Semestrálka náhradní termín 2004

)
11
00 00
22 2
11
0,5 0, 4 0,5 0, 4
10,5 10,4
20,45
0, 4 0,5 2 0,9
0,5 0,4 0,5 0,4 0,5 0,4 0,5 0,4
kkkkk k
kk k
Fz gkz z z z
zz
zz
zzzzzzzz
zz zz zz zz
∞∞ ∞∞
−−−−
−−
== ==
+ +=+
−−
−
−+− −
=+= = =
−− −− −− −−
∑∑ ∑∑
=

d)
()
()
()()
( )
()
21
20,45
20,9 20,9
0,5 0, 4 0,9 0, 2 1 0,9 0, 2
zz Yz
zz z
Fz
zz zz zzU
−
−−
−
−−
===
−− −+−+ z
=
() ( ) ( ) () ( )0,9 1 0, 2 2 2 0,9 1yk yk yk uk uk−−+−=−−
e)
Re z{}
Im{ }z
0
0,4 0,5
0,45


2004 BSAS Písemka 1 Skupina A

1. Je dán signál () ( ) () ( ) ( )2,ft t a t t a tσσσ=+− +− ∈−∞+∞.
a) Určete zda je signál periodický (2b).
b) Načrtněte průběh signálu (4b).
c) Určete hodnotu spektra pro kmitočet 0ω= (3b) a zdůvodněte výsledek (2b).
d) Určete energii signálu (4b).

Řešení
a) Signál není periodický.
b) Průběh signálu
t
f(t)
0-a
+a
1
-1

c) () () () () ()
[] []
0
0
00
0
0
11
a
a
jt
a
a
F f t e dt f t dt dt dt t t a a
ω
ω
ω
ω
+∞ +∞ +
+
−
−=
−∞ −∞ −
=
===+−==
∫∫∫∫
0−=
Hodnota spektra pro kmitočet 0ω= vyjadřuje střední hodnotu (stejnosměrnou složku) signálu a ta je
nulová (plochy signálu nad i pod osou jsou stejné).

d)
() []
2
12
a
a
a
a
E ft dt dt t a a a
+∞ +
+
−
−∞ −
====+
∫∫
=

2. Spojitý lineární systém má dva póly
12
2, 1pp=−=− a jednu nulu
1
0n = a jeho operátorový přenos
má koeficient u nejvyšší mocniny čitatele roven 20 a koeficient u nejvyšší mocniny jmenovatele roven
1.

a) Napište jeho operátorový přenos (3b).
b) Napište jeho diferenciální rovnici (2b).
c) Načrtněte amplitudovou frekvenční charakteristiku v logaritmických souřadnicích (5b). Vyznačte
sklony asymptot (1b) a ocejchujte osy (1b).
d) Vypočtěte (4b) a načrtněte (4b) přechodovou charakteristiku.

Řešení
a) ()
()()
2
20 20
112 3
pp
Fp
pp pp
==
++ ++2

b) () () () ()3220yt yt yt ut′′ ′ ′++=
c) Upravíme přenos na tvar ()
()()()( )()()
12
20 20
12210,51 1
ppKp
Fp
pp p p TpTp
== =
++ + + + +1

kde . Určíme frekvenční přenos systému. Bude
12
10, 1, 0,5KTT===
()
12
0,5
22
22 22 2 2
12
10
11 10,251
j arctgT arctgT j arctg arctg
K
Fj e e
TT
ππ
ω ωω
ωω
ω
ωω ω ω
⎛⎞ ⎛
−− −−
⎜⎟ ⎜
⎝⎠ ⎝
=
++ + +
ω
⎞
⎟
⎠


logω1
10
2
F( )ω
dB
20
0
+20dB/dek
−20dB/dek
0dB/dek
1/T
1 1/T
2


d) Pro přechodovou charakteristiku platí
() ()
()() ()()
11 1
1 1 20 20
12 12
p
ht F p
p ppp pp
−− −
⎧ ⎫⎧
⎧⎫
⎫
⎪ ⎪⎪
== =
⎨⎬⎨ ⎬⎨
++ ++
⎪
⎬
⎪ ⎪⎪⎩⎭
⎩⎭⎩
LL L
⎪
⎭

