Úvod do mechaniky

+
=v
Poznámka: je nutno zdůraznit, že správný výsledek neobdržíme, pokud bychom vypočítali
průměr z obou průměrných rychlostí, což by bylo:
1121
km.h10km.h
2
812
2
−−
=
+
=
+
=
vv
v .
Musíme důsledně dělit celou dráhu celým časem.

Otázka 2
Graf znázorňuje závislost dráhy tělesa na čase. V okamžiku t = 2 s mělo těleso rychlost
s (m)
a) 4 m/s 2
b) 2 m/s
c) 1 m/s 1
d) 0,5 m/s
0 1 2 t (s)

v
2
v
1
A s B
8
1.3 Zrychlení
Polohový vektor )(tr
r
je funkcí času, obecně i rychlost )(tv
r
je funkcí času.
Charakteristikou změny rychlosti v
r
je vektorová veličina zrychlení a
r
. Je definována jako
derivace vektoru rychlosti podle času.
2
2
d
d
d
d
t
r
t
v
a
rr
r
== .
(10)
Dosadíme za vektor rychlosti vztahy (5) a (6) a složky zrychlení označíme
zyx
aaa ,,
kajaiak
t
v
j
t
v
i
t
v
kvjviv
t
a
zyx
z
y
x
zyx
r
rr
r
rr
r
rr
r
++=++=++=
d
d
d
d
d
d
)(
d
d
. (11)
Složky vektoru zrychlení jsou pak
2
2
d
d
d
d
t
x
t
v
a
x
x
== ,
2
2
d
d
d
d
t
y
t
v
a
y
y
== ,
2
2
d
d
d
d
t
z
t
v
a
z
z
== .
(12)
Velikost okamžitého zrychlení je dána výrazem
222
zyx
aaaa ++=
r
. (13)
Jednotkou zrychlení v soustavě SI je metr za sekundu na druhou (m.s
-2
).

Pohyb, pro který je velikost zrychlení na čase nezávislá, a = konst., se nazývá
rovnoměrně zrychlený. Mění-li se velikost zrychlení s časem, jde o pohyb nerovnoměrný.


1.4 Přímočaré pohyby
Pokud těleso (hmotný bod) v průběhu pohybu nemění svůj směr rychlosti (a zrychlení),
trajektorií je přímka. Takový pohyb nazývá přímočarý.
Přestože jsou veličiny polohový vektor r
r
, rychlost v
r
a zrychlení a
r
vektorovými
veličinami, u přímočarých pohybů postačí určit kladný směr jedné ze souřadnicových os
(např. x), kterou ztotožníme se směrem pohybu a dále již můžeme počítat s velikostmi veličin.

Obr. 5 Kladným směrem osy x rozumíme směr, ve kterém souřadnice roste, opačný směr je
záporný
9
Pohyb je pak popsán vztahy
,)()( itxtr
r
r
= i
t
x
v
r
r
d
d
= , i
t
x
a
r
r
2
2
d
d
=
(14)

Pohyb rovnoměrně zrychlený přímočarý
Přímočarý rovnoměrně zrychlený je takový pohyb, pro který je velikost zrychlení
konstantní a = konst. Jeho směr ztotožníme s osou x. Pak platí
iaa
x
r
r
= , .konsta
x
=
(15)
Podle (11) je
tav
t
v
a
xx
x
x
dd
d
d
=⇒=
(16)
Integrací obou stran rovnice (16) dostáváme
∫∫
= tav
xx
dd .
(17)
Zrychlení je konstantní, takže je můžeme vytknout před integrál a píšeme
∫∫
= tav
xx
dd.
(18)
Oba integrály jsou neurčité, integrační konstanty můžeme sdružit v jednu a dostaneme
Ctav
xx
+= .
(19)
Integrační konstantu C určíme z počáteční podmínky pro rychlost částice: v okamžiku t = 0 je
rychlost
CCatv
xx
=+== 0.)0( .
(20)
Integrační konstanta má tedy velikost počáteční rychlosti hmotného bodu. Po dosazení
do vztahu (19) obdržíme vztah pro rychlost rovnoměrně zrychleného pohybu ve směru osy x:
xxx
vtav
0
+=
(21)
Analogicky postupujeme při hledání vztahu pro polohu hmotného bodu na ose x
v libovolném čase.
tvx
t
x
v
xx
dd,
d
d
==
(22)
Odtud
∫∫
=′==′++=+==
00
2
0
)0(,
2
1
d)(d xCtxCtvtatvtatvx
xxxxx
.
(23)

10
Pohybová rovnice má pak známý tvar
00
2
2
1
xtvtax
xx
++=
(24)
Poznámka:
Má-li zrychlení směr opačný než rychlost va
rr
↑↓ , těleso bude zpomalovat. Vzhledem
k tomu, že většinou orientujeme souřadnicovou osu kladně ve směru rychlosti, zrychlení bude
mít v tomto případě záporné znaménko.

