Semestrálka náhradní termín 2004

()
() ()
11
sin
22
2
a
a
ja jajt jt jt
a
a
j j ja ja
ja ja j
Fftedtedte ee
jj
ee
ee ea
jj
τ
τ
ωτ ωτωω ω
τ
τ
ωτ ωτ ω ω
ωω ωτ
ω
ωω
ω
+∞ − +
−+
−−+ −−−−− −
−−
−∞ − −
+++
−+ +
⎡ ⎤
⎡⎤=== =
⎣⎦
=
⎣ ⎦
−−
−
⎡⎤=−= =
⎣⎦
−
∫∫


c) Pro amplitudové spektrum platí
() ()
sin
2
a
AF a
a
ω
ωω
ω
==
ω0
2a
F( )ω
-2π/a +π/2a+π/a−π/a





2004 BSAS test2 A

1. Spojitý lineární systém má operátorový přenos ()
2
10
32
Fp
pp
=
+ +
(8b).
a. Určete diferenciální rovnici systému (1b)
b. Načrtněte amplitudovou a fázovou frekvenční charakteristiku v logaritmických souřadnicích. Vyznačte
zlomové body a sklony asymptot. (3b)
c. Rozhodněte o stabilitě systému. (1b)
d. Vypočtěte a načrtněte impulsní charakteristiku. (3b)

Řešení
a. Platí
()
()
()
() () () () () () () ()
2
2
10
3 2 10 3 2 10
32
Yp
F ppYpYpUpyty
Up p p
′′ ′== ⇒ + += ⇒++=
++
tu

b. Platí
()
()()()( )
2
10 10 5
32 1 2 10,51
Fp
pp p p p p
== =
++ + + + +
a proto
2
logω
20log5
0
-20
-40
0dB/dek
-20dB/dek
-40dB/dek
-180
0
F(jω)
dbB
Φ(ω)
Φ(ω)
2,5
g(t)
tln20
1
10


c. Systém má dva póly oba leží v levé polorovině a proto je systém stabilní.
12
1, 2pp=− =−

d. Pro Laplaceův obraz impulsové charakteristiky platí (rozložíme na parciální zlomky)
() ()
()() ()()
( )
()()
2
10 2
12 1 2 12 12
A Bp A B
ABApABpB
Gp Fp
pp pp pp pp
+ ++
+++
== =+= =
++ ++ ++ ++

a odtud () . Pro impulsovou
charakteristiku pak platí
0210AB B A AB AAA B+=⇒ =−⇒ +=−== =−,10
() ( ){} ()
11 22
10 10
10 10 10 0
12
tt tt
gt Gp e e e e prot
pp
−− −−−−
⎧⎫
==−= =
⎨⎬
++
⎩⎭
LL >
Průběh impulsní charakteristiky: () ( ) ( )00, lim 0
t
gg gt
→∞
=∞= =
Extrém:
()
()
22
10202ln22l
tt tt
dg t
ee ee ttt
dt
−− −−
=−+ =⇒ =⇒−=−⇒=n2
() ()
ln 2 2ln 2
11 10
ln 2 10 10 2,5
24 4
gee
−−
⎛⎞
=−=−==
⎜⎟
⎝⎠




2004 BSAS test 2 B

Spojitý lineární systém má operátorový přenos ()
2
10
Fp
p p
=
+
(8b).
a. Určete diferenciální rovnici systému (1b)
b. Načrtněte amplitudovou a fázovou frekvenční charakteristiku v logaritmických souřadnicích. Vyznačte
zlomové body a sklony asymptot. (3b)
c. Rozhodněte o stabilitě systému. (1b)
d. Vypočtěte a načrtněte impulsní charakteristiku. (3b)

Řešení
b. Platí
()
()
()
() () () () () ()
2
2
10
10 10
Yp
F ppYpYpUpyt
Up p p
′′ ′== ⇒ + = ⇒ +=
+
ut

b. Platí
()
()
2
10 10
1
Fp
pppp
==
++
a proto
0,1 1
10
logω
40
20
0
-20
-40
-20dB/dek
-40dB/dek
-180
-90
F(jω)
dbB
Φ(ω)
Φ(ω)


c. Systém má jeden pól na imaginární ose a proto je na mezi stability.
1
0p =

d. Pro Laplaceův obraz impulsové charakteristiky platí (rozložíme na parciální zlomky)
() ()
() ()
( )
()
10
111 1
A Bp A
ABApABp
Gp Fp
pp p p pp pp
+ +
++
== =+= =
+++

a odtud . Pro impulsovou charakteristiku pak platí ()10 0 10AAB BA=+=⇒=−=−
() ( ){} () ()
11
10 10
10 10 10 1 0
1
tt
gt Gp t e e prot
pp
σ
−− −−
⎧⎫
==−=−=
⎨⎬
+
⎩⎭
LL >