Rozkladem na parciální zlomky obdržíme:
()
()()
()
12
20 20
20
12
tt
ht e e
pp
−−
⎧⎫
⎪⎪
=−=−
⎨⎬
++
⎪⎪
⎩⎭
L
0

Platí a přechodová charakteristika je nekmitavá (systém nemá komplexní póly). () ()00,hh=∞=
h(t)
t
ln2

O tom, že je přechodová charakteristika nekmitavá se lze přesvědčit i nalezením jejich extrémů. Platí
()
()
(
2
20 2
t
dh t
ht e e
dt
−−
′ == +
)
t
. Extrémy nastávají v bodech kde ( ) 0ht′ = . Tedy v bodech

()
222
20 2 0 2 2 2 ln 2
tt tt tt t
ee ee ee e t
−− −− −−
−+ = ⇒−+ ⇒ = ⇒ = ⇒=
Extrém je jediný a tedy charakteristika je nekmitavá.



3. Je dán diskrétní signál
() (
2
,,
jk
N
fk Ae k
π
= ∈ −∞ +∞) kde k je pořadové číslo vzorku.
a) Ukažte, že tato posloupnost je periodická s periodou (5b) N
b) Určete výkon tohoto signálu (5b).
c) Načrtněte jednu periodu reálné a imaginární části tohoto signálu pro 4N = (5b).

Řešení
a)
()
()
()
2222 2
2
jkN jkjN jk jk
j
NN N N
f k N Ae Ae e Ae e Ae f k
ππππ π
π
+
+= = = = =
b) ()
22
22211 1 1
2
2
00 0 0
1
NN
jk jk
NN
W
kk k k
AAA
Pfk Ae e N
NN
ππ
−− −−
== = =
== ==
∑∑ ∑∑
A=
c)
kk
Cos[ k](2π/4) Sin ([k]2π/4)
010 21
32
434
1
1



4. Diskrétní lineární systém má impulsovou charakteristiku ()
0,5 0, 4 0
00
kk
k
gk
k
⎧ + ≥
=
⎨
<
⎩
.
a) Vypočtěte první 4 hodnoty impulsové charakteristiky (3b) a načrtněte ji (2b).
b) Vypočtěte první 4 hodnoty přechodové charakteristiky (3b) a načrtněte ji (2b)
c) Určete operátorový přenos systému (5b).
d) Napište diferenční rovnici systému(2b)
e) Nakreslete jeho rozložení pólů a nul (3b)

Řešení
a) Platí b)
()
00
00,50,411g =+=+=2 ( ) ( )00hg2= =
()
11
1 0,5 0,4 0,5 0,4 0,9g =+=+=
( ) ( ) ( )
10120,92hhg=+=+=,9
()
22
2 0,5 0,4 0,25 0,16 0,41g =+=+= ( ) ( ) ( )2 1 2 2,9 0, 41 3,31hhg=+ =+=
()
33
3 0,5 0, 4 0,125 0,064 0,189g =+= + =
( ) ( ) ( )
3 2 3 3,31 0,189 3, 499hhg=+=+ =
gk()
h( )k
k
k0
0
1
1
2
2
3
3
2
2
0,9
2,9
0,41
3,31
0,189
3,499


c)

