- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Hromadně přidat materiály
Vypracované příklady
BB01 - Fyzika
Hodnocení materiálu:
Vyučující: Mgr. Jan Martinek Ph.D.
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiál6. října 2008
Jestliže v příkladech najdete jakoukoli chybu (výpočetní, logickou, gramatickou, slohovou, typografickou aj.), po-
šlete mi o tom prosím mail. A snažte se být první! :-)
Aktuální verzi tohoto dokumentu najdete na adrese
http://fyzika.fce.vutbr.cz/pub/priklady1.pdf
1. Dítě na řetízkovém kolotoči
Sedačka řetízkového kolotoče má i s dítětem hmotnost m = 50kg a pohybuje se rovnoměrným pohybem
po kružnici o poloměru R=10m. Oběžná doba sedačky je T=6,28 sekund, takže ω = 2π/T .= 1s−1.
• Nakreslete obrázek, souřadnou soustavu a vyznačte působící síly. Do obrázku znázorněte součet sil
(pomocí rovnoběžníku). Která síla je výsledná?
Počátek souřadné soustavy umístěte do středu kružnice, po které se pohybuje sedačka kolotoče. Osa z
nechť směřuje nahoru.
• Předpokládejte, že poloha sedačky kolotoče závisí na čase takto: D6 = [Rsin(ωt);Rcos(ωt);0]. Deri-
vováním podle času vypočítejte rychlost a zrychlení.
• Načrtněte kružnici (pohled shora) a vyznačte vektor rychlosti a zrychlení.
• Vypočítejte velikost rychlosti a velikost zrychlení sedačky.
• Vypočítejte vektor (tj. všechny tři složky) tahové síly řetězu.
• Vypočítejte velikost tahové síly řetězu.
• Vypočítejte úhel mezi tahovou silou řetězu a osou z. Pro výpočet úhlu mezi dvěma vektory využijte
vlastnosti skalárního součinu BT·BU = |BT|·|BU|·cos(α)
Řešení:
Na obrázku jsou zakresleny tři síly. Neznamená to však, že na sedačku řetízkového kolotoče působí všechny
tři dohromady. Na sedačku působí síly dvě – gravitace BZ a tah řetězu CC. Jestliže tyto dvě síly sečteme,
získáme výslednici BY. Platí tedy
BY = BZ +CC
Výsledná síla BY určuje, jak se bude sedačka pohybovat. Platí to i naopak – jestliže známe pohyb sedačky,
můžeme vypočítat výslednou sílu BY, což využijeme při řešení tohoto příkladu. Pohyb sedačky je popsán
polohovým vektorem D6. Jestliže jej dvakrát zderivujeme podle času, zjistíme zrychlení. To vynásobíme
hmotností a získáme tím výslednici sil (BY = mCP).
Víme, že sedačka koná rovnoměrný pohyb po kružnici s poloměrem R, která leží v rovině xy a její
střed leží v počátku souřadné soustavy. Úhlovou rychlost označme ω. (Platí, že ω = 2piT , kde T je perioda
pohybu). Tento druh pohybu lze popsat polohovým vektorem
D6 = [Rsin(ωt);Rcos(ωt);0]
Zderivováním podle času zjistíme rychlost a dalším zderivováním zjistíme zrychlení.
DA = dD6dt = [Rωcos(ωt);−Rωsin(ωt);0]
CP = dDAdt = [−Rω2 sin(ωt);−Rω2 cos(ωt);0]
1
Zrychlení vynásobíme hmotností, čímž získáme výslednici sil:
BY = mCP = [−mRω2 sin(ωt);−mRω2 cos(ωt);0]
O výslednici sil víme, že je složena z gravitační síly BZ a tahové síly řetězu CC. Gravitační sílu známe
BZ = [0;0;−mg]
a tak můžeme snadno vypočítat sílu CC (odečítáním vektorů):
BY = BZ +CC
CC = BY −BZ = [−mRω
2 sin(ωt);−mRω2 cos(ωt);mg]
Je pochopitelné, že síla CC závisí na čase, protože se každým okamžikem mění směr, kterým řetěz musí
táhnout, aby udržel sedačku na kruhové dráze. Jak ale uvidíme, velikost tahové síly CC již na čase nezávisí
– řetěz je namáhán stále stejně velkou silou. Vypočítejme tedy velikost síly CC:
|T| =
radicalBig
T2x + T2y + T2z =
=
radicalBig
(−mRω2 sin(ωt))2 + (−mRω2 cos(ωt))2 + (mg)2 =
=
radicalBig
m2R2ω4 sin2(ωt) + m2R2ω4 cos2(ωt) + m2g2 =
= m
radicalBig
R2ω4(sin2(ωt) + cos2(ωt)) + g2 =
= m
radicalbig
R2ω4 + g2 = 50√102 ·14 + 102 .= 707N
Nyní vypočítejme úhel α, který představuje odklon řetězu od svislého směru. Jde tedy o to najít úhel mezi
vektorem CC a jakýmkoli dalším vektorem, který má svislý směr. Vyberme si nejjednodušší možnost
DE = [0;0;1]
což je vektor ve směru osy z, jehož velikost je na první pohled rovna jedné.
|DE| = 1
Pro výpočet úhlu mezi dvěma vektory využijeme vlastnosti skalárního součinu.
