Vzorové řešení

, aby byla
zaruˇcena konvergence (nebylo nutno dˇelat):
Ovˇeˇr´ıme, ˇze fprime a fprimeprime nemˇen´ı v intervalu 〈−2,−1〉
znam´enko:
fprime(x) = ex − 2 < 0 pro x ∈ 〈−2,−1〉 (protoˇze
ex ≤ e−1 .= 0,37 pro x ∈ 〈−2,−1〉).
fprimeprime(x) = ex > 0 pro libovoln´e x.
2468
y
–3
–2
–1
1
2
3
x
Zvol´ıme x0 = −2, protoˇze f(−2) > 0 a fprimeprime(−2) > 0. Dalˇs´ı aproximace pak poˇc´ıt´ame podle vztahu
xk+1 = xk − e
xk − 2xk − 3
exk − 2 :x
1 = −1,3911; x2 = −1,3734; x3 = −1,3734. Pˇresnost je dosaˇzena, koˇren je pˇribliˇznˇe −1,3734.
Pˇr. 2. Jacobiho metodou ˇreˇste soustavu rovnic
20x − 3y + 5z = 50
3x − 10y − 2z = 20
x − 2y + 5z = 10
Ovˇeˇrte, ˇze je splnˇena podm´ınka konvergence metody – rozepiˇste!
Vyjdˇete z bodu (x0,y0,z0) = (2;−1;2) a proved’te 2 kroky.
ˇReˇsen´ı:
Podm´ınka konvergence je splnˇena, protoˇze matice soustavy je ˇr´adkovˇe diagon´alnˇe dominantn´ı:
|20| > | − 3| + |5|, | − 10| > |3| + | − 2|, |5| > |1| + | − 2|.
Budeme dosazovat do iteraˇcn´ıch vztah˚u
xk+1 = 120 (50 + 3yk − 5zk)
yk+1 = − 110 (20 − 3xk + 2zk)
zk+1 = 15 (10 − xk + 2yk)
Vyjde: x1 = (50+3·(−1)−5·2)/20 = 1,85, y1 = −(20−3·2+2·2)/10 = −1,8, z1 = (10−2+2·(−1))/5 =
1,2
x2 = 1,93, y2 = −1,685, z2 = 0,91
Pˇr. 3. Aproximujte funkci f(x) = 1/(2 + x2) pomoc´ı interpolaˇcn´ıho polynomu s uzly x0 = −0,4,
x1 = 0 a x2 = 0,4. Pak pomoc´ı nalezen´eho interpolaˇcn´ıho polynomu vypoˇctˇete pˇribliˇznˇe f(0,1) a
v´ysledek porovnejte s pˇresnou hodnotou.
ˇReˇsen´ı: Nejjednoduˇsˇs´ı je v´ypoˇcet pomoc´ı Newtonova interpolaˇcn´ıho polynomu pro ekvidistantn´ı
uzly, ale lze i pomoc´ı obecn´eho Newtonova nebo Lagrangeova i.p.
ˇReˇsen´ı pomoc´ı speci´aln´ıho tvaru pro ekvidistantn´ı uzly:
Tabulka obyˇcejn´ych diferenc´ı
xi fi
-0,4 0,4630 0,0370 -0,0741
0 0,5 -0,0370
0,4 0,4630
P2(x) = 0,4630 + 0,0370q − 0,07412 q(q − 1), kde q = x+0,40,4
P2(0,1) .= 0,4977 (za q dosad´ıme 0,1+0,40,4 = 1,25),
Pˇresnˇe: 1/(2 + 0,12) .= 0,4975
ˇReˇsen´ı pomoc´ı obecn´eho tvaru:
Tabulka pomˇern´ych diferenc´ı:
xi fi
-0,4 0,4630 0,0926 -0,2315
0 0,5 -0,0926
0,4 0,4630
P2(x) = 0,4630 + 0,0926(x + 0,4) − 0,2315(x + 0,4)(x − 0)
P2(0,1) .= 0,4977
Pˇresnˇe: 1/(2 + 0,12) .= 0,4975
B 10 – vzorov´e ˇreˇsen´ı
Pˇr. 1. Libovolnou z probran´ych metod najdˇete s pˇresnost´ı na 3 desetinn´a m´ısta kladn´y koˇren rovnice
cosx + x2 − 3 = 0.
Poˇc´ıtejte v radi´anech, ne ve stupn´ıch!
ˇReˇsen´ı:
Rovnici lze upravit na cosx = −x2 + 3.
Nakresl´ıme-li do jednoho obr´azku grafy funkc´ı y =
cosx a y = −x2 + 3, vid´ıme, ˇze kladn´y koˇren leˇz´ı
v intervalu 〈1,2〉.
