skripta od Horáka

Pavel Horák
ZÁKLADY MATEMATIKY
UČEBNÍ TEXT
Podzimní semestr 2006
Ú V O D
Tento učební text je určen pro předmět M1125 Základy matematiky, který je
povinným předmětem v bakalářském studijním programu Matematika, studijních obo-
rech Matematika se zaměřením na vzdělávání a Matematika pro víceoborové studium
na přírodovědecké fakultě Masarykovy Univerzity v Brně. Jedná se o úvodní jedno-
semestrální kurz, který je doporučen absolvovat v 1.semestru studia.
Předmět Základy matematiky je ve výše uvedených studijních oborech úvodním
matematickým kurzem, jehož cílem je zopakovat a rozšířit středoškolskou látku z ma-
tematiky a následně probrat některá další témata, zejména algebraického charakteru.
Dalším cílem kurzu je pokud možno ”srovnat” matematické znalosti studentů, kteří
přicházejí z různých středních škol, mnohdy s různou úrovní a intenzitou výuky mate-
matiky. Z tohoto důvodu je výklad orientován spíše na studenty s chatrnějšími ma-
tematickými znalostmi. Ovšem i u těchto studentů se předpokládá, že vlastní pílí
svoje případné nedostatky ve středoškolských znalostech matematiky zacelí. Přehled
středoškolského učiva z matematiky je možno nalézt například v publikaci ”Odmaturuj
z matematiky”, autorů P.Čermáka a P.Červinkové, kterou vydalo nakladatelství Di-
daktis (druhé, opravené vydání v roce 2003). Tuto nebo podobnou knížku by si měli
pořídit všichni studenti, kteří cítí, že v jejich středoškolských matematických znalostech
jsou mezery.
Učební text předpokládá pouze elementární znalosti základních matematických
pojmů a jejich vlastností, vyučovaných na každé střední škole. V textu je užívána
běžná symbolika známá ze střední školy. Nově zaváděná označení jsou v textu vždy
řádně vysvětlena. Vzhledem k tomu, že pro mnohé čtenáře může být tento text prvním
matematickým textem, kterým se budou opravdu vážně zabývat, je výklad veden co
možná nejpodrobnější a nejelementárnější formou. Téměř všechna tvrzení jsou po-
drobně dokazována s cílem, aby si čtenář dobře osvojil základní matematické postupy
a dovednosti, které bude následně během dalšího studia mnohokrát používat. Konec
důkazu je v textu opticky označen symbolem squaresolid, umístěným na konci řádku.
Pro označování základních číselných množin jsou v textu použity následující stan-
dardní symboly:
N ... množina všech přirozených čísel
Z ... množina všech celých čísel
Q ... množina všech racionálních čísel
R ... množina všech reálných čísel
C ... množina všech komplexních čísel.
1
I. OPAKOVÁNÍ A DOPLNĚNÍ STŘEDOŠKOLSKÉ LÁTKY
1. Základní logické pojmy.
V matematice se zabýváme studiem vlastností různých objektů a vztahů mezi nimi.
K označování matematických objektů užíváme různých symbolů. Některé z nich mají
pevný význam a nazýváme je konstanty (například symboly 1, π, √2, atd.). Jiné sym-
boly takový přesně stanovený význam nemají, ale můžeme za ně konstanty vhodným
způsobem dosazovat a nazýváme je proměnné. U proměnných musí být vždy vymezeny
ty objekty, které je možno za proměnné dosazovat (například ”přirozené číslo x”,
”přímka p”, atd.).
Výrok je sdělení, o němž má smysl říci, že je pravdivé nebo nepravdivé. Hovoříme
pak o pravdivém výroku nebo nepravdivém výroku. Například sdělení ”Praha má více
než tisíc obyvatel” je pravdivým výrokem, zatímco sdělení ”Číslo sedm je sudé” je
nepravdivým výrokem. Může se také stát, že dané sdělení je výrokem, o němž však mo-
mentálně neumíme rozhodnout, zdali pravdivým či nepravdivým. Takovým je například
výrok ”Mimo naši sluneční soustavu žijí myslící bytosti”.