DE ·CC = |z||T| cos(α)
cos(α) = DE ·CC|z||T| = (0·Tx + 0·Ty + 1·Tz)1·(mradicalbigR2ω4 + g2) =
= mgmradicalbigR2ω4 + g2 = gradicalbigR2ω4 + g2
α = arccos
parenleftBigg
gradicalbig
R2ω4 + g2
parenrightBigg
= arccos
parenleftbigg 10
√102 ·14 + 102
parenrightbigg
= 45◦
Hmotnost sedačky se z výpočtu vykrátila, což dobře souhlasí se zkušeností, že prázdná sedačka u řetízko-
vého kolotoče se vychýlí o stejný úhel jako sedačka s dítětem.
Zbývá ještě vypočítat velikost rychlosti
|DA| =
radicalBig
v2x + v2y + v2z =
radicalbig
(Rωcos(ωt))2 + (−Rωsin(ωt))2 + 02 =
=
radicalBig
R2ω2(cos2(ωt) + sin2(ωt)) =
√
R2ω2 = Rω .= 10ms−1
a posledním úkolem je výpočet velikosti zrychlení:
|CP| =
radicalBig
a2x + a2y + a2z =
radicalbig
(−Rω2 sin(ωt))2 + (−Rω2 cos(ωt))2 + 02 =
=
radicalBig
R2ω4(sin2(ωt) + cos2(ωt)) =
√
R2ω4 = Rω2 .= 10ms−2
2
2. První kosmická rychlost
Hmotnost Země je M = 5,98·1024 kg a její poloměr (na rovníku) je Rz = 6378km. Gravitační konstanta
je κ = 6,6742·10−11 m3 s−2 kg−1. Předpokládejte, že se těsně nad povrchem Země nachází nějaké těleso o
hmotnosti m. Dále (hypoteticky) předpokládejme, že Země nemá atmosféru, a tak odpor vzduchu můžeme
zanedbat.
• Nakreslete obrázek.
• Vypočítejte velikost zrychlení tělesa.
• Vypočítejte, jak velkou rychlost musí mít těleso, aby nikdy nedopadlo na povrch Země a pohybovalo
se po kruhové dráze.
Tato rychlost se nazývá první kosmická rychlost. Pro dostředivé zrychlení platí a = Rω2.
• Jestliže se těleso pohybuje po kruhové dráze, za jak dlouho obletí zeměkouli?
Řešení:
Ze zadání příkladu plyne, že máme uvažovat těleso, které se nedotýká povrchu Země. To je velmi příznivá
situace, protože nemusíme uvažovat sílu, kterou povrch Země působí na těleso. Z Newtonova gravitačního
zákona vypočítáme sílu, která působí na těleso. Následně sílu vydělíme hmotností tělesa a tím získáme
jeho zrychlení:
F = κmMR2
a = Fm = κMR2 .= 9,81ms−2
Za R dosadíme vzdálenost od středu Země a dostáváme známou hodnotu 9,81. Je zřejmé, že zrychlení
tělesa nezávisí na jeho hmotnosti (ta se z výpočtu vykrátila) ani na rychlosti. Ať se bude těleso pohybovat
jakkoli, jeho zrychlení bude vždy rovno
a = κMR2
Toto zrychlení může mít různé důsledky. Například způsobuje zpomalování vzhůru vrženého tělesa, narůs-
tání rychlosti při volném pádu, zakřivení dráhy u šikmého vrhu a podobně.
Vzhledem k tomu, že zrychlení směřuje vždy do středu Země, dokáže za vhodných podmínek udržet těleso
na kruhové dráze a plní tak funkci dostředivého zrychlení o velikosti Rω2. Musí platit, že
Rω2 = κMR2
Dále využijeme vztahu pro úhlovou rychlost při rovnoměrném pohybu po kružnici: ω = v/R.
R
parenleftBigv
R
parenrightBig2
= κMR2
Rv2 = κM
v =
radicalbigg
κM
R
3
Dosadíme-li za R poloměr Země, můžeme vypočítat první kosmickou rychlost
v =
radicalbigg
6,6742·10−11 ·5,98·1024
6378·103
.= 7911ms−1 ≈ 7,9kms−1
což je nejnižší (teoretická) rychlost, kterou musí mít těleso, aby se z něj stala umělá družice. Jednu periodu
oběhu opět zjistíme ze vztahu ω = v/R, přičemž ω = 2πf = 2π/T.
2π
T =
v
R
T = 2πRv
Mohli jsme uvažovat i tak, že perioda je obvod zeměkoule lomeno rychlost družice. Rychlost v již známe
z předchozího výpočtu.
T = 2πRradicalBig
κM
R
= 2πR
radicalbigg
R
κM =
2π√
κMRR
1
2 =
2π√
κMR
3
2
T = 2πradicalbig6,6742·10−11 ·5,98·1024 ·(6378·103)3/2 .= 5066s ≈ 84minut
Což je necelých jeden a půl hodiny. Vypočtené hodnoty platí pro pohyb těsně nad povrchem Země. Ve
skutečnosti však musí být družice alespoň ve výšce 300 km od povrchu Země, jinak by byl jejich pohyb
příliš zpomalován přítomností atmosféry, jejíž účinky jsme dosud zanedbávali.
Na základě předcházejících úvah bychom mohli snadno vypočítat oběžnou dobu Měsíce (což je zhruba
jeden měsíc), případně výšku geostacionární družice, jejíž oběžná doba je právě jeden den a proto se nachází
nad stále stejným místem povrchu Země.
Za jasných nocí je možné pozorovat na obloze pomalu se pohybující světelné body. Jedná se o blízké
družice s krátkou oběžnou dobou, která bývá pouze několik hodin (zkuste ověřit výpočtem).