10
g(t)
t
10




2004 BSAS test 2 C

Spojitý systém je popsán operátorovým přenosem
()
( )
()( )
10 1
51101
p
Fp
pp
+
=
+ +
(8b)
a. Načrtněte amplitudovou frekvenční charakteristiku v logaritmických souřadnicích. Ocejchujte osy a
vyznačte sklony asymptot. (3b)
b. Vypočtěte a načrtněte impulsní charakteristiku. (3b)
c. Na vstupu tohoto systému působí harmonický signál s amplitudou 1 a frekvencí 1/serad cω= . Určete
amplitudu výstupního harmonického signálu po odeznění přechodových dějů. (2b)

Řešení
a. Amplitudová a fázová frekvenční charakteristika v log. souřadnicích (5b)
Platí
()
()
()()
3
123
21
10 1
10, 5, 1
11
Tp
Fp kdeT T T
Tp Tp
+
==
++
=
Zlomové frekvence
11 2 2 33
1/ 1/10 0,1 1/ 1/5 0,2 1/ 1/1 1TTTω ωω=== === ===
()
2
22
10 1
20log
25 1 100 1
dB
Fj
ω
ω
ωω
+
=
++


Pro velmi nízké frekvence ( 0ω→ ) platí
()
( )( )
2
0022
10 1
lim lim 20log 20log10 20
25 1 100 1
dB
Fj dB
ωω
ω
ω
ωω
→→
⎡⎤
+
⎢⎥
==
++
⎣⎦
=
0,2 1
logω
+20
0
-20
-40
0dB/dek
-20dB/dek
-20dB/dek
-40dB/dek
F(jω)
dbB
0,1


b. Impulsní charakteristika (5b)
() ( ){}
()
()( )
11
10 1
51101
p
gt L Fp L
pp
−−
⎧⎫+
⎪
==
⎨
++
⎪⎪
⎩⎭
⎪
⎬
a operátorový přenos rozložíme na parciální zlomky. Platí
()
()( ) ()( )
( ) ( )
()( )
10 1 10 5
10 5
5110151101 51101 51101
pp
AB ApABpB
pp pp pp pp
++
++ +
=+ = =
++++ ++ ++
AB+
⇒
()
10 10
10 5 10 10 5 10 5 50 10 8 18
AB B A
AB A A A A B
+= ⇒ =−
+== + −=+= ⇒=− =

()
11
10 5
818 1,81,6
1, 8 1, 6
5 1 10 1 0,1 0,2
tt
gt L L e e
pp pp
− −
−−
⎧⎫⎧ ⎫−
=+= −=
⎨⎬⎨ ⎬
++ ++
⎩⎭⎩ ⎭

Platí () ()01,81,60,2 000gg= − = ∞=−=
Systém je druhého řádu, má jen reálné záporné póly, a proto musí být impulsní charakteristika nekmitavá.
g(t)
t10ln(3,2/1,8)0
0,2


To, že impulsní charakteristika má jen jeden extrém (je nekmitavá) zjistíme i řešením rovnice
()
10 5 5 10
111,61,8
1, 8 1, 6 0
10 5 5 10
ttt
dg t
eeee
dt
−−−
⎛⎞ ⎛⎞
=− −− = − =
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
t
−
. Její řešení bude
11
510
510 10
1, 6 1, 8 1, 6 1, 6 3, 2
221
5 10 1,8 1,8 1,8
tt t
t
ee e e t
⎛⎞
−
−− ⎜⎟
⎝⎠
= ⇒ =⇒=⇒=0ln
a tato rovnice má tedy jen jedno řešení.

c. Buzení harmonickým signálem (5b)
Z principu frekvenčního přenosu plyne, že při buzení harmonickým signálem a po odeznění
přechodových dějů bude na výstupu systému amplituda harmonického signálu

