocnost bodu ke kruˇznici
4. Mocnost bodu ke kruˇznici
4.1. Definice a z´akladn´ı vlastnosti
V´yklad
• necht’ je v rovinˇe d´ana kruˇznice k(S,r) a bod M; mocnost´ı bodu M ke kruˇznici k
naz´yv´ame re´aln´e ˇc´ıslo m = v2 −r2, kde v = |MS|
• m > 0 resp. m = 0 resp. m < 0, pr´avˇe kdyˇz bod M leˇz´ı ve vnˇejˇs´ı oblasti kruˇznice k
resp. bod M leˇz´ı na kruˇznici k resp. bod M leˇz´ı ve vnitˇrn´ı oblasti kruˇznice k
• leˇz´ı-li bod M ve vnˇejˇs´ı oblasti kruˇznice k a T je bodem dotyku teˇcny t veden´e z bodu
M ke kruˇznici k, pak plat´ı |MT|2 = v2 −r2 = m (plyne z Pythagorovy vˇety, viz obr. a)
• pro pr˚useˇc´ıkyA,B kruˇznicek a jej´ı libovoln´e seˇcny veden´e bodemM plat´ı|MA|·|MB| =
= m resp. |MA|·|MB| = −m, je-li bod M ve vnˇejˇs´ı resp. ve vnitˇrn´ı oblasti kruˇznice k
1. pro seˇcnu jdouc´ı stˇredem S kruˇznice k je tvrzen´ı zˇrejm´e (viz obr. b): |MA|·|MB| =
= (v+r)·(v−r) = v2−r2 = m nebo |MA|·|MB| = (r+v)·(r−v) = r2−v2 = −m
2. jestliˇze jin´a seˇcna veden´a bodem M prot´ın´a kruˇznici k v bodech Aprime,Bprime (viz obr. c),
pak jsou troj´uheln´ıky AprimeBM a ABprimeM podobn´e (podle vˇety uu), a tud´ıˇz plat´ı:
|MAprime|
|MA| =
|MB|
|MBprime| a odtud |MA
prime|·|MBprime| = |MA|·|MB|
S
k
M
T
t
a)
S
k
A B
M
S
k
A B
M
b)
S
k
A B
M
A′
B′
S
k
A
B
M
A′
B′
c)
- 45 -
4. Mocnost bodu ke kruˇznici Z´aklady geometrie
4.2. Chord´ala a potenˇcn´ı stˇred
• d´a se uk´azat, ˇze mnoˇzinou vˇsech bod˚u, kter´e maj´ı stejnou mocnost ke dvˇema r˚uzn´ym
nesoustˇredn´ym kruˇznic´ım k1(S1,r1),k2(S2,r2) je pˇr´ımka p kolm´a ke stˇredn´e s = S1S2
dan´ych kruˇznic; tato pˇr´ımka se naz´yv´a chord´ala kruˇznic k1,k2
• konstrukci chord´aly ukazuj´ı n´asleduj´ıc´ı obr´azky
a) kruˇznice k1,k2 se prot´ınaj´ı v bodech A,B, jeˇz maj´ı stejnou mocnost m = 0 k obˇema
kruˇznic´ım; je tud´ıˇz chord´ala p = AB
b) kruˇznice k1,k2 se dot´ykaj´ı v bodˇe T, kter´y m´a k obˇema stejnou mocnost m = 0;
chord´alou je tedy spoleˇcn´a teˇcna p v bodˇe T
c) kruˇznice k1,k2 nemaj´ı ˇz´adn´y spoleˇcn´y bod; zvolme pomocnou kruˇznici kprime(Sprime,rprime),
kter´a prot´ın´a obˇe kruˇznice k1,k2, a sestrojme chord´alu p1 kruˇznic kprime,k1 a chord´alu
p2 kruˇznic kprime,k2; pr˚useˇc´ık P = p1 ∩ p2 m´a pak stejnou mocnost ke vˇsem tˇrem
kruˇznic´ım kprime,k1,k2, je to jejich tzv. potenˇcn´ı stˇred; bodem P pak proch´az´ı tak´e
chord´ala p ⊥ S1S2 kruˇznic k1,k2
k1
S1
k2
S2
A
B
p
a)
k1
S1
k2
S2T
p
b) c)
k1
S1
k2
S2
k′
S′
P
p
p1
p2
4.3. Apolloniova ´uloha BBp
ˇReˇsen´e ´ulohy
Pˇr´ıklad: Sestrojte kruˇznici, kter´a proch´az´ı dan´ymi r˚uzn´ymi body A,B a dot´yk´a se dan´e
pˇr´ımky p.
- 46 -
Z´aklady geometrie 4. Mocnost bodu ke kruˇznici
Rozbor ´ulohy:
• pˇredpokl´adejme, ˇze ´uloha je vyˇreˇsena: naˇcrtnˇeme kruˇznici k o stˇredu S a libovoln´em
polomˇeru r, zvolme na n´ı dva body A,B, doplˇnme teˇcnu p a nyn´ı zkoumejme vztahy,
kter´e zde plat´ı...
kS
A
B
p
• stˇred S kruˇznice k mus´ı leˇzet na ose o ´useˇcky AB (viz mnoˇzinu M2 na stranˇe 11
v pˇrehledu nejuˇz´ıvanˇejˇs´ıch mnoˇzin vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti)
kS
A
B
p
o
• necht’ je P = p∩AB a T je bodem dotyku pˇr´ımky p a kruˇznice k; z vlastnost´ı mocnosti
bodu P ke kruˇznici k pak plyne: |PT|2 = |PA| · |PB|; d´ıky tomu lze bod T dotyku
sestrojit...
