Skripta 2004

vé omezení představ nutně vede k primitivnímu, mechanickému chápání jevů s příslušným vlivem na kvalitu řešených úloh.
Systémový přístup není samostatná vědní disciplina, spíše se v něm (často) intuitivně využívají nejrůznější pomůcky a techniky, které poskytují jiné vědní obory, v nichž je systémový přístup respektován.
Příklad 2.1: Uveďte praktické příklady
systémového přístupu
nesystémového přístupu
studentů nebo učitelů z prostředí podnikatelské fakulty popř. z českého podnikatelského prostředí.
2.2. Systém
Na filosofických kategoriích část a celek lze definovat systém jako souhrn prvků natolik navzájem propojených, že (navenek) vystupují jako jeden celek.
Přes zásadní význam pojmu systém není jeho pojetí u různých autorů jednotné. V práci [ 6 ] je uvedena řada definic systému, které buď vycházejí z kvantitativních charakteristik systému nebo z formálních výrazů, které jsou vybudovány zpravidla na základě teorie množin (viz např. definice Mesaroviče a jiných). Ve formálních definicích je systém zpravidla popsán pomocí kartézských součinů dvou nebo více množin.
Pro naši potřebu vyhoví následující definice:
Systém je (účelově definovaná) množina prvků (objektů) a množina vazeb mezi nimi, která jako celek vykazuje určitou funkci (resp. chování).
Označíme-li množinu prvků P, pak množinu vazeb mezi těmito prvky můžeme označit jako R = (P x P). Systém S je množina S={P,R}, kde P je neprázdná množina prvků a R je neprázdná množina všech vazeb (závislostí) mezi prvky. Prvkem systému rozumíme takovou část systému, která tvoří na dané rozlišovací úrovni nedělitelný celek, jehož strukturu nechceme nebo nemůžeme rozlišit. Tím, že je systém jediným celkem, může sám mít charakter prvku, ale také může sám být součástí nějakého systému. Pojem systém je z tohoto hlediska relativní; systém, který chápeme jako prvek jiného nadřazeného systému, nazýváme subsystémem (podsystémem).
Každý systém můžeme charakterizovat jeho strukturou a chováním. Za strukturu systému budeme považovat množinu prvků a vazeb daného systému. Chováním systému rozumíme způsob jeho reakce na podněty. Chování systému závisí na jeho vlastnostech. Podle vlastností můžeme systémy rozdělit do několika skupin:
- podle vztahu systému k času dělíme systémy na statické systémy (stav systému se v čase nemění) a na systémy dynamické (stav systému se v čase mění).
- podle vztahu mezi chováním systému (stavy systému) a jeho podněty dělíme systémy na deterministické (chování je jednoznačně určeno podněty systému) a stochastické (systém může mít při týchž podnětech více variant chování, a to každou s určitou pravděpodobností).
- podle samotného chování systému rozlišujeme systémy s cílovým chováním, bez cílového chování a adaptivní systémy. Systém s cílovým chováním je systém, který usiluje o dosažení žádaného, cílového stavu. Systém bez cílového chování má chování, které je určeno pouze vnějšími podněty. Adaptivní systém je systém se schopností korigovat (aktualizovat) svoje údaje o svém okolí a na jejich základě upravovat svoje cílové chování.
2.3. Analýza a syntéza
Analýza je metodický postup poznání od celku k částem. Jestliže systém jako celek vykazuje určité chování, pak se toto chování musí dát vysvětlit chováním jeho prvků v dané struktuře. V souboru analytických metod má samostatné postavení
- hodnotová analýza, zaměřená na funkci systému a jeho prvků z hlediska celkové hospodárnosti od konstrukce, přes výrobu až po využívání;
- regresní analýza, umožňuje nacházet závislosti mezi proměnnými systému a zkoumat jejich determinovanost;
- faktorová analýza - zkoumá vliv (váhu) jednotlivých faktorů při ovlivňování studovaných veličin.
Systémová analýza
Je jednou ze systémových disciplín (obecná teorie systémů, systémová analýza, operační analýza a systémové inženýrství).
