- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Hromadně přidat materiály
Mocninné funkce, exponenciální funkce a rovnice, logaritmické funkce a rovnice
M - Matematika
Hodnocení materiálu:
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiál5121024 : 64 =
24 . 25 = 29 ( 4+5=92: 2 = 2 (-=
83 = 8 . 8 . 8 =( 256 = 2560,5 =
2. 2.2 = 2 ( .=(2)= 2 (.=
Vidíme, že pro logaritmy platí podobná pravidla jako pro exponenty při počítání s mocninami.
Po zobecnění a dodržení nutných podmínek pro existenci logaritmů (a n(N)dostáváme tyto důležité věty:
1) log a (x.y) = log a x + log a yLogaritmus součinu se rovná součtu logaritmů činitelů.
2) log a (x:y) = log a x - log a yLogaritmus podílu se rovná rozdílu logaritmů dělence a dělitele.
3) log a xn = n. log a xLogaritmus n-té mocniny se rovná n-násobku logaritmu základu mocniny.
4) log a n (x = 1/n . log a xLogaritmus n-té odmocniny se vypočte podílem logaritmu základu
mocniny a čísla n .
Větu 1) je možno rozšířit pro větší počet činitelů, věty 3) a 4) je možno nahradit tvarem log a xb = b. log a x , kde b(R.
Početní výkony s logaritmy čísel jsou tedy „o stupeň nižší“ než početní výkony se samotnými čísly. Dříve hrála tato skutečnost velkou roli při numerických výpočtech. Ještě před několika desítkami let se používalo logaritmických tabulek a logaritmických pravítek .
Logaritmické funkce
Exponenciální funkce přiřazuje exponentu x hodnotu mocniny, naopak logaritmická funkce bude hodnotě mocniny přiřazovat její logaritmus tj. příslušný exponent. Obě funkce jsou „obrácené“ - tzv. inverzní.
Celou situaci si přiblížíme pomocí dobře známých exponenciálních funkcí y = 2x , y = (1/2)x. a funkcí k nim inverzních y = log 2 x , y = log 1/2 x .
Doplňte hodnoty do tabulek a do souřadnicové soustavy sestrojte graf funkce i funkce k ní inverzní. (v prvním případě jednou barvou, v druhém jinou). Všimněte si vztahů mezi grafem funkce a grafem funkce inverzní.
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
2x
x
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
log 2 x
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
(1/2)x
x
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
log1/2xxx
Přejdeme k definici a vlastnostem logaritmické funkce.
Definice: Funkce určená vztahem y = log a x ( a ( 0 ( a ( 1 ( x ( 0 ) se nazývá logaritmická o základu a ( pro a = 10 píšeme stručně y = log x ).
Z definice a z našich předběžných úvah plynou vlastnosti logaritmické funkce:
D = __________________H = ___________________
Graf každé logaritmické funkce prochází bodem [ , ].
Logaritmická funkce je při a ( 1 v celém definičním oboru _________________________.
Logaritmická funkce je při 0 ( a ( 1 v celém definičním oboru ______________________.
Grafy exponenciálních a logaritmických funkcí se stejným základem jsou souměrné podle osy, která půlí úhel mezi kladnou poloosou x a kladnou poloosou y.
Cvičení
Načrtněte grafy odvozených funkcí y = -log 2 x , y = 2.log 2 x , y = log 0,5 x +1, y = -log x + 1 .
Řešení exponenciálních rovnic pomocí logaritmů
Protože logaritmická funkce je v celém definičním oboru stále rostoucí nebo stále klesající, platí, u = v ( log a u = log a v - pokud je zaručena existence logaritmů .
Rovnici tedy můžeme logaritmovat (použít na levou i na pravou stranu logaritmickou funkci - k oběma stranám rovnice připsat zápisy logaritmů ) nebo naopak odlogaritmovat ( tzn. použít na levou i pravou stranu rovnice inverzní funkci exponenciální - zápisy logaritmů vynechat).
Logaritmování nebo odlogaritmování rovnice je tedy rovněž její ekvivalentní úprava ( při dodržení potřebných podmínek).