()
()()
2
1 22
1
10 1 10 1 1 10 2
26 101
25 1 100 125 1 100 1
Fj
ω
ω
ω
ω
ωω
=
=
++
==
++++
=































2004 BSAS test 2 D

Blokové schéma spojitého systému je na následujícím obrázku. (8b)
+
-
10
20p+1
0,1

a. Určete celkový přenos systému. (1b)
b. Rozhodněte o stabilitě systému. Zdůvodněte. (1b)
c. Načrtněte frekvenční charakteristiku v komplexní rovině. (3b)
d. Vypočtěte (2b) a načrtněte (1b) přechodovou charakteristiku.

Řešení
a. Celkový přenos systému
()
10
0,1
11020 1
10
20 1 1 20 2 10 1
10,1
20 1
p
Fp
pp
p
+
====
++ + +
+
+
,5
p

b. Systém má jeden reálný pól který leží v levé polorovině komplexní roviny a proto je systém
stabilní. (2b)
1
0,1p =−

c. Frekvenční charakteristika v komplexní rovině. Pro frekvenční přenos platí
() () ()
arctan10
22
0,5 0,5
arctan10
100 1 100 1
j
Fj e Fj
ω
ω ωϕω
ωω
−
==
++
ω=−
Pro velmi nízké frekvence 0ω→ platí
( ) ( )0,5 0Fjωϕω= =
.
Pro velmi vysoké frekvence ω→∞ platí ( ) ( )0/Fj 2ω ϕω π==−.

0
Im F(j{ω)}
Re{ω)}F(j
h(t)
t
0
0,5
ω
ω=0
ω
0,5
10


d. Přechodová charakteristika
() ()
()
11 1
0,5 1
0,5
10 1 10 1
ht L F p L L
pppp
−− −
⎧ ⎫
⎧⎫⎧ ⎫
⎪ ⎪
== =
⎨⎬⎨ ⎬ ⎨
++
⎬
⎪ ⎪⎩⎭⎩ ⎭
⎩⎭
a výraz v závorce rozložíme na parciální
zlomky. Platí
() ()
( )
()
10
110
1, 10
10 1 10 1 10 1 5 1
pABA
AB ApABp
AB
pp p p pp pp
++
++
=+ = = ⇒= =−
+++ +
. Potom
()
11
10
110 1 1
0,5 0,5 0,5 1 0
10 1 1/10
t
ht L L e prot
pp pp
−
−−
⎛⎞⎧⎫⎧ ⎫
=−=−=
⎨⎬⎨ ⎬⎜⎟
++
⎩⎭⎩ ⎭⎝⎠
≥






BSAS Test 3 Jméno
A ID

Periodický diskrétní signál má periodu 4 vzorky a nabývá hodnot ( ) ( )()( )03;10;21;32ffff= ===.
a) Nakreslete dvě periody tohoto signálu. (1b)
b) Vytvořte nový signál . (1b) () ( )gk f k=−
c) Vypočtěte spektrum signálu . (3b) ()gk
d) Nakreslete jeho amplitudové (1b) a fázové (1b) spektrum.
Řešení:
f(k) g(k)=f(-k)
k k-5 -5-4 -4-3 -3-2 -2-1 -100234623456


() () () ()
22 2 2 222
00 01 02 03 00 01 02 03
44 4 4 444
0
11
0123 32
jjj j jjj
cge ge ge ge e e e e
ππππ πππ
−−−− −−−−⎡⎤⎡
=+++=+++
⎢⎥⎢
⎣⎦⎣
2
4
j
π
⎤
⎥
⎦
[]
0
1
321 1,5
4
c =++=
() () () ()
22 2 2 222
10 11 12 13 10 11 12 13
44 4 4 444
1
0123 32 0
jjj j jjj
cge ge ge ge e e e e
ππππ πππ
−−−− −−−−
=+++=+++
2
4
j
π

[]
2222
10 11 12 13
4444 2
1
11
32 0 32 321
jjjj j
j
j
ce e e e ee j
ππππ π
π
−−−− −
−
⎡⎤⎡⎤
−
=+++=++=−−=
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦

() () () ()
22 2 2 222
20 21 22 23 20 21 22 23
44 4 4 444
2
0123 3210
jjj j jjj
cge ge ge ge e e e e
ππππ πππ
−−−− −−−−
=+++=+++
4
j
π
⎤
⎥
⎦
[]
2222
20 21 2 3
2
4444
2
11
32 0 32 321
jjjj
jj
ce e e e ee
ππππ
ππ
−−−−
−−
⎡⎤
+
⎡⎤=+++=++=−+==
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦

() () () ()
22 2 2 222
30 31 32 33 30 31 32 33
44 4 4 444
3
0123 32 0
jjj j jjj
cge ge ge ge e e e e
ππππ πππ
−−−− −−−−⎡
=+++=+++
⎢
⎣
2
4
j
π

[]
2222 6
30 31 32 33
3
4444 4
3
11
3 2 1 0 32 32 1
jjjj j
j
jj
ce e e e ee j
ππππ π
π
−−−− −
−
⎡⎤⎡⎤
++
=+++=++=+−==
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦


()
()
()
()
00 0
10 0
22 2
30 0
1, 5 1, 5 arg 0
0,5 0,5 0, 25 0, 707 arg 45
0,5 0,5 arg 0
0,5 0,5 0, 25 0,707 arg 45
cc c
cjc c
cc c
cjc c
== =
=− = = =−
== =
=+ = = =+
D
D
D
D




Amplitudové spektrum
1,50
0,71
0,50
0,71
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
0123



Fázové spektrum
0
-45
0
45
-180
-90
0
90
180
0123







BSAS Test 3 Jméno
B ID

Periodický diskrétní signál má periodu 4 vzorky a nabývá hodnot ( ) ( )()( )03;12;21;30ffff= ===.
a) Nakreslete dvě periody tohoto signálu. (1b)
b) Vytvořte nový signál ( )()gk f k=−. (1b)
c) Vypočtěte spektrum signálu . (3b) ()gk
d) Nakreslete jeho amplitudové (1b) a fázové (1b) spektrum.

Řešení:
g(k)=f(-k)f(k)
kk -5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 00 11 22 33 44 55 66
33
22
11


() () () ()
22 2 2 222
00 01 02 03 00 01 02 03
44 4 4 444
0
11
0123 3
jjj j jjj
cge ge ge ge e e e e
ππππ πππ
−−−− −−−−⎡⎤⎡
=+++=+++
⎢⎥⎢
⎣⎦⎣
2
4
j
π
⎤
⎥
⎦
[]
0
1
312 1,5
4
c =++=
() () () ()
22 2 2 222
10 11 12 13 10 11 12 13
44 4 4 444
1
0123 3
jjj j jjj
cge ge ge ge e e e e
ππππ πππ
−−−− −−−−
=+++=+++
2
4
j
π

[]
2222 6
10 11 12 13
4444 4
1
11
30 312 312
jjjj j
j
j
ce e e e ee j
ππππ π
π
−−−− −
−
⎡⎤⎡⎤
+
=+++=++=−+=
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦

() () () ()
22 2 2 222
20 21 22 23 20 21 22 23
44 4 4 444
2
0123 3 1
jjj j jjj
cge ge ge ge e e e e
ππππ πππ
−−−− −−−−
=+++=+++
4
j
π
⎤
⎥
⎦
[]
2222
20 21 2 3
23
4444
2
11
30 31 312
jjjj
jj
ce e e e ee
ππππ
ππ
−−−−
−−
⎡⎤
⎡⎤=+++=++=+−=
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦

() () () ()
22 2 2 222
30 31 32 33 30 31 32 33
44 4 4 444
3
0123 30
jjj j jjj
cge ge ge ge e e e e
ππππ πππ
−−−− −−−−⎡
=+++=+++
⎢
⎣
2
4
j
π

[]
2222 9
30 31 32 33
3
4444 2
3
11
30 312 312
jjjj j
j
jj
ce e e e ee j
ππππ π
π
−−−− −
−
⎡⎤⎡⎤
−−
=+++=++=−==
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦


()
()
()
()
00 0
10 0
22 2
30 0
1, 5 1, 5 arg 0
0,5 0,5 0, 25 0, 707 arg 45
0,5 0,5 arg 0
0,5 0,5 0, 25 0, 707 arg 45
cc c
cjc c
cc c
cjc c
== =
=+ = = =+
== =
=− = = =−
D
D
D
D





Amplitudové spektrum
1,50
0,71
0,50
0,71
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
0123


Fázové spektrum
0
45
0
-45
-180
-90
0
90
180
0123




















BSAS Test 3 Jméno
C ID

Neperiodický diskrétní signál nabývá hodnot ( ) ( ) ( )()40;31;22;1ffff3− =−=−=−=.
a) Nakreslete tento signál. (1b)
b) Vytvořte nový signál ( )()gk f k=−. (1b)
c) Vypočtěte spektrum signálu . (3b) ()gk
d) Nakreslete jeho amplitudové (1b) a fázové (1b) spektrum.

