Úvod do mechaniky

ivočarý pohyb rovnoměrný (v = konst.), je 0
d
d
==
t
v
a
t
.
Vektor zrychlení může mít jen složku
n
a .

U pohybu přímočarého je poloměr křivosti ∞→R a 0
2
==
R
v
a
n
.
Vektor zrychlení pak může mít jen složku tečnou, tj. ve směru pohybu.


1.6 Pohyb po kružnici
Při pohybu kruhovém můžeme popsat dráhu, kterou urazil hmotný bod při pohybu
z bodu A do bodu B buď délkou oblouku )(ts nebo tzv. úhlovou dráhou )(tϕ . Je to velikost
úhlu ϕ , o který se otočil průvodič při pohybu z bodu A do bodu B.
Obr. 7 Pohyb po kružnici
Délka oblouku je úměrná úhlu otočení, platí
Rs ϕ= .
(34)
Úhel )(tϕ je tzv. úhlová dráha, její jednotkou je radián (rad). Úhlu
o
360 odpovídá 2π
radiánů.

B
A
s
R
S
n
a
r
v
r
t
a
r
a
r
ϕ
15
Kromě obvodové rychlosti je výhodné zavést také úhlovou rychlost ω , jež je mírou
časové změny úhlu ϕ Úhlová rychlost je tedy definována vztahem
td
dϕ
ω = .
(35)
Dosadíme-li do definičního vztahu (35) vyjádření úhlu (34), obdržíme pro úhlovou
rychlost vztah
R
v
R
s
tt
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
==
d
d
d
dϕ
ω .
(36)
Jednotkou úhlové rychlosti je radián za sekundu (rad.s
-1
).
Analogicky k obvodovým veličinám definujeme také úhlové zrychlení ε jako míru
změny úhlové rychlosti za jednotku času:
2
2
d
d
d
d
t
t
ϕω
ε == .
(37)
Dosazením z (36) dostaneme
R
a
R
v
t
t
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
d
d
ε .
(38)
Jednotkou úhlového zrychlení je radián za sekundu na druhou (rad.s
-2
).
4

V následující tabulce 1 jsou uvedeny vztahy pro základní kinematické veličiny jak
obvodové, tak úhlové a vztah mezi nimi. Kromě tečného zrychlení je uveden také vztah pro
normálové zrychlení.

Úhlové veličiny Obvodové veličiny Vztah mezi nimi
Dráha )(tϕ )(ts Rs ϕ=
Rychlost
t
t
d
d
)(
ϕ
ω =
t
s
tv
d
d
)( =
Rv ω=
Zrychlení
t
t
d
d
)(
ω
ε =
t
v
ta
t
d
d
)( =
Ra
t
ε=

R
R
v
a
n
2
2
ω==
Tab. 1


4
Radián je bezrozměrná jednotka (nelze jej vyjádřit pomocí základních jednotek), takže jej mnohdy ani
nepíšeme. Chceme-li tedy psát „úhel je 2π rad“, stačí napsat „úhel je 2π“. Obdobně u úhlové rychlosti nemusíme
psát „úhlová rychlost je 20 rad.s
-1
“, stačí „úhlová rychlost je 20 s
-1
“.
16
1.6.1 Rovnoměrný pohyb po kružnici
Pokud se úhlová rychlost v průběhu pohybu nemění ( .konst=ω ), jedná se
o rovnoměrný pohyb po kružnici.








Obr. 8 Rovnoměrný pohyb po kružnici
Při tomto pohybu se nemění velikost obvodové rychlosti. To ovšem neznamená, že
0
r
r
=v . Rychlost má v každém bodě trajektorie směr tečny (to jsme si již odvodili), vektor
obvodové rychlosti je tedy vždy kolmý k poloměru dráhy. Směr rychlosti se tedy mění
.)( konstv ≠
r
, ale její velikost je stálá ( .)konstv =
Rovnoměrný pohyb po kružnici je periodický děj: doba jednoho oběhu je konstantní. Za
tuto dobu – periodu T – opíše hmotný bod celou kružnici (délky 2πr) a jeho průvodič se otočí
o úhel 2360 =
o
π radiánů. Platí
ω
π
ω
π 22
===
r
r
v
s
T .
(39)
Převrácenou hodnotu periody T je frekvence, tedy počet oběhů za sekundu:
T
f
1
= .
(40)
Jednotkou frekvence je hertz (Hz = s
-1
). (Při frekvenci 1 Hz vykoná hmotný bod jeden
oběh za 1 sekundu.)
Ze vztahů (39) a (40) plyne, že
rf
T
r
vf
T
π
π
π
π
ω 2
2
,2
2
==== .
(41)
Normálové zrychlení je zrychlení dostředivé, dané vztahem
ra
d
2
ω= , resp.
r
v
a
d
2
=
(42)
Velikost dostředivého zrychlení
d
a tedy roste s druhou mocninou úhlové rychlosti ω
nebo rychlosti v.

