Semestrální písemka 2 z ledna 09

Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.2009 - varianta A13 – vzorové řešení
Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 14 body a část b) 4 body.
Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň na 3 desetinná místa.
1. a) • Metodou nejmenších čtverců aproximujte funkci danou tabulkou bodů pomocí přímky.
• Nalezenou přímku pak načrtněte spolu se zadanými body.
xi -2 -1 0 1 2 3
yi 6,5 5,2 3,1 0,9 -1,0 -2,7
Řešení:
Normální soustava rovnic:
6c0 + 3c1 = 12
3c1 + 19c1 = −27,4 ⇒
c0 = 2,954
c1 = −1,909
Rovnice přímky je y = 2,954−1,909x.
−3 −2 −1 0 1 2 3 4−4
−2
0
2
4
6
8
b) Vysvětlete (nakreslete obrázky a doplňte vhodným komentářem), proč to, že f(a) a f(b)
mají opačná znaménka, u spojité funkce f zaručuje existenci kořene rovnice f(x) = 0
v intervalu 〈a,b〉, zatímco u nespojité funkce existence kořene zaručena není.
Řešení: Obrázek pro spojitou funkci viz skripta. Nespojitá funkce je taková, že její graf je
někde ”přetržený“, proto osu x protnout nemusí, i když je jeden koncový bod nad osou a
druhý pod osou x.
2. a) Je dána počáteční úloha
yprime = x2 −2y, y(2) = 1.
• Vypočtěte přibližnou hodnotu řešení v bodě x = 2,4 – řešte s krokem h = 0,2 modifiko-
vanou Eulerovou metodou
yi+1 = yi + h2 (k1 + k2), kde k1 = f(xi,yi), k2 = f(xi + h,yi + hk1).
• Výsledek pak porovnejte s přesným řešením – přesné řešení je y = 14(1−2x+2x2−e−2x+4).
Řešení: f(x,y) = x2 −2y
První krok: x0 = 2, y0 = 1
k1 = f(2;1) = 22 −2·1 = 2
k2 = f(2 + 0,2;1 + 0,2·2) =
= f(2,2;1,4) = 2,22 −2·1,4 = 2,04
y1 = 1 + 0,22 (2 + 2,04) = 1,404
Druhý krok: x1 = 2,2, y1 = 1,404
k1 = f(2,2;1,404) = 2,032
k2 = f(2,4;1,8104) = 2,1392
y2 = 1,404 + 0,22 (2,032 + 2,1392) = 1,82112
Přibližná hodnota řešení v bodě x = 2,4 je y2 = 1,82112.
Přesná hodnota je y(2,4) = 14(1 − 2 · 2,4 + 2 · 2,42 − e−2·2,4+4) .= 1,818, chyba je přibližně
−3·10−3.
b) Vypočtěte (přesně) integraltext 1−1(1+x2)dx. Kdybychom tento integrál vypočítali přibližně lichoběž-
níkovou metodou pro n = 3, byl by získaný výsledek menší, větší, nebo stejný jako přesná
hodnota? Odpověď zdůvodněte, např. pomocí obrázku.
Řešení: integraltext 1−1(1 + x2)dx = [x + x33 ]1−1 = 83. L3 by vyšlo větší – nejsnáze lze ukázat pomocí
obrázku (obrázek k lichoběžníkové metodě viz skripta nebo přednášky). Jiná možnost je
ze vzorce pro chybu (viz skripta nebo přednášky) – druhá derivace integrované funkce je
kladná, a proto je výsledek získaný lichoběžníkovou metodou větší než přesná hodnota.
3. a) Životnost určitého typu součástek (měřená ve stovkách hodin) je náhodná veličina X s dis-
tribuční funkcí
F(x) =
braceleftBigg 1−e−x2/4 pro x > 0,
0 pro x ≤ 0.
• Jaká je pravděpodobnost, že součástka vydrží 1 až 3 stovky hodin?
• Jakou dobu životnosti překročí 90% součástek?
• Jaká je střední hodnota náhodné veličiny X? Jen zapište, jak by se střední hodnota
vypočítala (konkrétně pro tuto náhodnou veličinu, ne zcela obecný vzorec), ale dál už
nepočítejte!
Řešení:
• P(1 < X < 3) = F(3)−F(1) = 1−e−32/4 −(1−e−12/4) = e−1/4 −e−9/4 .= 0,673.
• Hledáme x, pro které je P(X > x) = 0,9:
P(X > x) = 0,9 ⇒ 1−F(x) = 0,9 ⇒ F(x) = 0,1
1−e−x2/4 = 0,1 ⇒ x = √−4ln0,9 .= 0,649, tj. přibližně 65 hodin.
• EX = integraltext∞−∞xf(x)dx. Známe F, hustotu f vypočteme jako f(x) = Fprime(x):
Pro x > 0 je f(x) = (1−e−x2/4)prime = −e−x2/4 ·(−2x4 ) = x2 ·e−x2/4; pro x ≤ 0 je f(x) = 0.
EX = integraltext∞0 x· x2 ·e−x2/4 dx = integraltext∞0 x22 ·e−x2/4 dx
(”Ručně“ by se tento integrál vypočítat nepodařilo, primitivní funkci nelze vyjádřit pomocí
elementárních funkcí. Pomocí počítače dostaneme výsledek √pi.)
b) Uveďte příklad náhodné veličiny s Poissonovým rozdělením pravděpodobnosti s λ = 5.
