Písemka 1 řešení

/5 /3
5553535
53
10 1
22
tt
t
tt
tt
ht g d e e d e e e e
ee
ττ τ τ
ττ τ
−− − − − −
−−
53⎡ ⎤⎡ ⎤==−=+= −+=
⎣ ⎦⎣ ⎦
⎛⎞
=− +
⎜⎟
⎝⎠
∫∫

Dále platí . Pro směrnici tečny platí () ()00, 10hh=∞=
( )
() ()
dh t
ht gt
dt
′== a proto
() () () ( )000,hg h g
′′= = ∞= ∞=0. Přechodová charakteristika musí být nekmitavá, protože systém
nemá komplexní póly.
h(t)
t
10
0

Jiný způsob určení přechodové charakteristiky:
() ()
()()
11
10
5131
ht F p
ppp
−−
p
⎧ ⎫
⎧⎫
⎪ ⎪
==
⎨⎬⎨
++
⎬
⎪ ⎪⎩⎭
⎩⎭
LL a dále rozkladem na parciální zlomky obdržíme
()
()() ()()
1 1 /5 /3
10 25/ 2 15/ 2 10 5/ 2 3/ 2 5 3
10 1
51 31 1/5 1/3 2 2
tt
ht ee
pp p pp p
⎧ ⎫
⎪⎪ ⎪⎛⎞
=−+ =− + =−+
⎨⎬⎨ ⎬
⎜⎟
++ + +
⎝⎠
⎪
⎩⎭⎩ ⎭
−



3. Je dán spojitý signál () ( )
0
cos , , , / 6ft t t
0
ω ωπ=∈−∞+=. Tento signál je vzorkován a perioda
vzorkování je sec. 2
s
T =
a) Lze takto získaný diskrétní signál zpětně rekonstruovat pomocí ideálního filtru typu dolní propust(5b)?
Odpovězte Ano/Ne a zdůvodněte.
b) Je takto získaný diskrétní signál periodický (5b)? Odpovězte Ano/Ne, zdůvodněte a pokud je
periodický určete jeho periodu.
c) Načrtněte prvních 6 vzorků diskrétního signálu (5b).

Řešení
a) Nejvyšší kmitočet ve spektru spojitého signálu je
0
/6ω π= . Kmitočet vzorkování je
2/ 2/2
ss
Tω ππ===π
2
. Diskrétní signál bude možno zpětně rekonstruovat, bude-li splněna
podmínka Shanonova teorému
0
/
s
ω ω > . Platí
0
62
/6
s
ω π
ωπ
= =>. Podmínka je splněna a proto lze
signál rekonstruovat.
b) Vzhledem k tomu, že poměr
0
/
s
6ω ω = je celé číslo (v jedné periodě spojitého signálu je celistvý
počet vzorků) je diskrétní signál periodický s periodou 6N = .
c)
k
cos[ k](2π/6)
0 1
3
4
6
1
2
5


4. Lineární diskrétní systém má dva póly
12
0,8, 0,8zz=+=− a jednu nulu . Koeficient u nejvyšší
mocniny čitatele je roven 1,6 a koeficient u nejvyšší mocniny jmenovatele je roven 1.
1
0n =

a) Určete operátorový přenos systému (5b).
b) Napište jeho diferenční rovnici (2b)
c) Vypočtěte jeho impulsní charakteristiku (6b) a načrtněte ji pro prvních 5 hodnot (2b).
d) Vypočtěte prvních 5 hodnot přechodové charakteristiky (3b) a načrtněte ji (2b).

Řešení
a)
()
()()
222
1, 6 1, 6 1, 6
1 0,8 0,8 0,8 0,64
z zz
Fz
zz z z
===
−+ − −

b)
()
()
()
1
22
1, 6 1, 6
0,64 1 0,64
Yz
zz
Fz
−
−
== =
−− Uz

() ( ) ( )0, 64 2 1, 6 1yk yk uk−−=−
c)
()
()()
()
( ) ( ) () () ( )
11
00
000
1, 6 1 1
0,8 0,8
0,8 0,8 0,8 0,8 1 0,8 1 0,8
0,8 0,8 0,8 1 1 0,8 1 1
k
kk k
kk
kk k
kkkkk k
zzz
Fz z z
zz zz z z
zzgg
∞∞
−−
−−
==
∞∞∞
−−−
===
==−= =−
−+ −+− +
⎡⎤⎡⎤ ⎡⎤
=−− = − ⇒=−
⎣⎦⎣⎦ ⎣⎦
∑∑
∑∑∑
=

d)
( ) [ ]
() []
() []
() []
() []
0
1
2
3
4
00,8110
10,8111,6
20,8110
30,8111,02
40,8110
g
g
g
g
g
=−=
=+=
=−=
=+=
=−=
4

( ) ( )
() () ()
() () ()
() () ()
() () ()
000
10101,61,6
2 1 2 1,6 0 1,6
3 2 3 1,6 1,024 2,624
4 3 4 2,624 0 2,624
hg
hhg
hhg
hhg
hhg
==
=+=+=
=+ =+=
=+=+=
=+= +=


gk()
h( )k
k
k0
0
1
1
2
2
34
34
1,6
1,6 1,6
1,024
2,624 2,624