moderní fyzika

hvězdičkou). Podobně lze vypočíst
střední hodnotu libovolné jiné fyzikální veličiny, jež je funkcí souřadnice

∫
ΨΨ= dxxfxf )()(
*

( 5.11 )

Konkrétně: Potenciální energie U je pouze funkcí polohy, tj. U = U(x), a tedy pro její
střední hodnotu platí
∫
ΨΨ= dxxUU )(
*

( 5.12 )

Bohužel, naprostá většina fyzikálních veličin (např. kinetická energie, hybnost, moment
hybnosti a jejich složky) se nedá vyjádřit jako funkce souřadnic, a proto předchozí výsledek
nelze použít. Pro výpočet středních hodnot fyzikálních veličin je zapotřebí najít obecnější
cestu. Vhodnou možností je použití operátorů, tj. obecně předpisů, které říkají, jaká operace
se má provést s výrazem za operátorem. Ukázalo se, že každé fyzikální veličině F lze přiřadit
její operátor, který se bude nadále označovat symbolem . Pro střední hodnotu libovolné
fyzikální veličiny pak analogicky k předchozím vztahům platí
ˆ
F

18 FEKT Vysokého učení technického v Brně

*
ˆ
FF=Ψ Ψ
∫
dx
( 5.13 )

Přestože rovnice (5.12) a (5.13) si jsou formálně na první pohled podobné, je mezi nimi
podstatný rozdíl – v rovnici (5.12) se vlnová funkce vynásobí funkcí f(x), zatímco v rovnici
(5.13) na vlnovou funkci Ψ působí operátor , což je operace daleko obecnější než násobení
funkcí souřadnic f(x). Z porovnání rovnic (5.12) a (5.13) ihned vyplývá, že operátory
fyzikálních veličin, které jsou funkcemi souřadnic f(x), se redukují na pouhé násobení vlnové
funkce Ψ(x) příslušnou funkcí souřadnic f(x). Pro ostatní fyzikální veličiny je zapotřebí jim
příslušející operátory zkonstruovat.
ˆ
F

5.9 Operátory
V této chvíli se zaměříme pouze na popis operátoru a jeho vlastností; prozatím bude
operátor pouze jedním z matematických nástrojů fyziky, podobně jako je vektorová algebra a
diferenciální počet matematickým nástrojem klasické mechaniky nebo jako je vektorová
analýza (operace divergence, gradient a rotace) matematickým nástrojem pro teorii
elektromagnetického pole. Pojem operátoru představuje zobecnění představy o operacích v
matematice. Většina operátorů je dobře známa již ze základní či střední školy a jejich znalost
je pro posluchače vysokých škol většinou samozřejmá. Nová je však terminologie a kontext.
Operátor je symbol pro matematický předpis, který říká, jaká matematická operace se má
provést s výrazem za operátorem. Operátory zpravidla působí na funkce, tj. výsledkem
působení operátoru na nějakou funkci je obecně nějaká jiná funkce či číslo. Obecně píšeme

ˆ
Df g= ( 5.14 )

Tento zápis znamená, že operátor působí na funkci f a výsledkem tohoto působení,
tj. operace, která se s funkcí f provádí, je funkce g. Nejběžnějšími operátory jsou + (operátor
součtu; říká, že se k výrazu před operátorem má přičíst výraz za operátorem), x (operátor
násobení; říká, že se funkce, která následuje za operátorem, má vynásobit výrazem před
operátorem),
ˆ
D
(operátor odmocniny; říká, že se funkce stojící za operátorem má odmocnit)
nebo (operátor integrace; říká, že se funkce následující za operátorem má integrovat). V
kvantové fyzice se nejčastěji vyskytují diferenciální operátory, tj. operátory, které vyjadřují,
že se funkce následující za operátorem má zderivovat. Příklady diferenciálních operátorů jsou
např. následující:
∫
)(xf
dx
d




),,( zyxf
y∂
∂

),,( zyxf
x∂
∂
),,( zyxf
z∂
∂


Moderní fyzika 19
Operátorů lze z matematického hlediska zkonstruovat velké množství. V kvantové
fyzice se používají takové operátory, které mají následující dvě vlastnosti:
• linearita

ˆˆ
()ABf Af Bf+=+ ( 5.15)

• hermiticita

**
ˆˆ
()DdV D dVΨΨ = ΨΨ
∫∫

( 5.16 )

Hvězdička v předchozí rovnici vyjadřuje komplexně sdruženou funkci k funkci Ψ.
Význam hermiticity operátoru bude uveden později.