() () ()
()()()()
()
()()
11
00 00
22 2
11
0,5 0, 4 0,5 0, 4
10,5 10,4
20,45
0, 4 0,5 2 0,9
0,5 0,4 0,5 0,4 0,5 0,4 0,5 0,4
kkkkk k
kk k
Fz gkz z z z
zz
zz
zzzzzzzz
zz zz zz zz
∞∞ ∞∞
−−−−
−−
== ==
+ +=+
−−
−
−+− −
=+= = =
−− −− −− −−
∑∑ ∑∑
=

d)
()
()
()()
( )
()
21
20,45
20,9 20,9
0,5 0, 4 0,9 0, 2 1 0,9 0, 2
zz Yz
zz z
Fz
zz zz zzU
−
−−
−
−−
===
−− −+−+ z
=
() ( ) ( ) () ( )0,9 1 0, 2 2 2 0,9 1yk yk yk uk uk−−+−=−−
e)
Re z{}
Im{ }z
0
0,4 0,5
0,45


2004 BSAS Písemka 1 Skupina B

1. Je dán signál
() ( )() ( ),ft t t a t a tσσ=+−−∈−∞+⎡⎤
⎣⎦
∞.
a) Určete zda je signál periodický (2b)
b) Načrtněte průběh signálu (4b)
c) Určete hodnotu spektra pro kmitočet 0ω= (3b) a zdůvodněte výsledek (2b).
d) Určete energii signálu (4b).

Řešení
a) Signál není periodický.
b) Průběh signálu
t
f(t)
0
-a
+a
a
-a

c) () () ()
222
0
0
0
222
a
a
jt
a a
taa
F f t e dt f t dt tdt
ω
ω
ω
ω
+
+∞ +∞ +
−
=
−∞ −∞ − −
=
⎡⎤
= = = = =−=
⎢⎥
⎣⎦
∫∫∫

Hodnota spektra pro kmitočet 0ω= vyjadřuje střední hodnotu (stejnosměrnou složku) signálu a ta je
nulová (plochy signálu nad i pod osou jsou stejné).

d)
()
333
2
2
2
333
a
a
a a
taa
Eftdttdt
+
+∞ +
−∞ − −
⎡⎤
====+
⎢⎥
⎣⎦
∫∫
3
3
a
=

2. Spojitý lineární systém má impulsovou charakteristiku
()
( )
/5 /3
50
00
tt
ee t
gt
t
−−
⎧
− ≥
⎪
=
⎨
<
⎪
⎩
.
a) Vypočtěte operátorový přenos systému (3b).
b) Napište diferenciální rovnici systému (2b).
c) Načrtněte amplitudovou frekvenční charakteristiku v logaritmických souřadnicích (5b). Vyznačte
sklony asymptot (1b) a ocejchujte osy (1b).
d) Vypočtěte (4b) a načrtněte (4b) přechodovou charakteristiku.

Řešení
a)
() (){} ()
{}
()()
/5 /3
2
5 5 25 15
5
1/5 1/3 5 1 3 1
10 10
513115 81
tt
Fp gt e e
pp pp
pp pp
−−
== −=−=−
++ ++
==
++ ++
LL =

b) Diferenciální rovnice () () ( ) ( )15 8 10yt yt yt ut′′ ′++=
c) Pro frekvenční přenos systému platí
()
()53
22
10
25 1 9 1
jarctg arctg
Fj e
ω ω
ω
ωω
−+
=
++

logω
1
F( )ω
dB
20
0
−40dB/dek
−20dB/dek
0dB/dek
1/5
1/3
0,1


d) Pro přechodovou charakteristiku platí
() () () ()
/5 /3 /5 /3 /3 /5
0
00
/5 /3
5553535
53
10 1
22
tt
t
tt
tt
ht g d e e d e e e e
ee
ττ τ τ
ττ τ
−− − − − −
−−
53⎡ ⎤⎡ ⎤==−=+= −+=
⎣ ⎦⎣ ⎦
⎛⎞
=− +
⎜⎟
⎝⎠
∫∫

