Nekonečné řady

t kladných čísel, tj. 0321 ³³³³ ...aaa a nechť

0=
¥® nn
alim . Potom řada ( ) n
n
n aå¥
=
+-
1
11 konverguje.

Věta. Jsou-li splněny předpoklady Leibnizova kriteria pro konvergenci alternující řady
( ) n
n
n aå¥
=
+-
1
11 , platí pro její zbytek po n-tém členu
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com
33
a) 1+£ naR
b) ( )nR 1-=sgn


PŘÍIKLADY.

1 ) Rozhodněte o konvergenci Leibnizovy řady ( )å
¥
=
+-
1
1 11
n
n
n .
Leibnizova řada ...4131211 -+- konverguje podle Leibnizova kriteria, neboť
1111 +=+>= nn anna pro všechna n a dále .lim 01 =
¥® nn
Konvergence je relativní, řada
absolutních hodnot je harmonická řada, která diverguje.


2 ) Rozhodněte o konvergenci řady ( )å
¥
=
+
+-1
1
11n
n
n
n .
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com
34
Jde o alternující řadu, určíme .limlim 11 =+=
¥®¥® n
na
nnn
Není splněna nutná podmínka
konvergence, řada diverguje.

V dalším si ukážeme, že i když nutná podmínka konvergence je splněna některé, ale není splněn
pro posloupnost { }na vztah 0321 ³³³³ ...aaa .


3 ) Příklad. Rozhodněte o relativní konvergenci alternující řady:
...--++--++--++-- 151141141131131121121 .

Pro členy řady platí: ...,,, 32 pro1111 3222 =-=+= -- nnana nn . Nutná
podmínka konvergence řady je slněna, 0=
¥® nn
alim , ale neplatí (ani od jistého N ) vztah:
0321 ³³³³ ...aaa . Je totiž 1111 +>- nn , čili 2232 -- > nn aa , avšak
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com
35
1222 -- < nn aa neboť 11111 -++ nn dostáváme po
přičtení jedničky na každé straně nerovnosti : 12 +>+ nn a po umocnění na druhou máme
142 +>++ nnn .
Srovnáním vybrané posloupnosti částečných součtů této řady s posloupností { }no částečných
součtů harmonické řady å
¥
=1
1
n n
dokážeme, že řada z příkladu 3 diverguje.

Protože 121111 -=+-- nnn , dostaneme pro vybranou posloupnost částečných součtů:

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com
36

......
3
1
2
11
3
23
14
23
2
113
13
22
12122
36
24
12
++=o>+=-+=
+=o>=-+=
=o>=-=
s
s
s

Obecně nns o>2 pro libovolné n , neboť nn 112 >- . Vybraná posloupnost má hromadný
bod ¥+ , tedy daná řada diverguje.


4 ) Rozhodněte o absolutní konvergenci řady ( )( )å
¥
=
-
2
1
n n
n
n
.
ln ln

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com
37
Rozhodneme tak, že řadu absolutních hodnot porovnáme s řadou 2
1
1
nnå
¥
=
. Upravíme
jmenovatele naší řady, dostaneme:

( ) ( ) [ ] ( ) ( )nnnnnn neen lnlnlnlnlnlnln.lnlnln === , ale od jistého přirozeného N0

platí ( ) ( ) 22 11
nn
ann nnn lnlnln
ln
a naše řada konverguje absolutně neboť
řada å
¥
-1 2
1
n n
(majoranta) konverguje absolutně.

5 ) Rozhodněte o absolutní konvergenci řady ( )å
¥
=
+
-
-
1
11
n
n
nn ln .
Při použití podílového a Raabeova kriteria dostáváme jako výsledek, že L = 1, obě kriteria
nerozhodnou.
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com
38
Danou řadu porovnáme s harmonickou řadou å
¥
=1
1
n n
o níž víme, že diverguje. Dostaneme:
.lnln nnnannn n 11 >-=Þ platí mmnn lnln -=
¥®
ana
n
n !
lim .
Ukážeme o řadě å
¥
=1n
n
n
a
! , že konverguje. Pro konvergentní řadu musí být splněna nutná
podmínka konvergence. Tím bude tvrzení dokázáno.