Řešení:
f(k) g(k)=f(-k)
k k-5 -5-4 -4-3 -3-2 -2-1 -100234623456


() () () ()
22 2 2222
00 01 02 03 00 01 02 03
44 4 4444
(0) 0 1 2 3 0 3 2 1
jjj jjjj
Gge ge ge ge e e e e
πππππππ
−−−−−−−−⎡⎤⎡
=+++=+++
⎢⎥⎢
⎣⎦⎣
[
2
4
j
π
⎤
⎥
⎦
]
(0) 3 2 1 6G =++=
() () () ()
22 2 2222
10 11 12 13 10 11 12 13
44 4 4444
(1) 0 1 2 3 0 3 2 1
jjj jjjj
Gge ge ge ge e e e e
πππππππ
−−−−−−−−
=+++=+++
2
4
j
π

[]
2222 6
10 11 12 13
4444 2 4
(1) 0 3 2 1 3 2 1 3 2 2 2
jjjj j j
j
Ge e e e eee jj
ππππ π π
π
−−−− − −
−
⎡⎤⎡⎤
=+++=++=−−+=−
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
j
() () () ()
22 2 2222
20 21 2 3 20 1 2 23
44 4 4444
(2) 0 1 2 3 0 3 2 1
jjj jjjj
Gge ge ge ge e e e e
πππππππ
−−−−−−−−
=+++=+++
4
j
π
⎤
⎥
⎦
[]
2222
20 21 2 3
23
4444
(2) 0 3 2 1 3 2 1 3 2 1 2
jjjj
jj j
Ge e e e eee
ππππ
πππ
−−−−
−− −
⎡⎤
⎡⎤=+++=++=−+−=−
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦

() () () ()
22 2 2222
30 31 32 33 30 31 32 33
44 4 4444
(3) 0 1 2 3 0 3 2 1
jjj jjjj
Gge ge ge ge e e e e
πππππππ
−−−−−−−−⎡
=+++=+++
⎢
⎣
2
4
j
π

[]
2222 6 9
30 31 32 33
3
4444 4 2
(3) 0 3 2 1 3 2 1 3 2 2 2
jjjj j j
j
Ge e e e eee jj
ππππ π π
π
−−−− − −
−
⎡⎤⎡⎤
=+++=++=−=−
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
j+

()
()
()
()
(0) 6 (0) 6 arg (0) 0
(1) 2 2 (1) 8 2, 83 arg (1) 135
(2) 2 (2) 2 arg (2) 180
(3) 2 2 (3) 8 2,83 arg (3) 135
GG G
GjG G
GG G
GjG G
== =
=− − = = =−
=− = =−
=− + = = =+
D
D
D
D










Amplitudové spektrum
6,00
2,83
2,00
2,83
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
0123


Fázové spektrum
0
-135
-180
135
-180
-90
0
90
180
0123












BSAS Test 3 Jméno
D ID

Neperiodický diskrétní signál nabývá hodnot ( ) ( ) ( )()33; 22; 11;00ffff− =−=−= =.
a) Nakreslete tento signál. (1b)
b) Vytvořte nový signál ( )()gk f k=−. (1b)
c) Vypočtěte spektrum signálu . (3b) ()gk
d) Nakreslete jeho amplitudové (1b) a fázové (1b) spektrum.