Nyní už konečně vyřešíme exponenciální rovnici3x = 4( neboli určíme x = log 3 4 ).
_________________________________Rovnici logaritmujeme ( základ a = 10.)
_________________________________Použitím věty 3) o logaritmech převedeme na rovnici lineární.
_________________________________Vydělením výrazem log 3 vypočítáme neznámou.
_________________________________Hodnotu neznámé stanovíme s plnou přesností kalkulátoru.
Zkusme vyřešit ještě podobnou rovnici
7x-1 = 5x+1 .
___________________________________Rovnici logaritmujeme.
___________________________________Podle věty 3) o logaritmech upravíme -nezapomeneme na
závorky u bývalých exponentů
___________________________________Závorky roznásobíme (jaký druh rovnice máme nyní?).
___________________________________Členy s neznámou převedeme na levou stranu rovnice,
neznámou vytkneme.
___________________________________Podle vět 1) a 2) o logaritmech upravíme levou i pravou
stranu rovnice.
___________________________________Vydělením rovnice výrazem log 7/5, vypočítáme x
a stanovíme ho s plnou přesností kalkulátoru.
Logaritmické rovnice
Rovnice, které obsahují logaritmy výrazů s neznámou, nazýváme logaritmické.
K jejich řešení je třeba stanovit podmínky, protože existují jen logaritmy kladných čísel ( funkce y = log a x je definována pouze v intervalu ( 0, ( ) ).
Logaritmické rovnice se zpravidla pokoušíme řešit pomocí vět o logaritmech a v závěrečné fázi často používáme odlogaritmování. Výsledky potom srovnáme s podmínkami a zapíšeme P = _______.
Zkusíme řešit rovnici2. log x + 3. log x – 0,5. log x = 4
K rovnici doplníme podmínku ________________________
Logaritmy na levé straně sečteme,
pak naznačíme vydělení číslem 4,5.
Vydělíme číslem 4,5.
Rovnici odlogaritmujeme (použijeme funkci f(x) = 10x ),
výsledek vypočteme s plnou přesností kalkulátoru.
Vypočtenou hodnotu porovnáme s podmínkou a zapíšeme P =
Řešte jinou rovnici : log (x+2) + log (x+3) = log (2x +6)
Stanovte všechny podmínky, určete podmínku výslednou.
Levou stranu rovnice upravte podle věty 1) o logaritmech.
Odlogaritmujte.
Převeďte všechny členy na levou stranu rovnice,
o jaký druh rovnice jde?
Tuto rovnici vyřešte - napište řešení :
Výsledky porovnejte s podmínkamiP = __________________
Exponenciální a logaritmické nerovnice řešíme nejprve jako rovnice ( viz kvadratické nerovnice ) a potom z vlastností exponenciálních a logaritmických funkcí (rostoucí, klesající ) určíme intervaly řešení nerovnic.
