Různé materiály

typu xerox je připravena k práci teprve po zahřátí válce; při vypnutí projektoru zhasne lampa ale větrák běží ještě určitou dobu aby nedošlo k přehřátí zbytkovým teplem. Sekvenční automatiky průmyslových celků (npř. energetického bloku) jsou ovšem mnohonásobně složitější a počet stavů, kterými zařízení projde, může jít do desítek tisíců.
Řízení dynamických systémů. V tomto případě je cílem řízení aby daná výstupní (regulovaná) veličina co nejpřesněji sledovala časový průběh dané řídící ( žádané, vstupní) veličiny a to bez ohledu na signálové i parametrické poruchy, které na řízenou soustavu mohou působit. Regulátor, který generuje akční veličinu, působící na soustavu, musí tedy plnit dvě úlohy:
zajistit věrné sledování řízení, což je obtížné vzhledem k časovým zpožděním (obecně vzhledem k dynamickým vlastnostem) řízeného objektu;
kompenzovat poruchy, které mohou na řízený objekt působit tak, aby se jejich vliv na regulované veličině projevil v co nejmenší míře.
Řízení dynamických systémů může být realizováno:
- v otevřené smyčce (bez zpětné vazby) = ovládání
- v uzavřeném obvodě (se zp.vazbou) = regulace
Řízení bez zpětné vazby (bez informace o výsledku řízení): Řízení v uzavřeném obvodě = se zpětnou vazbou: Přístrojové (technologické) schéma zpětnovazebního
regulačního obvodu: Typy systémů: - podle statické charakteristiky: lineární x nelineární - v závislosti na čase : T-invariantní x časově proměnné - dynamické x statické (proporcionální) - spojité x diskrétní - SISO (jeden vstup i výstup)
- MIMO (více vstupů/ výstupů) Formální (matematický) popis dynamických systémů: - V/V (přenosový, vnější, klasický, operátorový) - stavový (vnitřní) Grafické zobrazení systémů: - algebra blokových schémat - metoda signálových grafů (toků) V/V popis:
- diferenciální rovnice
- operátorový přenos
- frekvenční přenos
- frekvenční charakteristika
- časové odezvy ( impulsová a přechodová charakt.)
- rozložení nul a pólů přenosu v P (nebo Z) rovině Operátorový přenos je dán poměrem obrazu
(buď v Laplaceově nebo Z-transformaci podle toho, zda
se jedná o spojitý nebo diskrétní systém)
výstupního signálu k obrazu vstupního signálu za předpokladu nulových počátečních podmínek. Mat.znalosti: definice a vlastnosti obou transformací, včetně základních vět a pravidel.
2. Regulované soustavy.
Objekty řízení, neboli regulované soustavy, jsou velmi rozmanité a mají různé vlastnosti. Bylo již řečeno, že v rámci tohoto kurzu se omezíme na soustavy se soustředěnými parametry, časově neproměnné a linearizovatelné. Přesto, vzhledem k rozmanitosti dynamických vlastností, zbývá ještě velké množství různých typů soustav. V této kapitole ukážeme několik skupin soustav, které mají charakteristické vlastnosti a zejména v technické praxi se často vyskytují. Dále se budeme zabývat identifikací reálných soustav a tvorbou jejich modelů, což je nutně spojeno s aproximací (kromě již zmíněné linearizace ).
Z kurzu Signály,procesy,systémy víme, že dynamické vlastnosti objektů lze popisovat různými způsoby. Zásadní rozdíl je mezi vstup-výstupním a stavovým popisem. Připomeňme, že V/V popis může být dán ve tvaru diferenciální (u diskrétních systémů diferenční) rovnice, frekvenčního nebo operátorového přenosu, rozložení nul a pólů přenosu, nebo pomocí impulsové či přechodové charakteristiky. Všechny tyto formy (vyjímaje rozložení nul a pólů, ze kterého není možno určit zesílení) jsou ekvivalentní a existují mezi nimi více či méně jednoduché (a z hlediska praxe použitelné) převodní vztahy. Rovněž mezi V/V popisem a vyjádřením ve stavovém prostoru existují převodní algoritmy. Přechody od V/V popisu ke stavovým rovnicím (a opačně) však nemusejí být jednoznačné. V následujících odstavcích nejprve popíšeme některé často se vyskytující typy regulovaných soustav
