Různé materiály

enos odchylky musí splňovat podmínku ,kde N(p) je libovolný polynom.
Teorie automatického řízení I. Stabilita systémů se zpětnou vazbou
Nyquistovo kriterium stability. L4 Stabilní jsou takové systémy, které se po skončení budícího (vstupního) signálu vrací do původního stavu. Této definici vyhovují takové systémy, jejichž póly přenosové funkce splňují tuto podmínku:
- leží v levé polorovině roviny p (pro spojité systémy)
- leží uvnitř jednotkové kružnice v rovině z (pro diskrétní systémy) Póly přenosové funkce (nuly polynomu ve jmenovateli) svou polohou určují nejen stabilitu systému. Jsou rozhodující i pro charakter přechodného děje (kmitavý, tlumený, pomalý a pod).
Nazýváme je proto charakteristické póly systému a polynom ve jmenovateli přenosu je charakteristický polynom. Všimněme si, že všechny přenosy systému se zavedenou zpětnou vazbou (přenos řízení, odchylky, poruchy, akční veličiny) mají stejný jmenovatel: kde F0 je přenos otevřeného systému(bez zp.vazby) Pokud je polynom A nejvýše druhého řádu jeho kořeny lze snadno vypočítat a určit tak stabilitu systému
Pozn.: v době masového použití výkonné výpočetní techniky to není problém ani u systémů vyššího řádu. Pro systémy vyššího řádu používáme algebraická kriteria stability, která určují, zda všechny kořeny charakteristického polynomu leží ve stabilní oblasti. Nejpoužívanější jsou kriteria Hurwitzovo a Routh- Schurovo. Algebraická kriteria pro spojité systémy lze použít i pro diskrétní, jestliže provedeme bilineární transformaci, která převede vnitřek jednotkové kružnice na levou polorovinu komplexní roviny w. Bilineární transf.se obvykle používá ve tvaru: Je však třeba mít na paměti, že touto transformací se převede do roviny w pouze jeden list Riemanovy vícelisté plochy. Doporučení: prostudujte proces transformace roviny p do roviny z vzorcem a roviny z do roviny w bilineární transformací. Nyquistovo kriterium stability. Toto kriterium posuzuje stabilitu uzavřeného obvodu podle vlastností frekvenčního přenosu otevřené smyčky. R S e x y w Z přenosu otevřené smyčky F0=RS určíme stabilitu (rozložení kořenů charakt.polynomu):
A=1+F0=1+RS Předpokládejme, že přenos otevřené smyčky ne dán poměrem dvou polynomů: M(p) v čitateli je stupně m (má m kořenů, které tvoří nuly)
N(p) ve jmenovateli je stupně n (má n kořenů, které tvoří póly přen.) Dále nechť r pólů leží v pravé polorovině. Otevřený obvod je tedy nestabilní.Zbývajících n-r pólů leží v levé polorovině(jsou „stabilní“). Pro charakt. polynom platí A=1+F0 Pro stabilitu uzavřeného obvodu je nutné, aby všechny kořeny charakt.polynomu, tj. ai ležely v levé (stabilní) polorovině. R4.1 Vysvětlení: obecný bod p nahradíme výrazem což je transformace celé imaginární osy. Jednotlivým výrazům odpovídají vektory, které spojují póly přenosu otevřené smyčky s body na imaginární ose. Při průběhu celé imaginární osy bude změna úhlu tohoto vektoru 1800, jestliže pól leží v levé polorovině (je stabilní) a -1800 jestliže jde o nestabilní pól otevřené smyčky. Protože všechny póly uzavřeného obvodu musí ležet v levé polorovině kdežto r pólů otevřeného obvodu může ležet v pravé polorovině, platí následující věta:
Nechť r pólů otevřeného obvodu leží v pravé polorovině roviny p. Uzavřený obvod bude stabilní, jestliže funkce při průběhu celé imag.osy učiní r oběhů kolem počátku v kladném smyslu (úpravou rovnice R4.1 přesuneme oběhový bod do počátku).
Teorie automatického řízení I. Proporcionální ( P ) regulátor
Integrální ( I ) regulátor
L5 Standardní regulátory typu PID. Proporcionální regulátor zesiluje regulační odchylku a takto zesílenou (zejména výkonově) akční veličinou působí na regulovanou soustavu. P- regulátor je tedy většinou tvořen zesilovačem.