Každému výrokuV se přiřazuje jeho pravdivostní hodnota p(V) takto: je-li výrok
V pravdivý, klademe p(V) = 1 a je-li výrok V nepravdivý, klademe p(V) = 0
Logické spojky nám umožňují z jednotlivých výroků tvořit další výroky. Nejběžněji
se používají následující logické spojky, které mají své ustálené názvy i označení, jak je
uvedeno v následující tabulce (kde A,B značí libovolné výroky).
Název logické spojky Označení Slovní vyjádření
negace ¬A není pravda, že A
konjunkce A∧B A a (současně) B
disjunkce A∨B A nebo B
implikace A⇒B jestliže A, pak B
ekvivalence A⇔B A právě když B.
Každou z uvedených logických spojek popíšeme nyní tak, že uvedeme, jaké pravdi-
vostní hodnoty přiřazujeme výroku, utvořenému s její pomocí (v závislosti na pravdi-
vostních hodnotách výchozích výroků A,B). Vznikne tak tzv. tabulka pravdivostních
hodnot, která má pro negaci dva řádky a pro ostatní uvedené logické spojky čtyři řádky.
p(A) p(¬A)
1 0
0 1
p(A) p(B) p(A∧B) p(A∨B) p(A⇒B) p(A⇔B)
1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0
0 1 0 1 1 0
0 0 0 0 1 1
2
Rozeberme si nyní podrobněji jednotlivé logické spojky.
Negace libovolného výroku A se dá bez problémů správně vytvořit obratem ”není
pravda, že A”. Tato formulace bývá však často jazykově poněkud kostrbatá, a proto se
snažíme i v matematice tvořit negace bez užití tohoto obratu. Například místo ”není
pravda, že číslo 7 je dělitelné třemi” řekneme raději ”číslo 7 není dělitelné třemi”.
Konjunkce výroků působí obvykle nejméně potíží. Z tabulky vidíme, že výrokA∧B
je pravdivý jedině v případě, že oba výroky A,B jsou pravdivé.
Disjunkce A∨B je pravdivá, je-li pravdivý alespoň jeden z výroků A,B (to jest
jeden, druhý nebo oba dva). Zde tedy při použití spojky ”nebo” dochází někdy k od-
chylce od běžné hovorové řeči, v níž se spojka ”nebo” velmi často používá ve smyslu
vylučovacím (”Budu doma nebo ve škole”).
Implikace A ⇒ B je nepravdivá pouze v případě, když výrok A je pravdivý a
výrok B je nepravdivý. Ve všech ostatních případech je implikace pravdivá. Je nutné si
zejména dobře uvědomit, že implikace A ⇒ B je vždy pravdivá v případě, když výrok
A je nepravdivý (a to bez ohledu na pravdivostní hodnotu výroku B).
Je-li implikace A⇒B pravdivá, pak říkáme též, že A je dostatečná podmínka pro
B a dále říkáme, že B je nutná podmínka pro A.
Ekvivalence A ⇔ B je pravdivá právě v případě, že oba výroky A,B mají stej-
nou pravdivostní hodnotu, tzn. jsou oba současně pravdivé nebo současně nepravdivé.
Výroky A,B se pak též nazývají ekvivalentní výroky.
⋆ ⋆ ⋆
V matematických úvahách můžeme tedy daný výrok nahradit jiným výrokem, který
je s ním ekvivalentní. Velmi často se jedná o negaci konjunkce dvou výroků a negaci
disjunkce dvou výroků, pro které platí:
(¬(A∧B)) je ekvivalentní s ((¬A) ∨ (¬B))
(¬(A∨B)) je ekvivalentní s ((¬A) ∧ (¬B)).
O tom, že dané výroky jsou skutečně ekvivalentní, se můžeme přesvědčit pomocí tabulky
pravdivostních hodnot těchto výroků. Utvořme takovou tabulku pro první z uvedených
vztahů.
p(A) p(B) p(A∧B) p(¬(A∧B)) p(¬A) p(¬B)) p(¬A ∨¬B)
1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 1 0 1 1
0 1 0 1 1 0 1
0 0 0 1 1 1 1
Pro druhý vztah se odpovídající tabulka pravdivostních hodnot vytvoří analogicky
(udělejte si sami!).
