Semestrálka náhradní termín 2004

Semestrální písemný test z předmětu BSAS Náhradní termín 4.2.2004

1. Je dán signál () ( ) ( )
( ) ( )
22
11cos2sin2, ,ft t t t t tσσ ππ= +− − + ∈−∞+∞⎡⎤
⎣⎦
.
a) Načrtněte průběh funkce
()( )
1ttσσ+− −1. Předpokládejte, že
( )
0σ =1. (3b)
b) Určete zda je signál ()f t periodický. Pokud je periodický, určete jeho periodu. (1b)
c) Určete jeho komplexní spektrum. (2b)
d) Načrtněte komplexní spektrum (4b). Ocejchujte osy. Celkem 10b

Řešení:
a)
t
t
t
σ(t+1)
σ( −σt+1) (t-1)
σ(t-1)
1
1
1
-1
0
0 1
-1 +1

b) Signál není periodický.
c) Vzhledem k tomu, že platí
22
cos sin 1αα+= ( ) ( ) ( )1ft t tσσ1= +− −, a proto
() ()
1
1
1 1
sin
2
jt j j
jt jt
eee
Fftedtedt
jj
ωωω
ωω
ω
ω
ω ωω
+
+∞ + −−+
−−
−∞ − −
⎡⎤ −
=====
⎢⎥
−−
⎣⎦
∫∫

d)
0
ω
π−π 2π 3π−2π−3π
F( )ω
2


2. Je dán signál
() () ( ) ( )
cos 2 , ,ft t t t tσσ π= +− ∈−∞+∞⎡⎤
⎣⎦
.
e) Načrtněte průběh funkce
() ( )tσσ+−t
. Předpokládejte, že
( )01/σ = 2
. (3b)
f) Určete zda je signál
()
f t periodický. Pokud je periodický, určete jeho periodu. (1b)
g) Určete jeho komplexní spektrum. (2b)
h) Načrtněte amplitudové (2b) a fázové spektrum (2b). Ocejchujte osy. Celkem 10b

Řešení:
a) Podle předpokladu je , a proto
()
01/2σ = ( ) ( ) ( )1, ,tt tσσ+ −= ∈−∞+∞⎡⎤
⎣⎦
.
t
t
t
σ(t)
σ(t)+
σ(−t)
σ(−t)
1
1
1


b) Jelikož je () ( ) ( )1, ,tt tσσ+ − = ∈ −∞ +∞⎡⎤
⎣⎦
( ) ( )cos 2 , ,ft t tπ= ∈−∞+∞. Signál je tedy
periodický a platí
[]
0
2
21Ps
P
π
ωπ==⇒=

b) ()
22
22
cos 2 0,5 0,5
2
jt jt
jt jt
ee
f tt e
ππ
e
π π
π
−
−
+
== = +
11
0,5 0,5cc
−+
=+ =+ ostatní koeficienty jsou nulové.

c)
11
0,5cc
−+
== { } { }
11
arg 0 arg 0cc
−+
==
DD


m
m
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
c
m
c
m
arg{ }
-90
+90
0,5
0,5




3. Diferenciální rovnice spojitého systému je 0,1yyu′+ = .
a) Určete operátorový přenos systému. (1b)
b) Určete frekvenční přenos systému. (1b)
c) Načrtněte asymptotickou amplitudovou a fázovou frekvenční charakteristiku
v logaritmických souřadnicích. Ocejchujte osy. (4b)
d) Vypočtěte (2b) a načrtněte (2b) přechodovou charakteristiku systému. Celkem 10b

Řešení:
a) () () ( ) ( ) ( ) ( )0,1 / 0,1yt yt ut pYp Yp Up′ += ⇒+ =L
()
()
() ()()
110
0,1 10 1
Yp
Fp
Up p p
== =
++


