Písemka 1 řešení

c)
kk
Cos[ k](2π/4) Sin ([k]2π/4)
010 21
32
434
1
1



4. Diskrétní lineární systém má impulsovou charakteristiku ()
0,5 0, 4 0
00
kk
k
gk
k
⎧ + ≥
=
⎨
<
⎩
.
a) Vypočtěte první 4 hodnoty impulsové charakteristiky (3b) a načrtněte ji (2b).
b) Vypočtěte první 4 hodnoty přechodové charakteristiky (3b) a načrtněte ji (2b)
c) Určete operátorový přenos systému (5b).
d) Napište diferenční rovnici systému(2b)
e) Nakreslete jeho rozložení pólů a nul (3b)

Řešení
a) Platí b)
()
00
00,50,411g =+=+=2 ( ) ( )00hg2= =
()
11
1 0,5 0,4 0,5 0,4 0,9g =+=+=
( ) ( ) ( )
10120,92hhg=+=+=,9
()
22
2 0,5 0,4 0,25 0,16 0,41g =+=+= ( ) ( ) ( )2 1 2 2,9 0, 41 3,31hhg=+ =+=
()
33
3 0,5 0, 4 0,125 0,064 0,189g =+= + =
( ) ( ) ( )
3 2 3 3,31 0,189 3, 499hhg=+=+ =
gk()
h( )k
k
k0
0
1
1
2
2
3
3
2
2
0,9
2,9
0,41
3,31
0,189
3,499


c)

() () ()
()()()()
()
()()
11
00 00
22 2
11
0,5 0, 4 0,5 0, 4
10,5 10,4
20,45
0, 4 0,5 2 0,9
0,5 0,4 0,5 0,4 0,5 0,4 0,5 0,4
kkkkk k
kk k
Fz gkz z z z
zz
zz
zzzzzzzz
zz zz zz zz
∞∞ ∞∞
−−−−
−−
== ==
+ +=+
−−
−
−+− −
=+= = =
−− −− −− −−
∑∑ ∑∑
=

d)
()
()
()()
( )
()
21
20,45
20,9 20,9
0,5 0, 4 0,9 0, 2 1 0,9 0, 2
zz Yz
zz z
Fz
zz zz zzU
−
−−
−
−−
===
−− −+−+ z
=
() ( ) ( ) () ( )0,9 1 0, 2 2 2 0,9 1yk yk yk uk uk−−+−=−−
e)
Re z{}
Im{ }z
0
0,4 0,5
0,45


2004 BSAS Písemka 1 Skupina B

1. Je dán signál
() ( )() ( ),ft t t a t a tσσ=+−−∈−∞+⎡⎤
⎣⎦
∞.
a) Určete zda je signál periodický (2b)
b) Načrtněte průběh signálu (4b)
c) Určete hodnotu spektra pro kmitočet 0ω= (3b) a zdůvodněte výsledek (2b).
d) Určete energii signálu (4b).

Řešení
a) Signál není periodický.
b) Průběh signálu
t
f(t)
0
-a
+a
a
-a

c) () () ()
222
0
0
0
222
a
a
jt
a a
taa
F f t e dt f t dt tdt
ω
ω
ω
ω
+
+∞ +∞ +
−
=
−∞ −∞ − −
=
⎡⎤
= = = = =−=
⎢⎥
⎣⎦
∫∫∫

Hodnota spektra pro kmitočet 0ω= vyjadřuje střední hodnotu (stejnosměrnou složku) signálu a ta je
nulová (plochy signálu nad i pod osou jsou stejné).

d)
()
333
2
2
2
333
a
a
a a
taa
Eftdttdt
+
+∞ +
−∞ − −
⎡⎤
====+
⎢⎥
⎣⎦
∫∫
3
3
a
=

2. Spojitý lineární systém má impulsovou charakteristiku
()
( )
/5 /3
50
00
tt
ee t
gt
t
−−
⎧
− ≥
⎪
=
⎨
<
⎪
⎩
.
a) Vypočtěte operátorový přenos systému (3b).
b) Napište diferenciální rovnici systému (2b).
c) Načrtněte amplitudovou frekvenční charakteristiku v logaritmických souřadnicích (5b). Vyznačte
sklony asymptot (1b) a ocejchujte osy (1b).
d) Vypočtěte (4b) a načrtněte (4b) přechodovou charakteristiku.

Řešení
a)
() (){} ()
{}
()()
/5 /3
2
5 5 25 15
5
1/5 1/3 5 1 3 1
10 10
513115 81
tt
Fp gt e e
pp pp
pp pp
−−
== −=−=−
++ ++
==
++ ++
LL =

b) Diferenciální rovnice () () ( ) ( )15 8 10yt yt yt ut′′ ′++=
c) Pro frekvenční přenos systému platí
()
()53
22
10
25 1 9 1
jarctg arctg
Fj e
ω ω
ω
ωω
−+
=
++

logω
1
F( )ω
dB
20
0
−40dB/dek
−20dB/dek
0dB/dek
1/5
1/3
0,1


d) Pro přechodovou charakteristiku platí
() () () ()
/5 /3 /5 /3 /3 /5
0
00