5.9.1 Operátory fyzikálních veličin

V dalším přehledu jsou uvedeny operátory fyzikálních veličin, které se v kvantové
fyzice vyskytují nejčastěji. Příklady operátorů fyzikálních veličin

ˆxx=
ˆ
() ()fx fx=
ˆ
X
pj
x
∂
=−
∂
!
ˆpj=− ∇!
ˆˆ ˆ
pot kin
EE E=+
22
2
ˆ
22
kin
E
mm
=− ∇ =− ∆
!!

ˆ
(, ,)
pot
EUxy= z
2
ˆ
(, ,)
2
EUx
m
=− ∆+
!
yz
V předchozích výrazech je j imaginární jednotka.

Poznámka: V souvislosti s výše uvedenými operátory se nabízí otázka, jak se k nim
dospělo, zejména jak se dospělo k operátoru hybnosti. Nebudeme to zde podrobněji rozebírat,
v krátkosti lze pouze říci, že se u operátoru hybnosti v podstatě použilo metody pokus – omyl
(jinak řečeno, operátor byl odhadnut, a poté se ukázalo, že konkrétní tvar operátoru poskytuje
správné výsledky, takže je asi správný). Operátory ostatních veličin se zkonstruovaly na
základě vztahů mezi fyzikálními veličinami, podle nichž se zkonstruovaly analogické vztahy
mezi operátory a poté operátory samotné. (Konec poznámky)
Na základě předchozího přehledu lze nalézt střední hodnotu hybnosti (resp. její x-ové
složky) takto:

20 FEKT Vysokého učení technického v Brně
**
ˆp p dx j dx
x
∂
=ΨΨ =−Ψ Ψ
∂
∫∫
! ( 5.17 )

Příklad 5.2:

Nalezněte střední hodnotu hybnosti částice, jejíž vlnová funkce je tvořena součtem dvou
exponenciál.

Řešení:
Nechť je stav částice superpozicí dvou různých stavů volné částice. V jednom stavu
nechť je energie částice E
1
= ħ ω
1
a její hybnost p
1
= ħ k
1
a ve druhém stavu nechť je energie
částice E
2
= ħ ω
2
a její hybnost p
2
= ħ k
2
. Pak je stav této částice popsán vlnovou funkcí

)(exp)(exp
2221112211
txkjAatxkjAaaa ωω+−=Ψ+Ψ=Ψ − ( 5.18 )

přičemž vlnové funkce příslušející k oběma původním stavům jsou normované, tj. platí:


∫
=Ψ 1
2
1
dx ( 5.19 )
a
∫
=Ψ 1
2
2
dx ( 5.20 )
a vlnová funkce příslušející výslednému superponovanému stavu (“mezistavu”) je
normovaná rovněž:
1
2
2
2
1
=+ aa ( 5.21 )
Výpočtem postupně obdržíme
ˆˆp p dx j dx
x
∗∗
∂
=ΨΨ =−Ψ Ψ
∂
∫∫
! ( 5.22 )


∗∗∗
Ψ+Ψ=Ψ
2211
aa ( 5.23 )


11 1 2 2 2
ˆ
x
pj kaka
x
∂
Ψ=− Ψ= Ψ + Ψ
∂
!! ! ( 5.14 )

()(
11 22 111 222
ˆ
xx
p p dx a a k a k a dx
∗∗∗
=Ψ Ψ = Ψ+ Ψ⋅ Ψ+ Ψ
∫∫
!!)
( 5.25 )