Řešení: Například náhodná veličina udávající počet hovorů, které přepojí telefonní ústředna
během hodiny, jestliže průměrně přepojuje 5 hovorů za hodinu.
Obecně: X...počet událostí za jednotku času, jestliže průměrně nastává λ událostí za
jednotku času (další předpoklady, které musí být splněny, viz skripta nebo přednášky).
4. a) Anežka hraje pasiáns. Pravděpodobnost výhry je v každé hře 0,8.
• Jaká je pravděpodobnost, že v 5 hrách vyhraje třikrát až čtyřikrát?
• Hraje 50-krát. Náhodná veličina X udává počet výher v 50 hrách. Vypočtěte střední
hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X.
• Jaká je pravděpodobnost, že v 50 hrách vyhraje nanejvýš 35-krát? Použijte normální
rozdělení s korekcí.
Řešení:
• P(vyhraje 3x až 4x) = P(vyhraje 3x) + P(vyhraje 4x) = parenleftbig53parenrightbig0,83 · 0,22 + parenleftbig54parenrightbig0,84 · 0,2 =
0,6144.
• X ∼ Bi(n = 50;p = 0,8), tedy střední hodnota je EX = n·p = 50 · 0,8 = 40 a rozptyl
DX = n·p·(1−p) = 50·0,8·0,2 = 8.
• Pro výpočet použijeme střední hodnotu µ = EX = 40 a rozptyl σ2 = DX = 8 vypočtené
v předchozí části.
X ∼ Bi(50;0,8) ⇒ přibližně X ∼ No(µ = 40;σ2 = 8), U = X−40√8
P(X ≤ 35) .= P(X < 35,5) = P
parenleftBig
U < 35,5−40√8
parenrightBig .
= P(U < −1,59) = Φ(−1,59) =
= 1−Φ(1,59) .= 1−0,944 = 0,056.
b) Může pro distribuční funkci nějaké náhodné veličiny platit F(2) > F(3)? Jestliže ano, uveďte
příklad náhodné veličiny, pro kterou to platí. Jestliže ne, vysvětlete, proč to platit nemůže.
Řešení: NerovnostF(2) > F(3) platit nemůže, protožeF(2) = P(X < 2) aF(3) = P(X < 3).
Hodnota F(3) udává pravděpodobnost ”většího“ jevu než F(2), a tedy F(3) rozhodně
nemůže být menší než F(2). Přesněji:
F(3) = P(X < 3) = P(X < 2) + P(2 ≤ X < 3) = F(2) + P(2 ≤ X < 3)bracehtipupleft bracehtipdownrightbracehtipdownleft bracehtipupright
≥0
≥ F(2),
a tedy nemůže být F(2) > F(3).
Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.2009 - varianta B13 – vzorové řešení
Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 14 body a část b) 4 body.
Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň na 3 desetinná místa.
1. a) • Metodou nejmenších čtverců aproximujte funkci danou tabulkou bodů pomocí přímky.
• Nalezenou přímku pak načrtněte spolu se zadanými body.
xi -3 -2 -1 0 1
yi -3,2 -0,8 0,7 2,9 5,4
Řešení:
Normální soustava rovnic:
5c0 − 5c1 = 5
−5c1 + 15c1 = 15,9 ⇒
c0 = 3,09
c1 = 2,09
Rovnice přímky je y = 3,09 + 2,09x.
−3.5−3−2.5−2−1.5−1−0.50 0.51 1.5−6
−4
−2
0
2
4
6
8
b) U Newtonovy metody pro řešení rovnice f(x) = 0 volíme počáteční aproximaci x0 tak, aby
f(x0) a fprimeprime(x0) měly stejná znaménka. Za jakých předpokladů tato podmínka skutečně
zaručí konvergenci a proč? Vysvětlete geometrický význam této podmínky (nakreslete
obrázky a doplňte vhodným komentářem).
Řešení: Viz skripta (Fourierova podmínka) a obrázky ze cvičení.
2. a) Je dána počáteční úloha
yprime = 2x2 −y, y(1) = 3.
• Vypočtěte přibližnou hodnotu řešení v bodě x = 1,4 – řešte s krokem h = 0,2 modifiko-
vanou Eulerovou metodou
yi+1 = yi + hk2, kde k1 = f(xi,yi), k2 = f(xi + h2,yi + h2 k1).
• Výsledek pak porovnejte s přesným řešením – přesné řešení je y = 4−4x+ 2x2 + e−x+1.
Řešení: f(x,y) = 2x2 −y
První krok: x0 = 1, y0 = 3
k1 = f(1;3) = 2·12 −3 = −1
k2 = f(1 + 0,22 ;3 + 0,1·(−1)) =
= f(1,1;2,9) = 2·1,12 −2,9 = −0,48
y1 = 3 + 0,2·(−0,48) = 2,904
Druhý krok: x1 = 1,2, y1 = 2,904
k1 = f(1,2;2,904) = −0,024
k2 = f(1,3;2,9016) = 0,4784
y2 = 2,904 + 0,2·0,4784 = 2,99968
Přibližná hodnota řešení v bodě x = 1,4 je y2 = 2,99968.
Přesná hodnota je y(1,4) = 4−4·1,4+2·1,42−e−1,4+1 .= 2,99