3. Tenisté odpálili vodorovně míčky
Tři tenisté, Ensac Uös, Uon Dap a Ödyk Cim vodorovně odpálili ve stejný okamžik míčky z výšky
h=1.5metrů nad povrchem hřiště. První míček měl rychlost v1=20ms−1, druhý měl rychlost v2=40ms−1
a třetí v3=60ms−1.
• Nakreslete obrázek, a zvolte souřadnou soustavu.
• Určete, v jakých časových intervalech dopadnou míčky na zem?
4. Atlet hodil oštěp
Atlet hodil oštěp do vzdálenosti l=60m. Let oštěpu trval 3sekundy. O kolik metrů by mohl atlet svůj
výkon zlepšit, kdyby hodil pod optimálním úhlem 45◦?
• Nakreslete obrázek, zvolte souřadnou soustavu a zakreslete působící sílu.
• V souladu se zvolenou souřadnou soustavou určete vektor zrychlení oštěpu.
• Zrychlení integrujte podle času, čímž získáte rychlost. Další integrací vypočítejte polohu.
Integrační konstanty v tomto případě představují počáteční podmínky.
• Ze vzdálenosti dopadu a doby letu oštěpu vypočítejte velikost počáteční rychlosti.
• Vypočítejte vzdálenost dopadu pro stejně velkou počáteční rychlost a úhel hodu změněný na 45◦.
Řešení:
4
Úlohu si zjednodušíme tím, že zanedbáme odpor vzduchu a navíc nebudeme uvažovat výšku atleta. Před-
pokládáme tedy, že oštěp byl hozen z povrchu země. Počátek souřadné soustavy zvolíme do místa, odkud
byl oštěp hozen. Osa x povede vodorovně a bude protínat místo dopadu oštěpu. Osa y nechť směřuje
vzhůru. Po celou dobu letu oštěpu na něj působí pouze gravitační síla, která všem předmětům bez ohledu
na jejich hmotnost či rychlost uděluje zrychlení g směrem dolů. To znamená, že vektor zrychlení bude mít
složky
CP = [0;−g]
Zintegrujeme-li zrychlení podle času, dostaneme rychlost. Integrál bude neurčitý, a tak známe jeho výsledek
až na integrační konstanty, které mají v tomto případě význam počáteční rychlosti, tj. rychlosti v bodě A,
kterou můžeme zapsat
DAA = [vAx;vAy]
Při integraci vektoru integrujeme každou jeho složku zvlášť. Pro x-ovou složku rychlosti dostáváme
vx =
integraldisplay
ax dt =
integraldisplay
0dt = 0 + vAx = vAx
Jak je vidět, ve vodorovném směru se oštěp pohybuje rovnoměrně, protože rychlost v ose x se nemění.
Nyní vypočítáme rychlost v ose y:
vy =
integraldisplay
ay dt =
integraldisplay
−gdt = −gt+ vAy
Ze zrychlení jsme integrací vypočítali vektor rychlosti
DA = [vAx;−gt+ vAy]
a obdobným způsobem vypočítáme z rychlosti polohu D6. Rychlost zintegrujeme podle času, přičemž in-
tegrační podmínky budou mít význam počáteční polohy, tj. polohy oštěpu ve fázi A. Právě tam jsme ale
zvolili počátek souřadné soustavy, a tak počáteční poloha oštěpu bude nulová
D6A = [rAx;rAy] = [0;0]
a integrační konstanty budou též nulové. Vypočítáme x-ovou i ypsilonovou složku polohy:
rx =
integraldisplay
vx dt =
integraldisplay
vAx dt = vAxt + rAx = vAxt
ry =
integraldisplay
vy dt =
integraldisplay
(−gt+ vAy)dt = −12gt2 + vAyt+ rAy = −12gt2 + vAyt
Zjistili jsme, že poloha oštěpu závisí na čase takto:
D6 =
bracketleftbigg
vAxt;−12gt2 + vAyt
bracketrightbigg
Ze zadání víme, že oštěp dopadne po třech sekundách letu do vzdálenosti l. Při dopadu oštěpu bude jeho
y-ová souřadnice nulová. Dopad oštěpu odpovídá stavu B, takže můžeme psát
D6B =
bracketleftbigg
vAxtB;−12gt2B + vAytB
bracketrightbigg
= [l;0]
5
a z toho získáváme dvě rovnice o dvou neznámých vAx a vAy. Řešením získáme vektor počáteční rychlosti:
I. vAxtB = l
vAx = lt
B
= 20ms−1
II. − 12gt2B + vAytB = 0
−12gtB + vAy = 0
vAy = 12gtB = 15ms−1
Počáteční rychlost DAA má složky
DAA =
bracketleftbigg l
tB;
1
2gtB
bracketrightbigg
= [20;15]ms−1
a její velikost je
|DAA| =
radicalBig
v2Ax + v2Ay =
radicalBiggparenleftbigg
l
tB
parenrightbigg2
+
parenleftbigg1
2gtB
parenrightbigg2
= 25ms−1
Nyní předpokládejme, že atlet hodí oštěp stejně velkou rychlostí (tu budeme značit vA), ale pod pozmě-
něným úhlem α = 45◦. Vektor počáteční rychlosti tak bude mít složky
DAA = [vAx;vAy] = [vA cos(α);vA sin(α)]
Je zřejmé, že pro pohyb oštěpu budou platit stejné úvahy, které nás dovedly k výše uvedené soustavě dvou
rovnic označené I. a II.. Druhou rovnici použijme k výpočtu času, kdy oštěp dopadne na zem:
II. − 12gt2B + vAytB = 0
−12gt2B + vA sin(α)tB = 0
vA sin(α) = 12gtB
tB = 2vA sin(α)g .= 3,54s
Je vidět, že oštěp poletí po delší čas než v prvním případě. Dobu letu dosadíme do první rovnice a z ní
vypočteme vzdálenost dopadu:
I. vAxtB = l
l = vAxtB = vA cos(α)tB = vA cos(α)2vA sin(α)g =
= 2v
2
A cos(α)sin(α)
g =
v2A sin(2α)
g
.= 62,5m
Pro poslední úpravu výrazu byl použit vzorec pro sinus dvojnásobného argumentu
2cos(α)sin(α) = sin(2α)
ale pro číselné dosazení to nebylo nutné. Atlet by tedy mohl zlepšit svůj výkon přibližně o 2,5 metru.