3
Podobným způsobem lze ukázat, že ekvivalenci dvou výroků je možno vyjádřit pomocí
konjunkce obou implikací těchto výroků, tzn.
(A ⇔ B) je ekvivalentní s ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A))
což je možno opět ověřit pomocí příslušné tabulky pravdivostních hodnot.
Další důležitý vztah, který budeme v dalším velmi často využívat se týká implikací.
Platí totiž:
(A ⇒ B) je ekvivalentní s ((¬B) ⇒ (¬A))
tzn. implikace A ⇒ B je z logického hlediska totéž co implikace ¬B ⇒ ¬A. Pravdi-
vost tohoto tvrzení okamžitě vyplývá z níže uvedené tabulky. Poznamenejme ještě, že
implikaci ¬B ⇒ ¬A se říká obměna implikace A⇒B.
p(A) p(B) p(A⇒B) p(¬B) p(¬A)) p(¬B ⇒ ¬A)
1 1 1 0 0 1
1 0 0 1 0 0
0 1 1 0 1 1
0 0 1 1 1 1
Podobným způsobem se dá odvodit ekvivalentnost celé řady výroků složených ze
tří výroků A,B,C. Pro ilustraci uveďme dvě dvojice ekvivalentních výroků, s nimiž se
při logických úvahách poměrně často setkáváme. Platí:
((A ∧ (B∨C))) je ekvivalentní s ((A∧B) ∨ (A∧C)))
((A ∨ (B∧C))) je ekvivalentní s ((A∨B) ∧ (A∨C))) .
Ekvivalentnost uvedených dvojic výroků se dokáže stejným způsobem, jako dříve, tzn.
pomocí tabulky pravdivostních hodnot, která v tomto případě bude mít osm řádků.
Sestavíme tuto tabulku tentokrát pro druhou dvojici výroků. Pro první dvojici se
sestaví analogicky (proveďte si sami!).
p(A) p(B) p(C) p(B∧C) p(A∨(B∧C)) p(A∨B) p(A∨C) p((A∨B)∧(A∨C))
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1 1 1
1 0 1 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0
⋆ ⋆ ⋆
Všimněme si, že sdělení obsahující nějakou proměnnou, například ”celé číslo x
je větší než 5”, není výrokem. Z tohoto sdělení se stane výrok (ať už pravdivý, či
nepravdivý) teprve tehdy, až za proměnnou x dosadíme nějakou konstantu z příslušné
4
množiny, z níž můžeme konstanty volit, v našem případě tedy nějaké konkrétní celé
číslo. Přitom je zřejmé, že takovéto sdělení může obsahovat případně i více proměnných,
například: ”reálné číslo x je menší než reálné číslo y” obsahuje dvě proměnné x,y.
Sdělení obsahující proměnné, z něhož se stane výrok teprve po dosazení (přípust-
ných) konstant za příslušné proměnné, se nazývá výroková funkce.
Z výrokové funkce můžeme tedy utvořit výrok tím, že za všechny proměnné dosa-
díme (přípustné) konstanty. Další možností, jak z výrokové funkce utvoříme výrok je
tzv. kvantifikace proměnných. Ta spočívá v tom, že nějakým způsobem udáme počet
objektů, pro něž z výrokové funkce obdržíme výrok. Ta část výroku, v níž je tento
počet udáván, se nazývá kvantifikátor. Příkladem kvantifikátorů jsou obraty: ”každý”,
”nejvýše jeden”, ”alespoň jeden”, ”právě jeden”, ”právě čtyři”, ”nekonečně mnoho”,
”konečně mnoho”, atd.
Konkrétně, z výše uvedené výrokové funkce ”celé číslo x je větší než 5” je možno
například utvořit následující kvantifikované výroky:
”alespoň jedno celé číslo je větší než 5” (pravdivý výrok)
”nejvýše jedno celé číslo je větší než 5” (nepravdivý výrok)
”každé celé číslo je větší než 5” (nepravdivý výrok).
Poznamenejme ještě, že některé kvantifikátory můžeme vyjádřit několika různými
slovními obraty se stejným významem. Například místo ”alespoň jeden” můžeme stejně
dobře říci ”existuje” či ”jeden nebo více”. Podobně místo ”nejvýše jeden” můžeme říci
”žádný nebo jeden”. V každém případě si při použití jakéhokoliv kvantifikátoru musíme
vždy velmi dobře rozmyslet přesný význam toho, co říkáme.
