Nekonečné řady

NEKONEČNÉ ŘADY

ŘADA A JEJÍ SOUČET

Nechť { }na je posloupnost reálných čísel nekonečnou řadou rozumíme symbol tvaru

...... ++++ naaa 21 nebo å
¥
=1n
na .

Posloupnost { }ns , kde 11 as = ,
212 aas += ,
. . .
nn aaas +++= ...21

se nazývá posloupností částečných součtů této řady.

existuje-li konečná limita ssn
n
=
¥®
lim nazýváme tuto limitu součtem této řady a píšeme a
řekneme, že řada konverguje, případně, že řada je konvergentní. Jestliže neexistuje nebo je
nevlastní, řekneme, že řada je divergentní.

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com
2
Nutná podmínka pro konvergenci řady å¥
=1n
na je .lim 0=¥® nn a

Speciálním případem nekonečné řady je geometrická řada å¥
=0n
nqa , která
konverguje tehdy a jen tehdy, když 1÷øöçèæ ++=
+=
=
¥®¥® 2
1tedy 21
2
31
8
14
2
11
8
1
7
1
6
1
5
1
2
21
4
12
2
11
4
1
3
1
2
11
1
22
48
24
2
1
mams
ss
ss
s
s
mmmm
limlim
......

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com
15


Poznámka. Řada å
¥
=1n
na a řada, kterou z ní obdržíme vynecháním nebo přidáním konečně mnoha
členů současně konvergují nebo divergují.

Pro konvergentní řadu sa
n
n =å
¥
=1
, značíme součet řady å
¥
=
+ =
1k
kn Ra a nazýváme jej
zbytkem řady po n -tém členu. Pro zbytek R platí nssR -= .


ABSOLUTNÍ KONVERGENCE

Věta. Nechť konverguje řada å
¥
=1n
na . Pak konverguje řada å
¥
=1n
na .

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com
16
Definice. Nechť řada å
¥
=1n
na konverguje. Tuto řadu nazveme absolutně konvergentní,
konverguje-li současně řada å
¥
=1n
na , relativně (neabsolutně) konvergentní, když řada
å¥
=1n
na nekonverguje.

KRITERIA KONVERGENCE PRO ŘADY S KLADNÝMI ČLENY

Srovnávací kriterium: Nechť å
¥
=1n
na , å
¥
=1n
nb jsou řady s kladnými členy a nechť pro Nn > a
nějaké c 0> platí nn bca £ . Pak
a) je-li å
¥
=1n
nb konvergentní, je také å
¥
=1n
na konvergentní,
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com
17
b) je-li å
¥
=1n
na divergentní, je také å
¥
=1n
nb divergentní.


Podílové (D’ALAMBERTOVO) kriterium:
1) Obecné: Řada å
¥
=1n
na konverguje, jestliže pro Nn > platí 11 platí 11 ³+
n
n
a
a
.
2) Limitní: Nechť La
a
n
n
n
=+
¥®
1lim . Pak řada je pro 1L divergentní a pro 1=L nelze rozhodnout.


Odmocninové (CAUYCHOVO) kriterium:
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com
18
1) Obecné: Řada å
¥
=1n
na konverguje, jestliže pro Nn > platí 1 platí:
0 kde11 1 >+³÷÷ø
ö
ççè
æ - + rr
a
an
n
n , ; diverguje, jestliže pro
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com
19
Nn > platí: 11 1 £÷÷
ø
ö
ççè
æ - +
n
n
a
an .

2) Limitní: Nechť ¥®nlim La
an
n
n =÷÷
ø
ö
ççè
æ - +11
. Pak řada je pro 1>L konvergentní,
pro 1x . Pak řada å
¥
=1n
na konverguje, případně diver-
guje současně s nevlastním integrálem ( )ò
¥
a
dxxf .



PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com
20
PŘÍKLADY

1) Rozhodněte o konvergenci řady å
¥
=1 2
1
n n . Hledejme konvergentní majorantu (řadu
å
¥
=1n
na , pro kterou pro všechna Nn > platí nan £2
1
a která konverguje).
Už máme dokázáno jako příklad , že řada å
¥
= -1 2 14
1
n n
konverguje. Najděme c
tak, aby platilo 14
1
22 -£ n
c
n po roznásobení vidíme že volba c = 4 splňuje naši
podmínku a uvedená nerovnost platí pro všechna n z množiny přirozených čísel,
tudíž řada å
¥
=1 2
1
n n konverguje. Ne vždy rozhodnou o konvergenci konvergentní
řady podílové nebo odmocninové kriterium.

2) Rozhodněte postupně pomocí podílového a odmocninového kriteria o
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com
21
konvergenci řady å
¥
=1 2
1
n n .
Použijeme limitní tvar podílového kriteria. Dostaneme:

=+¥®
n
n
n a
a 1lim

( ) L
n
nn
n
n
nn
=++=+
¥®¥® 2
2
2
2 121
limlim , v čitateli i jmenovateli jsou

polynomy stejného (druhého) stupně, limita je proto rovna podílu koeficientů u
nejvyšší mocniny a odtud .1=L a tímto kriteriem nelze rozhodnout.

Zkusme nyní odmocninové kriterium.


n
n
n
n
n
n
n n
n
nn
n
a 222 111
¥®
¥®¥®¥®
===
lim
limlimlim . Ve jmenovateli máme limitu,
která je neurčitým výrazem typu ( )0¥ . K výpočtu použijeme L’Hospitalova
pravidla.
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com
22

n
nn
n
n
n
n
neen
lnlimln
limlim
222
¥®==
¥®¥® provedeme výpočet limity v exponentu, je
to typ ÷ø
öç
è
æ
¥
¥
, aplikujeme L’Hospitalovo pravidlo, derivujeme čitatele i
jmenovatele podle proměnné n. Dostaneme 01
2
2 ==
¥®¥®
n
n
n
nn
limlnlim , čili
10 =e a opět nelze rozhodnout.


Zjistíme, jaké výsledky nám dá Raabeovo kriterium: Budeme studovat limitu

( ) ( )
( ) Lnn
nn
n
nnn
n
nn
nnn
==++ +=÷÷
ø
ö
ççè
æ
+
-+=
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
+-
¥®¥®¥®
2122lim
1
1lim
1
1
1
1lim 2
2
2
22
2
2


PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com
23
Raabeovo kriterium rozhodlo o konvergenci dané řady.

Jako cvičení rozhodněte o konvergenci dané řady pomocí Cauchyova
integrálního kriteria.



3) Rozhodněte o konvergenci řady å
¥
= -1 12
1
n n
.
Řešení : å
¥
=1 2
1
n n
= å
¥
=1
1
2
1
n n
a již vím, že řada å
¥
=1
1
n n diverguje, tudíž diverguje i
řada å
¥
=1 2
1
n n
. Zároveň nnnn 2
1
12
1212 >
-Þ++= xxxf ln pro 1>x ( )xf je nerostoucí, oba součinitelé ve

jmenovateli jsou rostoucí funkce. Funkce ( )xf splňuje podmínky integrálního kriteria.

( ) ( )
( )
===Þ==
+
¥®Þ¥®=+
=++ òò
¥®¥®
t
t
u
u t
dt
tudtdxx
tutx
xx
dx
2 21 211
1
1
11 lnlimln;
;ln
lnlim

=
t
t t 2
1
ln
lim úûùêëé -
¥®
= 21ln . Nevlastní integrál konverguje, tudíž také řada konverguje.

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com
32


ALTERNUJÍCÍ ŘADY

Alternující řady ( řady se střídavými znaménky ) Jsou řady tvaru:

( ) .,... 0 kde 1 4321
1
1 >+-+-=-å¥
=
+ nn
n
n aaaaaa

LEIBNIZOVO KRITERIUM ( pro zjištění relativní konvergence alternující řady.)
Nechť { }na je nerostoucí posloupnos