2.1. Přetlumené (nekmitavé) soustavy.
V průmyslové praxi se nejčastěji setkáváme se soustavami, které jsou tvořeny sériovým spojením setrvačných článků. Všechny póly takových soustav jsou reálné záporné, impulsní i přechodová charakteristika nemá kmitavý průběh. Z hlediska řízení je důležitá jak hodnota největších (dominantních) časových konstant, tak řád soustavy (tj. počet setrvačných článků), neboli také řád popisující diferenciální či diferenční rovnice. Názorně to ukazuje obr.12, na kterém jsou uvedeny přechodové charakteristiky soustav, tvořených setrvačnými články se stejnou časovou konstantou. Přenosová funkce soustavy má tvar, kde ks je zesílení, T je časová konstanta soustavy a n je její řád. Na obr.12 jsou přechodové charakteristiky pro ks=1, T=1 a n=1,2,..,5. Podobné vlastnosti mají i diskrétní soustavy, složené ze setrvačných článků. Pak je ovšem podstatné, zda mezi jednotlivými články je či není zapojen vzorkovací člen. Připomeňme, že spojitá soustava, která má přenosovou funkci ve tvaru:
, bude mít diskrétní obdobu přenosové funkce (platí pro případ blokově znázorněný na obr.13., kdy na vstupu i výstupu soustavy jsou zapojeny vzorkovací členy a před soustavou je zařazen tvarovací člen nultého řádu- tzv. přidržovač) ve tvaru
Equation.3 , kde , Tv je perioda vzorkování a Ti jsou
jednotlivé časové konstanty spojité soustavy. Podrobné odvození a vysvětlení procesu
vzorkování je náplní kurzu
Systémy, procesy a signály,
x(t) x(k) y(k)zde uvádíme jen podstatné
důsledky. K nim patří i
ta skutečnost, že při
Obr.13.procesu vzorkování mohou
u diskrétní přenosové funkce vzniknout nuly (kořeny polynomu v čitateli přenosové funkce), které leží v nestabilní oblasti, tj. vně jednotkové kružnice v komplexní rovině Z. Pokud přenos soustavy obsahuje takové nuly (u spojitých soustav tyto nuly leží v pravé polorovině roviny P), jde o soustavu s neminimální fází. Řízení takových soustav a návrh jejich řídících algoritmů vyžaduje zvláštní postupy, na které v případě potřeby v tomto textu zvláště upozorníme. Zatímco u spojitých systémů se neminimálně fázové soustavy vyskytují zřídka (výjimku tvoří ty soustavy, ve kterých je přítomno dopravní zpoždění), v diskrétních systémech je to jev poměrně běžný.
Regulovaná soustava je často tvořena několika sériově spojenými články s různými časovými konstantami. Pak záleží na tom, zda se jedná o přibližně stejné nebo velmi rozdílné konstanty. Jak už bylo řečeno, každé časové konstantě odpovídá pól přenosové funkce (při použití stavového popisu je to vlastní číslo matice zpětných vazeb A). Všechny tyto póly leží v případě spojitého systému na záporné reálné poloose, v případě diskrétního systému na kladné reálné poloose v intervalu 0-1. Čím větší je časová konstanta, tím blíže k počátku (u spojitého systému) nebo blíže k bodu 1 (u diskrétního systému) jí odpovídající pól leží.
Víme, že na dynamiku soustavy mají největší vliv největší časové konstanty. Proto ty póly, které leží nejblíž zmíněným bodům nazýváme dominantní. Často pak při návrhu řídícího algoritmu pracujeme se zjednodušeným modelem soustavy, ve kterém jsou pouze dominantní póly a ostatní zanedbáváme. To je ovšem možné jedině tehdy, když frekvenční vlastnosti celého otevřeného obvodu (tj. včetně regulátoru) jsou takové, že vliv zanedbání malých časových konstant se neprojeví. Prakticky to znamená, že oblast středních kmitočtů, kde tvar frekvenční charakteristiky určuje jak stabilitu, tak dynamické vlastnosti uzavřeného obvodu, je nižší, než oblast, ve které by se projevil vliv přítomnosti oněch zanedbaných konstant.
