Studijní materiály

Zpět

Hromadně přidat materiály

řešení 2 termín

BMOD - Modelování a simulace

Hodnocení materiálu:

Zjednodušená ukázka:

Stáhnout celý tento materiál

0 = x23(1−x3)
Ze tˇret´ı rovnice dost´av´ame moˇznosti x30 = 0;1. Z prvn´ı rovnice pak dost´av´ame jedin´e
ˇreˇsen´ı x20 = x30 = 1, z druh´e rovnice pak dostaneme rovnˇeˇz x20 = 1. Syst´em m´a tedy
jedin´y rovnov´aˇzn´y stav x0 = (1;1;1).
b) Lok´aln´ı asymptotickou stabilitu rovnov´aˇzn´eho stavu vyˇsetˇr´ıme pomoc´ı prvn´ı Ljapu-
novovy metody. Provedeme v´ypoˇcet matice A linearizace, kter´a je Jacobi´an
A =




∂f1
∂x1
∂f1
∂x2
∂f1
∂x3∂f
2
∂x1
∂f2
∂x2
∂f2
∂x3∂f
3
∂x1
∂f3
∂x2
∂f3
∂x3




x=x0
=


0 −x3 −x2
x3 −1 x1
0 0 2x3 −3x23


x=x0
=


0 −1 −1
1 −1 1
0 0 −1


Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 7
s charakteristikou rovnic´ı
det(pI −A) = det


p 1 1
−1 p + 1 −1
0 0 p + 1

 = (p + 1)(p2 + p + 1) = 0
Z teorie line´arn´ıch syst´em˚u je zn´amo, ˇze tato charakteristick´a rovnice m´a koˇreny v
lev´e polorovinˇe komplexn´ı roviny a line´arn´ı n´ahrada je stabiln´ı. Na z´akladˇe prvn´ı
Ljapunovovy metody tedy m˚uˇzeme ˇr´ıci, ˇze rovnov´aˇzn´y stav x0 = (1;1;1) je lok´alnˇe
asymptoticky stabiln´ı.
c) Snadno si vˇsimneme, ˇze v pˇr´ıpadˇe, kdy x3 = 0 pˇrejdou stavov´e rovnice do tvaru
˙x1 = 1
˙x2 = −x2
˙x3 = 0
V tomto pˇr´ıpadˇe je zˇrejm´e, ˇze stav syst´emu nebude smˇeˇrovat k rovnov´aˇzn´emu stavu
x0 = (1;1;1) a tento rovnov´aˇzn´y stav nen´ı glob´alnˇe asymptoticky stabiln´ı.
8 ˇR´ızen´ı a regulace II
4 pˇr´ıklad
4.1 Zad´an´ı
Dynamick´y syst´em je popsan´y stavov´ymi rovnicemi
dx1
dt = x
2
2
dx2
dt = sinx1 + cosx3
dx3
dt = u
y = x1
kde u je ˇr´ıdic´ı vstup a y je v´ystup. Proved’te exaktn´ı zpˇetnovazebn´ı linearizaci vstup–
v´ystup a urˇcete podm´ınky platnosti vypoˇcten´e linearizace.
4.2 Hodnocen´ı
10 bod˚u
4.3 ˇReˇsen´ı
Vypoˇcteme derivace v´ystupu y, dokud nenaraz´ıme na z´avislost na u
y = x1
˙y = ˙x1 = x22
¨y = 2x2 ˙x2 = 2x2(sinx1 + cosx3)...
y = 2˙x2(sinx1 + cosx3) + 2x2(˙x1 cosx1 − ˙x3 sinx3) = 2(sinx1 + cosx3)2 + 2x32 cosx1 −2x2usinx3
Line´arn´ı n´ahradu m˚uˇzeme zvolit ve tvaru
˙z1 = z2
˙z2 = z3
˙z3 = v
˜y = z1
ˇcemuˇz odpov´ıd´a
˜y = z1
˙˜y = ˙z1 = z2
¨˜y = ˙z2 = z3...
˜y = ˙z3 = v
Porovn´an´ım pˇr´ısluˇsn´ych derivac´ı y pak dostaneme transformaci stavu
z1 = x1
z2 = x22
z3 = 2x2(sinx1 + cosx3)
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 9
a transformaci vstupu
v = 2(sinx1 + cosx3)2 + 2x32 cosx1 −2x2usinx3
u = 2(sinx1 + cosx3)
2 + 2x3
2 cosx1 −v
2x2 sinx3
Podm´ınkou platnosti linearizace je pak x2 negationslash= 0∧x3 negationslash= kpi.

Stáhnout celý tento materiál

Předchozí

1 2 3

Vloženo: 13.06.2009

Velikost: 80,81 kB

Stáhnout celý tento materiál

Komentáře

Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.

Mohlo by tě zajímat:

Skupina předmětu BMOD - Modelování a simulace
Reference vyučujících předmětu BMOD - Modelování a simulace

Podobné materiály