∆ϕ
A
B

v
r
v
r
∆ s
r S
17
Otázka 4
Velikost úhlové rychlosti kola auta o poloměru 0,5 m, jedoucího rychlostí 72 km.h
-1
, je
a) 40 s
-1
b) 20 s
-1
c) 10 s
-1
d) 36 s
-1


Otázka 5
Hmotný bod se pohybuje po kružnici o poloměru R konstantní úhlovou rychlostí ω.
Jeho obvodová rychlost je v
r
. Změní se velikost jeho obvodové rychlosti, bude-li se
pohybovat stejně velkou úhlovou rychlostí po kružnici o poloměru 2R ?
a) Rychlost se nezmění.
b) Rychlost vzroste na dvojnásobek původní hodnoty.
c) Rychlost klesne na polovinu původní hodnoty.
d) Rychlost klesne na čtvrtinu původní hodnoty.


Příklad 5
Určete úhlovou rychlost, kterou rotuje Země kolem své osy. Jaká je velikost rychlosti
bodů ležících na rovníku?
Řešení:
Úhlovou rychlost Země vypočítáme ze vztahu (41)
151
s10.3,7s
60.60.24
14,3.22
−−−
=== &
T
π
ω .
Velikost rychlosti bodů ležících na rovníku je
11165
m.s471.6,465m.s10.378,6.10.3,7
−−−−
==== &smrv ω .

Úloha 1
Jaký průměr má lešticí kotouč, který se otáčí s periodou 0,03 s, mají-li body na jeho
obvodu rychlost 13 m.s
-1
.

Příklad 6

Kosmonaut se otáčí na centrifuze s poloměrem 5,0 m ve vodorovné rovině. a) Jakou
rychlostí se pohybuje, má-li dostředivé zrychlení velikost 7,0 g? b) Kolikrát za minutu se
centrifuga otočí? c) Jaká je perioda jejího pohybu?

Řešení:

a) Rychlost pohybu kosmonauta vyjádříme ze vztahu pro dostředivé zrychlení

R
v
a
d
2
= ,
18
odkud je
d
aRv = .

Číselně

11
m.s19m.s81,90,70,5
−−
=⋅⋅=v .

b) Jestliže kosmonaut vykoná n otáček za dobu t (minutu), pohybuje se rychlostí

t
Rn
v
π2
= ,
Hledaný počet otáček za minutu je

1
60
0,5.2
otáček.min35
19
2
−
===
π
π R
v
t
n


c) Perioda tohoto pohybu je

ω
π2
=T , kde
R
v
=ω .
Odtud
v
R
T
R
v
ππ 22
== ,
po vyčíslení je
s7,1s
19
0,522
=
⋅
==
ππ
v
R
T

Kosmonaut v centrifuze se pohybuje rychlostí 19 m.s
-1
. Za minutu se centrifuga otočí
35krát, perioda pohybu je 1,7 s.

1.6.2 Nerovnoměrný pohyb po kružnici
Vztahy pro úhlovou rychlost ω a úhlovou dráhu ϕ rovnoměrně zrychleného pohybu po
kružnici lze odvodit analogicky jako vztahy pro rychlost v a dráhu s rovnoměrně zrychleného
pohybu po přímce. Konstantní úhlové zrychlení ε definujeme vztahem
td
dω
ε = .
(43)
Pro úhlové rychlosti a úhlové dráhy platí následující vztahy
Pohyb rovnoměrně zrychlený Pohyb rovnoměrně zpomalený
tεωω +=
0
tεωω −=
0

2
00
2
1
tt εωϕϕ ++=
2
00
2
1
tt εωϕϕ −+=
Tab. 2
19
Poněvadž se u rovnoměrně zrychleného (zpomaleného) pohybu mění nejen směr, ale
i velikost rychlosti v
r
, je tečné zrychlení 0
r
r
≠
t
a a celkové zrychlení je dáno
dt
aaa
rrr
+= .
(44)
Velikost tečné a normálové složky zrychlení je (tab. 1)
ra
t
ε= r
r
v
a
d
2
2
ω==
Velikost celkového zrychlení je pak dána vztahem
4222
ωε +=+= raaa
dt
. (45)

