tahak

POLYNOMY
DEF.: Fci CCP →: nazveme polynomem, jestliže existují komplexní čísla
n
aaa ,...,,
10
()
o
Nn∈ taková, že
o
n
n
n
n
axaxaxaxP ++++=
−
− 1
1
1
)( L pro každé Cx∈ . Je-li v P(x) 0≠
n
a , pak n nazýváme stupněm
polynomu P(x) a píšeme st P = n.
VĚTA: Jsou-li v P(x) všechny koeficienty nulové, nazýváme P(x) nulovým polynomem a pokládáme st P(x)=-1
VĚTA: Polynomy se sobě rovnají právě tehdy, když se rovnají jejich stupně a koeficienty u příslušných
mocnin.
VĚTA: Součet, rozdíl a součin dvou polynomů je opět polynom a platí: ( ){ }QPQP st,stmaxst ≤+ a
() Qststst += PPxQ , pokud jsou P i Q nenulové
VĚTA: Ke každým dvěma polynomům P a Q (Q je nenulový) existují právě 2 polynomy Y,Z takové, že
ZYQP +⋅= a QZ stst <
DEF.: Nechť P je nenulový polynom. Řekneme, že C∈c je kořenem polynomu P násobnosti k, Nk ∈ , jestliže
existuje polynom R takový, že ())()( xRcxxP
k
−= a 0)( ≠cR .
VĚTA: Základní věta algebry – Každý komplexní polynom stupně alespoň 1, má alespoň jeden komplexní
kořen. Platí POUZE v komplexním oboru.
VĚTA: Každý nenulový polynom P st n lze zapsat ve tvaru ( ) ( )( )
r
k
r
kk
cxcxcxaxP −−−= L
21
21
)( , kde 0≠a ;
r
cc ,,
1
K jsou všechny po dvou různé kořeny polynomu P a
r
kk ,,
1
K jsou jejich násobnosti. Navíc platí
r
kkkP +++= L
21
st
VĚTA: Každý nenulový polynom st n má právě n komplexních kořenů, pokud každý počítáme tolikrát, jaká je
jeho násobnost.
VĚTA: Jestliže imaginární číslo c je kořenem násobnosti k polynomu P s reálnými koeficienty, potom je
kořenem násobnosti k polynomu P také číslo komplexně sdružené s číslem c.
VĚTA: Každý nenulový polynom P s reálnými koeficienty lze zapsat ve tvaru )()()( xIxRaxP ⋅⋅= ,kde 0≠a ;
R∈a a má-li P pouze imaginární kořeny,potom 1)( =xR ,jinak ( )( ) ( )
s
l
s
ll
cxcxcxxR −−−= L
21
21
)( , kde
s
cc ,,
1
K jsou všechny po dvou různé reálné kořeny polynomu P.. Má-li P pouze reálné kořeny, potom
1)( =xI , jinak ()()( )
r
k
rr
kk
qxpxqxpxqxpxxI ++++++=
2
22
2
11
2 21
)( L , kde kvadratické polynomy
jsou po dvou různé, mají pouze imaginární kořeny a nemají reálné kořeny.
()
rs
kkbbP +++++= LL
11
2st .
VĚTA: Každý nenulový polynom lichého stupně s reálnými koeficienty má alespoň jeden reálný kořen.

LINEÁRNÍ PROSTOR
DEF.: Lineární prostor (LP) je neprázdná množina L, na niž jsou definovány:
a) Operace ⊕, která každým dvěma prvkům Lvu ∈, přiřadí právě jeden prvek Lw∈ . vuw ⊕=
b) Pro každý skalár α operace α⊗, která každému prvku Lu∈ přiřadí právě jeden prvek Lz∈
uz ⊗=α
Uvedené operace přitom splňují pro všechna Lwvu ∈,, a všechny skaláry α,β následující podmínky
1) uvvu ⊕=⊕ 2) ( ) ( )wuuwvu ⊕⊕=⊕⊕ 3) ( ) ( ) ( )vuvu ⊗⊕⊗=⊕⊗ ααα
4) ()( ) ( )vuu ⊗⊕⊗=⊗⊕ βαβα 5) ( ) ( )uu ⊗⊗=⊗⊗ βαβα 6) uu =⊗1
7) existuje prvek Lo∈ takový, že pro všechna Lu∈ platí ou =⊗0
Místo ( ) ( )vu ⊗⊕⊗ βα píšeme většinou vu βα + . Operaci ⊕ pak říkáme sčítání, operaci α⊗ pak
říkáme násobení skalárem α.
VĚTA: Množina všech n-rozměrných aritmetických vektorů R
n
spolu s operacemi sčítání ar.vektorů a
skalárního násobku ar.vektorů je reálný lineární prostor.
VĚTA: V každém lineárním prostoru L platí pro nulový vektor o platí:
a) uou =⊕ pro všechna Lu∈
b) ke každému Lu∈ existuje vektor Lw∈ takový, že uou =⊕
c) oo =⊗α pro každý skalár α
d) je-li ou =⊗α pro nějaký nenulový skalár α, )( Lu∈ , potom ou =
DEF.: Řekneme, že vektory nuu ,,1 K jsou lineárně závislé, jestliže existuje jejich netriviální lineární
kombinace rovna nulovému vektoru. Vektory, které nejsou lineárně závisl