Otázka 3
Za první sekundu pohybu urazilo těleso dráhu 1 m, za druhou sekundu 2 m, za třetí
sekundu 3 m. Jakým pohybem se těleso pohybovalo?
a) rovnoměrným
b) s rovnoměrně se zvětšující rychlostí
c) rovnoměrně zrychleným
d) nerovnoměrným

Pohyb rovnoměrný přímočarý
Je-li zrychlení 0
r
r
=a , obdržíme ze vztahů (21) a (24)
000
,,0 xtvxvva
xxxx
+===
(25)


Příklad 4
Těleso koná přímočarý pohyb s konstantním zrychlením a = 0,06 m.s
-2
. V čase t = 0 se
nachází ve vzdálenosti m5,0
0
=x od počátku souřadnicové osy x. V čase st 4
1
= je jeho
rychlost 0
1
=v . a) Určete funkci, která vyjadřuje závislost rychlosti na čase. Stanovte
b) polohu tělesa
2
x v čase st 10
2
= a c) průměrnou rychlost tělesa v intervalu od
1
t do
2
t .
Řešení:
a = 0,06 m.s
-2
; platí: (1) pro 0
0
=t je m5,0
0
=x ; (2) pro st 4
1
= je 0
1
=v ;
a) ?)( =tv ; b) ?
2
=x pro s10
2
=t ; c) ?=v pro
21
, ttt ∈

a) Okamžité zrychlení je definováno vztahem
∫
=⇒= tav
t
v
a d
d
d
. Zrychlení je konstantní, takže pro rychlost dostáváme
β+= atv . Konstantu β určíme z podmínky (2):
1
m.s24,04.06,00
−
−=⇒+= ββ .
11

Hledaná funkce má tedy vyjádření
[]SI24,006,0 −= tv
b) Abychom mohli určit polohu tělesa v čase s10
2
=t , musíme nejprve funkci )(tx . Platí
∫∫
+==⇒= tattvx
t
x
v d)(d
d
d
β .
Odtud
0
2
2
1
xtatx ++= β . Konstantu
0
x určíme z podmínky (1).
Pro trajektorii pak máme rovnici
[]SI5,024,003,0
2
+−= ttx . (26)
Hledaná poloha v čase s10
2
=t je pak
m1,1m)5,010.24,010.03,0(
2
2
=+−=x
c)
12
12
tt
xx
t
x
v
−
−
=
∆
∆
= . (27)
Ze vztahu (26) musíme určit hodnotu
1
x v čase s4
1
=t :
m02,0m5,04.24,04.03,0
2
1
=+−=x . Po dosazení do (27) zjistíme průměrnou
rychlost v zadaném časovém intervalu:
11
m.s18,0m.s
410
02,01,1
−−
=
−
−
=v
Jak se vlastně těleso pohybuje?
Startuje z polohy 0,5 m od počátku souřadnicové soustavy. Počáteční rychlost tělesa je
záporná, a přestože zrychlení je kladné, těleso se vrací (zpomaleně) k bodu 0. Za 4 sekundy se
zastaví ( 0
1
=v) těsně před počátkem souřadnicové soustavy v poloze 0,02 m. Od tohoto
okamžiku se pohybuje rovnoměrně zrychleným pohybem v kladném směru osy x.

Úloha 1
Řidič motorky, který jel rychlostí 21,6 km.h
-1
, začal zrychlovat a po projetí 54 m dosáhl
rychlosti 108 km.h
-1
. Jaké bylo zrychlení motorky jestliže předpokládáme, že jeho pohyb byl
rovnoměrně zrychlený?


