Semestrální písemka 2 z ledna 09

0, chyba je přibližně −9·10−3.
b) Vypočtěte (přesně) integraltext 1−1(1−x2)dx. Kdybychom tento integrál vypočítali přibližně lichoběž-
níkovou metodou pro n = 3, byl by získaný výsledek menší, větší, nebo stejný jako přesná
hodnota? Odpověď zdůvodněte, např. pomocí obrázku.
Řešení: integraltext 1−1(1−x2)dx = [x− x33 ]1−1 = 43. L3 by vyšlo menší – nejsnáze lze ukázat pomocí
obrázku (obrázek k lichoběžníkové metodě viz skripta nebo přednášky). Jiná možnost je
ze vzorce pro chybu (viz skripta nebo přednášky) – druhá derivace integrované funkce je
záporná, a proto je výsledek získaný lichoběžníkovou metodou menší než přesná hodnota.
3. a) Životnost určitého typu součástek (měřená ve stovkách hodin) je náhodná veličina X s dis-
tribuční funkcí
F(x) =
braceleftBigg 1−e−x2/9 pro x > 0,
0 pro x ≤ 0.
• Jaká je pravděpodobnost, že součástka vydrží 2 až 4 stovky hodin?
• Do jaké doby selže 95% součástek?
• Jaká je střední hodnota náhodné veličiny X? Jen zapište, jak by se střední hodnota
vypočítala (konkrétně pro tuto náhodnou veličinu, ne zcela obecný vzorec), ale dál už
nepočítejte!
Řešení:
• P(2 < X < 4) = F(4)−F(2) = 1−e−42/9 −(1−e−22/9) = e−4/9 −e−16/9 .= 0,472.
• Hledáme x, pro které je P(X < x) = 0,95:
P(X < x) = 0,95 ⇒ F(x) = 0,95
1−e−x2/9 = 0,95 ⇒ x = √−9ln0,05 .= 5,192, tj. přibližně 519 hodin.
• EX = integraltext∞−∞xf(x)dx. Známe F, hustotu f vypočteme jako f(x) = Fprime(x):
Pro x > 0 je f(x) = (1−e−x2/9)prime = −e−x2/9 ·(−2x9 ) = 2x9 ·e−x2/9; pro x ≤ 0 je f(x) = 0.
EX = integraltext∞0 x· 2x9 ·e−x2/9 dx = integraltext∞0 2x29 ·e−x2/9 dx
(”Ručně“ by se tento integrál vypočítat nepodařilo, primitivní funkci nelze vyjádřit pomocí
elementárních funkcí. Pomocí počítače dostaneme výsledek 3√pi/2.)
b) Uveďte příklad náhodné veličiny s Poissonovým rozdělením pravděpodobnosti s λ = 10.
Řešení: Například náhodná veličina udávající počet hovorů, které přepojí telefonní ústředna
během hodiny, jestliže průměrně přepojuje 10 hovorů za hodinu.
Obecně: X...počet událostí za jednotku času, jestliže průměrně nastává λ událostí za
jednotku času (další předpoklady, které musí být splněny, viz skripta nebo přednášky).
4. a) Barbora hraje pasiáns. Pravděpodobnost výhry je v každé hře 0,75.
• Jaká je pravděpodobnost, že ve 4 hrách vyhraje dvakrát až třikrát?
• Hraje 80-krát. Náhodná veličina X udává počet výher v 80 hrách. Vypočtěte střední
hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X.
• Jaká je pravděpodobnost, že v 80 hrách vyhraje alespoň 55-krát? Použijte normální
rozdělení s korekcí.
Řešení:
• P(vyhraje 2x až 3x) = P(vyhraje 2x)+P(vyhraje 3x) = parenleftbig42parenrightbig0,752·0,252+parenleftbig43parenrightbig0,753·0,25 .=
0,633.
• X ∼ Bi(n = 80;p = 0,75), tedy střední hodnota je EX = n·p = 80·0,75 = 60 a rozptyl
DX = n·p·(1−p) = 80·0,75·0,25 = 15.
• Pro výpočet použijeme střední hodnotu µ = EX = 60 a rozptyl σ2 = DX = 15 vypočtené
v předchozí části.
X ∼ Bi(80;0,75) ⇒ přibližně X ∼ No(µ = 60;σ2 = 15), U = X−60√15
P(X ≥ 55) .= P(X > 54,5) = P
parenleftBig
U > 54,5−60√15
parenrightBig .
= P(U > −1,42) = 1−Φ(−1,42) =
= 1−(1−Φ(1,42)) = Φ(1,42) .= 0,922.
b) Musí pro každou náhodnou veličinu X platit P(X > 3) = 1 −F(3)? Nebo to platí jen pro
některý typ náhodných veličin? Nebo to neplatí vůbec? Odpověď zdůvodněte.
Řešení:
P(X > 3) = 1−P(X ≤ 3) = 1−(P(X < 3) + P(X = 3)) = 1−F(3)−P(X = 3)
Rovnost P(X > 3) = 1 − F(3) platí pro spojité náhodné veličiny, protože pro spojitou
náhodnou veličinu je P(X = 3) = 0. Pro diskrétní náhodné veličiny vztah platit může a
nemusí, záleží na tom, zda je P(X = 3) = p(3) nenulová.