Vloženo: 6.07.2011
Velikost: 130,50 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu M - Matematika
Podobné materiály
- M - Matematika - Mocninné funkce, exponenciální funkce a rovnice, logaritmické funkce a rovnice
- ZSV - Základy společenských věd - Peníze (jejich obecná charakteristika a funkce, typy peněz
- E - Ekonomie - Obchodní banky,funkce,význam
- M - Matematika - Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice
- M - Matematika - Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice
- E - Ekonomie - Obchodní banky,funkce,význam
- LIT - Literatura - Literatura jako druh umění, její funkce, starověká literatura, n
- M - Matematika - Rovnice primky,exponencialni funkce
- M - Matematika - Exponenciální rovnice
- M - Matematika - sbírka - Exponenciální rovnice
- E - Ekonomie - Hypotéza životního cyklu, permanentního důchodu, funkce úspor
- E - Ekonomie - Produkční funkce a poptávka po práci, trh práce a přirozená míra nezaměstnanosti
- IVT - Informatika a výpočetní technika - Logické funkce
- BI - Biologie - První_pomoc_při_bezvědomí_se_zachovalými_životními_funkcemi.doc
- BI - Biologie - Životní funkce a projevy rostlin.doc
- BI - Biologie - Životní funkce buňky
- BI - Biologie - Životní funkce buňky.doc
- CJ - Český jazyk - Společenské funkce žurnalistiky
- E - Ekonomie - Manažerské funkce
- M - Matematika - Limita funkce
- UCE - Účetnictví - Předmět účetnictví, význam a funkce účetnictví, účetní zásady
- PSY - Psychologie - Manažerské funkce a metody
- E - Ekonomie - Peníze, vývoj, funkce
- MKT - Marketing - Manažerské funkce
- UCE - Účetnictví - Podstata a funkce účetnictví
- ZSV - Základy společenských věd - Typy práva, funkce práva, právní vztah, právní stát, morál
- BI - Biologie - Motorické funkce živočichů a člověka
- BI - Biologie - Stavba a funkce rozmnožovací soustavy člověka
- BI - Biologie - Vývoj, stavba a funkce dýchací soustavy
- BI - Biologie - Vývoj, stavba a funkce smyslové soustavy
- BI - Biologie - Vývoj, stavba a funkce trávicí soustavy
- BI - Biologie - Vývoj, stavba a funkce vylučovací soustavy
- LIT - Literatura - Divadlo a jeho společenská funkce(Thám, Klicpera, Tyl)
- LIT - Literatura - Společenská funkce žurnalistiky a výchovná funkce literatu
- BI - Biologie - Životní funkce na úrovni buňky
- ZSV - Základy společenských věd - Právní vztahy Původ, podstata a funkce morálky
- IVT - Informatika a výpočetní technika - Matice, tabelace funkce
- IVT - Informatika a výpočetní technika - Spojnice trendu, tabelace funkce
- CJ - Český jazyk - Společenská funkce divadla
- Z - Zeměpis - Geografie, její předmět a funkce
- BI - Biologie - Funkce a onemocnění trávicí soustavy, trávicí truBIce
- BI - Biologie - Ledviny funkce
- BI - Biologie - Nerespirační funkce dýchací soustavy, onemocnění
- BI - Biologie - Vznik nervového signálu, akční potenciál, integrační funkce
- UCE - Účetnictví - Podstata a význam účetnictví, znaky, funkce
- M - Matematika - Lineární rovnice, nerovnice, funkce
- BI - Biologie - Životní funkce rostlin
- Z - Zeměpis - Obslužná sféra a její funkce
- M - Matematika - Lineární rovnice, nerovnice, funkce
- PSY - Psychologie - Manažerské funkce a metody
- IVT - Informatika a výpočetní technika - Datove typy, procedury a funkce
- Z - Zeměpis - Geografie, její předmět a funkce
- Z - Zeměpis - Obslužná sféra a její funkce
- LIT - Literatura - Nejstarší pamatky svetoveho pisemnictvi, funkce literatury a ume
- MNG - Management - manažerske funkce
- M - Matematika - Logaritmické rovnice
- M - Matematika - Sbírka - Logaritmické rovnice
- Ch - Chemie - Druhák - SÍRA - rovnice
- MM - MATIKA - LINEARNÍ ROVNICE
- 2 - Matematika - Goniometrické rovnice
- 2 - Matematika - Goniometrické rovnice
- M - Matematika - Lineární algebra až diferenciální rovnice
- F - Fyzika - KALORIMETRICKÁ ROVNICE II.doc
- F - Fyzika - KALORIMETRICKÁ ROVNICE.doc
- CH - Chemie - Chemické reakce a rovnice
- M - Matematika - Linearni rovnice s absolutni hodnotou_ parabola, vlastnos
- M - Matematika - Rovnice roviny, kvr a irac. rovnice
- IVT - Informatika a výpočetní technika - Matice, nelineární rovnice Newtonova metoda
- IVT - Informatika a výpočetní technika - Spojnice trendu, linregrese, nelineární rovnice
- M - Matematika - Kvadratické rovnice a nerovnice
- M - Matematika - Exp. rovnice (příklady)
- M - Matematika - Sbírka - Kvadratické rovnice a nerovnice
Copyright 2024 unium.cz