Semestrální písemka 2 z ledna 09

issonovým rozdělením pravděpodobnosti s λ = 15.
Řešení: Například náhodná veličina udávající počet hovorů, které přepojí telefonní ústředna
během hodiny, jestliže průměrně přepojuje 15 hovorů za hodinu.
Obecně: X...počet událostí za jednotku času, jestliže průměrně nastává λ událostí za
jednotku času (další předpoklady, které musí být splněny, viz skripta nebo přednášky).
4. a) Cyril hraje Hledání min. Pravděpodobnost výhry je v každé hře 0,25.
• Jaká je pravděpodobnost, že v 5 hrách vyhraje jednou až dvakrát?
• Hraje 60-krát. Náhodná veličina X udává počet výher v 60 hrách. Vypočtěte střední
hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X.
• Jaká je pravděpodobnost, že v 60 hrách vyhraje alespoň 20-krát? Použijte normální
rozdělení s korekcí.
Řešení:
• P(vyhraje 1x až 2x) = P(vyhraje 1x)+P(vyhraje 2x) = 5·0,25·0,754+parenleftbig52parenrightbig0,252·0,753 .=
0,659.
• X ∼ Bi(n = 60;p = 0,25), tedy střední hodnota je EX = n·p = 60·0,25 = 15 a rozptyl
DX = n·p·(1−p) = 60·0,25·0,75 = 11,25.
• Pro výpočet použijeme střední hodnotu µ = EX = 15 a rozptyl σ2 = DX = 11,25
vypočtené v předchozí části.
X ∼ Bi(60;0,25) ⇒ přibližně X ∼ No(µ = 15;σ2 = 11,25), U = X−15√11,25
P(X ≥ 20) .= P(X > 19,5) = P
parenleftBig
U > 19,5−15√11,25
parenrightBig .
= P(U > 1,34) = 1−Φ(1,34) .=
.= 1−0,910 = 0,090.
b) Může pro distribuční funkci nějaké náhodné veličiny platit F(1) > F(2)? Jestliže ano, uveďte
příklad náhodné veličiny, pro kterou to platí. Jestliže ne, vysvětlete, proč to platit nemůže.
Řešení: NerovnostF(1) > F(2) platit nemůže, protožeF(1) = P(X < 1) aF(2) = P(X < 2).
Hodnota F(2) udává pravděpodobnost ”většího“ jevu než F(1), a tedy F(2) rozhodně
nemůže být menší než F(1). Přesněji:
F(2) = P(X < 2) = P(X < 1) + P(1 ≤ X < 2) = F(1) + P(1 ≤ X < 2)bracehtipupleft bracehtipdownrightbracehtipdownleft bracehtipupright
≥0
≥ F(1),
a tedy nemůže být F(1) > F(2).
Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.2009 - varianta D13 – vzorové řešení
Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 14 body a část b) 4 body.
Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň na 3 desetinná místa.
1. a) • Metodou nejmenších čtverců aproximujte funkci danou tabulkou bodů pomocí přímky.
• Nalezenou přímku pak načrtněte spolu se zadanými body.
xi -3 -2 -1 0 1 2
yi -2,3 -1,3 0,6 2,2 3,3 5,5
Řešení:
Normální soustava rovnic:
6c0 − 3c1 = 8
−3c1 + 19c1 = 23,2 ⇒
c0 = 2,110
c1 = 1,554
Rovnice přímky je y = 2,110 + 1,554x.
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3−4
−3−2
−10
12
34
56
b) U Newtonovy metody pro řešení rovnice f(x) = 0 volíme počáteční aproximaci x0 tak, aby
f(x0) a fprimeprime(x0) měly stejná znaménka. Za jakých předpokladů tato podmínka skutečně
zaručí konvergenci a proč? Vysvětlete geometrický význam této podmínky (nakreslete
obrázky a doplňte vhodným komentářem).
Řešení: Viz skripta (Fourierova podmínka) a obrázky ze cvičení.
2. a) Je dána počáteční úloha
yprime = 3x2 −y, y(1) = 2.
• Vypočtěte přibližnou hodnotu řešení v bodě x = 1,4 – řešte s krokem h = 0,2 modifiko-
vanou Eulerovou metodou
yi+1 = yi + hk2, kde k1 = f(xi,yi), k2 = f(xi + h2,yi + h2 k1).
• Výsledek pak porovnejte s přesným řešením – přesné řešení je y = 6−6x+ 3x2 −e−x+1.
Řešení: f(x,y) = 3x2 −y
První krok: x0 = 1, y0 = 2
k1 = f(1;2) = 3·12 −2 = 1
k2 = f(1 + 0,22 ;2 + 0,1·1) =
= f(1,1;2,1) = 3·1,12 −2,1 = 1,53
y1 = 2 + 0,2·1,53 = 2,306
Druhý krok: x1 = 1,2, y1 = 2,306
k1 = f(1,2;2,306) = 2,014
k2 = f(1,3;2,5074) = 2,5626
y2 = 2,306 + 0,2·2,5626 = 2,81852
Přibližná hodnota řešení v bodě x = 1,4 je y2 = 2,81852.
