tahak

zveme matici B=(b
ij
) typu (m,n)
takovou, že b
ij
=a
ij
pro i=1,…,m j=1,…,m. Píšeme B=A
T

Poznámka: (A+B)
T
=A
T
+B
T
(cA)
T
=cA
T
(A
T
)
T
=A
Věta: Hodnost matice a hodnost matice k ní transponované jsou stejné.
Poznámka: Budeme-li úpravy 1-4 provádět se sloupci místo s řádky, hodnost matice se nezmění.
DEF.: Součinem matic A=(a
ij
) typu (m,n) a B=(b
ij
) typu (n,c) v tomto pořadí, je matice C=(c
ij
) typu (m,p)
taková, že
∑
=
=
n
k
kjikij
bac
1
.
Věta: Násobení matic (kompatibilních typů) má tyto vlastnosti: 1) (AB)C=A(BC) 2) A(B+C)=AB+AC
3) (A+B)C=AC+BC 4) c(AB)=(cA)B=A(cB) 5) (AB)
T
=B
T
A
T

Věta: Nechť AB=C. Pak sloupce matice C jsou LK sloupců matice A a řádky matice C jsou LK řádků matice B.
DEF.: Jednotková matice řádu n je čtvercová matice E
n
=(δ
ij
) řádu n, kde
⎩
⎨
⎧
≠
=
=
jipro
jipro
ij
0
1
δ (Kronekrovo delta).
Věta: Je-li A matice (m,n), pak E
m
A=AE
n
=A
DEF.: Matici B nazveme inverzní maticí k matici A, jestliže AB=BA=E. Píšeme B=A
-1
. Jestliže k matici
existuje inverzní matice, pak říkáme, že matice A je regulární. V opačném případě říkáme, že matice A
je singulární. Inverzní matice je určena jednoznačně null AB=BA=E, AC=CA=E, B=BE=B(AC)=EC=Cnull
Věta: Nechť A a B jsou regulární matice stejného řádu. Potom:
a) AB je regulární a (AB)
-1
=B
-1
A
-1

b) A
-1
je regulární a (A
-1
)
-1
=A
c) A
T
je regulární a (A
T
)
-1
=(A
-1
)
T

d) αA je regulární pro α≠0 a (αA)
-1
=
α
1
A
-1

Věta: Matice A řádu n je regulární právě tehdy, když h(A)=n
Poznámka: Je-li A regulární matice, je možno řešit maticové rovnice, a soustavy pomocí Cramerova pravidla.


DETERMINANTY – pouze pro čtvercové matice
DEF.: Permutací (pořadím) čísel 1,…,n rozumíme uspořádanou n-tici ( )
n
jjj ,...,,
21
=π obsahující každé z čísel
1,…,n. Řekneme, že uspořádaná dvojice ( )
lk
jj , je inverzí v permutaci π, jestliže kj
l
. Je-li r počet
inverzí v permutaci π, pak znaménkem permutace π nazveme číslo ()
r
1sgn −=π . Všech permutací je n!
DEF.: Determinant čtvercové matice A=(a
ij
) řádu n je číslo
∑
⋅⋅⋅⋅=
n
njjj
aaaA ...sgndet
21
21
π ,kde
( )
n
jjj ,...,,
,21
=π --- permutace čísel 1,…,n. Determinant n-tého řádu je determinant matice řádu n.
Věta: Pro libovolnou čtvercovou matici platí: det A = det A
T
⇒ Každé tvrzení por řádky platí i pro sloupce.
Věta: Je-li A=(a
ij
) dolní (horní) trojúhelníková matice řádu n, pak det A = a
11
•a
22
•a
33
•…•a
nn

Věta: Má-li matice alespoň jeden řádek nulový, pak jej její determinant nulový. Jestliže matice B vznikla
z matice A prohozením dvou řádků, pak det B = - det A ⇒ Má-li matice dva řádky stejné, pak je její
determinant nulový.
Věta: Jestliže matice B vznikla z matice A vynásobením jednoho řádku číslem α, pak det B = α det A
Poznámka: Je-li A matice řádu n, B=αA, pak det B = α
n
det A
Věta: Jestliže se matice A
1
, A
2
, B liší pouze v j-tém řádku a j-tý řádek matice B je součtem j-tých řádků matic
A
1
a A
2
, pak det B = det A
1
+ det A
2

Věta: det (AB)=det A • det B ⇒ det A
-1
= (det A)
-1

Věta: Laplaceova věta: 1 = det E = det (AA
-1
) = det A detA
-1
Věta: A
ij
– submatice A – z matice A vycháme i-tý řádek a j-tý sloupec. det A
ij
– subdeterminant.
Věta: D
ij
=(-1)
i+j
det A
ij
– algebraický doplněk pozice (i, j)
Věta: Pro každou čtvercovou matici A řádu n jsou následující tvrzení A1)-A5) resp. B1)-B5) ekvivalentní:
A1) A je regulární B1) A je singulární
A2) h(A)=n B2) h(A)