Tahak

e množinu A,která je sub. Grafem nezáporné fce f definované na (a,b( tj. A=((x,y((R2:a (x(b,
0 ( y ( f(x)( Lze ukázat ( A je měřitelné a platí m(A) = b(a f(x)dx m(A)= b(a(g(x)-f(x))dx
0(f(x)+c(g(x)+c m(a)= b(a(g(x)+c –f(x)-c)dx= b(a(g(x)-f(x))dx
m(A)= m(A1)+m(A2)= c(a(g(x)-f(x))dx+ b(c(f(x)-g(x))dx na(a,c( platí f(g, na (c,b( platí g( f
Funkce více proměnných
Def: Reálná fce dvou reálných proměnných je dána předpisem f, který každé uspořádané dvojici reálných
čísel(x,y((M přiřadí právě jedno reálné číslo z. píšeme: z= f(x,y)
Reálná fce n reálných proměnných je dána předpisem f, který každé uspořádané n-tici reálných čísel(x1,x2…xn(
(M přiřadíme právě jedno reálné číslo z. Píšeme: z= f (x1,x2,…xn)
Množinu M všech uspořádaných dvojic (x,y(k nimž je přiřazeno z (funkční hodnota) nazýváme definiční obor fce.
Def: Grafem fce rozumíme množinu všech usp. trojic(x,y,z(((x,y,f(x,y)(, přičemž všechny usp.dvojice(x,y((M D(f).
Def.Funkci z=f(g(x,y); h(x,y)(nazýváme složenou fcí u=g(x,y) v=h(x,y) – složky vnitřní
funkce g,h jsou definovány v M, funkce z=f(u,v) je definována v M,pro každý bod (x,y((M musí platit(u,v((N.
def:Jsou dány body M=(x1,y1(,N=(x2,y2(. Vzdálenost (MN( (MN(=√(x2-x1)2+(y2-y1)2
def: (-okolím bodu P nazýváme množinu všech bodů, jejichž vzdálenost od bodů P je menší ne (.
Def.Řekneme, že fce z= f(x,y)má v bodě P=(x0,y0(limitu rovnou(číslu) L,jestliže pro lib. ((0existuje (1(0 tak,
že pro všechny body Q=R z (-okolím bodu P platí (f(x-y)-L(((.
Věta:Funkce z=f(x,y) je v bodě (x0,y0( spojitá právě tehdy, když lim f(x,y) (x,y(((x0,y0( = f(x0,y0)
Def:řekněme,že fce z=f(x,y)je spojitá na množině M, je-li spojitá v každém bodě této množiny.
Diferenciální počet fcí více proměnných
f M (R, M(Rn, n(N n=1 fce jedné proměnné n(2 fce více proměnných
Zobrazení grafu fce 2 proměnných-pro získání představy o grafu sestrojujeme řezy rovinami.
Dále sestrojujeme tzv.vrstevnici fc=((x,y,((M f(x,y)=c(,c(R
Limita fce body a,b(Rn a=(a1,..an(,f=(b1,..bn(vzdálenost bodu a,b, ozn. Ŋ(a,b)
Obecné n Ŋ(a,b)=√(a1-b1)2+…+(an-bn)2
Okolí bodu(délka okolí bodu) a (Rn O(a)=(x(Rn:P(x,A)((( RYZÍ okolí P(A)=O(a)-(a(
Okolí nevlastních bodů (spon jedna souřadnice nevlastní)
Např.v R2 uvažujeme bod a=(a1,((,a1(R O((a1,(()=(a1-(,a1+()x(A,()
O(((,(()=(A,()x(B,() kartézský součin
Definice Limity(obecný případ)
Ozn:R*=R((-(,((,f:Rn(R,n(N, má v bodě a ((R*)n limitu L(R*, jestliže ((o(l)((P(a))((x(D(f))
x(P(a)(f(x)(o(L) -zahrnuje fce jedné a více proměnných ,zahrnuje(vlastní,nevlastní ( limitu
ve (vlastním,nevlastním( bodě.
Rozdíl mezi limitou fce(lim ve vlastním bodě) f:R(R a fce f: Rn(R,kde n(2
(U fce jedné proměnné se blížíme ze dvou stran po přímce, (u fce více prom. Se můžeme blížit
Nekonečně mnoho způsoby(po přímkách, po parabolách..). Existence limity v podstatě znamená,
Že nezáleží na tom,jakou cestou se k danému bodu blížíme.
Další rozdíl v případě n(2 – neexistuje analogie L´Hospitalovo pravidla. Kromě těchto rozdílů mají
však limity fce f:Rn(R,n(2 vlastnosti, které známe z teorie fcí 1 proměnné:
(lim(x,y)((x0,y0) f(x,y)=0, g ohranič. v P(x0y0)(lim(x,y)((x0,y0)f(x,y) g(x,y)=0
(h(x,y)(f(x,y)(g(x,y) v P(x0,y0) a lim h(x,y)= L=lim g (x,y)(limf(x,y)=L
(lim(x,y)=L1,limg(x,y)=L2, L1,L2(R (lim(c1f+c2g)= c1L1+c2L2 lim fg=L1L2 lim f/g = L1/L2( L2(0)
(( vlastní lim f(x,y) ( ( P(x0,y0) v němž je fce ohraničení
Spojitost fce f: R2(R je v bodě (x0,y0( spojitá, jestli ( vlastní limita lim(x,y)((x0,y0)f(x,y)=f-(x0,y0)
Vlastnosti (f,g-spoj v b(x0,y0(( f+g, f (g, f/g spoj v b (x0,y0(
(g,h,-spoj v b(x0,y0(, f-spoj v b (g(x0,y0),h(x0,y0)((složená fce F(x,y)=f(g(x,y),h(x,y))-spoj v b(x0,y0(
Weierstrassova věta – f je spojitá na uzavřené ohraničené množině M(R2 (f nabývá na M své
nejmenší a největší hodnoty
Balzakova věta – f je spojitá na otevřené souvislé množině M(R2 (a,b(M
F(a)f(b)(0 ((c(M tak,že f(c)= o. M je souvislá množina v R2,jestliže pro (a,b (M ( konečná
Posloupnost bodů x1….xn(M,x1=a, xn=b,tak že všechny úsečky xixi+1 pak do M