(Jestliže však pracujeme s definicí distribuční funkce F(x) = P(X ≤ x), pak rovnost
P(X > 3) = 1−F(3) platí vždy.)
Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.2009 - varianta C13 – vzorové řešení
Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 14 body a část b) 4 body.
Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň na 3 desetinná místa.
1. a) • Metodou nejmenších čtverců aproximujte funkci danou tabulkou bodů pomocí přímky.
• Nalezenou přímku pak načrtněte spolu se zadanými body.
xi -1 0 1 2 3
yi -3,3 -2,2 -0,5 0,8 2,2
Řešení:
Normální soustava rovnic:
5c0 + 5c1 = −3
5c1 + 15c1 = 11 ⇒
c0 = −2
c1 = 1,4
Rovnice přímky je y = −2 + 1,4x.
−1.5−1−0.50 0.51 1.52 2.53 3.5−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
b) Vysvětlete (nakreslete obrázky a doplňte vhodným komentářem), proč to, že f(a) a f(b)
mají opačná znaménka, u spojité funkce f zaručuje existenci kořene rovnice f(x) = 0
v intervalu 〈a,b〉, zatímco u nespojité funkce existence kořene zaručena není.
Řešení: Obrázek pro spojitou funkci viz skripta. Nespojitá funkce je taková, že její graf je
někde ”přetržený“, proto osu x protnout nemusí, i když je jeden koncový bod nad osou a
druhý pod osou x.
2. a) Je dána počáteční úloha
yprime = x2 −3y, y(2) = 1.
• Vypočtěte přibližnou hodnotu řešení v bodě x = 2,4 – řešte s krokem h = 0,2 modifiko-
vanou Eulerovou metodou
yi+1 = yi + h2 (k1 + k2), kde k1 = f(xi,yi), k2 = f(xi + h,yi + hk1).
•Výsledek pak porovnejte s přesným řešením – přesné řešení je y = 127(2−6x+9x2+e−3x+6).
Řešení: f(x,y) = x2 −3y
První krok: x0 = 2, y0 = 1
k1 = f(2;1) = 22 −3·1 = 1
k2 = f(2 + 0,2;1 + 0,2·1) =
= f(2,2;1,2) = 2,22 −3·1,2 = 1,24
y1 = 1 + 0,22 (1 + 1,24) = 1,224
Druhý krok: x1 = 2,2, y1 = 1,224
k1 = f(2,2;1,224) = 1,168
k2 = f(2,4;1,4576) = 1,3872
y2 = 1,224 + 0,22 (1,168 + 1,3872) = 1,47952
Přibližná hodnota řešení v bodě x = 2,4 je y2 = 1,47952.
Přesná hodnota je y(2,4) = 127(2 − 6 · 2,4 + 9 · 2,42 + e−3·2,4+6) .= 1,472, chyba je přibližně
−8·10−3.
b) Vypočtěte (přesně) integraltext 1−1(1 + x2)dx. Kdybychom tento integrál vypočítali přibližně Simp-
sonovou metodou pro n = 4, byl by získaný výsledek menší, větší, nebo stejný jako přesná
hodnota? Odpověď zdůvodněte, např. pomocí obrázku.
Řešení: integraltext 1−1(1+x2)dx = [x+x33 ]1−1 = 83. S4 by vyšlo stejně – při použití Simpsonovy metody
nahrazujeme integrovanou funkci interpolačním polynomem 2. stupně neboli parabolou.
Protože integrovaná funkce je polynom 2. stupně, Simpsonovou metodou dostaneme přesný
výsledek.
3. a) Životnost určitého typu součástek (měřená ve stovkách hodin) je náhodná veličina X s dis-
tribuční funkcí
F(x) =
braceleftBigg 1−e−x3/8 pro x > 0,
0 pro x ≤ 0.
• Jaká je pravděpodobnost, že součástka vydrží 1 až 4 stovky hodin?
• Do jaké doby selže 99% součástek?
• Jaká je střední hodnota náhodné veličiny X? Jen zapište, jak by se střední hodnota
vypočítala (konkrétně pro tuto náhodnou veličinu, ne zcela obecný vzorec), ale dál už
nepočítejte!
Řešení:
• P(1 < X < 4) = F(4)−F(1) = 1−e−43/8 −(1−e−13/8) = e−1/8 −e−8 .= 0,882.
• Hledáme x, pro které je P(X < x) = 0,99:
P(X < x) = 0,99 ⇒ F(x) = 0,99
1−e−x3/8 = 0,99 ⇒ x = 3√−8ln0,01 .= 3,327, tj. přibližně 333 hodin.
• EX = integraltext∞−∞xf(x)dx. Známe F, hustotu f vypočteme jako f(x) = Fprime(x):
Pro x > 0 je f(x) = (1−e−x3/8)prime = −e−x3/8 ·(−3x28 ) = 3x28 ·e−x3/8; pro x ≤ 0 je f(x) = 0.
EX = integraltext∞0 x· 3x28 ·e−x3/8 dx = integraltext∞0 3x38 ·e−x3/8 dx
(”Ručně“ by se tento integrál vypočítat nepodařilo, primitivní funkci nelze vyjádřit pomocí
elementárních funkcí. Pomocí počítače dostaneme výsledek 4pi√3/(9Γ(2/3)) .= 1,786.)
b) Uveďte příklad náhodné veličiny s Po