skripta od Horáka

2.2. je možné sjednocení a průnik dvou množin nahradit ”obecným” sjednocením a
průnikem množin, jak je vidět z následující věty.
Věta 2.3.
Nechť I je neprázdná indexová množina a nechť A,Bi jsou množiny, pro každé i ∈ I.
Pak platí:
1. A ∩ uniontext
i∈I
Bi = uniontext
i∈I
(A∩Bi) 2. A ∪ intersectiontext
i∈I
Bi = intersectiontext
i∈I
(A∪Bi)
3. A − uniontext
i∈I
Bi = intersectiontext
i∈I
(A−Bi) 4. A − intersectiontext
i∈I
Bi = uniontext
i∈I
(A−Bi)
5. A × uniontext
i∈I
Bi = uniontext
i∈I
(A×Bi) 6. A × intersectiontext
i∈I
Bi = intersectiontext
i∈I
(A×Bi).
Důkaz.
Důkaz všech uvedených tvrzení se, stejně jako v předchozích větách, provede technickým
rozepsáním příslušných množinových inkluzí. Pro ilustraci tentokrát dokažme například
vztah 1:
12
”⊆”: x∈A ∩ uniontext
i∈I
Bi ⇒ x∈A ∧ x∈ uniontext
i∈I
Bi ⇒ x∈A ∧ ∃i0 ∈I : x∈Bi0 ⇒
⇒ ∃i0 ∈I : x∈A∩Bi0 ⇒ x∈ uniontext
i∈I
(A∩Bi).
”⊇”: x∈ uniontext
i∈I
(A∩Bi) ⇒ ∃i0 ∈I : x∈A∩Bi0 ⇒ x∈A ∧ ∃i0 ∈I : x∈Bi0 ⇒
⇒ x∈A ∧ x∈ uniontext
i∈I
Bi ⇒ x∈A∩ uniontext
i∈I
Bi. squaresolid
Závěrem našich úvodních úvah o množinách je nutné varovat před představou, že
všechny jednoduché množinové vztahy, které ”pěkně vypadají” musí vždy také platit.
Například rovnost: A−(B−C) = (A−B)−C obecně neplatí. To, že uvedená rovnost
neplatí, dokazujeme tak, že uvedeme jeden konkrétní příklad množinA,B,C, které tuto
rovnost nesplňují. V našem případě je to celkem jednoduché: stačí vzít například dva
různé prvky a,b a utvořit množiny A = {a}, B = {b}, C = {a}. Při této volbě je
pak A−(B−C) = {a}, zatímco (A−B)−C = ∅, což dokazuje, že uvedená rovnost
skutečně neplatí.
To, že neplatí rovnost daných množin samozřejmě nemusí nutně znamenat, že ne-
platí ani jedna z obou inkluzí. Uvědomme si, že
A = B ⇔ (A⊆B ∧ B ⊆A)
což tedy znamená, že
A negationslash= B ⇔ (Anegationslash⊆B ∨ B negationslash⊆A).
Například v přechozí úvaze jsme uvedením konkrétního protipříkladu dokázali, že ne-
platí množinová inkluze A−(B−C) ⊆ (A−B)−C, a tedy neplatí příslušná množinová
rovnost. Pokud jde o opačnou inkluzi, tj. A−(B−C) ⊇ (A−B)−C, tak ta v uvedeném
případě platí (dokažte si sami rozepsáním).
13
3. Základní číselné obory.
Pojem čísla je základním matematickým pojmem, s nímž se setkáváme již od
předškolního věku. Na základní a střední škole se čísla a operace s nimi zavádějí
víceméně intuitivně a žáci postupně poznávají jejich důležité vlastnosti. V této kapi-
tole zavedeme označení, resp. popis základních číselných oborů a podrobněji se zmíníme
pouze o vlastnostech komplexních čísel.
Čísla přirozená
označujeme symbolem N, přičemž N = {1,2,3, ... }. Poznamenejme, že někdy se
mezi přirozená čísla zahrnuje i číslo nula. Jde o věc dohody, my v tomto textu nulu do
přirozených čísel zahrnovat nebudeme.
Čísla celá
označujeme symbolem Z, přičemž Z = {... − 3,−2,−1,0,1,2,3, ... }. Základními
vlastnostmi celých čísel se budeme podrobněji zabývat v následující kapitole.
Čísla racionální
označujeme symbolem Q. Jedná se o čísla, která lze vyjádřit ve tvaru zlomku, kde
čitatel i jmenovatel jsou celá čísla, přičemž jmenovatel je různý od nuly. Připomeňme,
že každé racionální číslo má nekonečně mnoho možných vyjádření uvedeného tvaru,
např.