Dále platí . Pro směrnici tečny platí () ()00, 10hh=∞=
( )
() ()
dh t
ht gt
dt
′== a proto
() () () ( )000,hg h g
′′= = ∞= ∞=0. Přechodová charakteristika musí být nekmitavá, protože systém
nemá komplexní póly.
h(t)
t
10
0

Jiný způsob určení přechodové charakteristiky:
() ()
()()
11
10
5131
ht F p
ppp
−−
p
⎧ ⎫
⎧⎫
⎪ ⎪
==
⎨⎬⎨
++
⎬
⎪ ⎪⎩⎭
⎩⎭
LL a dále rozkladem na parciální zlomky obdržíme
()
()() ()()
1 1 /5 /3
10 25/ 2 15/ 2 10 5/ 2 3/ 2 5 3
10 1
51 31 1/5 1/3 2 2
tt
ht ee
pp p pp p
⎧ ⎫
⎪⎪ ⎪⎛⎞
=−+ =− + =−+
⎨⎬⎨ ⎬
⎜⎟
++ + +
⎝⎠
⎪
⎩⎭⎩ ⎭
−



3. Je dán spojitý signál () ( )
0
cos , , , / 6ft t t
0
ω ωπ=∈−∞+=. Tento signál je vzorkován a perioda
vzorkování je sec. 2
s
T =
a) Lze takto získaný diskrétní signál zpětně rekonstruovat pomocí ideálního filtru typu dolní propust(5b)?
Odpovězte Ano/Ne a zdůvodněte.
b) Je takto získaný diskrétní signál periodický (5b)? Odpovězte Ano/Ne, zdůvodněte a pokud je
periodický určete jeho periodu.
c) Načrtněte prvních 6 vzorků diskrétního signálu (5b).

Řešení
a) Nejvyšší kmitočet ve spektru spojitého signálu je
0
/6ω π= . Kmitočet vzorkování je
2/ 2/2
ss
Tω ππ===π
2
. Diskrétní signál bude možno zpětně rekonstruovat, bude-li splněna
podmínka Shanonova teorému
0
/
s
ω ω > . Platí
0
62
/6
s
ω π
ωπ
= =>. Podmínka je splněna a proto lze
signál rekonstruovat.
b) Vzhledem k tomu, že poměr
0
/
s
6ω ω = je celé číslo (v jedné periodě spojitého signálu je celistvý
počet vzorků) je diskrétní signál periodický s periodou 6N = .
c)
k
cos[ k](2π/6)
0 1
3
4
6
1
2
5


4. Lineární diskrétní systém má dva póly
12
0,8, 0,8zz=+=− a jednu nulu . Koeficient u nejvyšší
mocniny čitatele je roven 1,6 a koeficient u nejvyšší mocniny jmenovatele je roven 1.
1
0n =

a) Určete operátorový přenos systému (5b).
b) Napište jeho diferenční rovnici (2b)
c) Vypočtěte jeho impulsní charakteristiku (6b) a načrtněte ji pro prvních 5 hodnot (2b).
d) Vypočtěte prvních 5 hodnot přechodové charakteristiky (3b) a načrtněte ji (2b).

Řešení
a)
()
()()
222
1, 6 1, 6 1, 6
1 0,8 0,8 0,8 0,64
z zz
Fz
zz z z
===
−+ − −

b)
()
()
()
1
22
1, 6 1, 6
0,64 1 0,64
Yz
zz
Fz
−
−
== =
−− Uz

() ( ) ( )0, 64 2 1, 6 1yk yk uk−−=−
c)
()
()()
()
( ) ( ) () () ( )
11
00
000
1, 6 1 1
0,8 0,8
0,8 0,8 0,8 0,8 1 0,8 1 0,8
0,8 0,8 0,8 1 1 0,8 1 1
k
kk k
kk
kk k
kkkkk k
zzz
Fz z z
zz zz z z
zzgg
∞∞
−−
−−
==
∞∞∞
−−−
===
==−= =−
−+ −+− +
⎡⎤⎡⎤ ⎡⎤
=−− = − ⇒=−
⎣⎦⎣⎦ ⎣⎦
∑∑
∑∑∑
=

d)
( ) [ ]
() []
() []
() []
() []
0
1
2
3
4
00,8110
10,8111,6
20,8110
30,8111,02
40,8110
g
g
g
g
g
=−=
=+=
=−=
=+=
=−=
4