kS
A
B
p
o
P T
a50
- 47 -
4. Mocnost bodu ke kruˇznici Z´aklady geometrie
Konstrukce:
• zad´an´ı ´ulohy: jsou d´any r˚uzn´e body A,B a pˇr´ımka p
A
B
p
• podle rozboru sestrojme nejprve osu o ´useˇcky AB
A
B
p
o
- 48 -
Z´aklady geometrie 4. Mocnost bodu ke kruˇznici
• d´ale najdˇeme pr˚useˇc´ık P = p∩AB
A
B
p
o
P
• nad ´useˇckou AP sestrojme Thaletovu p˚ulkruˇznici a na n´ı vrchol R pravo´uhl´eho troj´u-
heln´ıka ARP, v nˇemˇz je ´useˇcka BR v´yˇskou; podle Eukleidovy vˇety o odvˇesnˇe pak plat´ı
|PR|2 = |PA|·|PB|
A
B
p
o
P
R
- 49 -
4. Mocnost bodu ke kruˇznici Z´aklady geometrie
• nyn´ı staˇc´ı na pˇr´ımku p od bodu P nan´est velikost ´useˇcky PR a t´ım z´ısk´ame body T1,T2
dotyku pˇr´ımky p a hledan´ych kruˇznic k1,k2
A
B
p
o
P
R
T1
T2
• stˇred S1 kruˇznice k1(S1,r1) leˇz´ı na ose o a na kolmici veden´e bodem T1 k pˇr´ımce p
A
B
p
o
P
R
T1
T2
k1S
1
- 50 -
Z´aklady geometrie 4. Mocnost bodu ke kruˇznici
• podobnˇe prot´ın´a norm´ala k pˇr´ımce p veden´a bodem T2 osu o v bodˇe S2, kter´y je stˇredem
druh´e hledan´e kruˇznice k2(S2,r2), jeˇz tak´e proch´az´ı dan´ymi body A,B a dot´yk´a se dan´e
pˇr´ımky p
A
B
p
o
P
R
T1
T2
k1S
1
k2
S2
a50
Diskuze:
´Uloha nem´a ˇz´adn´e ˇreˇsen´ı, jestliˇze body A,B leˇz´ı v r˚uzn´ych polorovin´ach urˇcen´ych hraniˇcn´ı
pˇr´ımkou p nebo je-li A ∈ p a souˇcasnˇe B ∈ p; je-li AB bardbl p, m´a ´uloha pr´avˇe jedno ˇreˇsen´ı
(osa o ´useˇcky AB prot´ın´a pˇr´ımku p pˇr´ımo v bodˇe T dotyku); leˇz´ı-li body A,B uvnitˇr jedn´e
poloroviny ohraniˇcen´e pˇr´ımkou p a p negationslashbardbl AB, pak m´a ´uloha pr´avˇe dvˇe ˇreˇsen´ı; jestliˇze pr´avˇe
jeden z bod˚u A,B leˇz´ı na pˇr´ımce p, jedn´a se o Pappovu ´ulohu Bpp.
4.4. Apolloniova ´uloha BBk
ˇReˇsen´e ´ulohy
Pˇr´ıklad: Sestrojte kruˇznici, kter´a proch´az´ı dan´ymi r˚uzn´ymi body A,B a dot´yk´a se dan´e
kruˇznice k(S,r).
- 51 -
4. Mocnost bodu ke kruˇznici Z´aklady geometrie
Rozbor ´ulohy:
• pˇredpokl´adejme, ˇze ´uloha je vyˇreˇsena: naˇcrtnˇeme kruˇznici k1 o stˇredu S1 a libovoln´em
polomˇeru r1, zvolme na n´ı dva body A,B, doplˇnme dotykovou kruˇznici k(S,r) a nyn´ı
zkoumejme vztahy, kter´e zde plat´ı...
k1
S1
A
B
k
S
• stˇred S1 kruˇznice k1 mus´ı leˇzet na ose o ´useˇcky AB (viz mnoˇzinu M2 na stranˇe 11
v pˇrehledu nejuˇz´ıvanˇejˇs´ıch mnoˇzin vˇsech bod˚u dan´e vlastnosti)
k1
S1
A
B
k
So
• spoleˇcn´a teˇcna t kruˇznic k,k1 je souˇcasnˇe tak´e jejich chord´alou; pr˚useˇc´ık P = t ∩ AB
m´a tedy stejnou mocnost ke kruˇznici k i ke kruˇznici k1
k1
S1
A
B
k
So
P
T
t
- 52 -
Z´aklady geometrie 4. Mocnost bodu ke kruˇznici
• bodem P pak mus´ı proch´azet i chord´ala pprime dan´e kruˇznice k a zvolen´e kruˇznice kprime(Sprime,rprime),
kter´a proch´az´ı body A,B (tj. Sprime ∈ o); d´ıky tomu lze potenˇcn´ı stˇred P kruˇznic k,kprime,k1
a n´aslednˇe teˇcnu t sestrojit...
k1
S1
A
B
k
So
P
T
tk′
S′
p′
a50
Konstrukce:
• zad´an´ı ´ulohy: jsou d´any r˚uzn´e body A,B a kruˇznice k(S,r)
A
B
kS
- 53 -
4. Mocnost bodu ke kruˇznici Z´aklady geometrie
• podle rozboru sestrojme nejprve osu o ´useˇcky AB
A
B
kS
o
• d´ale zvolme kruˇznici kprime(Sprime,rprime) tak, aby proch´azela body A,B (jej´ı stˇred Sprime tedy leˇz´ı na
ose o) a aby prot´ınala kruˇznici k
A
B
kS
o
k′
S′
- 54 -
Z´aklady geometrie 4. Mocnost bodu ke kruˇznici
• sestrojme chord´alupprime kruˇznick,kprime a na n´