Přesná hodnota je y(1,4) = 6−6·1,4+3·1,42−e−1,4+1 .= 2,810, chyba je přibližně −9·10−3.
b) Vypočtěte (přesně) integraltext 1−1(1 − x2)dx. Kdybychom tento integrál vypočítali přibližně Simp-
sonovou metodou pro n = 4, byl by získaný výsledek menší, větší, nebo stejný jako přesná
hodnota? Odpověď zdůvodněte, např. pomocí obrázku.
Řešení: integraltext 1−1(1−x2)dx = [x−x33 ]1−1 = 43. S4 by vyšlo stejně – při použití Simpsonovy metody
nahrazujeme integrovanou funkci interpolačním polynomem 2. stupně neboli parabolou.
Protože integrovaná funkce je polynom 2. stupně, Simpsonovou metodou dostaneme přesný
výsledek.
3. a) Životnost určitého typu součástek (měřená ve stovkách hodin) je náhodná veličina X s dis-
tribuční funkcí
F(x) =
braceleftBigg 1−e−x3/27 pro x > 0,
0 pro x ≤ 0.
• Jaká je pravděpodobnost, že součástka vydrží 2 až 3 stovky hodin?
• Jakou dobu životnosti překročí 95% součástek?
• Jaká je střední hodnota náhodné veličiny X? Jen zapište, jak by se střední hodnota
vypočítala (konkrétně pro tuto náhodnou veličinu, ne zcela obecný vzorec), ale dál už
nepočítejte!
Řešení:
• P(2 < X < 3) = F(3)−F(2) = 1−e−33/27 −(1−e−23/27) = e−8/27 −e−1 .= 0,376.
• Hledáme x, pro které je P(X > x) = 0,95:
P(X > x) = 0,95 ⇒ 1−F(x) = 0,95 ⇒ F(x) = 0,05
1−e−x3/27 = 0,05 ⇒ x = 3√−27ln0,95 .= 1,115, tj. přibližně 112 hodin.
• EX = integraltext∞−∞xf(x)dx. Známe F, hustotu f vypočteme jako f(x) = Fprime(x):
Pro x > 0 je f(x) = (1−e−x3/27)prime = −e−x3/27·(−3x227 ) = x29 ·e−x3/27; pro x ≤ 0 je f(x) = 0.
EX = integraltext∞0 x· x29 ·e−x3/27 dx = integraltext∞0 x39 ·e−x3/27 dx
(”Ručně“ by se tento integrál vypočítat nepodařilo, primitivní funkci nelze vyjádřit pomocí
elementárních funkcí. Pomocí počítače dostaneme výsledek 2pi√3/(3Γ(2/3)) .= 2,679.)
b) Uveďte příklad náhodné veličiny s Poissonovým rozdělením pravděpodobnosti s λ = 20.
Řešení: Například náhodná veličina udávající počet hovorů, které přepojí telefonní ústředna
během hodiny, jestliže průměrně přepojuje 20 hovorů za hodinu.
Obecně: X...počet událostí za jednotku času, jestliže průměrně nastává λ událostí za
jednotku času (další předpoklady, které musí být splněny, viz skripta nebo přednášky).
4. a) Daniel hraje Hledání min. Pravděpodobnost výhry je v každé hře 0,2.
• Jaká je pravděpodobnost, že ve 4 hrách vyhraje jednou až dvakrát?
• Hraje 100-krát. Náhodná veličina X udává počet výher ve 100 hrách. Vypočtěte střední
hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X.
• Jaká je pravděpodobnost, že ve 100 hrách vyhraje nanejvýš 19-krát? Použijte normální
rozdělení s korekcí.
Řešení:
• P(vyhraje 1x až 2x) = P(vyhraje 1x) + P(vyhraje 2x) = 4 · 0,2 · 0,83 + parenleftbig42parenrightbig0,22 · 0,82 =
0,5632.
• X ∼ Bi(n = 100;p = 0,2), tedy střední hodnota je EX = n·p = 100·0,2 = 20 a rozptyl
DX = n·p·(1−p) = 100·0,2·0,8 = 16.
• Pro výpočet použijeme střední hodnotu µ = EX = 20 a rozptyl σ2 = DX = 16 vypočtené
v předchozí části.
X ∼ Bi(100;0,2) ⇒ přibližně X ∼ No(µ = 20;σ2 = 16), U = X−20√16
P(X ≤ 19) .= P(X < 19,5) = P
parenleftBig
U < 19,5−204
parenrightBig .
= P(U < −0,12) = Φ(−0,12) =
= 1−Φ(0,12) .= 1−0,548 = 0,452.
b) Musí pro každou náhodnou veličinu X platit P(X > 4) = 1 −F(4)? Nebo to platí jen pro
některý typ náhodných veličin? Nebo to neplatí vůbec? Odpověď zdůvodněte.
Řešení:
P(X > 4) = 1−P(X ≤ 4) = 1−(P(X < 4) + P(X = 4)) = 1−F(4)−P(X = 4)
Rovnost P(X > 4) = 1 − F(4) platí pro spojité náhodné veličiny, protože pro spojitou
náhodnou veličinu je P(X = 4) = 0. Pro diskrétní náhodné veličiny vztah platit může a
nemusí, záleží na tom, zda je P(X = 4) = p(4) nenulová.
(Jestliže však pracujeme s definicí distribuční funkce F(x) = P(X ≤ x), pak rovnost
P(X > 4) = 1−F(4) platí vždy.)