( ) ( )
() () ()
() () ()
() () ()
() () ()
000
10101,61,6
2 1 2 1,6 0 1,6
3 2 3 1,6 1,024 2,624
4 3 4 2,624 0 2,624
hg
hhg
hhg
hhg
hhg
==
=+=+=
=+ =+=
=+=+=
=+= +=


gk()
h( )k
k
k0
0
1
1
2
2
34
34
1,6
1,6 1,6
1,024
2,624 2,624

2004 BSAS Písemka 2 27.1.2005

1. Je dán signál () ()() ( )
2
,,0,
jt
T
ft e t a t a t T a
π
σσ=+−−∈−∞+>⎡⎤
⎣⎦
0>. (20b)
a) Určete zda je signál periodický (2b).
b) Načrtněte průběh reálné části signálu pro aT= (3b).
c) Určete jeho spektrum (5b) a načrtněte jeho průběh (5b).
d) Určete energii signálu (5b).

Řešení
a) Signál není periodický.
b) Průběh reálné části signálu jsou 2 periody funkce kosinus.
t
f(t)
0
-T +T
1
-1

c)

() ()
2
2
2
22
2
22
sin sin
1
22
a
jt
aa
T
jt
jt
jt jt T
T
aa
a
jaja
TT
e
F f t e dt e e dt e dt
j
T
a
T
ee a a
π
ω
π
π
ω
ωω
ππ
ωω
ω
π
ω
ππ
ωω
+
⎛⎞
−
⎜⎟
⎛⎞+∞ + +
⎝⎠
−
⎜⎟
−−
⎝⎠
−∞ − −
−
⎛⎞ ⎛⎞
−−−
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎡⎤
⎢⎥
==== =
⎛⎞
⎢⎥
−
⎜⎟
⎝⎠
⎣⎦
⎛⎞
−−
⎜⎟
⎡⎤
⎝⎠
=−==
⎢⎥
⎛⎞ ⎛⎞
⎣⎦
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
∫∫∫
2
a
T
a
T
π
ω
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠

Spektrum má tvar funkce sin /ω ω posunuté doprava na hodnotu kmitočtu 2/Tω π= .
ω
F( )ω
0
2a
2π/T


d) Energie signálu

() ()() []
2
2
2
12
a
jt
a
T
a
a
E ft dt e t a t a dt dt t a
π
σσ
+∞ +∞ +
+
−
−∞ −∞ −
==+−−===⎡⎤
⎣⎦∫∫ ∫

2. Je dán spojitý lineární systém tak jak ukazuje obrázek kde
12
0,5, 1TT= = . (20b)
(T p+1)(T p+1)
12
11
p
u(t)
y(t)
K


a) Načrtněte rozložení pólů a nul pro . (3b) 0K =
b) Napište diferenciální rovnici systému pro 0K = . (2b)
c) Načrtněte amplitudovou frekvenční charakteristiku v logaritmických souřadnicích pro 0K = (5b).
Vyznačte sklony asymptot (1b) a ocejchujte osy. (1b)
d) Určete velikost K pro kterou je systém stabilní.(8b)

Řešení
a) Jestliže je potom zpětná vazba v systému není a systém má operátorový přenos 0K =