M˚uˇzeme to jeˇstˇe ovˇeˇrit dosazen´ım do funkce
f(x) = cosx + x2 − 3:
f(1) = cos1+1−2 < 0, f(2) = cos2+4−3 > 0,
znam´enka jsou opaˇcn´a, v intervalu 〈1,2〉 leˇz´ı koˇren
rovnice f(x) = 0.
–101234 y
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
x
Koˇren m˚uˇzeme hledat napˇr. Newtonovou metodou:
V´ybˇer poˇc´ateˇcn´ı aproximace tak, aby byla zaruˇcena konvergence (nebylo nutno dˇelat):
Ovˇeˇr´ıme, ˇze fprime a fprimeprime nemˇen´ı v intervalu 〈1,2〉 znam´enko:
fprime(x) = −sinx + 2x > 0 pro x ∈ 〈1,2〉 (protoˇze −1 ≤ −sinx ≤ 1 a 2x ≥ 2 pro x ∈ 〈1,2〉).
fprimeprime(x) = −cosx + 2 > 0 pro libovoln´e x (protoˇze −1 ≤ −cosx ≤ 1, tedy −cosx + 2 > 0).
Zvol´ıme x0 = 2, protoˇze f(2) > 0 a fprimeprime(2) > 0. Dalˇs´ı aproximace pak poˇc´ıt´ame podle vztahu
xk+1 = xk − cosxk + x
2
k − 3
−sinxk + 2xk :
x1 = 1,8111; x2 = 1,7952; x3 = 1,7951. Pˇresnost je dosaˇzena, koˇren je pˇribliˇznˇe 1,795.
Pˇr. 2. Gauss-Seidelovou metodou ˇreˇste soustavu rovnic
5x − 2y + z = −15
2x − 20y + 5z = 30
3x − y + 10z = 20
Ovˇeˇrte, ˇze je splnˇena podm´ınka konvergence metody – rozepiˇste!
Vyjdˇete z bodu (x0,y0,z0) = (0;0;0) a proved’te 2 kroky.
ˇReˇsen´ı:
Podm´ınka konvergence je splnˇena, protoˇze matice soustavy je ˇr´adkovˇe diagon´alnˇe dominantn´ı:
|5| > | − 2| + |1|, | − 20| > |2| + |5|, |10| > |3| + | − 1|.
Budeme dosazovat do iteraˇcn´ıch vztah˚u
xk+1 = 15 (−15 + 2yk − zk)
yk+1 = − 120 (30 − 2xk+1 − 5zk)
zk+1 = 110 (20 − 3xk+1 + yk+1)
Vyjde: x1 = (−15+2·0−0)/5 = −3, y1 = −(30−2·(−3)−5·0)/20 = −1,8, z1 = (20−3·(−3)+
(−1,8))/10 = 2,72
x2 = −4,264, y2 = −1,2464, z2 .= 3,1546
Pˇr. 3. Aproximujte funkci f(x) = 1/(1 + 2x2) pomoc´ı interpolaˇcn´ıho polynomu s uzly x0 = −0,5,
x1 = 0 a x2 = 0,5. Pak pomoc´ı nalezen´eho interpolaˇcn´ıho polynomu vypoˇctˇete pˇribliˇznˇe f(0,2) a
v´ysledek porovnejte s pˇresnou hodnotou.
ˇReˇsen´ı: Nejjednoduˇsˇs´ı je v´ypoˇcet pomoc´ı Newtonova interpolaˇcn´ıho polynomu pro ekvidistantn´ı
uzly, ale lze i pomoc´ı obecn´eho Newtonova nebo Lagrangeova i.p.
ˇReˇsen´ı pomoc´ı speci´aln´ıho tvaru pro ekvidistantn´ı uzly:
Tabulka obyˇcejn´ych diferenc´ı
xi fi
-0,5 0,6667 0,3333 -0,6667
0 1 -0,3333
0,5 0,6667
P2(x) = 0,6667 + 0,3333q − 0,66672 q(q − 1), kde q = x+0,50,5
P2(0,2) .= 0,9467 (za q dosad´ıme 0,2+0,50,5 = 1,4),
Pˇresnˇe: 1/(1 + 2 · 0,22) .= 0,9259
ˇReˇsen´ı pomoc´ı obecn´eho tvaru:
Tabulka pomˇern´ych diferenc´ı:
xi fi
-0,5 0,6667 0,6667 -1,3333
0 1 -0,6667
0,5 0,6667
P2(x) = 0,6667 + 0,6667(x + 0,5) − 1,3333(x + 0,5)(x − 0)
P2(0,2) .= 0,9467
Pˇresnˇe: 1/(1 + 2 · 0,22) .= 0,9259