V zadání je řečeno, že úhel 45◦ je optimální, tedy že oštěp dolétne při tomto úhlu nejdále. Je možné to
i matematicky dokázat tím, že vztah pro vzdálenost zderivujeme podle úhlu a položíme rovno nule, tj.
6
budeme hledat extrém, v našem případě maximum.
0 = ddα
parenleftbiggv2
A sin(2α)
g
parenrightbigg
0 = v
2
a cos(2α)2
g
0 = cos(2α)
π = 2α
α = π2 ≈ 45◦
Hledání optimálního úhlu sice nebylo součástí zadání, ale výpočet bylo vhodné uvést pro potvrzení všeo-
becně známé skutečnosti, že nejlepší je házet po úhlem 45◦. Je ale nutné dodat, že vrcholoví oštěpaři musí
brát v úvahu odpor vzduchu, jeho aerodynamický vztlak, a výšku své postavy, a tak se uvádí, že optimální
úhel je 33◦. To však není možné dokázat při našich zjednodušujících představách.
5. Odrazy skákací kuličky
Na desku stolu byla volně puštěna skákací kulička. Pomocí mikrofonu a zvukové karty počítače bylo změ-
řeno, že mezi prvními dvěma odrazy uplynula doba jedné sekundy. Třetí náraz se ozval již po 0,8 sekundy
po druhém.
• Nakreslete obrázek, zvolte souřadnou osu a určete zrychlení kuličky.
• Ze zrychlení vyjádřete rychlost pomocí integrace podle času.
• Integrací rychlosti podle času zjistěte závislost polohy na čase.
• Vypočítejte rychlosti kuličky těsně po odrazech.
• Vypočítejte koeficient restituce.
• Vypočítejte obě výšky, do kterých kulička vyskočila.
Řešení:
Situaci vystihuje pravá část obrázku, protože pohyb se děje pouze ve svislé ose a kulička dopadá kolmo na
desku. Bylo by však obtížné do jedné osy zakreslit všechny fáze děje. V levé části obrázku proto vidíme
šikmý dopad, který slouží pouze pro názornost.
Pohyb kuličky si můžeme představit jako dva svislé vrhy, jeden se odehrává ve fázích A až C, druhý ve
fázích D až F. Oba se chovají podle stejných zákonitostí, takže stačí vyřešit pouze první vrh. Při výpočtu
si vystačíme s jedinou souřadnou osou x, která bude směřovat vzhůru a její počátek umístíme na povrch
desky. Po celou dobu letu působí na kuličku pouze gravitační zrychlení, takže můžeme psát
CP = [−g]
Jestliže zrychlení zintegrujeme podle času, získáme tím závislost rychlosti na čase.
DA(t) =
integraldisplay
CPdt
7
Zrychlení je konstanta, takže ji můžeme vytknout před integrál. Integrál je však neurčitý, a tak jeho
výsledek známe až na integrační konstantu. Ta má v našem případě význam počáteční rychlosti vA.
v(t) =
integraldisplay
−gdt = −gt+ vA
Nyní zintegrujeme rychlost v(t) a tím vypočítáme závislost polohy na čase. Integrační konstanta má v tomto
případě význam počáteční polohy rA, ale ta je nulová, protože jsme počátek souřadné soustavy umístili
na povrch desky (viz obrázek).
r(t) =
integraldisplay
v(t)dt =
integraldisplay
(−gt+ vA)dt = −12gt2 + vAt
Dále víme, že čas t = tC odpovídá okamžiku, kdy kulička podruhé dopadla a její poloha rC je opět nulová.
Z toho vypočítáme její počáteční rychlost vA:
−12gt2C + vAtC = rC
−12gt2C + vAtC = 0
−12gtC + vA = 0
vA = 12gtC = 5ms−1
Což odpovídá rychlosti po prvním odrazu. Stejnou úvahou bychom vypočítali rychlost vD, tedy rychlost
po druhém odrazu.
vD = 12gtF = 4ms−1
Koeficient restituce je podíl vzájemných rychlostí dvou těles těsně po srážce (stav D) a vzájemných
rychlostí těsně před srážkou (stav C). Jedním z těles je deska stolu. Její rychlost označme V a můžeme ji
považovat za nulovou (V = 0). Rychlost vC neznáme, ale zato známe vA, která je stejně velká, jen opačně
orientovaná (vC = −vA). Lze to i dokázat:
vC = −gtC + vA = −gtC + 12gtC = −12gtC = −5ms−1
Tedy rychlost, s jakou vylétla je stejně velká, jako rychlost, kterou dopadla. Koeficient restituce se v našem
případě vypočítá
C = vD −VV −v
C
= vD−v
C
=
1
2gtF
−(−12gtC) =
tF
tC =
4
5 = 0,8
Dalším úkolem je spočítat, do jaké výšky kulička vyskočí, což odpovídá stavu B. Nejprve musíme vypočítat
čas tB, kdy je kulička v „mrtvém boděcsquotedblright – její výška rB je maximální a její rychlost nulová (vB = 0).