()
()
() ()()
12
1
11
Yp
Fp
Up pTp Tp
==
++
a jeho póly jsou
12 3
12
11
0, 2, 1pp p
TT
= =− =− =− =− .
Re{p}
Im{p}
0
-2 -1


b)
() ( )( ) () ( ) ( )
32
0, 5 1 1 0, 5 1, 5 0, 5 1, 5Yp p p p Up Yp p p p Up y y y u′′′ ′′ ′⎡⎤++=⇒ ++=⇒++=⎡⎤
⎣⎦⎣⎦


c) Určíme frekvenční přenos systému. Bude
()
12
0,5
22
22 22 2 2
12
11
11 0,2511
j arctgT arctgT j arctg arctg
Fj e e
TT
ππ
ω ωω
ω
ωω ω ω ω ω
⎛⎞ ⎛
−− − −− −
⎜⎟ ⎜
⎝⎠ ⎝
==
++ ++
ω
⎞
⎟
⎠

logω1
10
2
F( )ω
dB
20
0
−20dB/dek
−60dB/dek
-40dB/dek
1/T
1
1/T
2
0,1


d) Na základě pravidel blokové algebry platí pro celkový přenos systému
()
()
()
()()
()()
()()
32
1
0,5 1 1
11
0,5 1 1 0,5 1,5
1
0,5 1 1
Yp p p p
Fp
K
Up p p p K p p pK
pp p
++
== = =
+ ++ + ++
+
++

Sestavíme Hurwitzův determinant
1, 5
1, 5
1, 5 0, 5 0 3
0,5 1 0,5
K
KK=− >⇒ < =



3. Spojitý signál () ()() ( )
2
,,0,
jt
T
ft e t a t a t T a
π
σσ=+−−∈−∞+>⎡⎤
⎣⎦
0> prochází ideální dolní
propustí (IDP) s frekvenčním přenosem
()
0
0
1
0
IDP
F
ω ω
ω
ω ω
⎧ <
⎪
=
⎨
≥
⎪
⎩
. Na výstupu IDP je signál vzorkován se
vzorkovací periodou
s
T tak, jak ukazuje následující obrázek. (15b)
f(t)
s(t)
IDP
T
s( )
kT
s
s


a) Vypočtěte impulsní charakteristiku ( )gt IDP (5b) a načrtněte ji (5b)
b) Je možno IDP realizovat? Zdůvodněte proč na základě průběhu ( )gt (2b).
c) Jaká musí být vzorkovací perioda
s
T aby při zpětné rekonstrukci signálu ( )
s
skT nedošlo ke ztrátě
informace?(3b).

Řešení
a)
() ( ){} ()
0
0
00
0 0
-1 00
0
sin111
2222
jt jtjt
jt jt
teee
gt F F e d e d
jtjt
ω
ω
ωωω
ωω
ω ω
ω ω
ωωωω
ππππ
+
++∞
+−
−∞ − −
⎡⎤ −
== = = = =
⎢⎥
⎣⎦
∫∫
F
π

t
g(t)
0
ω /π
0


b) IDP nelze realizovat neboť to není kauzální systém (impulsní charakteristika ( )gt nabývá nenulových
hodnot pro . 0t <

c) Vzhledem k tomu, že nejvyšší kmitočet ve spektru signálu ( )st je
0
ω musí pro dobu vzorkování
s
T
platit
0
0
2
2
s
s
T
T
π π
ω
ω
>⇒>=±±
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠

a) Načrtněte jeho průběh. 1b
b) Určete stejnosměrnou složku signálu. 1b
c) Určete výkon signálu. 1b
Řešení:
a)
f(t)
t0
-P/2
+P/2
a

b)
/2 2
0
22
/2 0 0
1
2
22
P
PP
P
P
txaP a ax
ctdt xd
PP P P
dt dx
+
−
+= ⎡⎤
⎛⎞
=+===
⎜⎟ ⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
=
∫∫
a
=
c)
2
/2 223
2
33
/2 0 0
1
2
23
P
W
P
P
txaP a ax a
Ptdt xd
PP P P
dt dx
+
−
+= ⎡⎤⎡⎤
⎛⎞
=+===
⎜⎟ ⎢⎥⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦ ⎣⎦
=
2
=
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) Je dán signál
()
0
00
00
cos ,
0,
Att
ft
t
π π
ω
ω ω
π π
ω ω
⎧ ⎛⎞
∈− +
⎪ ⎜⎟
⎪⎝
=
⎨
⎛⎞
⎪
∉− +
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎩
⎠