( ) 011
1
=+=+
¥®
+
¥® n
a
n
a
n
a
nn
n
n
lim
!
!lim .
1
¥®
a
a
n
nn !
!lim .

Ukážeme, že řada ( )( )å
¥
=1
2
n na
n
!
! konverguje, musí být pak splněna nutná podmínka konvergence.

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( ) 0
121
1222
2
22
1111 =+--
++=+
+++¥®+¥® nnnnn
n
nn aaaa
nn
n
a
a
n
...
lim!!.
!
!lim .

Řada konverguje, musí být proto splněna nutná podmínka konvergence a tvrzení zadání platí.



3 ) Ověřte, že platí ( ) 02 =
¥® !
lim nn
n
n
.
Opět o příslušné řadě ukážeme, že konverguje. Použijeme podílové kriterium:

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com
42
Označme
( )
n
n
n n
n
A
2
21
2
1
2
p
p+
= +
¥® sin
sin
lim . Ve jmenovateli je vlastně sinus dvojnásobného
úhlu vzhledem k úhlu v čitateli. Můžeme tedy psáti:


( )
11
2
1
2
22
2
2
1
++
+
¥® pp
p+
=
nn
n
n n
n
A
cossin
sin
lim Po vykrácení a aplikaci pravidla, že limita podílu se

rovná podílu limit, pokud tyto existují, využijeme skutečnosti, že 1
2
1
1
=p
+
¥®
n
n cos
lim odtud
21
2
12
2
2
=++=
¥® n
nnA
n
lim a řada konverguje.
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com
43
10 ) Rozhodněte o konvergenci řady å
¥
=1 4
2
n
n
n
.

Použijeme odmocninové kriterium:
A =
n
n
nn
n
n
n
n n
n
nn
n
a 444 222
¥®
¥®¥®¥®
===
lim
limlimlim . Poslední limita je typ 0¥ ,
řešíme podle L’Hospitalova pravidla a dostaneme:

101
4
44
==== ¥®
¥®¥®
eeen
nn
n
n
n
n
n
limln
limlim . Odtud A = 2 a řada diverguje.





PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com
44
11 ) Raabeovým kriteriem rozhodněte o konvergenci řady ( )3
1 12
1
-å
¥
= nn
.

Vypočítáme nejdříve ( )( )
33
3
31
12
21
12
212
12
12 ÷
ø
öç
è
æ
+-=÷ø
öç
è
æ
+
-+=
+
-=+
nn
n
n
n
a
a
n
n .
( ) ( ) 312
8
12
12
12
611
12
211
32
3
=
úúû
ù
êêë
é
+
+
+
-++-=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
ø
öç
è
æ
+-- ¥®¥® nnnnnn nn limlim
Vidíme, že řada konverguje.



12 ) Integrálním kriteriem rozhodněte o konvergenci řady ( ) ( )å
¥
= ++1 2 11
1
n nn ln
.

Pro aplikaci integrálního kriteria musíme studovat příslušnou funkci definovanou na množině
reálných čísel:
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com
45
( ) ( ) ( ) 0
11
1
2 >++= xxxf ln pro 1>x ( )xf je nerostoucí, oba součinitelé ve

jmenovateli jsou rostoucí funkce. Funkce ( )xf splňuje podmínky integrálního kriteria.

( ) ( )
( )
===Þ==
+
¥®Þ¥®=+
=++ òò
¥®¥®
t
t
u
u t
dt
tudtdxx
tutx
xx
dx
2 21 211
1
1
11 lnlimln;
;ln
lnlim

=
t
t t 2
1
ln
lim úûùêëé -
¥®
= 21ln . Nevlastní integrál konverguje, tudíž také řada konverguje.



ALTERNUJÍCÍ ŘADY

Alternující řady ( řady se střídav