Řešení:
g(k)=f(-k)
f(k)
k
k
-5
-5
-4
-4
-3
-3
-2
-2
-1
-1
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
3
3
2
2
1
1


() () () ()
22 2 2222
00 01 02 03 00 01 02 03
44 4 4444
(0) 0 1 2 3 0 1 2 3
jjj jjjj
Gge ge ge ge e e e e
πππππππ
−−−−−−−−⎡⎤⎡
=+++=+++
⎢⎥⎢
⎣⎦⎣
[
2
4
j
π
⎤
⎥
⎦
]
(0) 1 2 3 6G =++=
() () () ()
22 2 2222
10 11 12 13 10 11 12 13
44 4 4444
(1) 0 1 2 3 0 1 2 3
jjj jjjj
Gge ge ge ge e e e e
πππππππ
−−−−−−−−
=+++=+++
2
4
j
π

[]
22 2 2 6
10 11 12 13
44 4 4 2 4
(1) 0 1 2 3 1 2 3 2 3 2 2
jjj j j j
j
Ge e e e eee jj
ππππ π π
π
−−−− − −
−
⎡⎤⎡⎤
=+++=++=−+=−
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
j+
() () () ()
22 2 2222
20 21 2 3 20 1 2 23
44 4 4444
(2) 0 1 2 3 0 1 2 3
jjj jjjj
Gge ge ge ge e e e e
πππππππ
−−−−−−−−
=+++=+++
4
j
π
⎤
⎥
⎦
[]
2222
20 21 2 3
23
4444
(2) 0 3 2 1 1 2 3 1 2 3 2
jjjj
jj j
Ge e e e eee
ππππ
πππ
−−−−
−− −
⎡⎤
⎡⎤=+++=++=−+−=−
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦

() () () ()
22 2 2222
30 31 32 33 30 31 32 33
44 4 4444
(3) 0 1 2 3 0 1 2 3
jjj jjjj
Gge ge ge ge e e e e
πππππππ
−−−−−−−−⎡
=+++=+++
⎢
⎣
2
4
j
π

[]
22 2 2 6 9
30 31 32 33
3
44 4 4 4 2
(3) 0 1 2 3 1 2 3 2 3 2 2
jjj j j j
j
Ge e e e eee jj
ππππ π π
π
−−−− − −
−
⎡⎤⎡⎤
=+++=++=−=−
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
j

()
()
()
()
(0) 6 (0) 6 arg (0) 0
(1) 2 2 (1) 8 2, 83 arg (1) 135
(2) 2 (2) 2 arg (2) 180
(3) 2 2 (3) 8 2,83 arg (3) 135
GG G
GjG G
GG G
GjG G
== =
=− + = = =+
=− = =−
=− − = = =−
D
D
D
D









Amplitudové spektrum
6,00
2,83
2,00
2,83
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
0123


Fázové spektrum
0
135
-180
-135
-180
-90
0
90
180
0123




BSAS Test 4 Jméno
A ID


Lineární diskrétní systém se vstupem a výstupem ()uk ( )yk je popsán diferenční rovnicí
() ( ) ()0,9 1 3yk yk uk+−=. (8b)
a. Určete Z přenos systému. (1b)
b. Určete stabilitu systému. (1b)
c. Určete impulsovou charakteristiku a načrtněte ji pro prvních 5 hodnot. (4b)
d. K jakému spojitému systému lze vlastnosti tohoto systému přirovnat. (2b)

Řešení
a. () () ()
1
0,9 3Yz zYz Uz
−
+=
()
()
()
1
33
10,9 0,9
Yz
z
Fz
Uz z z
−
== =
++


b. Systém má jeden pól který leží uvnitř jednotkové kružnice a proto je stabilní.
1
0,9z =−

c. Pro Z obraz impulsové charakteristiky platí
() ()
()
() ()
11
00
33
3 0,9 3 0,9
10,9 1 0,9
kk
kk
Gz Fz z z
zz
∞∞
− −
−−
==
== = =− =−
+−−
∑∑

a pro impulsovou charakteristiku tedy platí
()
()30,9 0
00
k
k
gk
k
⎧
−≥⎪
=
⎨
<
⎪
⎩


g(k)
k
-1
1 23
45
3
0
-3
-2,7
2,43
-2,19
1,97


d. Systém je prvního řádu a přitom má kmitavou odezvu. Takový systém nemá obdobu u spojitých
systémů.