−gtB + vA = vB
−gtB + vA = 0
−gtB = −vA
tB = vAg = 12gtC 1g = tC2
Výsledek není nijak překvapivý, maximální výšky kulička dosáhne v polovině času svého letu. Čas tB
dosadíme do vztahu pro výpočet polohy a tím získáme výsledek rB:
rB = −12gt2B + vAtB = −12g
parenleftbiggt
C
2
parenrightbigg2
+ 12gtC
parenleftbiggt
C
2
parenrightbigg
=
= −12gt
2
C
4 +
gt2C
4 = −
gt2C
8 +
gt2C
4 =
gt2C
8 = 1,25m
Obdobný vztah musí platit i pro druhou fázi letu. Vypočítejme rE:
rE = gt
2
F
8 = 0,8m
Kulička vylétne do menší výšky než v první fázi, což se dalo očekávat.
8
6. Rovnováha (vodorovná deska, svislá stěna, provaz)
Vodorovná deska o délce l = 2m a hmotnosti m = 8kg drží ve stabilní poloze díky provazu a svislé stěně.
Provaz je připevněn na jednom konci desky, vede šikmo vzhůru a je uchycen na stěnu. Opačný konec desky
se dotýká stěny a v důsledku tření nesklouzne. Rozdíl výšek mezi dolním a horním koncem provazu činí
d = 1m. Vypočtěte tahovou sílu provazu. Jakou silou působí stěna na desku?
• Nakreslete obrázek, vyznačte působící síly a souřadnou soustavu.
• V souladu se zvolenou souřadnou soustavou rozepište vektory sil, jejich ramena a momenty.
• Napište podmínky pro statickou rovnováhu.
• Vyřešte vzniklou soustavu rovnic.
• Dosaďte číselné hodnoty, určete velikosti všech působících sil a napište odpověď.
Řešení:
Na desku působí tři síly – tahová síla provazu BY1, gravitační síla BZ a síla BY2, kterou působí stěna na desku.
U tahové síly BY1 známe směr působení, protože víme, že působí podél provazu. Neznáme ale její velikost.
Tu označme F1. Souřadnou soustavu zvolíme například tak, že její počátek bude v místě, kde se deska
dotýká stěny (viz obrázek). Můžeme psát, že
D6F1 = [−l;0;0]
BY1 = [F1 cos(α);F1 sin(α);0]
C5F1 = D6F1 ×BY1 = [0;0;−lF1 sin(α)]
Dále rozepišme gravitační sílu BZ. U té známe všechny informace. Velikost a směr jsou dány hmotností
desky a tíhovým zrychlením g. Působiště se nachází v těžišti desky, tedy v polovině její délky.
D6G =
bracketleftbigg
−l2;0;0
bracketrightbigg
BZ = [0;−mg;0]
C5G = D6G ×BZ =
bracketleftbigg
0;0; lmg2
bracketrightbigg
Zbývá rozepsat sílu BY2. Její působiště je přímo v počátku souřadné soustavy, a proto je její moment nulový.
Složky vektoru síly označme F2x a F2y. Ani jednu z nich neznáme.
D6F2 = [0;0;0]
BY2 = [F2x;F2y;0]
C5F2 = D6F2 ×BY2 = [0;0;0]
Deska setrvá ve statické rovnováze, je-li součet všech sil nulový, tj. BY1 +BZ +BY2 = [0;0;0]
I. F1 cos(α) + F2x = 0
II. F1 sin(α)−mg + F2y = 0
9
a současně součet momentů sil také nulový, tj. C5F1 +C5G +C5F2 = [0;0;0].
III. −lF1 sin(α) + lmg2 = 0
Získali jsme tři rovnice o třech neznámých F1, F2x a F2y. Třetí rovnice obsahuje pouze neznámou F1, a
tak ji můžeme přímo vypočítat:
−lF1 sin(α) + lmg2 = 0
−F1 sin(α) + mg2 = 0
F1 sin(α) = mg2
F1 = mg2sin(α)
Tento výsledek dosadíme do první i druhé rovnice a vypočítáme zbývající dvě neznámé F2x a F2y. Řešením
první rovnice získáme F2x
F1 cos(α) + F2x = 0
mg
2sin(α) cos(α) + F2x = 0
F2x = − mg2sin(α) cos(α)
F2x = − mg2tan(α)
a vyřešením druhé rovnice vypočteme F2y:
F1 sin(α)−mg + F2y = 0
mg
2sin(α) sin(α)−mg + F2y = 0
mg
2 −mg + F2y = 0
−mg2 + F2y =
Vloženo: 12.01.2010
Velikost: 655,67 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu BB01 - Fyzika
Reference vyučujících předmětu BB01 - Fyzika
Reference vyučujícího Mgr. Jan Martinek Ph.D.
