Tahak

,že pro ( D1 ,D2 ( D((a,b()
platí: c(b-a) ( s(D1f)( s(D2,f)( d(b-a) ,to implikuje omezenost množin (s(D,f): D(D( (S(D,f):D(D(
Díky tomu existuje sup a inf (jako konečná čísla a lze tedy definovat:
(ba f=sup(s(D,f): D(D ((a,b()( dolní integrál (ba f= inf (S (D(f): D(D((a,b()( horní integrál
Definice Reimannova integrálu
F je integrovatelná (v Reimannově smyslu, jestliže b(af= b(af potom defin. Rein. Integrál takto
b(af=b(af= b(af Pozn:1)vždy platí b(af ( b(a f jestli b(af ( b(af, pak říkáme, že funkce není integrovatelná.
2)často značíme b(af(x)dx 3)budeme značit R((a,b(), množinu všech fcí integrovatelných na (a,b(
Kdy je funkce integrovatelná: (podmínky integrovatelnosti)- Postačující podmínky:
(f je monotónní na (a,b( ( f(R((a,b() (f je spojitá na (a,b((f(R((a,b()
( f je omezená na (a,b(a má zde konečně mnoho bodů nespojitosti ( f(R((a,b()
Některé vlastnosti Reimannova integrálu
( (c,d,(R: c ( ((x)(d pro x ((a,b,( ( c(b-a) ( b(a ((x)dx (d(b-a) zejména f(x)(0 (b(af (0
( b(a(c1f1+…+ckfk)= c1 b(af1+ …+ck b(a fk c1…ck (R (f1,..fk(R((a,b()(c1…ck(R, c1f1+…ckfk(R((a,b()
( f,g(R((a,b(),F(x)(g(x),x((a,b((f,g(R((a,b(),b(af( b(af f-g(0 ((f-g) ( 0
(f(R((a,b() ((f((R((a,b()
Reimannův integrál
(f,g(R((a,b()( f(g (R((a,b() f/g (((a,b()
(a (c(b, f(R((a,c() (R((c,b() (f(R((a,b() b(aF= c(af+ b(cf
Integrál jako funkce horní mezex(af x((a,b(
Před. f(R((a,b(), definujeme F(x) = 0 x=a
Vlastnosti fce F: ( f(R((a,b()(F(x) je spojitá na (a,b(
(f je spoj, na (a,b((f(x) má na intervalu (a,b(derivaci a platí F´(x)=F(x) pro (x((a,b(
Metody výpočtu
NEWTON-LEIBNIZOVA FORMULE - f(R((a,b(), F-spoj. Na (a,b(a primitivní k f na (a,b) (
b(a f(x)dx=(f(x)(ba = f(b)-f(a)
METODA PERPATES – b(a u´v=(uv(ba - b(a u v´
SUBST. METODA - b(a f(((x)(´(x)dx = (t=((x) ( ((b)
(dt=(´(x)dx ( = ( f(t)dt
(x=a(t=((a)( ((a)
(x=b(t=((b)( (mění se meze)
Nevlastní Reimannův integrál
Dosud jsme požadovali –omezenost funkce – omezenost intervalu
Nevlastní integrál vlivem mezí (je porušena omezenost intervalu)
Předp. F je def na (a, () f (R((a,b() (b((a,() označme f(x)=x(af(t)dt
( konverg., jestli ( vlastní limx((f(x)
(a f diverguje, jestliže (/ --(--
Kritéria konvergence a divergence
(srovnávací Před 0(f(x)(g(x) pro x(a potom ((a g kon (((a f konv ((a f div (((a g div
(limitní srovnávací f,g,-nezáporné fce na (a,b(
( limx(( f(x)/g(x) = l potom L((, ((a g konv. (((a f konv L(0, ((a g div. ( ((a f div
Nevlastní integrál vlivem fce
a(b, f je definovaná na (a,b) . Bod b se nazývá singulární bod fce f, jestli (i) f(R((a,b() (c((a,b)
(ii) f( neomezená na (a,b)
Potom nevlastní integrál vlivem fce: konverguje, jestli ( vlastní limx(x f(x)
b(a f diverguje, -- (-- (/ --(--
Pozn: -obdobně def. sing. bod a pro fci f na int (a,b( - srovnávací limx(f a limitní srovnávací kritéria
Zde fungují stejně jako v případě ((a - f je def na (a,b( kde c((a,b) je singul.bodem
Rozdělíme na dva nevlastní integrály c(a b(c , Podobně postupujeme v situaci pro f na (a,b),kde
a(c1(c2(…(cn(b, c1,…cn-singulární body a,d(R (((,-((
Geometrická aplikace Reimannova integrálu
Obsah rovinných oborů –chceme každé „rozumné“ množině přiřadit číslo(míru) m(A), která bude mít
vlastnosti obouch. Dále chceme vědět, jak tuto míru vypočítat.
(iii)A(B (m(A)( m (B) (ii) m(A(B)=m(A)+m(b)., kde A(B= ( (i)m(A)(0
Konstrukce míry – množ P(R2 se naz. Polygon, jestli je lze vyjádřit jako sjednocení konečného počtu trojůhelníků
Míra polygonu- m(P) je def. Jako součet obsahů ( (s disjunktivní vnitřky) (zjevně m splňuje (i)(ii)(iii))
Jak rozšířit pojem míry i na obecnější množ R2,než jen polygony? Uvažujeme omezenou množinu A(R2
Uvažujeme omezenou množinu A(R2 položme: vnitřní míra mn A m*(A)=sup.(m(p).pje polygon,P(A(
Vnější míra mn,A m*(A)= inf. (m(P).P je polygon A(P(. Vždy platí m((A)(m((A),
Jestliže platí m((A)=m((A), potom říkáme, že A je měřitelné (v jordán-Peanově smyslu) a def.její obsah
(míru) m(A)= m((A). Pozn. Existují neměřitelné množiny.
Uvažujm