Systémovou analýzu můžeme popsat jako:
a) metodickou disciplínu, která
- směřuje k poznání systému postupnou dekompozicí (rozkladem) systému na podsystémy až na prvky se známou funkcí a vazebností - zajímá nás struktura a vazby systému,
- je zaměřena na zkoumání chování systému, který je ovlivněn vnějšími podněty za předpokladu, že známe jeho strukturu a chování jednotlivých prvků.
b) disciplínu, která je zaměřena na analýzu řídících a informačních systémů s využitím výpočetní techniky.
Systémová analýza se zaměřuje na poznávání objektivní reality; v našem zkoumání budeme brát zřetel zejména na technicko-ekonomické aspekty poznávání.
Syntéza
Pojem analýza a syntéza lze pochopit v jejich protikladu; rozkládá-li se celek na části, zjišťuje-li se chování celku v závislosti na chování částí, analyzuje se. Provádí-li se výběr částí a vytváří-li se z nich struktura, která má splnit žádané chování, provádí se syntéza systému.
Syntéza systému zahrnuje dvě fáze: výběr prvků pro systém a volbu struktury, kterou budou prvky svými vazbami vytvářet. Syntézou máme vytvořit systém, který jako celek bude splňovat zadanou funkci, jeho chování bude vyhovovat zadaný podmínkám.
2.4. Operační analýza
Operační analýza (často také operační výzkum) - angl. operation research, operational research -pro řešení složitých ekonomických, organizačně-technických nebo vojenských problémů používá matematické modelování a využívá řady speciálních matematických a statistických metod zvaných metody operační analýzy (dále jen OA).
Nejznámější z metod operační analýzy jsou lineární programování, metody síťové analýzy, systémy hromadné obsluhy, teorie zásob, teorie obnovy a další.
Cílem metod OA je hledání optimální varianty (optimálních variant) podle ekonomických či jiných kriterií. OA tedy zahrnuje řadu matematických metod, které mohou usnadnit řídícím pracovníkům rozhodování ve složitých situacích.
OA obohacuje analýzu o účelovou funkci, hodnotící zpravidla ekonomii (úspornost) systému a zahrnuje metody, vedoucí k nalezení optimálního řešení z množiny všech možných řešení při kterém účelová funkce dosáhne své optimální hodnoty; vyjadřuje-li účelová funkce zisk, pak nám půjde o její maximalizaci; vyjadřuje-li účelová funkce náklady spojené s vybraným řešením, pak se budeme snažit o nalezení minimální hodnoty účelové funkce.
V užším slova smyslu tedy získáváme kvantitativní podklady pro rozhodování výkonných orgánů o operacích, které mají řídit. V širším slova smyslu OA slouží k navrhování optimálních systémů, optimálních z hlediska navrženého matematického modelu. OA v podstatě usiluje o stanovení optimálních podmínek průběhu daného procesu v daném systému.
3. Matematické modelování
Model je zjednodušené zobrazení reality, na kterém se dají studovat vlastnosti, které jsou z hlediska studovaného jevu významné.
Dá-li se jev popsat matematickými prostředky, pak vnitřní podobnost jevů z různých oblastí se projevuje právě v tom, že jevy můžeme popsat stejnými matematickými prostředky. Tak např. šíření světla nebo šíření radiových vln se dají popsat v podstatě stejnými rovnicemi jako šíření vln na vodě nebo šíření zvukových či seismických vln. Proto také můžeme jeden z těchto jevů modelovat pomocí druhého. Za model daného jevu můžeme považovat přímo soustavu matematických rovnic nebo nerovností, které daný jev popisují, tj. které popisují vztahy mezi veličinami charakterizujícími daný jev resp. jeho vývoj v čase.
Modelováním rozumíme postup od objektivní reality k modelu. Modelováním na počítačích rozumíme činnost, která obsahuje 3 základní etapy:
1. Formulování matematického popisu originálu - výstavbu modelu.
2. Realizaci matematického projevu na počítači - naprogramování modelu.
3. Experimentování s modelem - opakování řešení úlohy.
Podobě jako systémy, též i modely můžeme klasifikovat podle nejrůznějších hledisek :
1. Podle povahy předpokládaných vztahů mezi veličinami, které charakterizují zkoumaný jev, rozlišujeme modely deterministické a stochastické. U modelů deterministických předpokládáme, že jsou tyto vztahy určité (determinované), tj. že určité hodnotě jedné veličiny ( nebo určitým hodnotám několika veličin) je přiřazena určitá hodnota závislé veličiny. U modelů stochastických předpokládáme, že určité hodnotě jedné veličiny odpovídají různé hodnoty závislé veličiny, ovšem s určitými pravděpodobnostmi.