Podobné materiály
- BH11 - Požární bezpečnost staveb - Vypracované otázky
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - vypracované otázky
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - vypracované otazky_2
- BT51 - TZB I (S) - Vypracované otázky
- BF02 - Mechanika zemin - Vypracované příklady pro kombinované studium
- BD01 - Základy stavební mechaniky - Vypracované testy z mechaniky
- BD01 - Základy stavební mechaniky - Vypracované příklady z mechaniky
- BC01 - Stavební chemie - Vypracované otázky
- BE01 - Geodézie - Vypracované otázky geodézie
- BF02 - Mechanika zemin - Vypracované rámcové otázky
- BI01 - Stavební látky - Vypracované příklady
- BT51 - TZB I (S) - Vypracované otázky ze skrpit
- BV01 - Ekonomie - Vypracované otázky do ekonomie
- BI52 - Diagnostika stavebních konstrukcí (K) - Vypracované dk2
- BS01 - Vodohospodářské stavby - Vypracované otázky
- BV01 - Ekonomie - vypracované otázky
- BE01 - Geodézie - vypracované otázky
- BD02 - Pružnost a pevnost - vypracované verze zkoušky
- BO01 - Konstrukce a dopravní stavby - vypracované otázky
- BO01 - Konstrukce a dopravní stavby - vypracované otázky do konstrukcí
- BB01 - Fyzika - Fyzika- vypracované otázky z teorie
- 0 - Geodézie I (1) - Vypracované otázky-Soukup
- BV01 - Ekonomie - Vypracované otázky - zkouška 2009
- BG01 - Dějiny architektury a stavitelství - Vypracované odpovědi dle osnovy r.2010
- BO01 - Konstrukce a dopravní stavby - vypracované otázky z dopravy
- BG01 - Dějiny architektury a stavitelství - vypracované otázky
- BE01 - Geodézie - Vypracované okruhy otázek
- BL01 - Prvky betonových konstrukcí - vypracované otázky ke zkoušce
- CD03 - Pružnost a plasticita - vypracované otázky ke zkoušce
- BM02 - Pozemní komunikace II - vypracované otázky
- BL07 - Zděné konstrukce (K) - vypracované příklady ke zkoušce
- BL07 - Zděné konstrukce (K) - vypracované otázky ke zkoušce
- BO01 - Konstrukce a dopravní stavby - vypracované otázky ke zkousce
- BF03 - Zakládání staveb - vypracované otázky
- BW04 - Technologie staveb II - vypracované otázky 2011
- BS05 - Vodní hospodářství krajiny II - Vypracované otázky
- BR06 - Hydrotechnické stavby I - Vypracované otázky
- BR07 - Hydrotechnické stavby II - Vypracované otázky
- BS05 - Vodní hospodářství krajiny II - Vypracované otázky
- CV01 - Ceny ve stavebnictví II - Vypracované otázky
- CV63 - Management stavebního podniku - Vypracované otázky
- CV74 - Integrované systémy managementu - Vypracované otázky
- BL12 - Betonové mosty I - vypracované otázky 1,2,6,7a
- BL12 - Betonové mosty I - vypracované otázky 10a
- BL12 - Betonové mosty I - vypracované otázky 10b
- BL12 - Betonové mosty I - vypracované otázky 11a
- BL12 - Betonové mosty I - vypracované otázky 11b
- BL12 - Betonové mosty I - vypracované otázky 7b
- BL12 - Betonové mosty I - vypracované otázky 9
- BC01 - Stavební chemie - Vypracované otázky ke zkoušce
- CL01 - Předpjatý beton - Vypracované otázky
- BL04 - Vodohospodářské betonové konstrukce - Vypracované otázky
- BD04 - Statika II - VYPRACOVANÉ OTÁZKY
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - Vypracované kontrolní testy ze skript a Autotesty
- BO06 - Dřevěné konstrukce (S) - Vypracované otázky - Ing. Milan Šmak Ph.D.
- BE01 - Geodézie - Vypracované otázky
- BF02 - Mechanika zemin - Vypracované otázky 2012
- BE01 - Geodézie - Vypracované otázky podle skript 2012
- BD02 - Pružnost a pevnost - Vypracované otázky ke zkoušce
- BS02 - Hydrologie - Nejčastější otázky u zkoušky-vypracované
- BC01 - Stavební chemie - vypracované otázky
- BO01 - Konstrukce a dopravní stavby - vypracovane otazky (3 verze)
- BL09 - Betonové konstrukce II - vypracované otázky betonové konstrukce II
- BC01 - Stavební chemie - Vypracované otázky na zkoušku
- BL05 - Betonové konstrukce I - Vypracované příklady
- BF02 - Mechanika zemin - Vypracované otázky Weiglová 2013
- BC01 - Stavební chemie - Chemie - vypracované otázky
- BO01 - Konstrukce a dopravní stavby - Vypracované otázky z dopravy
- BD02 - Pružnost a pevnost - Vypracované testy
- BD03 - Statika I - Statika - vypracované otázky
- BO01 - Konstrukce a dopravní stavby - Dopravní stavby - vypracované otázky
- BD04 - Statika II - Statika II vypracované otázky
- BH08 - Pozemní stavitelství - vypracované otázky z testů
- BL03 - Betonové konstrukce (E) - Vypracované otázky
- BB01 - Fyzika - VYPRACOVANÉ PRÍKLADY ku skúške
- BC01 - Stavební chemie - Kompaktní tahák (vypracované otázky) část 1.