2
3 ,
−2
−3 ,
4
6 ,
−4
−6 ,
6
9 ,
−6
−9 , ... atd.
Použijeme-li pro racionální číslo zápis, kde se ve jmenovateli vyskytuje nejmenší kladné
číslo, pak říkáme, že jsme dané číslo vyjádřili v základním tvaru. Takové vyjádření je
pro každé racionální číslo zřejmě jediné. V předchozím příkladu je to zápis 23.
Čísla reálná
označujeme symbolem R. Množina R reálných čísel se skládá ze dvou disjunktních
podmnožin, z nichž jedna je tvořena čísly racionálními a druhá čísly iracionálními.
Přitom iracionální čísla nelze vyjádřit jako podíl celých čísel, jsou to například čísla
√2 , √5 , π , log6 , sin 1
3π , atd.
Množina R má jednu důležitou vlastnost: existuje vzájemně jednoznačné přiřazení všech
reálných čísel a všech bodů libovolné přímky. Jinak řečeno, každému reálnému číslu lze
přiřadit jediný bod zvolené přímky a takéobráceně, každému bodu této přímky odpovídá
jediné reálné číslo. Podrobným studiem vlastností reálných čísel se zabývá základní kurz
matematické analýzy.
Jak již bylo řečeno, uvedené číselné obory jsme popsali pouze intuitivně. K jejich
přesné konstrukci a přesnému odvození základních vlastností je potřeba matematických
znalostí, které přesahují rámec středoškolské matematiky. Touto problematikou se bude
později zabývat kurz teoretické aritmetiky. Nicméně, všechny základní vlastnosti čísel
uváděné na střední škole samozřejmě platí a my je budeme i nadále používat.
14
Víme tedy, že ve všech uvedených číselných oborech je možno čísla sčítat a násobit,
přičemž jak sčítání tak násobení jsou komutativní, asociativní a platí distributivní
zákon. Navíc v Z, Q a R ke každému číslu existuje číslo opačné, zatímco v oboru
přirozených čísel N tomu tak není. Dále, v oborech Q a R ke každému nenulovému
číslu existuje číslo převrácené, zatímco v N a v Z tomu tak není. Konečně, čísla všech
uvedených číselných množin je možno uspořádat ”podle velikosti” (tzn. zavést symboly
pro nerovnosti ≤, 1 je přirozené číslo. Řešit takovou
rovnici znamená najít všechna komplexní čísla, která jí vyhovují. Tato komplexní čísla
budeme také nazývat (komplexní) n–té odmocniny z komplexního čísla a.
Při řešení binomických rovnic budeme vždy předpokládat, že a negationslash= 0, protože pro
a = 0, má tato rovnice zřejmě jediné řešení, a to x = 0. Tento předpoklad nám
19
také umožní vyjádřit číslo a v goniometrickém tvaru. Řešení binomických rovnic jsou
popsána v následujícím tvrzení.
Věta 3.2.
Binomická rovnice
xn − a = 0,
kde a = |a|(cosα+i sinα), má v oboru komplexních čísel právě n různých řešení, a to
xk = n
radicalbig
|a|
parenleftBig
cos α+ 2kπn + i sin α+ 2kπn
parenrightBig
, pro k = 0,1,2, ... ,n−1.
Důkaz.
K tomu, abychom tuto větu dokázali, je třeba ukázat tři věci, a to, že:
1. číslo xk dané rovnici vyhovuje – to však ihned dostaneme dosazením čísla xk do
dané rovnice a umocněním podle věty 3.1.
2. čísla x0,x1, ... ,xn−1 jsou navzájem různá – to bezprostředně vyplývá z vyjádření
komplexního čísla v goniometrickém tvaru a z vlastností funkcí kosinus a sinus.
3. žádná další řešení dané binomické rovnice neexistují.
Je-li tedy z = |z|(cosϕ+isinϕ) řešením dané rovnice, potom po dosazení z za x
do dané rovnice a úpravě dostaneme:
|z|n (cosnϕ+isinnϕ) = |a|(cosα + i sinα).
Z rovnosti dvou čísel v goniometrickém tvaru však plyne, že
|z|n = |a| ∧ nϕ = α+t·2π, kde t∈ Z,
odkud ihned vyplývá, že z je rovno některému z čísel x0,x1, ... ,xn−1 . squaresolid
Pokud bychom si všechna řešení binomické rovnice xn − a = 0 chtěli nakreslit
v Gaussově rovině, pak zjistíme, že čísla x0,x1, ... ,xn−1 leží ve vrcholech pravidelného
n-úhelníku vepsaného do kružnice se středem v počátku a poloměrem nradicalbig|a|.