2.2 Kmitavé soustavy.
O kmitavých soustavách mluvíme tehdy, jestliže se v jejich přenosové funkci vyskytují komplexně sdružené póly. V časových odezvách (impulsní a přechodová charakteristika) se pak vyskytují harmonické funkce typu sin a cos. Pokud kmitavé póly nejsou v přenosové funkci dominantní, nemusí však být kmitavý charakter na časovém průběhu výrazně patrný.
Tak npř. přenosová funkce má komplexní póly a reálný pól . Impulsní odezva, uvedená na obr.14 jasně ukazuje na kmitavý charakter této soustavy, u které oba komplexní póly jsou dominantní. Změníme-li hodnotu časové konstanty stokrát, takže dominantním se nyní stane pól , bude odezva spíše odpovídat soustavě přetlumené (viz.obr.15.). Z průběhu odezvy je ovšem zřejmé, že se jedná o soustavu vyššího řádu (svědčí o tom tvar odezvy v okolí počátku a též nepravidelnosti v sestupové části charakteristiky).
Doporučení:
Modelováním v jazyce MATLAB zjistěte, jaký vliv na tvar impulsní odezvy bude mít změna tlumení kmitavé části soustavy při nezměněné reálné části. Ve výše uvedeném příkladě, je a poměrné tlumení je a=0,5 .Pro dvakrát menší tlumení a stejnou hodnotu reálné části pólů platí
a příslušná přenosová funkce (samotné kmitavé části) pak je
Zopakujme, že u kmitavých článků jsou důležité dva parametry: časová konstanta T a poměrné tlumení a. Přenosová funkce má tvar . Dále jsou definovány tři důležité frekvence:
vlastní frekvence netlumených kmitů, pro kterou platí on.3
vlastní frekvence . Je to frekvence kmitů odezvy a platí pro ni rovnice
resonanční frekvence, která udává frekvenci ve které má frekvenční charakteristika resonanční převýšení. Toto převýšení ovšem vzniká pouze v případě, že poměrné tlumení je menší než 0,7. Pro resonanční frekvenci platí rovnice
.
V soustavách se může vyskytovat i několik kmitavých článků. Celkový charakter soustavy pak záleží tom, který z nich je dominantní, čili ten, jehož póly leží nejblíže reálné osy (případně nejblíže bodu 1 u diskrétních systémů).
2.3 Identifikace regulovaných soustav.
Pro návrh regulátoru potřebujeme obvykle znát matematický model regulované soustavy. Existuje sice několik postupů, které umožňují navrhnout algoritmus řízení bez popisu vlastností soustavy, používáme je však spíše jako krajní řešení v těch případech, kdy formulace matematického modelu je buď nemožná, nebo velmi obtížná. Pro běžné a linearizovatelné soustavy však není obvykle příliš obtížné najít alespoň přibližný popis-model. Lze k němu dospět buď analyticky, tj. formulací příslušných diferenciálních či diferenčních rovnic (na základě fyzikálně chemických dějů, které v soustavě probíhají) nebo experimentálně, měřením statických i dynamických vlastností reálného objektu.
Při tomto způsobu identifikace obvykle používáme pro buzení soustavy některý typický signál. Nejčastěji je to skoková změna, nebo harmonický průběh. Třetí standardní časový průběh, totiž jednotkový impuls, je obtížné realizovat a používá se spíše výjimečně. Použijeme-li skok vstupní veličiny, obdržíme jako odezvu přechodovou charakteristiku. To ovšem platí za předpokladu nulových počátečních podmínek a při absenci poruchových signálů (na soustavu kromě vstupní veličiny nepůsobí žádný jiný signál). Budeme-li soustavu budit harmonickým signálem, jehož frekvenci budeme postupně měnit, můžeme měřit zesílení a fázový posun procházejícího signálu a získat tak jednotlivé body frekvenční charakteristiky.
S ohledem na praktické podmínky lze doporučit:
Měření přechodové charakteristiky je vhodné pro soustavy s předpokládanými časovými konstantami v rozmezí jednotek až tisíců sekund; zapisovače pro takové časové průběhy jsou běžně dostupné a realizace dostatečně věrné skokové změny vstupní veličiny je možná.