b) ()
()
arctan10
2
10 10
10 1
100 1
j
Fj e
j
ω
ω
ω
ω
−
==
+
+


c) Pro absolutní hodnotu platí:
() ()
22
20log 20log10 20log 100 1 20 20log 100 1
dB
Fj Fjωω ω==−+=−ω+
Na charakteristice je jeden zlomový bod 1/10 0,1ω = = a v jednotlivých oblastech platí:
Oblast a: ()0,1 20
dB
Fj dBωω⇒≈+
Oblast b: ()0,1 20 20log10 20 20log10 20log 20log
dB
Fjω ωω ω⇒≈−=−−=− ω.
Pro fázi platí () arctan10ϕ ωω=− .
F
dB
+20
-20
0,01
0,1
1
0
logω
-180
-90
-
2
0
d
B
/
d
e
k
dB
ωF(j )
ωϕ( )
ωϕ( )
a
b
0 dB/dek
0


d) () ()
()
()
11 1 /10
1 1 10 10
10 1 0
0,1 0,1
t
ht F p e prot
pppp
−− − −
⎧⎫
⎧⎫ ⎧ ⎫
⎪⎪
== =−=
⎨⎬⎨ ⎬⎨ ⎬
++
⎩⎭ ⎩ ⎭
⎩⎭
LL L >
u(t)= (t)σ
t0
h(t)
h(t)
10
10
1


4. Je dán spojitý systém, který má impulsovou charakteristiku
( ) ()
/10
10 1 , 0
t
gt e t
−
= −≥.
a) Určete jeho operátorový přenos. (2b)
b) Napište jeho diferenciální rovnici. (2b)
c) Nakreslete rozložení pólů a nul. (2b). Označte osy. (2b)
d) Je tento systém stabilní? Zdůvodněte. (2b) Celkem 10b

Řešení:
a) () ()
{} (){}
()()
0,1
10 10 1 10
10 10
0,1 0,1 10 1
t
Fp gt t e
pp pp p p
σ
−
=−=−==
+ ++
L=L .

b)
()
()
()
()
() () ()
2
1
0,1 0,1
0,1
Yp
Fp pYp pYp Up y y u
pp Up
′′′==⇒+=⇒+
+
=

c) Systém má 2 póly a žádnou nulu.
12
0, 0,1pp==−
Im{p}
Re{p}
-0,1

d) Jeden pól leží v nule (tj. na imaginární ose)- systém je na mezi stability.



5. Je dán diskrétní periodický signál s periodou 4N = pro jehož hodnoty platí
a () ()022ff==( )()130ff==.
a) Vypočtěte hodnoty diskrétní Fourierovy řady. (4b)
b) Načrtněte amplitudové spektrum. Ocejchujte osy.(3b)
c) Načrtněte fázové spektrum. Ocejchujte osy.(3b) Celkem 10b

Řešení:
a) () ()
2
3
0
4
0
0
11
21 01 2101 1
44
jk
k
cfke
π
−
=
= = ×+×+×+× =
∑

()
2
3
1123
42 2
1
0
11
21 0 2 0 0
44
jk j j j
k
cfke e e e
ππππ
−−−−
=
⎛⎞
−
==×++×+×=
⎜⎟
⎝⎠
∑
2
4
=
()
2
3
22123
422
2
0
11
21 0 2 0. 1
44
jk j j j
k
cfke e ee
ππππ
−−−−
=
+
==×++×+=
∑
2
4
=
()
2
3
331323
42 2
3
0
11
210 2 0 0
44
jk j j j
k
cfke e e e
ππππ
−−−−
=
⎛⎞
−
==×++×+×=
⎜⎟
⎝⎠
∑
2
4
=

b)
01 23
1010cccc== ==

m
1
012345678-1-2 ....
....


c) { } { } { } { }
0123
arg 0 arg 0 arg 0 arg 0cccc====

m
45°
-45°
0 1 2345 678-1-2
arg { }




6. Diferenční rovnice diskrétního systému je
( ) ( ) ( )
1 1 , 0,1, 2,...yk ayk uk k+−=−=
s počáteční podmínkou . ()10y −=
a) Určete operátorový přenos systému. (2b)
b) Pro jaké hodnoty parametru je systém stabilní. (2b) a
c) Vypočtěte impulsovou charakteristiku. (3b)
d) Načrtněte impulsovou charakteristiku pro prvních 5 hodnot systému ve kterém je
. Ocejchujte osy. (3b) Celkem 10b (0,1a∈ )