Příklad 3.2.
Nalezněte všechny páté odmocniny z komplexního čísla c = 2i·(
√3−i)10
(1 +i√3)8 ·(−1 +i)6 .
Řešení.
Hledané řešení označíme z. Spočítáme zvlášť jeho absolutní hodnotu a jeho argument
(s využitím početních pravidel, která jsme uvedli dříve). Tedy:
|z| = 5
radicaltpradicalvertex
radicalvertexradicalbt |2i|·|√3−i|10
|1 +i√3|8 ·| −1 +i|6
= 5
radicalBigg
2·210
28 ·(√2)6 = 1
20
argz = 15 parenleftbigarg(2i) + 10arg(√3−i) − [8arg(1+i√3) + 6arg(−1+i)] + k·2πparenrightbig =
= 15 parenleftbig pi2 + 10· 116 π − 8· pi3 − 6· 34π + k·2πparenrightbig = 73π + k· 25π .
Hledanými pátými odmocninami z c je pak následujících pět komplexních čísel (místo
argumentu 73π můžeme vzít hodnotu 73π−2π = pi3 z intervalu 〈0,2π)):
zk = cos( pi3 +k· 25π) + i sin( pi3 +k· 25π) pro k = 0,1,2,3,4.
Velmi důležitým zvláštním případem binomické rovnice je rovnice
xn − 1 = 0.
Řešení této rovnice budeme nazývat n-té odmocniny z jedné. Vzhledem k tomu, že
číslo 1 (chápané jako komplexní číslo) má argument α = 0 a jeho absolutní hodnota je
rovna jedné, dostáváme dosazením do vzorce pro řešení binomické rovnice, že pro n-té
odmocniny z jedné platí:
xk = cos 2kπn + i sin 2kπn , k = 0,1,2, ... ,n−1.
Vidíme tedy, že n-tých odmocnin z jedné (v oboru komplexních čísel) je právě n a
jejich obrazy, nakreslené v Gaussově rovině, leží ve vrcholech pravidelného n-úhelníku
vepsaného do jednotkové kružnice se středem v počátku, přičemž jeden z vrcholů leží
v bodě 1 na reálné ose. Nakreslete si sami obrázek znázorňující například všech osm
osmých odmocnin z jedné.
Na závěr našich úvah o binomických rovnicích uveďme dvě důležité vlastnostin-tých
odmocnin z jedné, které budeme později využívat.
Věta 3.3.
Pro n–té odmocniny z jedné platí:
1. součin dvou n-tých odmocnin z jedné je opět n-tá odmocnina z jedné
2. převrácená hodnota n-té odmocniny z jedné je opět n-tá odmocnina z jedné.
Důkaz.
Nechť xr,xs jsou libovolné n-té odmocniny z jedné. Potom je: xnr = 1 a xns = 1.
Nyní vezměme číslo xr·xs a číslo 1x
r
a umocněme je na n–tou. Dostaneme:
(xr·xs)n = xnr ·xns = 1 a
parenleftBig 1
xr
parenrightBign
= 1
n
xnr = 1,
odkud plyne, že čísla xr·xs a 1x
r
jsou řešeními binomické rovnice xn − 1 = 0. Jinak
řečeno, obě čísla jsou n-tými odmocninami z jedné. squaresolid
21
4. Základní vlastnosti celých čísel.
Na střední škole byla odvozena nebo jenom uvedena řada vlastností celých čísel a
pravidel pro počítání s nimi. V této kapitole zopakujeme a doplníme zejména základní
vlastnosti celých čísel, které souvisejí s dělitelností.
Definice.
Nechť a,b jsou celá čísla. Říkáme, že a dělí b a píšeme a|b, jestliže
existuje celé číslo z tak, že platí b = a·z.
V opačném případě říkáme, že a nedělí b a píšeme a∤b.
Je nutné vždy přesně vědět, co znamená výše uvedený slovní obrat ”v opačném
případě”. Jinak řečeno, je nutné správně utvořit negaci výroku s existenčním kvan-
tifikátorem. Tedy a nedělí b, znamená, že pro každé celé číslo z platí, že bnegationslash= a · z.
Dále je nutné si uvědomit, že zvláštní roli při dělitelnosti celých čísel hraje číslo
nula. Přímo z definice dělitelnosti v oboru celých čísel totiž plyne, že
a| 0 pro každé a∈ Z tzn. každé celé číslo dělí nulu
0 |b právě když b = 0 tzn. nula dělí pouze nulu.
