Vzorové řešení

A 9 – vzorov´e ˇreˇsen´ı
Pˇr. 1.
Libovolnou z probran´ych metod najdˇete s pˇresnost´ı na 3 desetinn´a m´ısta kladn´y koˇren rovnice
sinx + x2 − 2 = 0.
Poˇc´ıtejte v radi´anech, ne ve stupn´ıch!
ˇReˇsen´ı:
Rovnici lze upravit na sinx = −x2 + 2.
Nakresl´ıme-li do jednoho obr´azku grafy funkc´ı y =
sinx a y = −x2 + 2, vid´ıme, ˇze kladn´y koˇren leˇz´ı
v intervalu 〈1,2〉.
M˚uˇzeme to jeˇstˇe ovˇeˇrit dosazen´ım do funkce
f(x) = sinx + x2 − 2:
f(1) = sin1 + 1 − 2 < 0, f(2) = sin2 + 4 − 2 > 0,
znam´enka jsou opaˇcn´a, v intervalu 〈1,2〉 leˇz´ı koˇren
rovnice f(x) = 0.
–2–112 y
–3
–2
–1
1
2
3
x
Koˇren m˚uˇzeme hledat napˇr. Newtonovou metodou:
V´ybˇer poˇc´ateˇcn´ı aproximace tak, aby byla zaruˇcena konvergence (nebylo nutno dˇelat):
Ovˇeˇr´ıme, ˇze fprime a fprimeprime nemˇen´ı v intervalu 〈1,2〉 znam´enko:
fprime(x) = cosx + 2x > 0 pro x ∈ 〈1,2〉 (protoˇze −1 ≤ cosx ≤ 1 a 2x ≥ 2 pro x ∈ 〈1,2〉).
fprimeprime(x) = −sinx + 2 > 0 pro libovoln´e x (protoˇze −1 ≤ −sinx ≤ 1, tedy −sinx + 2 > 0).
Zvol´ıme x0 = 2, protoˇze f(2) > 0 a fprimeprime(2) > 0. Dalˇs´ı aproximace pak poˇc´ıt´ame podle vztahu
xk+1 = xk − sinxk + x
2
k − 2
cosxk + 2xk :
x1 = 1,1882; x2 = 1,0647; x3 = 1,0616; x4 = 1,0615. Pˇresnost je dosaˇzena, koˇren je pˇribliˇznˇe 1,062.
Pˇr. 2.
Gauss-Seidelovou metodou ˇreˇste soustavu rovnic
20x − 3y + 4z = 40
2x + 10y − 3z = 15
2x − y − 8z = 20
Ovˇeˇrte, ˇze je splnˇena podm´ınka konvergence metody – rozepiˇste!
Vyjdˇete z bodu (x0,y0,z0) = (0;0;0) a proved’te 2 kroky.
ˇReˇsen´ı:
Podm´ınka konvergence je splnˇena, protoˇze matice soustavy je ˇr´adkovˇe diagon´alnˇe dominantn´ı:
|20| > | − 3| + |4|, |10| > |2| + | − 3|, | − 8| > |2| + | − 1|.
Budeme dosazovat do iteraˇcn´ıch vztah˚u
xk+1 = 120 (40 + 3yk − 4zk)
yk+1 = 110 (15 − 2xk+1 + 3zk)
zk+1 = −18 (20 − 2xk+1 + yk+1)
Vyjde: x1 = (40+3·0−4·0)/20 = 2, y1 = (15−2·2+3·0)/10 = 1,1, z1 = −(20−2·2+1,1)/8 = −2,1375
x2 = 2,5925, y2 .= 0,3402, z2 .= −1,8944
Pˇr. 3.
Najdˇete Lagrange˚uv interpolaˇcn´ı polynom dan´y uzly
xi -1 0 2
fi 6 1 3
Polynom rozn´asobte a pak proved’te zkouˇsku, ˇze se jedn´a opravdu o spr´avn´y interpolaˇcn´ı polynom.
ˇReˇsen´ı:
P2(x) = 6 · (x − 0) · (x − 2)(−1 − 0) · (−1 − 2) + 1 · (x + 1) · (x − 2)(0 + 1) · (0 − 2) + 3 · (x + 1) · (x − 0)(2 + 1) · (2 − 0) = 2x2 − 3x + 1
Zkouˇska: ovˇeˇr´ıme, ˇze P2(xi) = fi pro i = 0,1,2:
P2(−1) = 2 · (−1)2 − 3 · (−1) + 1 = 6 = f0; P2(0) = 1 = f1; P2(2) = 2 · 4 − 3 · 2 + 1 = 3 = f2.