Důležité vlastnosti systému s P-regulátorem:
Ustálené odchylky. P regulátor zmenšuje ustálené odchylky, nezajišťuje však jejich nulovost. V konkrétním případě je vždy třeba použitím věty o konečné hodnotě velikost odchylky vypočítat.P regulátor může při nevhodném nastavení způsobit nestabilitu uzavřeného obvodu. I regulátor.
V případě I regulátoru je akční veličina úměrná integrálu regulační odchylky od daného počátku přechodného děje.
I regulátor vnáší do přenosu otevřené smyčky astatismus (pól v počátku, u diskrétních systémů v bodě 1,0). To znamená fázový posun o -900 , tzn.zmenšení zásoby stability. Ustálené odchylky.
I regulátor výrazně zmenšuje ustálené odchylky a to jak při působení řídícího tak poruchového signálu. Pro diskrétní signály se integrace mění v sumaci, takže diskrétní obdobou spojitého I regulátoru je sumátor, který sečítá v daném časovém intervalu naměřené hodnoty reg. odchylky. Chceme-li současně využít výhodných vlastností obou základních typů regulátorů ( P a I) zapojíme je paralelně. Výsledný přenos pak lze napsat v některém z následujících tvarů: Fázový posun se nyní mění od -900 do 0. V čitateli přenosu regulátoru je jeden volitelný kořen(nula), jehož přítomnost lze využít ke vhodné kompensaci pólu v přenosu soustavy. Přenos diskrétního sumačně proporcionálního regulátoru (PS) může být v některém z těchto tvarů: Poznámka: jak se změní význam výše uvedených konstant, jestliže uvažujeme nezpožděnou sumaci (přenos sumačního členu bude násoben z). Nakreslete odezvy na impuls a skokovou funkci. V zájmu dalšího zmenšování ustálených odchylek, by bylo možno uvažovat o použití dvojitého integračního regulátoru (I2). To by však již vedlo k nepřijatelnému zmenšení stability systému (viz Nyquistovo kriterium stability). Z dalších základních dynamických členů má smysl uvažovat o derivačním členu, který způsobuje fázový posun o +900. Při paralelním spojení s P regulátorem bude výsledný přenos Respektive při spojení s P a I regulátorem Posledně uvedený tvar je použitelný pouze tehdy, jestliže kořeny čitatelového polynomu jsou reálné. Uvedené přenosy platí pro ideální derivační člen, jehož realizace je prakticky nemožná. Frekvenčním rozborem lze ukázat, že ideální derivační člen ani vhodný s ohledem na velké zesílení vysokých frekvencí (šumy a poruchové signály, které se v průmyslovém prostředí vždy vyskytují). Proto se takřka vždy počítá s reálnými derivačními členy. Přenosy PD a PID regulátorů pak jsou: Časová konstanta ve jmenovateli obou přenosů je vždy alespoň o 2 řády menší než časové konstanty v čitateli.
Úkol:
U diskrétních regulátorů se tento problém nevyskytuje. Ukažte proč.
Teorie automatického řízení I. Analýza a syntéza zpětnovazebních regulačních obvodů. L 6. Při návrhu regulátoru je obvykle nutno splnit několik požadavků: 1. Zajistit dodržení předepsané přesnosti regulace v ustáleném stavu.
Požadované vlastnosti v ustáleném stavu určují zda bude použit P nebo I regulátor a jaké musí být jeho zesílení. 2. Dodržení předepsaných dynamických vlastností z hlediska řízení i poruchy.
Dynamické vlastnosti lze sledovat: v časové oblasti (odezvy), ve frekvenční oblasti (frekv.charakt.), pomocí rozložení pólů a nul přenosových funkcí.
1.Analýza a syntéza zpětnovazebních regulačních obvodů v časové oblasti.
Podle odezvy na typický signál (impulz, skoková změna, funkce lineárně proměnná s časem) posuzujeme: dobu trvání přechodného děje, maximální překmit, tlumení apod.