2. Podle toho zda bereme v úvahu vývoj v čase, či nikoliv, rozlišujeme modely dynamické a statické. U dynamických modelů je explicitně uvedena závislost na čase. U statických modelů předpokládáme, že jevy probíhají na stále stejné úrovni v čase, nebo že jde o jediný jev, odehrávající se v konečném časovém intervalu.
3. Podle stupně agregace zkoumaného předmětu rozlišujeme modely mikroekonomické a makroekonomické. Mikroekonomické modely zobrazují dílčí úseky hospodářství, ať již ve smyslu prostorovém či organizačním (dílna, závod) nebo ve smyslu věcném (spotřeba). Makroekonomické modely zobrazují národní hospodářství v celku nebo jeho velké části (např. modely rozšířené reprodukce).
Matematické modely můžeme klasifikovat podle řady dalších hledisek. Z hlediska čistě formálního - podle povahy použitých matematických prostředků - jsou v praxi velmi důležité lineární modely. U lineárních modelů předpokládáme, že závislosti mezi veličinami, které charakterizují zobrazovaný jev, se dají vyjádřit pomocí lineárních algebraických výrazů (pomocí lineárních rovnic a lineárních nerovností). Velký význam lineárních modelů vyplývá z jejich jednoduchosti.
Příklad 3.1:
- co rozumíte pod pojmy modelování, model?
- popište jednotlivé etapy modelování;
- proveďte klasifikaci modelů podle:
povahy předpokládaných vztahů mezi veličinami, které charakterizují zkoumaný
jev,
b) toho, zda sledujeme závislost zkoumaného.
4. Lineární programování
4.1. Úvod do lineárního programování
Lineární programování (LP) lze chápat zcela obecně jako matematickou metodu pro řešení extremálních úloh, které mají řadu zajímavých ekonomických i technických aplikací.
Postup při praktické aplikaci LP lze rozčlenit do čtyř fází:
a) formulace tzv. ekonomického modelu, tj. výběr a volba problému, jeho zjednodušení a popis "ekonomickou řečí". Ekonomický model má odrážet významné stránky zkoumané reálné problematiky;
b) formulace tzv. matematického modelu, který má být ekvivalentem ekonomického modelu. Jde tedy o vyjádření ekonomického modelu matematickými prostředky;
c) výpočet matematického modelu vhodnou matematickou metodou LP;
d) ekonomická interpretace matematického řešení, převod výsledku předchozí fáze (tj.matematického řešení) zpět do řeči ekonoma.
Popišme nyní podrobněji jednotlivé fáze:
V první fázi se seznamujeme s konkrétními problémy, ujasňujeme si, co vlastně je třeba řešit, jaké kvalitativní charakteristiky popisují zkoumaný problém, jaké podstatné vlivy je nutno brát při řešení v úvahu a které naproti tomu lze opominout. Říkáme, že vytváříme ekonomický model zkoumané problematiky. Tento ekonomický model musí být sestrojován tak, aby ho bylo možno ve druhé fázi popsat matematickými prostředky a dále pak řešit lineárním programováním.
V ekonomickém modelu musí být :
a) vymezeny a popsány tzv. činnosti (aktivity) neboli procesy, které tvoří kostru ekonomického modelu. Jsou to reálné činnosti (nákup určité suroviny, provedení jisté výrobní série, výroba určitého výrobku, atd.), o jejichž úrovni (množství) rozhodujeme,
b) dále popsány činitelé, tj. (výrobní) zdroje (např. suroviny, energie, polotovary, výrobní zařízení atd.), které se spotřebovávají v průběhu hospodářských činností nebo procesů; mluvíme o nich často jako o vstupech těchto činností. Činiteli rozumíme také výsledky neboli výstupy hospodářských činností či procesů (polotovary, výrobky, komplety výrobků, atd.). Pro výrobní zdroje bývají určena množství, která jsou k dispozici, pro výsledky činnosti pak požadovaná množství.