a) Určete, zda je signál periodický. 1b
b) Určete hodnotu frekvenčního spektra signálu pro frekvenci 0ω= . Zdůvodněte výsledek.
1b
c) Určete energii signálu. 2b

Řešení:
a) Signál není periodický.
b)
() ()
0
0
0
0
00 00
00
0 cos sin sin sin 0
AA
FftdAtdt
π
π
ω
ω
π
π
ω
ω
ππ
ωω ω
ωω ω
+
+
+∞
−
−−∞
⎡⎤⎡ ⎤
+−
== = = = − =
⎢⎥⎢ ⎥
⎣⎦⎣ ⎦
∫∫

SS složka signálu je nulová.

c)

() ()
[] []
00 00
00 00
00
222
222
00
22 2 2
0000
cos 1 cos 2 cos 2
sin 2 sin 2 sin 2
24 2 4
AAA
E f t dt A tdt t dt dt tdt
AA A A
tt
ππ ππ
ωω ωω
ππ ππ
ωω ωω
ππ
ωω
ωω
ππ π ππ
0
2
0
A
ω ωω ω ω ω ω
++ ++
+∞
−− −−−∞
++
−−
== =+ =+
⎡⎤⎡ ⎤+− + −
=+ =−+ − =
⎢⎥⎢ ⎥
⎣⎦⎣ ⎦
∫∫ ∫ ∫∫
=






Test BSAS č. 1, zadání B
1. Je dán signál
()
, 0, 0, 0, 1, 2,...
222
aP P P
f t t t nP nP a P n
P
⎛⎞⎛ ⎞
=−+ ∈−+++ > >=±±
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠


a) Načrtněte jeho průběh. 1b
b) Určete stejnosměrnou složku signálu. 1b
c) Určete výkon signálu. 1b

Řešení:
a)
f(t)
t
0
-P/2 +P/2
a

b)
/2 0 2
0 22
/2 0
1
2
22
P
P
PP
P
txaP a ax
c t dt xdx
PP P P
dt dx
+
−
−+ = ⎡⎤
⎛⎞
=−+= =−=
⎜⎟ ⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
−=
∫∫
a
=
c)
2
/2 0223
2
33
/2 0
1
2
23
P
P
W
P
txaP a ax
P t dt x dx
PP P P
dt dx
+
−
−+ = ⎡⎤⎡⎤
⎛⎞
=−+= −=
⎜⎟ ⎢⎥⎢⎥
⎝⎠⎣⎦
⎣⎦
−=
2
a
=

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. Je dán signál ()
0
00
00
sin ,
0,
Att
ft
t
π π
ω
ω ω
π π
ω ω
⎧ ⎛⎞
∈− +
⎪ ⎜⎟
⎪⎝
=
⎨
⎛⎞
⎪
∉− +
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎩
⎠

a) Určete, zda je signál periodický. 1b
b) Určete hodnotu frekvenčního spektra signálu pro frekvenci 0ω= . Zdůvodněte výsledek.
1b
c) Určete energii signálu. 2b

Řešení:
a) Signál není periodický.
b)
() ()
0
0
0
0
00 00
00
0 sin cos cos cos 0
AA
FftdAtd t
π
π
ω
ω
π
π
ω
ω
ππ
ωω ω
ωω
+
+
+∞
−
−−∞
⎡⎤⎡
+−
== = =− =− − =
⎢⎥⎢
⎣⎦⎣
∫∫
ω
⎤
⎥
⎦
SS složka signálu je nulová.
c)