Měření s použitím harmonického signálu je vhodné spíše pro rychlejší soustavy, neboť po každé změně frekvence je třeba počkat, až dozní přechodný děj vyvolaný touto změnou. Totéž platí v případě, kdy nejsou zaručeny nulové počáteční podmínky. Nevýhodou frekvenčního měření je nutnost předem odhadnout frekvenční rozsah, ve kterém se dynamické vlastnosti soustavy projeví.
Společnou nevýhodou měření přechodové charakteristiky nebo jednotlivých bodů frekvenční charakteristiky je nutnost izolovat soustavu od jiných signálových vlivů. To je možné jen při vyřazení soustavy z běžného provozu. Existuje i řada tzv. "on-line" postupů, které určují potřebný matematický model na základě dlouhodobého měření vstupních a výstupních hodnot. Nejpoužívanější je metoda minima součtu kvadrátů odchylek. Její princip ukážeme na jednoduchém příkladě.
Předpokládejme, že identifikovaná soustava má předpokládaný diskrétní přenos ve tvaru
(Diskrétní přenos používáme pro jednoduchost vysvětlení). Úkolem identifikace je určit hodnoty parametrů a , b . Vstupní veličina je x(k), výstupní y(k), kde k je krok diskrétního signálu. Z přenosu plyne, že platí následující rovnice:
y(k+1)=ax(k)+by(k). Teoreticky by tedy stačilo (za předpokladu nulových počátečních podmínek a absence vlivu působení poruchového signálu) změřit dvě sobě odpovídající dvojice vstupních a výstupních hodnot. Tím získáme dvě rovnice o dvou neznámých ( a,b), které lze řešit za předpokladu, že matice soustavy rovnic není singulární. To bude splněno, jestliže hodnoty vstupního signálu budou různé. Pokud provedeme větší množství měření, než je nutné pro výpočet neznámých parametrů soustavy, získáme možnost zmenšit vliv nenulových počátečních podmínek i případného poruchového signálu, který si můžeme představit jako chybu prováděných měření. Z teorie signálů je známo, že tento postup bude úspěšný, pokud poruchový signál bude mít určité statistické parametry (npř. nulovou střední hodnotu). Podrobné matematické odvození použitých algoritmů přesahuje rámec tohoto kurzu. Dodejme, že nevýhodou této metody je nutnost předem určit tvar matematického modelu (počet neznámých parametrů v čitateli i jmenovateli přenosu). Podobné metody existují i pro stanovení spojitého přenosu. V programu MATLAB je k dispozici několik modifikací metody minima kvadrátů odchylek.
2.4. Aproximace regulovaných soustav.
Aproximovat, znamená nahradit přesné hodnoty jejich přibližným odhadem. Proces aproximace lze obecně uplatnit na kterýkoliv popis vlastností soustavy:
diferenciální/diferenční rovnici, přesně popisující dynamiku soustavy lze nahradit rovnicí nižšího řádu, nebo jiného tvaru, kterou lze snáze řešit
frekvenční charakteristiku lze ve zvoleném frekvenčním pásmu nahradit charakteristikou jednoduššího systému
časovou odezvu (přechodovou nebo impulsní charakteristiku) nahradíme odezvou některého ze zvolených aproximačních systémů (soustav)
skutečné rozložení nul a pólů nahradíme rozložením, ve kterém budou pouze dominantní póly a nuly.
Poněkud obtížnější je aproximace ve stavovém prostoru, protože jakékoliv zjednodušení znamená přechod z prostoru vyššího rozměru do prostoru nižší dimense (odpovídá snížení řádu popisující diferenciální/diferenční rovnice).
V praxi se nejčastěji aproximuje změřená přechodová charakteristika charakteristikou zvolené aproximační soustavy. Jde-li o přetlumené soustavy (bez kmitavých členů) používají se tyto typy aproximací:
, soustava prvního řádu s dopravním zpožděním
, soustava druhého řádu s různými časovými konstantami
, soustava druhého řádu s dopravním zpožděním
, soustava n-tého řádu se stejnými časovými konstantami.
