Studijní materiály

Zpět

Hromadně přidat materiály

řešení 2 termín

BMOD - Modelování a simulace

Hodnocení materiálu:

Zjednodušená ukázka:

Stáhnout celý tento materiál

i
dx1
dt = x2
dx2
dt =
parenleftbigg
0,1− 103 x22
parenrightbigg
x2 −x1 −x21
Jednoznaˇcnˇe rozhodnˇete, zda kˇrivka zakreslen´a na n´asleduj´ıc´ım obr´azku m˚uˇze b´yt mezn´ım
cyklem uveden´eho syst´emu. Sv´e rozhodnut´ı zd˚uvodnˇete. (20 bod˚u)
1
2
−1
−2
1−1−2−3
x1
x2
2.2 Hodnocen´ı
20 bod˚u
2.3 ˇReˇsen´ı
Pˇri pokusu o ˇreˇsen´ı pomoc´ı Bendixsonova teor´emu dojdeme k z´avˇeru, ˇze nelze roz-
hodnout. Proto n´aslednˇe ovˇeˇr´ıme moˇznost nalezen´ı z´avˇeru pomoc´ı indexov´eho teor´emu.
Nejdˇr´ıve urˇc´ıme rovnov´aˇzn´e stavy syst´emu. Z prvn´ı rovnice je zˇrejm´e, ˇze mus´ı plati
x20 = 0, z druh´e rovnice pak dost´av´ame x10 = 0;−1. Matice A linearizace je Jacobi´an
A =


∂f1
∂x1
∂f1
∂x2∂f
2
∂x1
∂f2
∂x2


x=x0
=
bracketleftbigg 0 1
−1−2x1 0,1−10x22
bracketrightbigg
x=x0
Pro rovnov´aˇzn´y stav x0 = (0,0) dostaneme po dosazen´ı matici
A =
bracketleftbigg 0 1
−1 0,1
bracketrightbigg
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 5
s charakteristickou rovnic´ı
det(pI −A) = det
bracketleftbiggp −1
1 p−0,1
bracketrightbigg
= p2 −0,1p + 1 = 0
a vlastn´ımi ˇc´ısly
p1,2 = 0,1±
√0,01−4
2 ≈ 0,05±j
Rovnov´aˇzn´y stav (0,0) tedy odpov´ıd´a nestabiln´ımu ohnisku. Obdobnˇe pro rovnov´aˇzn´y
stav x0 = (−1,0) dostaneme po dosazen´ı matici
A =
bracketleftbigg0 1
1 0,1
bracketrightbigg
s charakteristickou rovnic´ı
det(pI −A) = det
bracketleftbigg p −1
−1 p−0,1
bracketrightbigg
= p2 −0,1p−1 = 0
a vlastn´ımi ˇc´ısly
p1,2 = 0,1±
√0,01 + 4
2 ≈ 0,05±1
V tomto pˇr´ıpadˇe jde tedy o sedlo. Uvaˇzovan´a kˇrivka obklopuje oba rovnov´aˇzn´e stavy. Jej´ı
index je tedy souˇctem index˚u obou singul´arn´ıch bod˚u 1−1 = 0. Dle indexov´eho teor´emu
mus´ı m´ıt kaˇzd´y mezn´ı) cyklus index roven 1 a uvaˇzovan´a kˇrivka tedy nem˚uˇze b´yt mezn´ım
cyklem ˇreˇsen´eho syst´emu.
6 ˇR´ızen´ı a regulace II
3 pˇr´ıklad
3.1 Zad´an´ı
Dynamick´y syst´em je pops´an rovnicemi
˙x1 = −x2x3 + 1
˙x2 = x1x3 −x2
˙x3 = x23(1−x3)
y = sin(x23) + cos(x2) + u
kde y je v´ystup a u je vstup syst´emu.
1. urˇcete, kolik m´a syst´em rovnov´aˇzn´ych stav˚u a urˇcete jejich ˇc´ıseln´e hodnoty (5
bod˚u)
2. rozhodnˇete, zda jsou zjiˇstˇen´e rovnov´aˇzn´e stavy lok´alnˇe asymptoticky stabiln´ı, sv˚uj
z´avˇer zd˚uvodnˇete (10 bod˚u)
3. rozhodnˇete, zda jsou zjiˇstˇen´e rovnov´aˇzn´e stavy glob´alnˇe asymptoticky stabiln´ı, sv˚uj
z´avˇer zd˚uvodnˇete (5 bod˚u)
3.2 Hodnocen´ı
a) 5 bod˚u
b) 10 bod˚u
c) 5 bod˚u
3.3 ˇReˇsen´ı
a) Pro rovnov´aˇzn´y stav mus´ı platit
0 = −x2x3 + 1
0 = x1x3 −x2

Stáhnout celý tento materiál

Předchozí

1 2 3

Další

Vloženo: 13.06.2009

Velikost: 80,81 kB

Stáhnout celý tento materiál

Komentáře

Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.

Mohlo by tě zajímat:

Skupina předmětu BMOD - Modelování a simulace
Reference vyučujících předmětu BMOD - Modelování a simulace

Podobné materiály