B 9 – vzorov´e ˇreˇsen´ı
Pˇr. 1. Libovolnou z probran´ych metod najdˇete s pˇresnost´ı na 4 desetinn´a m´ısta z´aporn´y koˇren
rovnice
2ex − x − 4 = 0.
ˇReˇsen´ı:
Rovnici lze upravit na 2ex = x + 4.
Nakresl´ıme-li do jednoho obr´azku grafy funkc´ı y =
2ex a y = x + 4, vid´ıme, ˇze z´aporn´y koˇren leˇz´ı v
intervalu 〈−4,−3〉.
M˚uˇzeme to jeˇstˇe ovˇeˇrit dosazen´ım do funkce
f(x) = 2ex − x − 4:
f(−4) = 2e−4+4−4 > 0, f(−3) = 2e−3+3−4 < 0,
znam´enka jsou opaˇcn´a, v intervalu 〈−4,−3〉 leˇz´ı
koˇren rovnice f(x) = 0.
–10123456 y
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
x
Koˇren m˚uˇzeme hledat napˇr. Newtonovou metodou:
V´ybˇer poˇc´ateˇcn´ı aproximace tak, aby byla zaruˇcena konvergence (nebylo nutno dˇelat):
Ovˇeˇr´ıme, ˇze fprime a fprimeprime nemˇen´ı v intervalu 〈−4,−3〉 znam´enko:
fprime(x) = 2ex − 1 < 0 pro x ∈ 〈−4,−3〉 (protoˇze 2ex ≤ 2e−3 .= 0,1).
fprimeprime(x) = 2ex > 0 pro libovoln´e x.
Zvol´ıme x0 = −4, protoˇze f(−4) > 0 a fprimeprime(−4) > 0. Dalˇs´ı aproximace pak poˇc´ıt´ame podle vztahu
xk+1 = xk − 2e
xk − xk − 4
2exk − 1 :x
1 = −3,9620; x2 = −3,9619; x3 = −3,9619. Pˇresnost je dosaˇzena, koˇren je pˇribliˇznˇe −3,9619.
Pˇr. 2. Jacobiho metodou ˇreˇste soustavu rovnic
10x + y − 2z = 30
3x + 20y − 4z = 10
x − 4y − 40z = 20
Ovˇeˇrte, ˇze je splnˇena podm´ınka konvergence metody – rozepiˇste!
Vyjdˇete z bodu (x0,y0,z0) = (3;1;0) a proved’te 2 kroky.
ˇReˇsen´ı:
Podm´ınka konvergence je splnˇena, protoˇze matice soustavy je ˇr´adkovˇe diagon´alnˇe dominantn´ı:
|10| > |1| + | − 2|, |20| > |3| + | − 4|, | − 40| > |1| + | − 4|.
Budeme dosazovat do iteraˇcn´ıch vztah˚u
xk+1 = 110 (30 − yk + 2zk)
yk+1 = 120 (10 − 3xk + 4zk)
zk+1 = − 140 (20 − xk + 4yk)
Vyjde: x1 = (30−1+2·0)/10 = 2,9, y1 = (10−3·3+4·0)/20 = 0,05, z1 = −(20−3+4·1)/40 = −0,525
x2 = 2,89 y2 = −0,04, z2 = −0,4325
Pˇr. 3. Najdˇete Lagrange˚uv interpolaˇcn´ı polynom dan´y uzly
xi -2 0 2
fi -15 -1 -3
Polynom rozn´asobte a pak proved’te zkouˇsku, ˇze se jedn´a opravdu o spr´avn´y interpolaˇcn´ı polynom.
ˇReˇsen´ı:
P2(x) = −15 · (x − 0) · (x − 2)(−2 − 0) · (−2 − 2) − 1 · (x + 2) · (x − 2)(0 + 2) · (0 − 2) − 3 · (x + 2) · (x − 0)(2 + 2) · (2 − 0) =
= −2x2 + 3x − 1
Zkouˇska: ovˇeˇr´ıme, ˇze P2(xi) = fi pro i = 0,1,2:
P2(−2) = −2·(−2)2 +3·(−2)−1 = −15 = f0; P2(0) = −1 = f1; P2(2) = −8+6−1 = −3 = f2.
C 9 – vzorov´e ˇreˇsen´ı
Pˇr. 1. Libovolnou z probran´ych metod najdˇete s pˇresnost´ı na 3 desetinn´a m´ısta z´aporn´y koˇren
rovnice
cosx + x2 − 3 = 0.
Poˇc´ıtejte v radi´anech, ne ve stupn´ıch!
ˇReˇsen´ı:
Rovnici lze upravit na cosx = −x2 + 3.
Nakresl´ıme-li do jednoho obr´azku grafy funkc´ı y =
cosx a y = −x2 +3, vid´