Všimněme si dále, že každé celé číslo b je vždy dělitelné čísly 1, −1, b, −b. Tato
čísla se nazývají nevlastní dělitelé číslab. Všichni ostatní dělitelé číslab(pokud existují)
se nazývají vlastní dělitelé čísla b. S vlastními a nevlastními děliteli přirozených čísel
souvisí následující dva pojmy.
Definice.
Celé číslo p se nazývá prvočíslo, jestliže p> 1 a p má pouze nevlastní dělitele. Podobně,
celé číslo s se nazývá složené číslo jestliže s> 1 a s má i vlastní dělitele.
Některé základní vlastnosti celých čísel, které se týkají dělitelnosti, popisuje násle-
dující věta.
Věta 4.1.
Nechť a,b,c jsou libovolná celá čísla. Pak platí:
1. a|a
2. a|b ∧ b|c ⇒ a|c
3. a|b ∧ a|c ⇒ a| (b·x + c·y) pro každé x,y ∈ Z
4. a|b ∧ b|a ⇔ b = ±a.
Důkaz.
1. tvrzení je zřejmé, neboť lze napsat a = a·1, což znamená, že a|a.
2. nechť a | b ∧ b | c. Pak existují celá čísla z1,z2 tak, že: b = a·z1 ∧ c = b·z2. Po
dosazení dostáváme c = a·(z1 ·z2), neboli a|c.
22
3. nechť a | b ∧ a | c. Pak existují celá čísla z1,z2 tak, že: b = a·z1 ∧ c = a·z2.
Tedy: b·x+c·y = a·(z1 ·x + z2 ·y), odkud plyne, že a| (b·x + c·y).
4. Důkaz implikace ”⇒”.
Nechť a | b ∧ b | a. Potom existují z1,z2 ∈ Z tak, že b = z1a ∧ a = z2b. Po
dosazení dostáváme
b = z1z2 b.
Nyní, pokud je b = 0, pak musí být a = 0 (proč?) a tvrzení platí. Nechť tedy bnegationslash= 0.
Potom můžeme číslem b vykrátit a dostáváme 1 = z1 ·z2 . Tato rovnice je však
v oboru celých čísel splněna pouze pro z1 = z2 = 1 nebo pro z1 = z2 = −1. Platí
tedy, že b = ±a.
Důkaz implikace ”⇐”.
b = ±a ⇒ b = a·(±1) ∧ a = b·(±1) ⇒ a|b ∧ b|a. squaresolid
Jedním ze základních algoritmů, který se učí žáci již na základní škole, je algorit-
mus pro dělení dvou přirozených čísel. Uvědomme si, že výsledkem výpočtu je vlastně
nalezení dalších dvou čísel, tzv. částečného podílu a zbytku. Celou situaci lze zformulo-
vat v oboru celých čísel pomocí následující věty.
Věta 4.2. (Věta o dělení se zbytkem celých čísel)
Nechť a,b jsou celá čísla, taková, že bnegationslash= 0. Potom existují celá čísla q,r, splňující vztah:
(1) a = b·q + r ∧ 0 ≤ r < |b| ,
přičemž toto vyjádření je jednoznačné.
Důkaz.
Důkaz věty provedeme ve dvou krocích. V prvním kroku dokážeme, že uvedené vyjádře-
ní existuje a ve druhém kroku pak ukážeme, že čísla q,r splňující vztah (1) jsou určena
jednoznačně.
1. Důkaz existence vyjádření (1).
Uvažme množinu celých čísel
M = {x ·|b| | x∈ Z ∧ x ·|b| ≤ a}.
MnožinaM je zřejmě neprázdná a existuje v ní největší prvek, který si označíme x0 · |b|
(rozmyslete si podrobně, že tomu tak skutečně je). Potom platí:
(2) a = x0· |b| + r kde r ≥ 0
a dále zřejmě je (x0 + 1) · |b| > a, neboli x0 · |b| + |b| > a, odkud po úpravě
dostáváme, že a−x0 ·|b| < |b| a po dosazení za a ze (2) vychází
(3) r < |b|
Nyní už jenom stačí pouze provést označení
q =
braceleftbigg x
0, je-li b> 0
−x0, je-li b< 0
a při tomto označení dostáváme ze (2) a (3) okamžitě hledaný vztah (1).
23
2. Důkaz jednoznačnosti vyjádření (1).
Budeme předpokládat, že existují dvě dvojice celých čísel, splňující vztah (1) a doká-
žeme, že se odpovídající si čísla rovnají. Nechť tedy q, q′, r, r′ jsou celá čísla, splňující
vztah (1), tzn.:
a = b·q + r, 0 ≤ r