K rozhodnutí o typu vhodné aproximace je potřebné znát zejména polohu inflexního bodu i a velikost parametrů nazývaných doba průtahu Tu a doba náběhu Tn . Význam jednotlivých parametrů je zřejmý z obr.16. Postup určení parametrů jednotlivých aproximací závisí na tvaru aproximačního přenosu. Pro přenos F1(p) platí T=Tn a d=Tu . Přenos F2(p) a F3(p) je vhodný pro výšku inflexního bodu menší než 0,264. Pro větší hodnoty je vhodné použít aproximaci přenosem typu F4(p). Řád a velikost časové konstanty určuje Tab.1. Uvedené hodnoty se vztahují k normovanému tvaru přechodové charakteristiky, tj. se zesílením k=1. Skutečnou hodnotu zesílení určíme z poměru velikosti vstupního skoku a rozdílu ustálených hodnot výstupního signálu.
Řád n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Tu/Tn
0,00
0,104
0,218
0,319
0,410
0,493
0,570
0,642
0,709
Tn/T
1,00
2,718
3,695
4,463
5,119
5,699
6,226
7,144
7,590
Tab.1
O vhodnosti aproximace se lze přesvědčit srovnáním přechodových charakteristik, nebo porovnáním frekvenčních charakteristik (pokud je k dispozici f.ch.skutečné soustavy.
Aproximace dopravního zpoždění.
Dopravní zpoždění nemění tvar procházejícího signálu, pouze jej posunuje v čase. Mezi vstupním a výstupním signálem platí rovnice . Podle věty o posunutí v originále lze přímo určit přenos

Na rozdíl od ostatních dynamických článků tento přenos není vyjádřen poměrem dvou polynomů. Funkci exp však lze vyjádřit pomocí mocninné řady. Zvolíme následující tvar:
V čitateli i jmenovateli jsou nyní polynomy nekonečného řádu. Přenosová funkce dopravního zpoždění má tedy nekonečně mnoho nul i pólů. Použijeme –li pouze omezený počet členů mocninných řad, dopustíme se jisté nepřesnosti. Aproximace Padého polynomy tyto chyby minimalizuje vhodnou volbou koeficientů u jednotlivých mocnin operátoru p. Hodnoty závisí na řádu aproximačních polynomů (tj.na počtu členů mocninné řady). Tak pro třetí řád platí:
a pro aproximační polynomy čtvrtého řádu:
.
Je zřejmé, že platí: quation.3 pro , kdežto pro je limita rovna +1 pro sudé počty členů (n) aproximace a –1 pro liché. Tato náhrada přenosové funkce dopravního zpoždění je nutná při práci v jazyce MATLAB nebo SIMULINK, pokud se zpoždění vyskytuje ve zpětné vazbě, nebo je v systému více členů s různými hodnotami zpoždění d. Kvalita aproximace stoupá, pokud je v sérii s dopravním zpožděním zapojen dynamický článek typu dolnofrekvenční propusti (vyšší frekvence, na kterých se aproximační charakteristika značně liší od skutečnosti, jsou tlumeny). Na obr.17 je přechodová charakteristika samotné aproximace Padeho rozvojem 4.řádu. Nahrazované dopravní zpoždění má hodnotu d=1. Na obr.18 je uvedena aproximace systému druhého řádu se stejnými časovými konstantami velikosti T=2sec a stejným dopravním zpožděním. Použita je stejná aproximace Padeho rozvojem 4.řádu. Je patrno, že aproximace dopravního zpoždění je nyní podstatně věrnější.


Tvar.čl.

Spojitá soust.

 EMBED Equation.3

 EMBED Word.Picture.8

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3




Aproximace dopravního zpoždění
Padeho rozvojem. Odezva Pade aprox.dopr.zp. 3 řádu, velikost 2sec. Bode-diagram Pade aproximace zp. 2 sec 3.řádem. Frekv.charakt. Padeho aprox. 3 řádu dopr.zpoždění 2 sec. Přenos syst.2.řádu (2 setrvačné články T=3) a Pade
aprox. 3.ř, zpoždění d=3sec:
-p^3 + 6 p^2 - 15 p + 15
F(p)= -----------------------------------------------
9 p^5 + 60 p^4 + 172 p^3 + 231 p^2 + 105 p + 15 Přechodová charakt.systému 2.řádu (obě čas.konst. T=3 sec., Pade 3ř. Frekv.charakt.syst.2.ř. s Pade aprox. 2 sec 3.ř.: Bode-diagram systému 2.řádu (obě T=3 sec.) s Pade aprox 2.sec.