Dokonalejší posouzení poskytují integrální kriteria regulace, zejména kvadratické kriterium a kriterium ITAE (integral time and error). Kvadratické kriterium je používáno zejména pro možnost relativně snadného analytického výpočtu (metodou Nekolného doplňku Routh-Schurova kriteria stability). Kriterium ITAE obsahuje funkci v absolutní hodnotě a součin dvou funkcí, což je pro analytický výpočet obtížné. Proto se většinou určuje pomocí modelovacích technik s použitím metod pro vyhledávání extrému funkce. Příklad: v reg.obvodě je soustava druhého řádu s jedním pólem v počátku a P regulátor. Určete jaké tlumení bude v tomto systému optimální podle kvadratického kriteria kvality regulace?. Proveďte tentýž výpočet při působení skokové poruchy na vstupu do soustavy. Postup výpočtu kvadratického kriteria kvality regulace metodou Nekolného doplňku. 1.Vypočteme obraz odchylky E(p) 2.Na jmenovatelový polynom obrazu aplikujeme R-Sch kriterium abychom určili stabilitu systému.Koeficienty násobení v jednotl. řádcích označíme ai 3.V případě, že systém je stabilní, pokračujeme v testu:
-sudé koef.čitatele(ve stejném směru jak bylo provedeno u jmenovatele) podtrhneme a od nepodtržených odečteme podtržené koef.jmenovatele, násobené takovým číslem, aby se po přičtení řádku první koef.čitatele rovnal nule.Násobící koeficienty označíme bi . -celý proces opakujeme až do konce analýzy čitatelového polynomu
-hodnotu kvadratického kriteria určuje vzorec Příklad:soustava se dvěma stejnými póly v -1 a I regulátor.
Určete optimální zesílení podle kvadrat.kriteria.(KR=2/3) Kvadrat.opt.odezva systému 2.ř.s I-regulátorem na poruchu
Teorie automatického řízení I. Analýza a syntéza zpětnovazebních regulačních obvodů ve frekvenční oblasti L 7. 2. Analýza ve frekvenční oblasti. Podobně jako v případě Nyquistova kriteria je vhodné posuzovat dynamické vlastnosti uzavřeného obvodu na základě průběhu fr.ch.otevřené smyčky. Definujeme dvě důležité hodnoty:
- zásoba stability v amplitudě (zvýšení zesílení otevřené smyčky, kterým se právě dosáhne mez stability)
- zásoba stability ve fázi(fázový úhel, o který lze změnit fázi frekv.přenosu otevř.obvodu aniž by došlo k nestabilitě uzavřené smyčky). Za optimální obvykle považujeme takový průběh fr.ch. otevřeného obvodu, kdy amplitudová charakteristika protíná osu 0db při nejvyšší frekvenci a dosahuje přitom největší fázové i amplitudové bezpečnosti. Tyto dva parametry odpovídají dvěma požadavkům, které jsme uvedli při analýze v časové oblasti:
- co nejrychlejší přechodný děj
- nejmenší první překmit odezvy na skokovou změnu. Pro podrobnější návrh definujeme tzv.standardní průběh fr.ch.otevřené smyčky:
- v pásmu nízkých frekvencí požadujeme co největší zesílení (nebo přítomnost astatismu co nejvyššího řádu) - ve střední části fr.ch.má amplitudová část fr.ch.protínat osu 0dB pod sklonem -20dB/dek a to co nejdále na obě strany od frekvence řezu - v pásmu vyšších frekvencí, kdy ampl.ch.klesá hluboko pod osu 0dB není průběh fr.ch.podstatný. Všechny uvedené vlastnosti vyplývají přímo ze vztahu pro frekv.přenos řízení: Podobné závěry lze udělat s použitím vztahu pro přenos poruchy: Metoda optimálního modulu.
Tento postup vychází z následující úvahy:
přechodný děj bude optimální, jestliže amplitudová část frekv.přenosu řízení bude mít hodnotu blízkou 1 a nebude mít resonanční překmit.