Řešení:
a) () ( ) ( )11yk ayk uk+−=−Z/
() () ()
11
Yz azYz zUz
−−
+=
()
()
()
1
1
1
1
Yz
z
Fz
Uz az z a
−
−
== =
++


b) Systém má jeden pól , který musí ležet uvnitř jednotkové kružnice aby byl systém
stabilní tj.
1
z=−a
1a < .

c) Operátorový přenos lze vyjádřit jako součet geometrické řady
()
()
() () ()
{}
1
1111 1
1 1
00
1
1 1
k
kk
k
kk
z
Fz z z az z a z z a
az az
− ∞∞
−−−−−−
− −
==
= = =−=−=−
+ −−
∑∑
Z
což je podle definice Z obraz impulsové charakteristiky a proto
()
()
1
1
01
k
ak
gk
k
−
⎧
−≥⎪
=
⎨
<
⎪
⎩
.
Jiné řešení: Dělení polynomu čitatele polynomem jmenovatele operátorového přenosu
()
001122334
1
1
122
22
22 33
1 : 0 ...
1
.............
za z az az az az
az
az
az a z
az
az az
−− −−
−
−
−−
−
−−
+= + − + − +
+
−
−−
+
++

Koeficienty u jednotlivých mocnin z jsou hodnoty impulsové charakteristiky
() () ( )()( )
0123
0 0, 1 , 2 , 3 , 4 ,......ggagagaga== =− = =−

Jiné řešení: Do diferenční rovnice ( ) ( ) ( )1yk ayk uk 1=−−+− dosadíme za
(výstup systému pak bude jeho impulsovou charakteristikou tj.
() ()uk kδ=
( )(yk gk= ))a vyčíslujeme
postupně pro . 0,1, 2,...k =
() ( ) ( )
() () ()
() () ()
() () ()
() () () ( )( )
() () () ( )
2
23
011
00 1 1000
11 0 0 011
22 1 1 0
33 2 2 0
44 3 3 0
...................
kyk ayk uk
ky ay u
ky ay u
ky ay u a a
ky ay u aa
ky ay u a a
≥=−−+−
== =+=
==−+=+=
−−
==−+=−−+
==−+=−+=
a=
−


d)
g(k)
-1 0 1
2
3
4
5k
1
....




7. Diskrétní systém je popsán svojí impulsovou charakteristikou
. ()
0, 25 0,1, 2,3
00,12
k
gk
k
=
⎧
=
⎨
≠
⎩
,3
a) Určete přechodovou charakteristiku systému a načrtněte ji pro prvních 5 hodnot.
Ocejchujte osy. (3b)
b) Určete operátorový přenos systému. (3b)
c) Napište diferenční rovnici systému. (2b)
d) Rozhodněte o stabilitě systému. (2b) Celkem 10b

Řešení:
a) () () () () ( ) ( ) ( ) ( )()001/4,1011/2,20133/hg hgg hggg== =+= =++=4
() () () ( )() ( )301341, 1hgggg hk k=+++= =≥4

-1012345k
1
....
1/4
h(k)
1/2
3/4


b)
() (){} () ()
321
0 1 2 3 0123
3
0
11 1 1 1
44 4 4 4 4
k
k
zzz
Fz gk gkz z z z z z z z z
z
∞
−−−−−−−
=
1+ ++
== =+++=+++=
∑
Z

c) ()
()
()
() ()
123
123
1
41
4
Yz
zzz
Fz Yz Uz z z z
Uz
−−−
−−−
+++
== ⇒ = +++
() () ( ) ( ) ( )
1
123
4
yk uk uk uk uk⇒ = +−+−+−⎡⎤
⎣⎦


d) Systém má jeden trojnásobný pól
1
0z = který leží v nule a tedy uvnitř jednotkové kružnice
a proto je systém stabilní.
Semestrální písemný test z předmětu BSAS Řádný termín 23.1.2004

1. Je dán signál
() ( )2sin2 cos6, ,ft t t tππ= ++ ∈−∞+∞.
a) Pokud je signál periodický určete základní periodu signálu. (1b)
b) Určete jeho komplexní spektrum. (2b)
c) Načrtněte amplitudové a fázové spektrum. Ocejchujte osy. (5b)
d) Jaká je hodnota stejnosměrné složky tohoto signálu. (1b)
e) Které harmonické složky tento signál obsahuje. (1b) Celkem 10b

