Info ke zkoušce

Tohle jsou příklady linearizovatelných funkcí (zvýrazněno červeně) do regresní analýzy. Stáhnul jsem to někde z netu, ale je to celkem dobrý
Regresní analýza
Konkrétní vyjádření matematického vztahu mezi veličinami
matematický tvar závislosti a hodnoty konstant
jednoduchá regrese 2veličiny vysvětlující (nezávislá) x
vysvětlovaná (závislá) y
(napětí – proud; spotřeba N hnojiv/ha – obsah N v zelenině)
Existuje i vícenásobná regrese 2 a více vysvětlujících veličin
1 vysvětlovaná veličina
K nalezení závislosti máme k dispozici výběr dvojic hodnot
závislé a nezávislé proměnné yi a xi
x nenáhodná veličina hodnoty mají být přesné
y náhodná veličina hodnoty s náhodnými chybami
nahodilostmi vychýleny od zákonité závislosti, kterou hledáme
koncentrace g/ml – x
ind.lomu - y
0,000
1,33150
0,020
1,33602
0,040
1,33803
0,060
1,33904
0,080
1,34206
atd.
atd.
Matematický tvar závislosti často vyplývá z teorie příslušného vědeckého oboru (např. Ohmův zákon) nebo zkoušíme, co se hodí podle naměřených bodů;
nejjednodušší a nejčastější - přímková závislost
Jde o nalezení objektivní metody
která prokládá nejlepším způsobem vybraný typ regresní funkce mezi naměřenými body - vyrovnává náhodné chyby
a) Hledáme nejlepší hodnoty konstant (parametrů) - regresních koeficientů
zvolené funkce
b) Lze i statisticky testovat vhodnost zvolené matematické funkce (přímka nebo parabola...)
zda použijeme složitější tvar (pokud statisticky významné zlepšení vyrovnání mezi body
Pozor! Probíráme lineární regresi
to neznamená, že sledujeme pouze přímkové závislosti mezi veličinami
koeficienty jsou vystihovány lineární kombinací naměřených hodnot
nebo funkcí těchto hodnot
přímková závislost y=a + b.x
křivková závislostpolynom vyššího stupně (parabola) y = a + b.x + c.x2...
hyperbola y=a+b . 1/x
logaritmická funkce y=a+b . log x
rovnice s lineárním modelem po transformaci
mocninnáy=a.xb
exponenciální y=a.ebx
Existují i skutečně nelineární regresní metody
Proložení přímky
matematický model hledán teoretický průběh funkce
y = ( + β . x
Naměřené body v důsledku chyb neleží přesně na přímce
rozdíl mezi naměřenými yi a teoretickými y=( + β . x pro dané xi
rozdíl jsou chyby (i = yi – (( + β . xi) (náhodná veličina)
Pro základní soubor všech možných dvojic xi - yi bychom získali ( a β jako konstantní parametry
Máme ale jen výběr naměřených dvojic yi a xi
bodový odhad ( značíme a úsek na ose y
bodový odhad β značíme bsměrnice přímky (tg )
Empirická (výběrová) regresní funkce ŷ = a + b . x
počítané odhady veličiny y značíme ŷ
ke každé naměřené hodnotě xi existují tedy 2 hodnoty y
empirická (naměřená) yi
vypočtená - vyrovnaná (odhad teoretické) ŷi
Rozdíly ei = yi - ŷi nazývámerezidua (odhady chyb (i)
Metoda nejmenších čtverců
(metoda maximální věrohodnosti, když uvažujeme N rozdělení chyb pro y)
nejlépe proložíme přímku tak, aby součet čtverců odchylek yi a ŷi
měl nejmenší hodnotu ze všech možných proložení
Hledáme minimum sumy:
Q = Σei2 = Σ(yi - ŷi)2 = Σ(yi - a - b . xi )2 (ex.obr. 21)
Řešení pro rovnici procházející počátkem (y = b . x)
Hledáme takovou hodnotu b, aby funkce
Q = Σei2 = Σ(yi - ŷi)2 = Σ(yi - b . xi )2 dosáhla minima
první derivace Q podle b; v extrému je první derivace funkce rovna nule
jeden sčítaný výraz položíme = 0

derivace podle b
derivace funkce Q
MBED Equation.3
výsledek
Bodové odhady koeficientů a, b pro obecnou přímku
kde (x= Σxi/n (y = Σyi/n
výpoč