(Pozn.:viz průběhy u kmitavého článku 2.řádu při různých hodnotách poměrného tlumení). Přenos řízení předpokládáme ve tvaru: Pro druhou mocninu modulu platí tatáž podmínka a není třeba pracovat s odmocninou:
Teorie automatického řízení I. Analýza a syntéza zpětnovazebních regulačních obvodů metodou geometrického místa kořenů (g.m.k.) L 8. Metoda g.m.k. umožňuje sledovat rozložení kořenů charakt. polynomu při změně zesílení v otevřené smyčce. Výchozím podkladem je rozložení nul a pólů přenosu otevřené smyčky. Přenos otevřené smyčky je dán poměrem dvou polynomů: Charakteristická rovnice je: Pro konstrukci kořenového hodografu (dráhy jednotlivých kořenů charakt.rovnice) platí následující soubor pravidel: 1. Počet větví g.m.k. je roven stupni polynomu N(p) ve jmenovateli přenosu otevřené smyčky. Jednotlivé větve začínají pro K0=0 v pólech otevř.sm. a končí (pro nekonečné zesílení) v nulách. Pokud je řád čitatele nižší než řád jmenovatele (nul je méně než pólů) končí některé větve v nekonečnu. 2. G.m.k. je symetrické podle reálné osy. 3. Větve g.m.k., které končí v nekonečnu se blíží k asymptotám, které svírají s kladnou reálnou poloosou úhel, pro který platí 4. Asymptoty protínají reálnou osu v bodě CA , jehož vzdálenost od počátku je kde bj , ai jsou nuly a póly přenosu otevřené smyčky. 5. Bod na reálné ose je součástí g.m.k., jestliže vpravo od něj je lichý počet nul a pólů F0(p). 6. Průsečík g.m.k. s imaginární osou určíme pomocí některého z algebraických kriterií (Hurwitzova, Routh- Schurova).
Dosazením kritického zesílení do redukovaného řádku R-Sch kriteria, který odpovídá polynomu druhého řádu (koeficient u první mocniny je v tom případě roven nule) získáme přímo vztah pro souřadnice průsečíku větví g.m.k. s imaginární osou). Kromě uvedených základních pravidel platí celá řada dalších (tečny větví g.m.k. v komplexních pólech i nulách otevř.smyčky, souřadnice průsečíku g.m.k. s reálnou osou apod.). Pro přesný obraz g.m.k. slouží spec.příkazy v MATLABu. Poznámka:
Podobná pravidla platí i pro tvorbu g.m.k. diskrétních systémů.
Teorie automatického řízení I. Návrh konstant PID regulátoru Ziegler-Nicholsovou metodou. L 9. Ziegler-Nicholsovu metodu je možno použít při návrhu řízení SISO systémů jestliže: - předem zvolíme regulátor typu PID - je k dispozici reálný systém, nebo jeho dostatečně přesný model Poznámka: Z-N metoda je empirická, vhodná pro pracovníky bez hlubších znalostí teorie zpětnovazebního řízení. Dává středně kvalitní výsledky. Postup:
1. V regulátoru vyřadíme I a D složku (zůstane pouze P) a zesílení nastavíme na mez stability (systém začne kmitat) 2. Takto nastavené zesílení (kritické) označíme Kkr 3. Změříme velikost periody kmitů v systému Tk 4. Provozní hodnoty konstant PID regulátoru nastavíme podle následující tabulky: Přenos regulátoru předpokládáme ve tvaru: Pro jednotlivé konstanty platí:
Typ reg. Kr Ti Td
P 0,5Kkr - -
PI 0,45Kkr 0,85Tk -
PD doladit - 0,12Tk
PID 0,6Kkr 0,5Tk 0,12Tk Podobné vztahy navrhl prof.Takahashi i pro diskrétní regulátory. Poznámka: Z-N metoda je úspěšná zejména u přetlumených soustav bez astatismu. Ve složitějších případech selhává.