- BE01 - Geodézie - Vypracované otázky
- BB01 - Fyzika - Vypracované upravené otázky
- BE01 - Geodézie - vypracovane_otazky_2016
- CD03 - Pružnost a plasticita - Vypracovane otazky
- BS04 - Vodní hospodářství krajiny I - Vypracované otázky - pedologie 2016
- CD03 - Pružnost a plasticita - vypracované otázky
- BO09 - Kovové mosty I - vypracované otázky
- BN02 - Železniční stavby II - Vypracované otázky
- BC03 - Chemie a technologie vody - vypracovane otazky z chemie vody
- BF02 - Mechanika zemin - Vypracované zkoušky 2016 - Miča
- BC01 - Stavební chemie - Vypracované otázky
- BB01 - Fyzika - Vypracované zkouškové příklady
- BE001 - Geodézie - Vypracované otázky na zkoušku
- BB001 - Fyzika - Vypracované otázky ke zkoušce
- BC001 - Stavební chemie - vypracované otázky
- BD005 - Pružnost a plasticita - vypracované otázky
- BA004 - Matematika 4 - Vypracované skúškové príklady
- BI002 - Zkušebnictví a technologie - Vypracované otázky
- BE001 - Geodézie - Vypracované otázky ke zkoušce
- BW002 - Technologie stavebních prací 2 - Vypracované otázky z prezentací
- BO002 - Prvky kovových konstrukcí - Vypracované otázky
- BR005 - Hydraulika a hydrologie - Vypracované příklady
- BR005 - Hydraulika a hydrologie - Vypracované laborky
- Bl001 - Prvky betonových konstrukcí - Betonové prvky - vypracované otázky
- Bl001 - Prvky betonových konstrukcí - Betonové prvky - vypracované otázky
- BL005 - Betonové konstrukce I - Betony 1 - vypracované otázky.
- BL011 - Předpjatý beton - Vypracované otázky-Panáček
- NDA015 - Pružnost a plasticita - Vypracované otázky ke zkoušce.
- BOA008 - Kovové konstrukce 1 - vypracované otázky 2023
- BFA012 - Základy geotechniky - Zadání zkoušek a vypracované otázky
- BCA001 - Stavební chemie - Nejlepší vypracované otázky
- BI01 - Stavební látky - Příklady pro kombinované studium
- BA02 - Matematika II - Příklady
- BC01 - Stavební chemie - Příklady
- BD01 - Základy stavební mechaniky - Příklady k zápočtu
- BH51 - Počítačová grafika (S) - Zápočtový test - příklady
- BI01 - Stavební látky - Příklady BC
- BI01 - Stavební látky - Příklady cement
- BI01 - Stavební látky - Příklady CI
- BI01 - Stavební látky - Příklady dřevo
- BI01 - Stavební látky - Příklady K1
- BI01 - Stavební látky - Příklady K2
- BI01 - Stavební látky - Příklady M
- BI01 - Stavební látky - Příklady ocel
- BI01 - Stavební látky - Příklady polymery
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - Příklady
- BI01 - Stavební látky - Bk protokol, návod, příklady
- BI01 - Stavební látky - D protokol, návod, příklady
- BI01 - Stavební látky - Ke protokol, návod, příklady
- BI01 - Stavební látky - Kf protokol, návod, příklady
- BI01 - Stavební látky - Km protokol, návod, příklady
- BI01 - Stavební látky - Mz protokol, návod, příklady
- BI01 - Stavební látky - MČ protokol, návod, příklady
- BI01 - Stavební látky - Ok protokol, návod, příklady
- BI01 - Stavební látky - P protokol, návod, příklady
- BB01 - Fyzika - Fyzika příklady
- BD03 - Statika I - Vypočítané příklady
- BF02 - Mechanika zemin - Příklady 1-16
- BF02 - Mechanika zemin - Příklady
- BR51 - Hydraulika a hydrologie (K),(V) - Příklady 2,3
- BB01 - Fyzika - Počítané příklady - kombinované studium
- BB01 - Fyzika - příklady ke zkoušce
- BA06 - Matematika I/1 - zkouškové příklady
- BD03 - Statika I - příklady 1
- BD03 - Statika I - příklady 2
- BD03 - Statika I - příklady 3
- BD03 - Statika I - příklady 4
- BD03 - Statika I - příklady 5
- BD03 - Statika I - příklady 6
- BD03 - Statika I - příklady 7
- BB01 - Fyzika - Fyzika přiklady
- BA06/07 - Matematika - Matematika-spočítané příklady
- BA04 - Matematika III - Řešené příklady
- BC01 - Stavební chemie - Příklady
- BI01 - Stavební látky - Příklady
- 0 - Počítačová grafika - Příklady ke zkoušce
- 0A2 - Matematika (2) - Příklady ke zkoušce
- BO02 - Prvky kovových konstrukcí - Svary - příklady
- BO02 - Prvky kovových konstrukcí - Spoje šroubové a svary - příklady
- BL11 - Předpjatý beton - příklady ke zkoušce
- BD02 - Pružnost a pevnost - Příklady ze skript
- BL03 - Betonové konstrukce (E) - Příklady ke Zmekovi
- BC01 - Stavební chemie - příklady ke ZK
- BD03 - Statika I - Příklady do cvičení
- BL01 - Prvky betonových konstrukcí - Řešené příklady
- BA03 - Deskriptivní geometrie - Zkouškové příklady
- BB01 - Fyzika - vyp. příklady
- BD04 - Statika II - vypočítané zkouškové příklady
- BL11 - Předpjatý beton - příklady
- BL11 - Předpjatý beton - příklady - a
- BL11 - Předpjatý beton - příklady - b
- BL11 - Předpjatý beton - příklady - c
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - příklady ke zkoušce
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - příklady - tahák
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - příklady
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - příklady
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - příklady
- BL01 - Prvky betonových konstrukcí - příklady
- BL01 - Prvky betonových konstrukcí - příklady
- BL07 - Zděné konstrukce (K) - příklady ke zkoušce
- BB01 - Fyzika - vyriešené príklady BB01
- BA02 - Matematika II - příklady