Důležitou součástí ekonomického modelu je soustava tzv. strukturních neboli technických koeficientů, tj. koeficientů, které charakterizují vztah vstup - výstup neboli jednotkovou spotřebu zdrojů resp. jednotkovou produkci výsledků. Jinými slovy - vyjadřují vstupující a vystupující množství činitelů při jednotkové úrovni činnosti. Jestliže v ekonomickém modelu uvažujeme m činitelů, pak každá činnost je obecně popsána m strukturními koeficienty, z nichž některé mohou být nulové. Nulová hodnota strukturního koeficientu znamená, že odpovídající činitel se při této činnosti ani nespotřebovává a ani neprodukuje.
c) uvedeno tzv. kriterium optimality, tj. nějaký významný hospodářský ukazatel (např. výrobní náklady, tržba, zisk, dopravní náklady, atd.), který při řešení daného problému má nabýt maximální nebo minimální možné hodnoty.
Součástí formulace ekonomického modelu je i otázka měření všech veličin modelu. Spotřeba zdrojů a produkce výsledků činnosti mívá jednoduchou dimenzi a měrnou jednotku (např. výrobky v kusech, suroviny v kilogramech, atd.) a podobně i kriterium optimality (např. zisk v Kč, apod.). Úroveň činností či procesů vyjadřujeme buď přímo ve vlastních jednotkách těchto činností (např. počet výrobních sérií, doba průběhu technologického procesu v hodinách či směnách, atp.) nebo často nepřímo pomocí vystupujícího činitele těchto činností, např. v jednotkách produkovaného výrobku (kusy, tuny, atd.). Dimenze strukturních koeficientů je o něco složitější. Tyto koeficienty vyjadřujeme v poměrných jednotkách (spotřebu surovin na výrobek můžeme měřit např. v kg/ks nebo v t surovin/t výrobku, atp.). Opomíjená problematika měření, dimenzí a měrných jednotek se často stává zdrojem zcela elementárních chyb. Proto se k ní ještě na několika místech výkladu vrátíme.
Ve druhé fázi se ekonomický model převádí na matematickou úlohu, tzv. matematický model tohoto typu:
Nalezněte takové řešení

X0 = [ x10, x20, x30, .........., xn0 ] (4.1)

soustavy lineárních rovnic (m < n)

a11 x1 + a12 x2 + ................. + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + .................+ a2n xn = b2
a31 x1 + a32 x2 + .................+ a3n xn = b3
....
....
....
....
am1 x1 + am2 x2 + ................. + amn xn = bm (4.2)
a které vyhovují podmínkám nezápornosti
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
.
.
.
.
.
xn ≥ 0 (4.3)
a maximalizuje, popřípadě minimalizuje lineární formu
z = c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 + ....... + cn xn. (4.4)
Lineární rovnice (4.2) se nazývají vlastní omezení úlohy; forma (4.4) je účelová (kriteriální) funkce.
Matematický model je ekvivalentem ekonomického modelu. Tuto ekvivalenci můžeme chápat tak, že ke každému prvku ekonomického modelu je zcela jednoznačně přiřazen určitý prvek matematického modelu a obráceně. Můžeme tedy psát následující přiřazení:
a) proměnným x1, x2 , ......, xn úrovně hospodářských činností nebo procesů
b) koeficientům a11,., amn, c1 ,.., cn strukturní koeficienty

a tedy vektor a11 první uvažovaná hospodářská činnost
a21
a31
am1

atd.
c) konstanty b1, b2, ...., b m disponibilní množství zdrojů,
d) proměnná z hodnota kriteriálního ukazatele.
Ve třetí fázi probíhá vlastní řešení matematického modelu. Ve čtvrté fázi se pak nalezené řešení matematického modelu interpretuje ekonomicky a formulují se praktické závěry na základě vypočtených výsledků a s přihlédnutím k souvislostem, které nebyly do modelu zahrnuty.