BSAS Test 4 Jméno
B ID

Lineární diskrétní systém se vstupem a výstupem ()uk ( )yk je popsán operátorovým přenosem
()
2
0,8
z
Fz
z
=
−
. (8b)
e. Určete jeho diferenční rovnici. (1b)
f. Určete stabilitu systému. (1b)
g. Určete impulsovou charakteristiku a načrtněte ji pro prvních 5 hodnot. (4b)
h. K jakému spojitému systému lze vlastnosti tohoto systému přirovnat. (2b)

Řešení
a.
()
()
()
()()() () ( ) ()
1
1
2
10,8 2 0,8 1 2
10,8
Yz
F z Yz z Uz yk yk uk
Uz z
−
−
== ⇒ − = ⇒− −=
−


b. ()
1
22
10,8 0,8
z
Fz
zz
−
==
−−
. Systém má jeden pól
1
0,8z =+ který leží uvnitř jednotkové kružnice a
proto je stabilní.

c. Pro Z obraz impulsové charakteristiky platí
() ()
0112233
1
0
2
2 0,8 2.0,8 2.0,8 2.0,8 2.0,8 .....
10,8
kk
k
Gz Fz z z z z
z
∞
−−−
−
=
== = = + + +
−
∑
−

a pro impulsovou charakteristiku tedy platí
()
2.0,8 0
00
k
k
gk
k
⎧ ≥
=
⎨
<
⎩


g(k)
k
-1
1 234 5
2
0
1,6
1,28
1,024
0,82
0


d. Obdobou tohoto systému ve spojité oblasti je setrvačný článek s přenosem ()
1
K
Fp
pτ
=
+
.




BSAS Test 4 Jméno
C ID

Diskrétní systém má přechodovou charakteristiku
()
( )
21 0,5 1
01
k
k
hk
k
⎧
− ≥
⎪
=
⎨
<
⎪
⎩
(8b)
a. Určete impulsovou charakteristiku a načrtněte ji pro prvních 5 hodnot (5b)
b. Určete přenos tohoto systému (1b)
c. Napište diferenční rovnici systému (1b)
d. Jedná se o systém rekurzivní nebo nerekurzivní? Zdůvodněte. (1b)

Řešení
a. Impulsová charakteristika
() ()
0 0 0000gh= −=−= a pro platí 1k ≥
() () ( ) ()( )( )
()() ()
11
11
1 2 1 0,5 2 1 0,5 2 0,5 0,5
2 0,5 1 0,5 0,5 2 0,5
kkk
k
kk
gk hk hk
−−
−−
=−−=−−− = −
=−==
k
=

Platí tedy ()
1
0,5 1
01
k
k
gk
k
−
⎧ ≥
=
⎨
<
⎩

g(k)
h(k)
kk
-1-1 00 11 22 33 44 55
12
0,5
0,25
0,125
1
1
1,5
1,75
1,875


b. Operátorový přenos
() (){} () () ()
11 1
01 0
11
111
0,5 0,5 2 0,5 1
10,5 1
212
10,5 10,5 10,5 0,5
kk
k
kk k
Fz Zgk gkz z z
zz
zzz
∞∞ ∞
−−− −
== =
−−
−−−
⎡ ⎤
== = = −=
⎢ ⎥
⎣ ⎦
−+⎡⎤
=−= ==
⎢⎥
⎣⎦
∑∑ ∑


c. Diferenční rovnice
()
()
()
() ()() ()()
1
11
1
10,5 0,5 1 1
10,5
Yz
z
Fz Yz z zUz yk yk uk
zUz
−
−−
−
==⇒−=⇒=−+
−
−
d. Rekurzívnost systému
Z diferenční rovnice je patrno, že v systému existuje zpětná vazba neboť jeho okamžitý výstup ( )yk
závisí i na minulé hodnotě výstupu . ()1yk−
Jiné zdůvodnění: Impulsová charakteristika není konečná tj. neexistuje žádné přirozené číslo N, pro které
by platilo , a proto je systém rekurzivní. () 0gk pro k N=≥








BSAS Test 4 Jméno

D ID

3. Diskrétní systém má následující impulsní charakteristiku
2,3
(8b)
a. Určete operátorový přenos tohoto systému (2b)
b. Rozhodněte o stabilitě. Zdůvodněte (1b)
c. Napište diferenční rovnici systému a slovně vyjádřete chování systému (1b)
d. Vypočtěte a načrtněte přechodovou charakteristiku pro prvních 6 hodnot. Ocejchujte osy. (4b)

Řešení
a. Operátorový přenos
()
0, 25 0,1, 2,3
00,1
k
gk
k
=
⎧
=
⎨
≠
⎩

() (){} ()
()
012