0
n
a
r
t
a
r
a
r


Obr. 9 Tečné, dostředivé a celkové zrychlení pohybu po kružnici


Příklad 7
Rotor elektromotoru o poloměru r = 0,08 m se po vypnutí zastavil rovnoměrně
zpomaleným pohybem za dobu t = 12 s, přičemž do zastavení vykonal ještě n = 60 otáček.
Určete a) frekvenci f
0
a počet otáček n
0
za minutu při zapnutém motoru, b) velikost úhlového
zrychlení ε a tečného zrychlení
t
a na obvodu rotoru po vypnutí motoru, c) velikost úhlové
rychlosti
0
ω a obvodové rychlosti
0
v při zapnutém motoru.
Řešení:

a) Pro pohyb rovnoměrně zpomalený platí (tab. 2):
tft
tt
t
00
2
0
0
2
2
1
2
1
2
1
πωϕ
εωϕ
ω
ε
==⇒
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
−=
=
(46)

Za dobu t se rotor otočí n krát a urazí úhlovou dráhu
πϕ 2.n= .
20
Dosadíme-li za ϕ do rovnice (46), obdržíme vztah pro frekvenci

11
0
s10s
12
6022
−−
=
⋅
==
t
n
f
Počet otáček za minutu je pak
600.60
00
== fn

b) Velikost úhlového zrychlení vyjadřuje rovnice

t
0
ω
ε =
kde pro úhlovou rychlost je

2
0
44
t
n
t
n π
ε
π
ω =⇒= ,
číselně
22
2
s24,5s
12
604
−−
==
π
ε
Tečné zrychlení má tedy velikost

22
m.s419,0m.s08,0.24,5
−−
=== Ra
t
ε

c) Velikost úhlové rychlosti je

11
s9,62s12.24,5
−−
=== tεω
velikost obvodové rychlosti

11
00
m.s03,5m.s08,0.9,62
−−
=== rv ω


Úloha 2
Těleso se roztáčí z klidu s konstantním úhlovým zrychlením kolem pevné osy.
Vypočítejte, o jaký úhel ϕ se těleso otočilo, jestliže celkové zrychlení a
r
svírá s dostředivým
zrychlením
n
a
r
úhel
o
50=α .

Úloha 3
Po rovině se valí bez klouzání homogenní válec, jehož těžiště má konstantní rychlost v
r
.
Dokažte, že postupná rychlost a zrychlení těžiště válce má stejnou velikost jako rychlost
a zrychlení bodů po obvodu válce.
21
1.7 Přehled vztahů

Pohyb hmotného bodu po přímce

pohyby zrychlení rychlost dráha
rovnoměrný přímočarý a = 0 v =
t
s
s = s
0
+ vt
rovnoměrně zrychlený
přímočarý
a = konst. v = v
0
+ at s = s
0
+ v
0
t +
2
2
1
at
rovnoměrně zpomalený
přímočarý
a = konst. v = v
0
– at s = s
0
+ v
0
t –
2
2
1
at
volný pád a = g = konst. v = gt s =
2
2
1
gt
vrh svislý dolů a = g = konst. v = v
0
+ gt s = s
0
+ v
0
t +
2
2
1
gt
vrh svislý vzhůru a = – g = konst. v = v
0
– gt s = s
0
+ v
0
t –
2
2
1
gt

Tab. 3 Přehled vztahů pro pohyb hmotného bodu po přímce


Pohyb hmotného bodu po kružnici

pohyby úhlové zrychlení úhlová rychlost úhlová dráha
rovnoměrný ε = 0
t
ϕ
ω =
t
00
ωϕϕ +=
rovnoměrně zrychlený ε = konst.
tεωω +=
0


2
00
2
1
tt εωϕϕ ++=
rovnoměrně zpomalený ε = konst. tεωω −=
0


2
00
2
1
tt εωϕϕ −+=

Tab. 4 Přehled vztahů pro pohyb hmotného bodu po kružnici


22

Výsledky

Otázka 1: Míč v rukou brankáře, závodník běžící maratón, umělá družice Země, kámen
vržený prakem vodorovným směrem.
Otázka 2: d)
Otázka 3: d)
Otázka 4: a)
Otázka 5: b)

Úloha 1: 124 mm
Úloha 2:
o
24=ϕ
Úloha 3: