Úvod do mechaniky

1

ÚVOD DO MECHANIKY


Mechanika je část fyziky, která se zabývá popisem mechanického pohybu těles a jeho
příčinami. Mechanickým pohybem přitom rozumíme změnu vzájemné polohy těles v prostoru
a v čase.
Klasická mechanika (zkoumá pohyby, jejichž rychlosti jsou daleko menší než je
rychlost světla) se podle toho, co nás na pohybu nejvíce zajímá, dělí na
1. kinematiku (zabývá se průběhem pohybu těles v závislosti na čase a tvarem dráhy,
příčiny pohybu však nezkoumá),
2. dynamiku (zkoumá příčiny vzniku pohybu a změny pohybového stavu),
3. statiku (studuje podmínky, které je potřeba dodržet, aby těleso zůstávalo trvale v klidu).


1 Kinematika hmotného bodu
Ve fyzice často studujeme reálná tělesa pomocí modelů, které odpovídají svému
originálu vždy jen do určitého stupně. Každému modelu chybí řada vlastností a činností, které
má originál. Vtipně to vystihuje věta: Nejlepším modelem kočky je jiná nebo ještě lépe tatáž
kočka. Předností modelu je však právě to, že je oproštěn od řady nepodstatných vlastností
a podrobností a umožňuje pohodlnější zkoumání.
Jedním z modelů v mechanice je hmotný bod. Reálné těleso lze nahradit hmotným
bodem, jestliže:
• rozměry tělesa můžeme zanedbat vzhledem k velikosti uražené dráhy při jeho pohybu,
• těleso nerotuje,
• těleso nepodléhá deformaci (nebo deformace je zanedbatelná).
Základními veličinami kinematiky, které plně vystihují pohybový stav hmotného bodu,
jsou poloha, rychlost, zrychlení.

Otázka 1
Které z uvedených těles můžeme považovat za hmotný bod?
Míč v rukou brankáře, rotující disk, závodník běžící maratón, umělá družice Země, kola
jedoucího automobilu, kámen vržený prakem vodorovným směrem.
2
1.1 Poloha, polohový vektor
Stav pohybu nebo klidu je vždy relativní. Např. řidič jedoucí v autě je vůči samotnému
automobilu v klidu, vůči vozovce se však pohybuje (spolu s autem). Je nutno tedy
jednoznačně označit těleso, vůči kterému určujeme klid nebo pohyb. Takové těleso (nebo
soustava těles) se nazývá vztažná soustava. V běžných podmínkách volíme za vztažnou
soustavu povrch Země nebo těleso s ní pevně spojené (budova, silnice, místnost, kopec, řeku
atd.).
Vztažná soustava nemusí být vždy reálné těleso. Vhodnou (a velmi používanou)
soustavou je systém tří kolmých přímek x, y, z, jež se protínají v bodě O a umožňují určit
polohu bodu v prostoru trojicí čísel, tzv. souřadnic. Tato souřadnicová soustava se nazývá
kartézská soustava souřadnic.
ak
z
ai
x
a
a j
y
x
y
z
α
β
γ
O

a) b)
Obr.1 a) Vektor a
r
v kartézské soustavě souřadnic O, x, y, z. b) jednotkové vektory kji
rrr
,, ,
které určují kladný směr souřadnicových os x, y, z. Jednotkové vektory kji
r
rr
,, jsou
pevné, nezávisejí na čase.

Polohu hmotného bodu tak můžeme v každém časovém okamžiku určit polohovým
vektorem
ktzjtyitxtr
r
rr
r
)()()()( ++= .
(1)
Jeho začátek je pevně spojen s počátkem souřadnicové soustavy O a konec je v každém
okamžiku spojen s hmotným bodem, jemuž určujeme polohu. Může se natáhnout na
neomezenou délku. Složky )(),(),( tztytx polohového vektoru r
r
se nazývají pohybové
funkce nebo parametrické funkce (parametrem je zde čas t). Pokud je jasné, že popisujeme
pohyb hmotného bodu, nemusíme čas t v rovnici (1) psát.
Velikost polohového vektoru je dána vztahem
222
zyxr ++=
r
. (2)
Jestliže se tedy alespoň jedna ze souřadnic v rovnici (1) mění s časem, koná hmotný bod
mechanický pohyb. Jednotlivé polohy bodu tvoří souvislou čáru (křivku), kterou nazýváme
3
2 4 x
y



0
2
4
6
trajektorií pohybu. Hmotný bod může samozřejmě tím samým bodem projít postupně
vícekrát (například automobil při závodech). Soubor všech poloh, kterými bod při pohybu
prošel, vytváří dráhu hmotného bodu (tvar trajektorie) – obvykle ji značíme ∆s. Pokud by
již zmíněný automobil závodil na pravidelném okruhu, dráha by tvořila např. kružnice). Tvar
trajektorie obdržíme z pohybových funkcí vyloučením času t.


Jak jsme se již zmínili, popis pohybu
a tedy i tvar trajektorie závisí na souřadnicové
soustavě. Představme si jedoucí vlak, ve
kterém jeden z cestujících pustí na zem míček.
V soustavě spojené s vagónem bude
tvarem trajektorie přímka kolmá k podlaze
vagónu (na obr. 2 červené míčky).
V soustavě spojené se zemí
(a s kolejemi) bude tvarem trajektorie parabola
(žluté míčky), neboť vagón se spolu s celým
vlakem posune za dobu pádu míčku ve
vodorovném směru doleva (obr. 2).


Obr. 2 K relativnosti pohybu

Příklad 1
Polohový vektor tělesa v pohybu je dán vztahem jtittr
rr
r
)4,5()2,46,3()( ++= [SI]
1
.
Určete tvar trajektorie.
Řešení:
Pohyb se děje v rovině xy. Složky polohového vektoru jsou
2,46,3 += tx (1)
ty 4,5= (2)
Z rovnice (1) vyjádříme čas:
6,3
2,4−
=
x
t
a dosadíme do rovnice (2).
Po úpravě obdržíme:
3,65,1 −= xy .

To je rovnice přímky, jejíž směrnice je 1,5;
úsek na ose y je –6,3 m.

1
Symbol [SI] znamená, že jednotky všech veličin patří do soustavy jednotek SI

4

1.2 Rychlost
Okamžitou rychlost v
r
v bodě P definujeme jako derivaci polohového vektoru r
r

podle času t.
t
r
v
d
d
r
r
= .
(3)
Okamžitá rychlost je vektor, musíme se tedy zabývat jak jeho směrem, tak jeho
velikostí.
Podívejme se na věc blíže. Při pohybu se hmotný bod v určitém čase t nachází v bodě P
(obr. 3 a). Jeho polohový vektor je r
r
. Za malý časový úsek se hmotný bod posune do bodu,
jehož polohový vektor je r
r
′. Rozdíl těchto dvou vektorů se nazývá vektor posunutí:

rrr
rrr
−′=∆ . (4)

a) b)
Obr. 3 Vektor okamžité rychlosti
Z obrázku je patrné, že vektor posunutí je sečnou trajektorie, zatímco část dráhy (∆s) je
délka příslušného oblouku. Je zřejmé, že rs
r
∆>∆ . Čím menší však bude časový úsek ∆t, tím
více se bude druhý bod blížit k bodu P a sečna r
r
∆ přechází v tečnu k trajektorii.
Infinitezimální veličinu
2
0→∆t označíme dt a příslušný vektor posunutí označíme r
r
d.
Označíme-li jednotkový vektor ve směru tečném k trajektorii jako
0
τ
r
, můžeme psát
0
dd τ
rr
sr = .
Z rovnice (3) plyne, že vektor okamžité rychlosti v
r
má stejný směr a orientaci jako
vektor r
r
d , což značíme rv
rr
d↑↑ . Má tedy směr tečny k trajektorii.

Pro velmi malý časový interval dt je uražená dráha rovna velikosti vektoru posunutí:
ds = dr. Podíl
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
t
s
t
r
d
d
d
d
představuje dráhu, kterou hmotný bod urazil za jednotku času.

2
Nekonečně malou veličinu. Infinitezimalita = nekonečno
5

Vektor okamžité rychlosti v
r
daný vztahem (3) má v každém čase t směr tečny
k trajektorii a jeho velikost má význam dráhy uražené za jednotku času. Vektor okamžité
rychlosti představuje tedy okamžitou charakteristiku pohybu.
Dosadíme-li za vektor r
r
jeho složkové vyjádření (1), pak
() kvjvivk
t
z
j
t
y
i
t
x
kzjyix
t
v
zyx
r
rr
r
rr
r
rr
r
++=++=++=
d
d
d
d
d
d
d
d
(5)
Složky vektoru v
r
jsou dány trojicí vztahů
t
x
v
x
d
d
= ,
t
y
v
y
d
d
= ,
t
z
v
z
d
d
=
(6)

Velikost okamžité rychlosti je
222
zyx
vvvv ++=
r
(7)

Jednotkou rychlosti v soustavě SI je metr za sekundu (m.s
-1
).

Poznámka:
Derivace funkce je určena sklonem křivky (grafu funkce) v daném bodě. Přesněji
vyjádřeno: derivace je rovna směrnici tečny ke křivce v tomto bodě.

Obr. 4 Derivace křivky v libovolném bodě je směrnicí tečny v tomto bodě. Směrnice tečny
(a tedy i okamžitá rychlost
t
x
v
x
d
d
= v čase t =1,0 s je
11
m.s1,2m.s
5,1
2,3
−−
+==
∆
∆
t
x
.

6
Podle rovnice (6) je tato směrnice rovna rychlosti částice v okamžiku t = 1 s.
Kdybychom změnili měřítko na některé souřadnicové ose, změnil by se sice jak tvar křivky,
tak velikost úhlu θ, ale rychlost určená popsaným způsobem by byla stejná. Známe-li ovšem
matematické vyjádření funkce x(t), je vhodnější stanovit rychlost částice přímo, výpočtem její
derivace. Grafická metoda je pouze přibližná.

Vztah (3) můžeme zapsat také ve tvaru
00
d
d
d
d
ττ
rr
r
r
v
t
s
t
r
v === ,
(8)
kde v je velikost okamžité rychlosti.

Jestliže se během pohybu nemění velikost rychlosti, jedná se o pohyb rovnoměrný.
Pokud se nemění směr rychlosti, pohyb se nazývá přímočarý.


Příklad 2
Poloha elektronu je dána vztahem kjtitr
rrr
r
0,20,40,3
2
+−= . a) Určete časovou
závislost rychlosti elektronu v
r
(t). b) Jakou rychlost má elektron v okamžiku t = 2,0 s?
Výsledek zapište pomocí jednotkových vektorů. c) Určete velikost rychlosti v tomto
okamžiku.

Řešení:
a) Časovou závislost rychlosti elektronu v
r
(t) získáme derivací polohového vektoru r
r

()
112
m.s)0,80,3(m.s)0,20,40,3(
d
d
−−
−=+−= jtikjtit
t
tv
rr
r
rr
r

b) V čase t = 2 s má elektron rychlost
1
)2(
m.s)0,160,3()0,20,8(0,3
−
=
−=⋅−= jijiv
t
rrrr
r
.
c) Velikost rychlosti elektronu v čase t = 2 s
12222
m.s160,160,3
−
=+=+==
yx
vvvv
r



Při pohybu po trajektorii se hmotný bod nachází v bodě A trajektorie v čase t
A
, v bodě
B v čase t
B
. Délku dráhy mezi body A a B označme s∆ . Velikost průměrné rychlosti v
hmotného bodu na části trajektorie mezi body A a B pak definujeme jako podíl velikosti
dráhy s∆ mezi body A, B a času
AB
ttt −=∆ , který potřeboval k uražení této dráhy:
t
s
v
∆
∆
= .
(9)
7
Příklad 3
Vozidlo projíždí , mezi dvěma místy cestou tam rychlostí
1
1
km.h12
−
=v a cestou zpět
po stejné dráze rychlostí
1
1
km.h8
−
=v . Jak velká je jeho průměrná rychlost na celé trase?
Řešení:
Cestou tam urazil hmotný bod dráhu
s rychlostí v
1
za čas t
1
:
1
111
v
s
ttvs =⇒= ,
cestou zpět tutéž dráhu s rychlostí v
2
za čas t
2
:
2
222
v
s
ttvs =⇒= .
Průměrnou rychlost na celé trase určíme podílem celé dráhy (tedy 2s) a celého času
(tedy
21
tt + )
21
22
21 v
s
v
s
s
tt
s
v
+
=
+
= .

Po matematických úpravách obdržíme pro průměrnou rychlost vztah
21
21
2
vv
vv
v
+
= .
Číselně
11
km.h6,9km.h
812
8.12.2
−−
=