4.2. Formulace matematického modelu
Tato kapitola je věnována druhé fázi aplikace LP - převodu zjednodušeného ekonomického problému na matematickou úlohu, převodu ekonomického modelu na matematický model. Předpokládáme tedy, že celá velmi obtížná a na zkušenosti a vědomosti náročná část práce, spojená obvykle s rozsáhlým sběrem a zpracováním statistického materiálu - formulace ekonomického modelu - byla úspěšně dokončena. Jednoduché verze ekonomických modelů jsou uvedeny v následujících příkladech. Úkolem studenta je převést příklad na matematický model a formulovat odpovídající matematický model. U prvního příkladu je podrobně uveden a vysvětlen celý postup, další modely si vytvoří studenti sami v rámci cvičení.
Při formulaci matematické úlohy se používá několika základních typických obratů, postupů, které student musí bezpečně zvládnout a jejichž znalosti mu umožní, aby je dále obměňoval, komponoval a rozvíjel. Tyto obraty jsou obsaženy v několika typických úlohách, které mají svůj název jako je např. rozmísťovací úloha (alokační problém), nutriční problém, dopravní problém, přiřazovací problém, atd.
V těchto skriptech probereme pouze relativně jednoduché, nepříliš rozsáhlé příklady. Všeobecně však lze říci, že reálné praktické příklady se od našich většinou liší pouze kvantitativně, v počtu činností a činitelů. Lze tedy očekávat, že student, který promyslel a zvládl zde uvedené příklady, nenarazí při formulaci matematického modelu velkého praktického příkladu na nepřekonatelné překážky.
Při formulaci matematického modelu je výhodné zachovat tento postup:
1. Rozebrat ekonomický problém, uvědomit si, co jsou činnosti (procesy) modelu, co jsou zdroje - činitele vstupující do činnosti, co výsledky - činitelé vystupující z činností a konečně, co je kriterium optimality v modelu.
2. Stanovit proměnné, jejich přesný věcný význam, dimenzi a měrnou jednotku.
3. Vyjádřit lineárními rovnicemi nebo nerovnostmi omezení úlohy v činitelích. Na pravé straně rovnice nebo nerovnosti stojí omezené disponibilní množství vstupujícího činitele nebo požadované množství vystupujícího činitele. Na levé straně pak je buď potřebné množství vstupujícího nebo produkovaného množství vystupujícího činitele, v obou případech vyjádřeno jako lineární funkce proměnných úlohy.
4. Vyjádřit zvolené kriterium optimality jako lineární formu proměnných úlohy.
Příklad 4.1: Problém stanovení optimálního výrobního programu.
Firma vyrábí 5 druhů výrobků. Spotřebovává 3 základní suroviny S1, S2, S3, jež jsou k dispozici v omezených množstvích 1 500 kg, 300 kg a 450 kg na den. Kapacita strojového zařízení je dostatečná, stejně tak energie, pracovní síly. Další zdroje jsou k dispozici v dostatečném množství. Spotřeba surovin na výrobky je uvedena v tabulce 1. Odbytové ceny v Kč/1 kg jsou:
V1..........20,- V3.............100,- V5........... 40,-
V2.........120,- V4.............140,-
Stanovte denní výrobní program tak, aby hodnota výroby (v Kč) byla maximální.
Surovina
Výrobek
V1
V2
V3
V4
V5
S1
-
0,4
0,3
0,6
0,6
S2
0,05
0,2
0,1
0,1
-
S3
0,1
0,2
0,2
0,1
0,2
Tab.4.1 Koeficienty spotřeby surovin v kg na 1 kg výrobku.
Postup:
Rozebereme si problém. Do výroby vstupují 3 suroviny (vstupující činitelé, zdroje) a vystupuje z ní 5 výrobků (vystupující činitelé - výsledky). Výrobky jsou vyráběny na sobě nezávisle, výroba jednoho není technologicky vázána na výrobu druhého. Výroba se uskutečňuje ve formě pěti do jisté míry izolovaných výrobních procesů, které definujeme tímto způsobem:
1) výrobní proces = výroba výrobku V1

atd.
5) výrobní proces = výroba výrobku V5
Úroveň procesů pak můžeme měřit množstvím vystupujícího činitele, tj. vyrobených výrobků. T