- BA02 - Matematika II - vypočítané příklady
- BD02 - Pružnost a pevnost - přiklady z termínu 21.1.2011
- BL11 - Předpjatý beton - příklady
- BR04 - Hydraulika - Příklady na ZK
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - Spočítané doporučené příklady
- BL01 - Prvky betonových konstrukcí - příklady 2011
- BL01 - Prvky betonových konstrukcí - Příklady na ZK 2010
- BL01 - Prvky betonových konstrukcí - příklady do cvika=př. ke zkoušce
- CV51 - Ekonomická statistika - Příklady
- BL11 - Předpjatý beton - příklady 1
- BD01 - Základy savební mechaniky - zkouška příklady+teorie 2011
- BR51 - Hydraulika a hydrologie (K),(V) - Příklady na zápočet
- BA02 - Matematika II - Trojny integral priklady
- BA02 - Matematika II - Trojny integral priklady
- BA02 - Matematika II - Trojny integral priklady
- BA02 - Matematika II - Trojny integral priklady
- BJ06 - Fyzika stavebních látek - BJ06-Fyzika_stavebnich_latek--M02-Priklady_a_vypocetni_postupy
- BJ06 - Fyzika stavebních látek - BJ06-Fyzika_stavebnich_latek--M02-Priklady_a_vypocetni_postupy
- BA02 - Matematika II - příklady z generátoru
- CL01 - Předpjatý beton - Řešené příklady
- CL01 - Předpjatý beton - Příklady
- CD01 - Stavební mechanika - Příklady
- BB01 - Fyzika - Příklady ke zkoušce 2012 + výpočet
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - příklady
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - příklady1
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - příklady1
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - příklady1
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - příklady
- BB01 - Fyzika - příklady1
- BB01 - Fyzika - chobola příklady
- 0L6 - Zděné konstrukce - příklady
- 0L6 - Zděné konstrukce - příklady1
- 0L6 - Zděné konstrukce - příklady1
- 0D4 - Statika stavebních konstrukcí (2) - příklady
- 0D4 - Statika stavebních konstrukcí (2) - příklady1
- 0D4 - Statika stavebních konstrukcí (2) - příklady1
- 0D4 - Statika stavebních konstrukcí (2) - příklady1
- 0D4 - Statika stavebních konstrukcí (2) - příklady1
- 0D4 - Statika stavebních konstrukcí (2) - příklady1
- 0D4 - Statika stavebních konstrukcí (2) - příklady1
- 0D4 - Statika stavebních konstrukcí (2) - příklady1
- BM01 - Pozemní komunikace I - příklady1
- CV14 - Ekonomické nástroje řízení stavební výroby - příklady-excel
- CL61 - Předpjaté stavební konstrukce - příklady1
- CL61 - Předpjaté stavební konstrukce - příklady1
- BL11 - Předpjatý beton - příklady
- BL11 - Předpjatý beton - příklady deformace
- BF06 - Podzemní stavby - priklady_podzemni_stavby
- BF06 - Podzemní stavby - priklady
- BD01 - Základy stavební mechaniky - Příklady a teorie
- BD01 - Základy stavební mechaniky - zadani zkousky (jen priklady) 25.5.2012
- CA01 - Matematika IV (S) - příklady cv2
- CA01 - Matematika IV (S) - příklady cv3,4
- CA01 - Matematika IV (S) - příklady 5
- CA01 - Matematika IV (S) - příklady 6
- CA01 - Matematika IV (S) - příklady 7
- CA01 - Matematika IV (S) - Příklady 8
- CA01 - Matematika IV (S) - Příklady 8
- CA01 - Matematika IV (S) - Příklady 9
- CA01 - Matematika IV (S) - Příklady 10
- CA01 - Matematika IV (S) - Příklady 11
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - Vypočítané příklady ze cvičebnice
- BR04 - Hydraulika - Domácí příklady
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - tahák na doporučené příklady
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - všechny vypočítané příklady ze cvičebnice
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - priklady ze cvicebnice
- BL11 - Předpjatý beton - Příklady 2014
- BF03 - Zakládání staveb - sešit + vypočítané příklady
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - Příklady k zápočtu
- BR51 - Hydraulika a hydrologie (K),(V) - příklady na zkoušce
- BL01 - Prvky betonových konstrukcí - Vypočítané příklady
- BA02 - Matematika II - Vypočítané příklady
- BD02 - Pružnost a pevnost - Testové příklady
- BL11 - Předpjatý beton - příklady ze zkoušky 2015
- BP02 - Stokování a čištění odpadních vod - Vypočítané příklady
- BA07 - Matematika I/2 - Vypočítané příklady
- BA04 - Matematika III - Příklady na zápočet(2015)- řešení
- BA04 - Matematika III - Řešené příklady ke zkoušce
- BI01 - Stavební látky - ŘEŠENÉ PŘÍKLADY ZE CVIČENÍ
- BF02 - Mechanika zemin - příklady komplet
- BA003 - Matematika 3 - Příklady ke zkoušce - víc na FB
- BI002 - Zkušebnictví a technologie - Zápočtové příklady A
- BI002 - Zkušebnictví a technologie - Zápočtové příklady B
- BI001 - Stavební látky - Vpočítané příklady ze skript + přehled vrorečků ke zkoušce
- Bl001 - Prvky betonových konstrukcí - Příklady ke zkoušce
- BI002 - Zkušebnictví a technologie - příklady a teorie
- BV051 - Pracovní inženýrství - Příklady 9. lekce
- BV051 - Pracovní inženýrství - Příklady 10. lekce
- BL005 - Betonové konstrukce I - Vypracovaná teorie + příklady (2020)
- BLA001 - Prvky betonových konstrukcí - příklady, teorie - zadání plus řešení
- BIA002 - Zkušebnictví a technologie - Příklady, zkušebnictví
- BIA002 - Zkušebnictví a technologie - Příklady Zkušebnictví
Copyright 2024 unium.cz