Nejčastěji používané kvantifikátory mají svá označení. Kvantifikátor ”každý” se též
nazývá obecný kvantifikátor a označuje symbolem ∀. Podobně, kvantifikátor ”existuje”
se nazývá existenční kvantifikátor a označuje symbolem ∃.
V matematických úvahách je třeba velmi často provádět negace kvantifikovaných
výroků. Obvykle nepoužíváme matematicky ”bezpečného”, ale gramaticky nepěkného
obratu ”není pravda, že ...”. Ukažme si nyní schematicky princip tvoření negací výroků
s obecnými a existenčními kvantifikátory, což jsou případy, s nimiž se v praxi nejčastěji
setkáváme:
výrok s obecným kvantifikátorem: ”pro každý prvek z oboru U platí V”
negace tohoto výroku: ”existuje prvek z oboru U, pro který neplatí V”
výrok s existenčním kvantifikátorem: ”existuje prvek z oboru U, pro který platí V”
negace tohoto výroku: ”pro každý prvek z oboru U neplatí V”
přičemž v posledním případě je samozřejmě vhodné slovo ”každý” nahradit gramaticky
správnějším slovem ”žádný”. K tomu ještě poznamenejme, že při tvoření kvantifiko-
vaných výroků a jejich negací můžeme samozřejmě užít i jiných gramatických obratů,
které však musí zachovávat daný smysl. Ukažme si to na následujícím příkladu.
Kvantifikovaný výrok: ”každé nové auto je červené” můžeme přeformulovat na-
příklad do tvaru ”všechna nová auta jsou červená”. Negací tohoto kvantifikovaného
5
výroku pak bude výrok ”existuje nové auto, které není červené”, který můžeme případně
přeformulovat do tvaru ”alespoň jedno nové auto není červené”.
⋆ ⋆ ⋆
Na závěr této kapitoly si ještě stručně všimneme struktury matematických tvrzení
a jejich důkazů. Této problematice je nutné důkladně porozumět a při dalším studiu
tohoto textu se k ní stále vracet.
Matematická tvrzení, kterým se také říká ”věty”, mají nejčastěji tvar implikace
výroků nebo ekvivalence výroků. Rozeberme si oba případy a ukažme, jak se taková
tvrzení obvykle dokazují.
Matematická věta tvaru implikace má tvar P ⇒ T, přičemž výrok P se nazývá
předpokladem této věty a výrok T se nazývá tvrzením věty. K důkazu matematických
vět tvaru implikace P ⇒ T je možno použít různých důkazových metod. Nejčastější
jsou:
a) důkaz přímý, který spočívá v tom, že z platnosti výroku P (předpokladu) řadou
platných implikací odvodíme platnost výroku T (tvrzení). Jinak řečeno, hledáme
výroky A1,A2, ... ,An tak, že platí:
P ⇒A1 ∧ A1 ⇒A2 ∧ ... ∧ An−1 ⇒An ∧ An ⇒T.
b) důkaz nepřímý spočívá v přímém důkazu tvrzení ¬T ⇒ ¬P . Zde tedy využíváme
již dokázaného faktu, že implikace P ⇒ T a její obměna ¬T ⇒ ¬P jsou ekvi-
valentní výroky. Při důkazu touto metodou tedy předpokládáme, že je pravdivý
výrok ¬T a řadou platných implikací dokážeme platnost výroku ¬P . Jinak řečeno,
z negace tvrzení dokážeme (řadou platných implikací) negaci předpokladu.
Určitou modifikací nepřímého důkazu je tzv. důkaz sporem, kdy předpokládáme, že
platí předpoklad P a neplatí tvrzení T. Následně potom řadou platných implikací
odvodíme spor. Přitom sporem rozumíme situaci, kdy nějaký výrok a jeho negace
mají být současně pravdivé – je zřejmé, že tato situace nemůže nastat.
Matematická věta tvaru ekvivalence má tvar A ⇔ B a dokazuje se většinou tak,
že dokážeme jednak platnost implikace A⇒B a dále pak platnost implikace B ⇒A,
a to metodami popsanými vý