Řešení:
a) Signál je periodický,
[]
0
2
21Ps
P
π
ωπ==⇒=

b) ()
2266
62 2
2 0,5 0,5 2 0,5 0,5
jt jt jt jt
jt jt jt jt
ee ee
6
f tee
j
ππππ
je
π ππ
−−
−−
−+
=+ + = + +− +
π

01 1 33
2 0,5 0,5 0,5c cjcjcc
−+−+
==+ =− ==ostatní koeficienty jsou nulové.

c)
01133
20ccccc
−+−+
= ====
{ } { } { } { } { }
01133
arg 0 arg 90 arg 90 arg arg 0c cc
−+−+
==+ =− =
DD
=

m
m
2
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
-6
-6
-7
-7
-8
-8
-9
-9
0,5 0,5
c
m
c
m
arg
-90
+90
0,5
0,5


d) Hodnota stejnosměrné složky je 2.

e) Signál obsahuje první a třetí harmonickou složku.


2. Je dán signál
() ( ) ( ) ( )
0, , 0 0,f tKprot aft prot a=∈ =∉.
a) Určete komplexní spektrum signálu. (3b)
b) Určete a načrtněte amplitudové spektrum. Ocejchujte osy. (4b)
Pomůcka: ()
1
sin 1 cos
22
α
α=−
c) Určete celkovou energii signálu. (1b)
d) Určete energii signálu v kmitočtovém rozsahu ( ),ω∈ −∞ +∞ . (2b) Celkem 10b

Řešení:
a) () ()
()()
0 0
11
a
a jt
jt jt ja ja
eK K
F f t e dt Ke dt K e j e
jj
ω
ωω ω ω
ω
ωω ω
+∞ −
−− − −
−∞
⎡⎤
==== =
⎢⎥
−−
⎣⎦
∫∫


b) Amplitudové spektrum
() () ()
2
2
1 cos sin 1 cos 1 sin
ja
KK K
AF e aja a a
ω
ωω ω ω ω ω
ωω ω
−
== −= − −= −+ =
()
22
sin
2
2
cos 2cos 1 sin 2 1 cos sin
2
2
a
KK
aa a a Ka
a
ω
ω
ωω ω ω
ω
=−+=−==
Nulové body amplitudového spektra:
2
, 1, 2,...
2
a
nn n
a
ω π
πω==±±⇒=

0
ω
2π/a−2π/a 4π/a 6π/a−4π/a−6π/a
A( )ω
Ka


c) ()
[]
2
22
0
0
a
a
EftdtKdtKtK
+∞
−∞
====
∫∫
2
a.

d) Na základě Parcevalovy rovnosti (energie v časové oblasti je rovna energii v kmitočtové
oblasti) platí
()
() ()
22
2
,
1
2
E F dt f t dt K aω
π
+∞ +∞
−∞ +∞
−∞ −∞
==
∫∫
=.


3. Diferenciální rovnice spojitého systému je yyu′′′+ = .
a) Určete operátorový přenos systému. (1b)
b) Určete frekvenční přenos systému. (1b)
c) Načrtněte asymptotickou amplitudovou a fázovou frekvenční charakteristiku
v logaritmických souřadnicích. Ocejchujte osy. (4b)
d) Vypočtěte (2b) a načrtněte (2b) impulsní charakteristiku systému. Celkem 10b

Řešení:
a)
() () () ( ) ( ) ( ) ( )
()
() ()
2
1
/
1
Yp
yt yt ut pYp pYp Up Fp
Up pp
′′ ′+= ⇒ + = ⇒ = =
+
L

b)
()
()
arctan
2
2
11
1
1
j
Fj e
jj
π
ω
ω
ωω
ωω
⎛⎞
−+
⎜⎟
⎝⎠
==
+
+


c) Pro absolutní hodnotu platí:
() ()
22
20log 20log1 20log 20log 1 20log 20log 1
dB
Fj Fjω ω ωω ωω==−−+=−−+
Na charakteristice je jeden zlomový bod 1ω = a v jednotlivých oblastech platí:
Oblast a: ( )12
dB
Fj 0logω ωω⇒≈−
Oblast b: ( )1 20log 20log 40log
dB
Fjω ω⇒≈−−=− ω.
Pro fázi platí
() / 2 arctanϕ ωπ=− − ω.
F
dB
-40
+20
-20
0,1
1
10
0
logω
-180
-90
-
4
0
d
B
/
d
e
k
-
2
0
d
B
/
d
ek
dB
ωF(j )
ωϕ( )
ωϕ( )
a
b


d) () ( )
{}
()
11 1
111
10
t
gt Fp e prot
pp p p
−− − −
⎧⎫
⎧⎫⎪⎪
== =−=
⎨⎬⎨⎬
++
⎪⎪⎩⎭
⎩⎭
LL L >
u(t)= (t)δ
t0
g(t)
g(t)
1
1


4. Je dán spojitý systém, který má dva póly
12
0, 1pp= =− a žádnou nulu.
a) Je takto zadaný systém určen jednoznačně? Zdůvodněte. (2b)
b) Napište jeho operátorový přenos. (2b)
c) Je tento systém stabilní? Zdůvodněte. (2b)
d) Vypočtěte (2b) a načrtněte (2b) jeho impulsovou charakteristiku. Celkem 10b

Řešení:
a) Není určen jednoznačně, chybí údaj o zesílení . K

b) ()
()1
K
Fp
pp
=
+


c) Jeden pól leží v nule (tj. na imaginární ose)- systém je na mezi stability.
d) () ( )
{}
()
()
11 1
10
11
t
KKK
gt Fp K e prot
pp p p
−− − −
⎧⎫
⎧⎫
⎪⎪
== =−=
⎨⎬⎨ ⎬
++
⎪⎪⎩⎭
⎩⎭
LL L >
u(t)= (t)δ
t0
g(t)
g(t)
K
1




5. Je dán diskrétní periodický signál s periodou 4N = pro jehož hodnoty platí
a . () ()011ff==() ()230ff==
a) Vypočtěte hodnoty diskrétní Fourierovy řady. (4b)
b) Načrtněte amplitudové spektrum. Ocejchujte osy.(3b)
c) Načrtněte fázové spektrum. Ocejchujte osy.(3b) Celkem 10b

Řešení:
a) () ()
°
=
=+++==
∑
0
3
0
4
2
0
0
5,01.01.01.11.1
4
1
4
1
j
k
kj
eekfc
π

()
°−
−−−
=
=
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++==
∑
45
3
2
2
2
1
2
3
0
4
2
1
1
35,0
4
1
.0.0.11.1
4
1
4
1
j
jjj
k
kj
e
j
eeeekfc
ππππ

() 0
4
11
.0.0.11.1
4
1
4
1
3
2
22
2
21
2
2
3
0
4
2
2
2
=
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++==
−−−
=
∑
ππππ
jjj
k
kj
eeeekfc
()
°+
−−−
=
=
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++==
∑
45
3
2
32
2
31
2
3
3
0
4
2
3
3
35,0
4
1
.0.0.11.1
4
1
4
1
j
jjj
k
kj
e
j
eeeekfc
ππππ


b)
01 23
0,5 0,35 0 0,35cc cc== ==

m
0,5
012345678-1-2 ....
....


c) { } { } { } { }
01 23
arg 0 arg 45 arg 0 arg 45cc cc==− ==
DD
+

m
45°
-45°
0
1
234
5
678-1-2
arg { }




6. Diferenční rovnice diskrétního systému je
( ) ( ) ( )
1 , 0,1, 2,...yk ayk uk k−−= =
s počáteční podmínkou . ()10y −=
a) Určete operátorový přenos systému. (2b)
b) Pro jaké hodnoty parametru je systém stabilní. (2b) a
c) Vypočtěte impulsovou charakteristiku. (3b)
d) Načrtněte impulsovou charakteristiku pro prvních 5 hodnot stabilního systému. Ocejchujte
osy. (3b) Celkem 10b

Řešení:
a) () ( ) ( )1/yk ayk uk−−= Z
() () ()
1
Yz azYz Uz
−
−=
()
()
()
1
1
1
Yz
z
Fz
Uz az z a
−
== =
−−


b) Systém má jeden pól , který musí ležet uvnitř jednotkové kružnice aby byl systém
stabilní tj.
1
za=
1a < .

c) Operátorový přenos lze vyjádřit jako součet geometrické řady
() () (){}{}
1
1
00
1
1
k
kk k
kk
Fz az az gk a
az
∞∞
−−
−
==
== = = =
−
∑∑
ZZ
což je podle definice Z obraz impulsové charakteristiky a proto
()
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
00
0
k
ka
kg
k
.

d)
g(k)=a
-1012345k
1
....
k




7. Diskrétní systém je popsán svojí přechodovou charakteristikou
( )
, 0,1, 2,...hk kk== .
a) Určete impulsovou charakteristiku systému a načrtněte ji pro prvních 5 hodnot. Ocejchujte
osy. (3b)
b) Určete operátorový přenos systému. (3b)
c) Napište diferenční rovnici systému. (2b)
d) Rozhodněte o stabilitě systému. (2b) Celkem 10b

Řešení:
a) () () () () ( ) ( )0 0 0, 1 1 1 1, 2,...g h gk hk hk k k k== =−−=−−==
g(k)
-1 012345k
1
....


b) () ()
{} ()
1
11
010
111
11
kkk
kkk
z
Fz gk gkz z z
zz
−∞∞∞
−−−
−−
===
= = = = −= −= =
1z− −−
∑∑∑
Z

c) ()
()
()
()()()
1
11
1
1
1
Yz
z
Fz Yz z Uzz
Uz z
−
− −
−
== ⇒ −=
−
( )( )(11yk yk uk⇒−−=−)

d) Systém má jeden pól který leží na jednotkové kružnici a proto je systém na mezi
stability.
1
1z =
2004 BSAS Písemka 3 2.2.2005

1. Diskrétní spektrum periodického signálu ( )f t s periodou 2P π= má tři nenulové koeficienty
a ostatní koeficienty spektra jsou nulové. (15b)
01 1
1, 0,5, 0,5cc c
−
== =

a) Nakreslete toto spektrum (2b).
b) Vypočtěte časový průběh signálu (4b) a načrtněte ho (4b), ocejchujte osy (2b).
c) Vypočtěte výkon signálu (3b).

Řešení
a) Spektrum signálu.
-1 0 1
23
1
C
m
m
0,5 0,5
-2-3


b) Časový průběh signálu
()
2
1
01 1
1
10,5 0,5 1cos
jm t
jmt jmt jt jt jt jt
P
mm
mmm
f tce ce ceccece ee
π
+∞ +∞ +
−−
−
=−∞ =−∞ =−
== =++=++=+
∑∑∑
t

t
f(t)
0
1
2π-2π 4π
2


c) Výkon signálu v kmitočtové oblasti
2
22 2
011
1 0,25 0,25 1,5
Wm
m
Pcccc
+∞
−+
=−∞
==++=++=
∑


nebo jinak (složitěji) v časové oblasti
() () ()
[] []
22 2
2 2
2
00 0 0
22 2 2
22
00
00 0 0
11 1 1 1cos2
1 cos 1 2cos cos 1 2cos
11 1 1 1 1 1
cos cos 2 1 1,5
244 42
P
W
t
P f t dt t dt t t dt t dt
P
dt tdt dt tdt t t
ππ π
ππ π π
ππ
ππ π π π π
+
⎛⎞
==+=++=+
⎜⎟
⎝⎠
=+ ++ =+=+=
∫∫ ∫ ∫
∫∫ ∫ ∫
=

2. Na vstupu spojitého systému působí signál ()
/2
0
00
t
et
ut
t
−
⎧ ≥
=
⎨
<
⎩
a na výstupu je signál
tak, jak ukazuje obrázek. (20b) ()
/2
0
00
tt
eet
yt
t
−−
⎧ −≥
=
⎨
<
⎩
u(t)
y(t)
F (p)
0


a) Určete operátorový přenos . (12b) ()
0
Fp
b) Napište diferenciální rovnici systému jehož vstup je ( )ut a výstup je ( )yt (2b).
c) Vypočtěte impulsovou charakteristiku tohoto systému (3b) a načrtněte ji (3b).