Rozvětvené regulační obvody Použití rozvětvených regulačních obvodů Vyšší nároky na kvalitu regulace
Současné požadavky na přenos řízení a poruchy
Požadovaných vlastností řízení nelze dosáhnout jedním regulátorem w R S Z v y + - Pomocný regulátor ve zpětné vazbě Člen ve zpětné vazbě musí zachovat hlavní zpětnou vazbu
Může přispět ke zlepšení dynamických vlastností uzavřené smyčky
Obvykle přidává vyšší derivace k hlavnímu signálu y w R1 S R2 + - + - F1 F2 y + - Pomocný regulátor ve zpětné vazbě Změna astatismu
Změna zesílení Změna zesílení Zachován astatismus
Zachováno zesílení Pomocný regulátor ve zpětné vazbě w R S Z v y + - F Pomocný regulátor ve zpětné vazbě a filtr Zapojen filtr vstupního signálu
Je možné současně splnit požadavek na přenos řízení i poruchy R1 R2 S1 S2 w Y y Pomocná regulovaná veličina Pomocná regulovaná veličina Často používaná při regulaci teploty a servomechanismů
Umožňuje odstranění astatismu v soustavě – v případě použití I,PI,PID jako hlavního regulátoru zlepšuje stabilitu
Zavedením pomocné regulované veličiny měřené v blízkosti vstupu soustavy lze zrychlit reakci na vznik poruchového signálu Pomocná regulovaná veličina R1 S1 S2 R2 w e x1 x2 y v Pomocná akční veličina Pomocná akční veličina Musí být možné působit na soustavu nejméně dvěmi akčními veličinami
Řád přenosu akčních veličin na výstup musí být různý (nebo alespoň s různými časovými konstantami)
Reakce na změnu jedné akční veličiny musí být rychlejší, než na druhou
Hlavní regulátor většinou I,PI (zajištění co nejmenší ustálené odchylky), vedlejší PD (rychlost regulace) Pomocná akční veličina R1 S1 S2 R2 w v y Řízení s měřenou poruchou Řízení s měřenou poruchou, podmínka invariantnosti Přenos řízení nezměněn
Přenos poruchy
Podmínka invariantnosti
porucha bude plně kompenzována a neprojeví se na výstupu
problém s realizovatelností – řád čitatele pomocného regulátoru obvykle vychází větší, než jmenovatele
často lze použít reálný PD regulátor – plná kompenzace v ustáleném stavu, výrazné potlačení poruchy v přechodném ději
Typické použití – řízení teploty velkých objemů – měření venkovní teploty
Systémy s modelem Adaptivní systémy
Zlepšení dynamických vlastností zpětnovazebních systémů
Řízení systémů s dopravním zpožděním M R S w y ym Kompenzace dopravního zpoždění Kompenzace dopravního zpoždění Řízení probíhá na základě nezpožděného výstupu modelu
Přenos řízení neobsahuje člen dopravního zpoždění v charakteristickém polynomu
Problematická realizace modelu s dopravním zpožděním pro spojitý čas – obvykle realizováno s diskrétním modelem v systému s diskrétním řízením
Teorie automatického řízení 1.- Lineární systémy.
Prof.Ing. Petr Vavřín, DrSc, ÚAMT, FEKT. Osnova přednášek:
1. Úvod.Základní pojmy,řízení, ovládání a regulace
(otevřená a uzavřená smyčka).
2. Popis dynamických systémů. V/V(přenosy), vnitřní popis (stav)
3. Regulované soustavy. Modely, simulace (spojité i diskrétní).
4. Standardní přenosy: řízení, poruchy, odchylky, otevř.smyčky
5. Stabilita, kriteria. Ustálené stavy.
6. Kvalita regulace. Hodnocení v časové, frekv. a operátor.oblasti
7. Regulátory typu PID (spojité i diskrétní) 8. Diskrétní regulace s konečným počtem kroků.
9. Rozvětvené regulační systémy.
10. Vícerozměrové systémy.
11. Adaptivní a optimální systémy.
12. Fuzzy regulace. Prediktivní řízení.
13. Dotazy, rezerva. Literatura:
Vavřín: Teorie aut.řízení 1-Lineární spojité a diskrétní systémy, Skripta VUT 1991.
Kubík,Kotek,Šalamon: Teorie regulace-I., SNTL 1974 Hodnocení:
50 bodů závěrečná písemná práce
30 bodů krátké kontrolní testy(3) na numerických cvičeních
(v případě neúspěchu následuje zadání rozsáhlejšího projektu s týdenní lhůtou odevzdání).
20 bodů individuální miniprojekty na předem oznámené téma (vypracované na cvičení)
( výpočty s podrobným odvozením postupu- s použitím libovolných pomůcek)
Základní pojmy v automatickém řízení:
- řízení, regulace, regulovaná soustava, regulátor, snímač, akční člen
- žádaná hodnota, odchylka, porucha, akční veličina - spojité a diskrétní řízení - statické a dynamické odchylky
- základní typy regulace: na konstantní hodnotu (regulátory)
vlečná, sledování (servomechanismy)
programová (předem známý průběh) Řízení je každé cílevědomé působení na řízený objekt,
s cílem dosáhnout předem daného stavu.
Pokud takové řízení probíhá automaticky,
mluvíme o automatickém řízení.

Automatické řízení se v technické praxi vyskytuje ve dvou hlavních formách:
Sekvenční řízení, kdy řízený systém přechází postupně z jednoho stavu do druhého (dalšího). K přechodu obvykle dochází tehdy, jsou-li splněny určité podmínky. Typickým příkladem je start nebo ukončení nějakého technologického procesu. Kopírka