Tahak

Neurčitý integrál (primitivní funkce)
Def: f,F-fce definované na intervalu I. Řekněme, že F je primitivní fci F na I, jestliže F´(x) pro (x(I.
Pozn. V případě, že I = (a,b( a F´+(a) b F´-(b)
Postačující podmínka: Ke každé spojité fci ( fce primitivní. (na I), spoj. Na I ((prim.fce na I
(obecně neplatí
Věta: F je prim. K F na I((F+C: C(R J je množina všech primitivních fci k F na I.
Pozn:Pokud I není interval, tak výše uvedené nemá platit.
Def: Množina všechn prim. Fcí k fci F na I se nazývá neurčitý integrálz fce f na I a značí se ( F(x)dx
Pozn: 1)aplikace – v teorii Reimannova (určitého) integrálu
v geometrii, fyzice
v teorii diferenciálních rovnic
2) (( f(x)dx)´= f(x); ( F´(x)dx = F(x) - komplementárnost operací ( a ´
3)někdy píšeme stručně ( F dx nebo ( f
4)( F(x)dx = F(x)+c
Základní vlastnosti:
((f+g)=( f + (g (aditivita)
((f = c( f, c-konstanta (homogenita)linearita(((c1f1+…+cnfn)=c1(f1+…cn(fn
F´(x)=f(x) – F prim. K f
(fce, ke kterým (/ prim. Fce
(F+C: C(R(-množina ( prim. Fcí(ozn.( f(x)dx)
Integrace po částech PER PARTES
(u(x) v(x))´=u´(x) v(x)+u(x) v´(x) /( (u(x) v(x)=( u´(x) v(x)dx+( u(x) v´(x)
( u´(x) v(x)dx= u(x) v(x) - ( u(x) v´(x)dx
Integrace substituční metodou
I)substituce typu ((x)=t
Je založena na derivaci složené funkce: (F(((x)(´=F´(((x)(´(x)=F(((x)(´(x))
Postup výpočtu: Integrál si převedeme na tvar (F(((x))(´(x)dx Dále
( f(((x))(´(x)dx=(t=((x) (=( f(t)dt=f(t)=F(((x))
(dt=(´(x)dx(
II)Substituce typu x=((t)
Založena na derivaci složené fce a derivaci inverzní fce. Jde o to, aby se tato fce
Snáze integrovala. Postup výpočtu:
( f(x)dx=(x=((t) (=( f(((t))(´(t)dt=F(t)=F((-1(x))
(dx=(´(t)dt(F(t)je prim.fce f(((t))(´(t))
((-1 je fce inverzní k fci () ((´(t)(0(
Integrování některých funkcí
Racionální funkce R(x) = P(x)/Q(x), P,Q-polynomlze rozložit na parciální zlomky
Neryzí(st P (st Q):dělením lze převést na součet na polynom a fce ryzí (st P(stQ)
Každému k-násobnému kořenu x0(R jmenovatele odpovídá součet zlomků tvaru
A1/x-xo+ A2/(x-x0)+…+ A3/(x-x0)k
Každému nerozložitelnému kvadratickému členu x2+ax+b násobnosti k (vzniklému při rozkladu
jmenovatele v R)odpovídá součet zlomků tvaru: B1x+C1 + B2x+C2 + + Bkx+Ck__
x2+ax+b (x2+ax+b)2 … (x2+ax+b)k
Neznámé konstanty: A1,…Ak,B1…Bx,C1…Ck lze vypočíst –metodou neurčitých koeficientů
- metodou dosazovací
Při integraci rac. Fce R(x)= P(x)/Q(x)(po jejím rozkladu na parc.zlomky rozlišujeme:
I)b/x-a II) b/(x-a)n III) bx+c/x2+px+g IV)bx+c/(x2+px+c)n n(n
Integrování dalších typů funkcí
Budeme uvažovat fce, jejichž integrál lze zracionalizovat(tzn.(f(x)dx=..=(R(t)dt
-polynom dvou proměnných P(x,y)= (ni=0 (mj=0 agxiyj P(x)=Anxn+an+1xn+1 …
Racionální fci dvou proměnných R(x,y) = P(x,y)/Q(x,y)
(( (x, √ax2+bx+c) dx – zde zavádíme tzv. EULEROVY SUBSTITUCE
1.Euler.subst.(v případě ax2+bx+c je rozlož v R)
√a(x-x1)(x-x2)=√ax2+b+c = (x-x1)t /2 ( a(x-x1)(x-x2)=a(x-x1)2t2 (...( dx=…dt
2.Eul.sub.(v případě a(0) _
Sub.√ax2+bx+c =xt+ √c /2 ( ax2+bx+c=x2.t2+2√c xt+c (…( x=… rac.fce (t)
3.Eul.sub.( v případě c (0)_
Sub. √ax2+bx+c = xt +√c /2 ( ax2+bx+c = x2+t2+2√c xt +c (…( x= …rac.fce(t)
Pozn:Uvedené případy se navzájem nevylučují. Pozn: Protože Rul. Substituce vedou často
Ke složitým rac. fcím má smysl někdy použít pro integraci trigonometrickou substituci.
√ax2+bx+c (√-p2x2+a2 /sub px=cos t ( …=√-q2cos2t+q2 (..=√q2(1-cos2t) (.. =q sin t
V některých speciálních případech lze použít jiné sub. , které vedou na integraci jednodušších rac.fcí.
Reimannův Integrál – konstrukce
Pomocné pojmy: D…dělení intervalu (a,b( konečná množina D((a,b( a,b((a,b(
D=(x0,x1,x2,…xn( nějaká osa (x0(x1( …(xn)
D((a,b()..množina všech dělení - norma dělení…n(D)=max(xk-xk -1:k=1,…,n(
-nechť f je omezená fce na (a,b( anehcť D(D((a,b() označ. mk=in f(f(x):x((xk -1,xk((
Mk= sup (f(x): x(( xk -1,xk((
s(D,F)=(nk=1 mk(xk-xk -1) ….dolní součet fce f při dělení D
S(D,F) = n(k=1Mk(xk- xk -1)….horní součet fce při dělení D
-poněvadž je omezené,( c,d(R, tak že c (f(x)(d (x((a,b(,potom lze ukázat