tahak

é, nazýváme lineárně
nezávislé, tj. vektory jsou LNZ, právě tehdy když POUZE jejich triviální LK je nulová.
DEF.: Řekneme, že podmnožina M lineárního prostoru L je LNZ, je-li Každá její podmnožina LNZ. Není-li M
LNZ, říkáme, že je LZ.
Věta: Vektory nuu ,,1 K (n ≥ 2) jsou LZ právě tehdy, když alespoň jeden z nich lze vyjádřit jako LK ostatních.
Poznámka: Jeden vektor je LZ, právě tehdy, když je nulový.
DEF.: Lineární obal podmnožiny M LP L je množina všech LK konečného počtu vektorů z množiny M. M
Poznámka: Je-li L LP, M⊂L, pak vždy platí MM = . Množina generátorů je LMLM =⊆ , . M
generuje L.
DEF.: Podmnožina M LP L, která je s operacemi ⊕ a α⊗ přejatými z L sama LP, se nazývá (lineární)
podprostor LP L. Píšeme M⊂⊂L.
Věta: Neprázdná podmnožina M LP L je podprostorem prostoru L právě tehdy, když pro každé Mvu ∈, a
každý skalár α platí: MuMvu ∈⊗∈⊕ α , tj. M je uzavřena na součet a skalární násobek.
Poznámka: Podmnožina LP, která neobsahuje nulový vektor, není nikdy podprostorem. Podmnožina M LP L je
jeho podprostorem právě tehdy, když MM =
Věta: Jsou-li M
1
a M
2
podprostory LP L, pak M
1
∩M
2
je také podprostor LP L. Sjednocení dvou podprostorů
nemusí být podprostor.
DEF.: Spojením podprostorů M
1
a M
2
LP L nazýváme lineární obal jejich sjednocení. Značíme
21
MM ∪ .
Spojení je zřejmě nejmenší podprostor, který obsahuje M
1
i M
2
.
Věta: Jsou-li M
1
a M
2
podprostory LP L, pak
2121
MMMM +=∪
DEF.: Podmnožina M LP L nazveme bazí prostoru L, jestliže je LNZ a LM = . Každý netriviální prostor má
bázi. – Báze je maximální LNZ podmnožina v LP. – Báze je minimální podmnožina, jejíž lineární obal je
celý prostor.
Věta: (Steinitz) – Jestliže Luu n =,,1 K (L=LP) a vektory Lvv
k
∈,,
1
K jsou LNZ, pak k≤ n a při vhodném
očíslování vektorů nuu ,,1 K je Luuvv
nkk
=
+
,,,,,
11
KK
Věta: Má-li LP L nějakou konečnou bázi M, pak každá jeho báze je konečná a má stejný počet prvků jako báze
M.
Poznámka: Podle Stenitzovy věty je v libovolném lineárním prostoru s bazí o n prvcích každých n+1 vektorů
LZ.
DEF.: Má-li LP { }oL ≠ (netriviální) konečnou bázi M, nazveme počet prvků množiny M dimenzí prostoru L
(píšeme: dim M). Jinak řekneme, že M má nekonečnou dimenzi. Pro { }oL = pokládáme dim L=0.
Věta: Konečná podmnožina M LP L je bazí prostoru L ⇔ každý vektor z L lze zapsat právě jedním způsobem
(až na pořadí sčítanců) jako LK všech vektorů z množiny M.
DEF.: Souřadnice vektoru Lu∈ v uspořádané bázi ( )
n
bbbB ,...,,
21
= LP L jsou uspořádaná n-tice skalárů
()
n
uuu ,...,,
21
takových, že
nn
bububuu +++= ...
2211
. Píšeme ( )
B
n
uuuu =,...,,
21
. Souřadnice jsou
určeny jednoznačně.
Věta: Nechť B je uspořádaná báze LP L (dim L0, pak existuje k LN řádků matice A.
Poznámka: Hodnost matice je rovna počtu prvků každé maximální LN podmnožiny množiny všech řádků
matice.
Věta: Matice A typu
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
mn
n
n
n
mm
a
a
a
a
a
a
aa
aaa
...
......
...
...
...
...000
...............
......00
......0
......
3
2
1
33
2322
131211
, kde 0≠
ij
a pro i=1,2,…,m m ≤ n, má h(A)=m
Věta: Jestliže matice B vznikla z matice A některou z následujících úprav:
1. prohozením 2 řádků v matici A
2. vynásobením některého řádku matice A nenulovým skalárem
3. přičtením jednoho řádku matice A k jinému řádku matice A
4. vynecháním nulového řádku matice A
⇒ pak h(A) = h(B) (úpravy 1-3 jsou elementární transformace (úpravy) matic)
DEF.: Nechť (A)=a
ij
je matice typu (m,n). Transponovaná matice k matici A na