12

Úloha 2
Elektron s počáteční rychlostí 1,50.10
5
m.s
-1

je v úseku své trajektorie dlouhém 1,0 cm
urychlován elektrickým polem . V okamžiku, kdy
pole opouští, má rychlost 5,70.10
6
m.s
-1
. Určete
jeho průměrné zrychlení v poli. (Zadání úlohy
odpovídá reálné situaci v elektronových tryskách
používaných v televizních obrazovkách a
osciloskopech.)




1.5 Křivočaré pohyby – tečné a normálové zrychlení
Pohyby hmotného bodu v nejobecnější podobě jsou nerovnoměrné, křivočaré a rychlost
i zrychlení mění svoji velikost i směr.
Obr. 6 Oskulační kružnice trajektorie při křivočarém pohybu a přirozené směry pohybu
Kružnice k, která svou částí mezi body A a B přiléhá k trajektorii se nazývá oskulační
kružnice. Její poloměr je roven zakřivení trajektorie na tomto úseku (čím blíže jsou body A
a B, tím je tato aproximace
3
přesnější).
Oskulační kružnice určuje ve své rovině dva směry: směr tečný k oskulační kružnici
(a zároveň k trajektorii v tomto bodě) a směr normálový do středu křivosti S. Jednotkové
(směrové) vektory v tečném a normálovém směru značíme
0
τ
r
a
0
n
r
. Třetí jednotkový vektor,
který s nimi tvoří pravotočivou pravoúhlou soustavu, se nazývá binormálový a značí
0
b
r
.

Směry tečný, normálový a binormálový nazýváme přirozené směry pohybu.

3
aproximace = přibližnost

0
n
r
0
τ
r
kružnice k
B
A
S
13
Složky rychlosti v
r
a zrychlení a
r
do těchto směrů pohybů získáme tak, že příslušné
vektory vyjádříme pomocí směrových vektorů
0
τ
r
,
0
n
r
a
0
b
r
.
Na rozdíl od směrových vektorů kartézské soustavy souřadnic kji
r
rr
,, , které jsou v čase
neměnné (a funkcemi času jsou při rozkladu vektoru pouze jeho složky), jsou při rozkladu
vektorů do přirozených směrů pohybu časově závislé jak složky vektorů, tak jednotkové
vektory
0
τ
r
,
0
n
r
a
0
b
r
.
Rychlost v
r
má při jakémkoliv pohybu vždy směr tečný (8), takže
0
τ
rr
vv =
Z definice zrychlení platí
)(
d
d
d
d
0
τ
r
r
r
v
tt
v
a == .
(28)
Při obecném pohybu je jak v, tak
0
τ
r
funkcí času. Musíme tedy (28) derivovat jako
součin funkcí. Pak
t
v
t
v
v
t
a
d
d
d
d
)(
d
d
0
00
τ
ττ
r
rrr
+== .
(29)
1. člen rovnice (29) má směr tečny. Jaký směr má 2. člen? Z výsledku příkladu 2
v části Skaláry a vektory plyne, že
0
τ
r
⊥
td
d
0
τ
r
. Vektor kolmý k
0
τ
r
je vektor
0
n
r
(jednotkový
vektor ve směru normály). 2. člen míří tedy do středu křivosti trajektorie.
Vztah (29) můžeme přepsat do tvaru
0
0
0
d
d
d
d
n
t
v
t
v
a
r
r
rr
τ
τ += .
(30)
Směry složek zrychlení jsou tedy určeny. Podívejme se nyní, jakou mají oba členy
velikost. Bez odvození zde uvedeme velikost výrazu v 2. členu:
R
v
t
=
d
d
0
τ
r
. Pro zrychlení pak
dostáváme
000
2
0
d
d
naan
R
v
t
v
a
nt
rrrrr
+=+= ττ ,
(31)
kde
R
v
a
t
v
a
nt
2
,
d
d
== .
(32)
Velikost zrychlení je
22
nt
aaaa +==
r
. (33)

14
Shrnutí:
• Okamžitá rychlost má vždy směr tečný k trajektorii.
• Tečná složka zrychlení
t
a
r
určuje změnu velikosti rychlosti za jednotku času.
• Normálová složka zrychlení
n
a
r
závisí na poloměru křivosti dráhy ⇒ souvisí se
změnou směru pohybu. 0≥
n
a
r
a směřuje do středu křivosti trajektorie, takže
i celkové zrychlení při křivočarém pohybu směřuje dovnitř zakřivení trajektorie.

Je-li kř