Nekonečné řady

ými znaménky ) Jsou řady tvaru:

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com
46
( ) .,... 0 kde 1 4321
1
1 >+-+-=-å¥
=
+ nn
n
n aaaaaa

LEIBNIZOVO KRITERIUM ( pro zjištění relativní konvergence alternující řady.)
Nechť { }na je nerostoucí posloupnost kladných čísel, tj. 0321 ³³³³ ...aaa a nechť

0=
¥® nn
alim . Potom řada ( ) n
n
n aå¥
=
+-
1
11 konverguje.

Věta. Jsou-li splněny předpoklady Leibnizova kriteria pro konvergenci alternující řady
( ) n
n
n aå¥
=
+-
1
11 , platí pro její zbytek po n-tém členu
c) 1+£ naR
d) ( )nR 1-=sgn


PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com
47
PŘÍIKLADY.

1 ) Rozhodněte o konvergenci Leibnizovy řady ( )å
¥
=
+-
1
1 11
n
n
n .
Leibnizova řada ...4131211 -+- konverguje podle Leibnizova kriteria, neboť
1111 +=+>= nn anna pro všechna n a dále .lim 01 =
¥® nn
Konvergence je relativní, řada
absolutních hodnot je harmonická řada, která diverguje.


2 ) Rozhodněte o konvergenci řady ( )å
¥
=
+
+-1
1
11n
n
n
n .
Jde o alternující řadu, určíme .limlim 11 =+=
¥®¥® n
na
nnn
Není splněna nutná podmínka
konvergence, řada diverguje.

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com
48
V dalším si ukážeme, že i když nutná podmínka konvergence je splněna některé, ale není splněn
pro posloupnost { }na vztah 0321 ³³³³ ...aaa .


3 ) Příklad. Rozhodněte o relativní konvergenci alternující řady:
...--++--++--++-- 151141141131131121121 .

Pro členy řady platí: ...,,, 32 pro1111 3222 =-=+= -- nnana nn . Nutná
podmínka konvergence řady je slněna, 0=
¥® nn
alim , ale neplatí (ani od jistého N ) vztah:
0321 ³³³³ ...aaa . Je totiž 1111 +>- nn , čili 2232 -- > nn aa , avšak
1222 -- < nn aa neboť 11111 -++ nn dostáváme po
přičtení jedničky na každé straně nerovnosti : 12 +>+ nn a po umocnění na druhou máme
142 +>++ nnn .
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com
49
Srovnáním vybrané posloupnosti částečných součtů této řady s posloupností { }no částečných
součtů harmonické řady å
¥
=1
1
n n
dokážeme, že řada z příkladu 3 diverguje.

Protože 121111 -=+-- nnn , dostaneme pro vybranou posloupnost částečných součtů:


......
3
1
2
11
3
23
14
23
2
113
13
22
12122
36
24
12
++=o>+=-+=
+=o>=-+=
=o>=-=
s
s
s

Obecně nns o>2 pro libovolné n , neboť nn 112 >- . Vybraná posloupnost má hromadný
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com
50
bod ¥+ , tedy daná řada diverguje.


4 ) Rozhodněte o absolutní konvergenci řady ( )( )å
¥
=
-
2
1
n n
n
n
.
ln ln

Rozhodneme tak, že řadu absolutních hodnot porovnáme s řadou 2
1
1
nnå
¥
=
. Upravíme
jmenovatele naší řady, dostaneme:

( ) ( ) [ ] ( ) ( )nnnnnn neen lnlnlnlnlnlnln.lnlnln === , ale od jistého přirozeného N0

platí ( ) ( ) 22 11
nn
ann nnn lnlnln
ln
a naše řada konverguje absolutně neboť
řada å
¥
-1 2
1
n n
(majoranta) konverguje absolutně.

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com
51
5 ) Rozhodněte o absolutní konvergenci řady ( )å
¥
=
+
-
-
1
11
n
n
nn ln .
Při použití podílového a Raabeova kriteria dostáváme jako výsledek, že L = 1, obě kriteria
nerozhodnou.
Danou řadu porovnáme s harmonickou řadou å
¥
=1
1
n n
o níž víme, že diverguje. Dostaneme:
.lnln nnnannn n 11 >-=Þ platí mmnn lnln -=
¥®
ana
n
n !
lim .
Ukážeme o řadě å
¥
=1n
n
n
a
! , že konverguje. Pro konvergentní řadu musí být splněna nutná
podmínka konvergence. Tím bude tvrzení dokázáno.

( ) 011
1
=+=+
¥®
+
¥® n
a
n
a
n
a
nn
n
n
lim
!
!lim .
1
¥®
a
a
n
nn !
!lim .

Ukážeme, že řada ( )( )å
¥
=1
2
n na
n
!
! konverguje, musí být pak splněna nutná podmínka konvergence.

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( ) 0
121
1222
2
22
1111 =+--
++=+
+++¥®+¥® nnnnn
n
nn aaaa
nn
n
a
a
n
...
lim!!.
!
!lim .

Řada konverguje, musí být proto splněna nutná podmínka konvergence a tvrzení zadání platí.



3 ) Ověřte, že platí ( ) 02 =
¥® !
lim nn
n
n
.
Opět o příslušné řadě ukážeme, že konverguje. Použijeme podílové kriterium:

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com
55

( )
( )
( ) ( )
( )( ) n
n
nn
n
n nnn
n
n
n
n
n
1222
12
22
1 11
++
+=
+
+ +
¥®
+
¥®
lim!.!lim

Protože nejvyšší exponent ve jmenovateli je ( )2+n , je limita podílu rovna nule. Příslušná
řada konverguje, je splněna nutná podmínka. Tím je tvrzení příkladu dokázáno.


4 ) Dokažte, že ( ) 02 =
¥® n
n
n n
n!lim .
Uvážíme řadu ( )å
¥
=1 2n n
n
n
n! o její konvergenci rozhodneme podílovým kriteriem:

( )[ ]
( )( ) ( )
( )
( )
=
+
+=
+
+
++
+
¥®+
+
¥® 12
1
1
1
2
22
2 1
1
1
1
nn
nn
nn
n
n
n
n n
nnn
n
n
n
n !lim
!
.!lim

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com
56
=
( ) ( ) ( )
£
+ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷øöçèæ +=+
+ ¥®¥® n
nn
nnn
n
n n
n
n
n
n
n
n
n
1111 2
2 !
.lim!.lim

( ) e
en
n
n
n
kn
n
knn
11
11
1 ..lim =
+
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷øöçèæ +
£
¥®


Uvedený vztah platí pro libovolné k z čehož plyne, že poslední limita je rovna 0=L a
uvažovaná řada konverguje. Proto musí být splněna nutná podmínka konvergence.



KRITERIA RELATIVNÍ KONVERGENCE

V dalším uvedeme dvě kriteria, jimiž můžeme rozhodnout i o pouze relativní konvergenci
řady.
Kriterium DIRICHLETOVO
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com
57

Nechť { }nc je posloupnost monotonně klesající k nule. Nechť řada å
¥
=1n
na má
ohraničené částečné součty Ksn £ , kde K nezávisí na n . Pak řada å
¥
=1n
nn ca
konverguje.

Příklad. Řada å
¥
=1
3
n n
nsin
konverguje podle Dirichletova kriteria 01 =
¥® nn
lim a pro všechna n
111 +³ nn pro všechna NÎn a dále platí:
2331 =p= sins


PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com
58
33232 =p+p= sinsins
323 =p+= sinss
32333434 platí ,11