() ()
[] []
00 00
00 00
00
222
222
00
22 2 2
000
sin 1 cos2 cos2
sin 2 sin 2 sin 2
24 2 4
AAA
E f t dt A tdt t dt dt tdt
AA A A
tt
ππ ππ
ωω ωω
ππ ππ
ωω ωω
ππ
ωω
ωω
ππ π ππ
0
2
00
A
ω ωω ω ω ω ω
++ ++
+∞
−− −−−∞
++
−−
== =− =−
⎡⎤⎡ ⎤+− + −
=− =−− − =
⎢⎥⎢ ⎥
⎣⎦⎣ ⎦
∫∫ ∫ ∫∫
=






Test BSAS č. 1, zadání C

1. Je dán signál
() ( )1cos2 ,ft t tπ=+ ∈−∞+∞
a) Rozhodněte zda je periodický. Pokud ano určete jeho periodu. 1b
b) Vypočtěte jeho spektrum. 1b
c) Určete amplitudu druhé harmonické. 1b

Řešení:
a) Signál je periodický. Pro periodu platí
0
22
1sec
2
P
π π
ωπ
===
b) ()
22
22
101
11 1
1cos2 1 1 , 1,
22 2 2
jt jt
jt jt
ee
ft t e e c c c
ππ
ππ
π
−
−+
−+
+
=+ =+ = ++ ⇒ = = =
2

a ostatní koeficienty spektra jsou nulové.
c) Protože je amplituda druhé harmonické nulová.
22
0cc
−+
==

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Je dán signál
() ( ) ( ) ( ),0,ft t a t a t aστστ τ=+−−−− ∈−∞+∞>>0
a) Načrtněte tento signál. 1b
b) Určete jeho frekvenční spektrum. 1b
c) Načrtněte amplitudové spektrum. 2b

Řešení:
a)
f(t)
t0
+τ +τ+a
+τ−a
1


b)

() ()
() ()
11
sin
22
2
a
a
ja jajt jt jt
a
a
j j ja ja
ja ja j
Fftedtedte ee
jj
ee a
ee ea
jj
τ
τ
ωτ ωτωω ω
τ
τ
ωτ ωτ ω ω
ωω ωτ
ω
ωω
ω
+∞ +
+
−+ −−−− −
−
−∞ −
−−+
−+ −
⎡ ⎤
⎡⎤=== =−
⎣⎦
=
⎣ ⎦
−−
−
⎡⎤=−= =
⎣⎦
−
∫∫


c) Pro amplitudové spektrum platí
() ()
sin
2
a
AF a
a
ω
ωω
ω
==
ω0
2a
F( )ω
-2π/a +π/2a+π/a−π/a








Test BSAS č. 1, zadání D
1. Je dán signál
() ( )1sin ,ft t tπ=+ ∈−∞+∞

a) Rozhodněte zda je periodický. Pokud ano určete jeho periodu. 1b
b) Vypočtěte jeho spektrum. 1b
c) Určete amplitudu třetí harmonické. 1b

Řešení:
a) Signál je periodický. Pro periodu platí
0
22
2secP
π π
ωπ
===
b) ()
101
1sin 1 1 , 1,
22 2 2
jt jt
jt jt
ee j j j
ft t e e c c c
j
ππ
ππ
π
−
−+
−+
−
=+ =+ = +− ⇒ = = =−
2
j

a ostatní koeficienty spektra jsou nulové.

c) Protože je amplituda třetí harmonické nulová.
33
0cc
−+
==

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Je dán signál
() ( ) ( ) ( ),0,ft t a t a t aστστ τ=++−−+ ∈−∞+∞>>0
a) Načrtněte tento signál. 1b
b) Určete jeho frekvenční spektrum. 1b
c) Načrtněte amplitudové spektrum. 2b

Řešení:
a)
f(t)
t0
−τ −τ+a
−τ−a
1


b)
()