Řešení
a) Pro Laplaceův obraz vstupního a výstupního signálu platí
() (){}{}
() (){}{}
()()
/2
/2
12
1/2 2 1
1121 1
1/2 1 2 1 1 2 1 1
t
tt
Up ut e
pp
Yp yt e e
pppppp
−
−−
====
++
= = −= −= −=
+++++
LL
LL
+

Pro operátorový přenos celého spojení platí
()
()
()
()()
()
()
1
21 1
0,5
2
1
21
Yp p p
Fp
Up p
p
++
== =
+
+
.
Na základě pravidel blokové algebry je
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
00
00 0
0
1
11
F pFp
Fp Fp Fp Fp
Fp
F Fp
⎡⎤
=⇒+=⇒ −=⇒=
⎢⎥
+−
⎣⎦
.
A dosazením za ( )Fp obdržíme
()
()
()
0
0,5
0,5 11
0,5
10
1
1
Fp
p
Fp
,2F pp
p
+
====
−+
−
+
p+

b) Pro diferenciální rovnici platí
()
()
() ()
()( ) ()
0,5
10,5 0,5
1
Yp
F pYpUpy
Up p
′== ⇒ += ⇒+=
+
u
c) Pro impulsovou charakteristiku platí
() ( ){}
11
0,5
0,5 0
t
gt Fp e t
−− −
⎧⎫
===
1p
⎨⎬
+
⎩⎭
LL ≥
g(t)
t
0,5
10






3. Je dán diskrétní signál .
(15b)
() ( ) ( ) ( ) () ( ) ( )4 ... 8 4 4 8 ...
i
fk k i k k k k kδδδδδδ
+∞
=−∞
= −=+++++ +−+−+
∑

a) Načrtněte hodnoty signálu pro (4b). Ocejchujte osy (1b). 0,1, 2,...12k =
b) Je tento signál periodický? Pokud ano, určete jeho periodu (2b).
c) Vypočtěte spektrum tohoto signálu (4b).
d) Načrtněte amplitudové spektrum tohoto signálu (3b). Ocejchujte osy (1b).

Řešení
a)
f( )k
k
0
1 2 3456789
10 11 12
1


b) Z obrázku je patrno, že signál je periodický a má periodu 4N = .

c) Pro výpočet koeficientů diskrétní Fourierovy řady platí
()
2
3
4
0
1
0,1, 2,3
4
jm k
m
k
cfkem
π
−
=
==
∑
. Jelikož ( ) ( ) ( )123fff0= == bude
()
2
0
4
11
00
44
jm
m
cfe m
π
−
===,123

d)
c
m
m
0
1 2 3
0,25
4. Diskrétní lineární systém má impulsovou charakteristiku ()
0,5 0, 4 0
00
kk
k
gk
k
⎧ + ≥
=
⎨
<
⎩
.
a) Vypočtěte první 4 hodnoty impulsové charakteristiky (3b) a načrtněte ji (2b).
b) Vypočtěte první 4 hodnoty přechodové charakteristiky (3b) a načrtněte ji (2b)
c) Určete operátorový přenos systému (5b).
d) Napište diferenční rovnici systému(2b)
e) Nakreslete jeho rozložení pólů a nul (3b)

Řešení
a) Platí b)
()
00
00,50,411g =+=+=2 ( ) ( )00hg2= =
()
11
1 0,5 0,4 0,5 0,4 0,9g =+=+=
( ) ( ) ( )
10120,92hhg=+=+=,9
()
22
2 0,5 0,4 0,25 0,16 0,41g =+=+= ( ) ( ) ( )2 1 2 2,9 0, 41 3,31hhg=+ =+=
()
33
3 0,5 0, 4 0,125 0,064 0,189g =+= + =
( ) ( ) ( )
3 2 3 3,31 0,189 3, 499hhg=+=+ =
gk()
h( )k
k
k0
0
1
1
2
2
3
3
2
2
0,9
2,9
0,41
3,31
0,189
3,499


c)

() () ()
()()()()
()
()(