()()
11 22 111 222
ˆ
xx
ppdxaapapa
∗∗∗
=Ψ Ψ = Ψ+ Ψ⋅ Ψ+ Ψ
∫∫
dx
( 5.26 )

22
11 2 2
ˆ
xx
ppdxpap
∗
=Ψ Ψ = +
∫
a
( 5.27 )

Moderní fyzika 21
5.9.2 Komutativnost operátorů

Při aplikování operátorů je významné, v jakém pořadí jsou aplikovány. Z pohledu
matematiky je evidentní, že pořadí matematických operací obecně zaměňovat nelze; např.
pokud provádíme s dvěma čísly dvě operace – sečítání a odmocňování – obdržíme v závislosti
na pořadí operací různý výsledek, buď 3954 ==+ nebo 23,423,2254 =+=+ . V
kvantové fyzice hrají významnou úlohu takové operátory, u nichž nezáleží, v jakém pořadí je
na zvolenou (prozatím libovolnou) funkci aplikujeme. Takové operátory se nazývají
komutativní a platí pro ně:


ˆˆˆˆ
GF FG=
( 5.28 )

neboli při jejich aplikaci na vlnovou funkci Ψ platí

ˆˆ
GF FGΨ= Ψ
( 5.29 )

Pokud předchozí rovnice není splněna, říkáme, že operátory a spolu nekomutují,
a pak zavádíme rozdílový operátor D, nazývaný komutátor:
ˆ
F
ˆ
G

ˆˆˆˆ
DFGGF=−
ˆ

( 5.30 )

Z porovnání s matematikou je patrné, že dvojice operátorů budou častěji spíše
nekomutativní než komutativní. Mezi sebou nekomutují např. operace sečítání a
odmocňování, operace násobení proměnnou x a derivování podle proměnné x, operace
odmocňování a derivování a řada jiných dvojic (párů) matematických operací. Naopak mezi
sebou komutují operace násobení a odmocňování nebo operace násobení proměnnou x a
derivovaní podle jiné proměnné, např. y nebo z. Případ, kdy dvojice operátorů mezi sebou
komutuje (tj. řečeno jednoduchou češtinou: lze je uplatnit na jakoukoli funkci v libovolném
pořadí), je spíše výjimkou a má speciální fyzikální význam, související s problematikou
současné měřitelnosti fyzikálních veličin. Před studiem problematiky současné měřitelnosti
fyzikálních veličin je však zapotřebí přesněji specifikovat, za jakých okolností nabývá
fyzikální veličina ostré hodnoty a za jakých neostré hodnoty (kdy tedy je v mezistavu).

5.9.3 Vlastní funkce a vlastní hodnoty operátorů

Podíváme se poněkud podrobněji na hodnotu veličiny, kterou částice v určitém stavu
má. Rozlišovali jsme dva základní případy – určitá veličina má buď ostrou hodnotu nebo
neostrou hodnotu. Pokud má ostrou hodnotu, znamená to, že se při opakovaných měřeních za
identických podmínek bude pozorovat vždy jedna a tatហhodnota, totiž ostrá hodnota této
veličiny. Naopak, pokud má veličina neostrou hodnotu, pak se při opakovaných
experimentech s jednou částicí za týchž podmínek nebo při experimentu, v němž se pozoruje
výsledek současně pro velký počet částic (např. difrakce svazku elektronů), pak se pro každou
jednu částici pozoruje jedna určitá hodnota (přičemž nelze předem říci, jaká) a pro všechny
částice dohromady jistá střední hodnota, kterou již lze pomocí operátoru dané veličiny
22 FEKT Vysokého učení technického v Brně
stanovit. Jedná se zřejmě o dvě principiálně odlišné situace. Lze si položit otázku, za jakých
podmínek bude mít určitá částice v jistém stavu ostrou hodnotu.
Za tímto účelem zavedeme střední kvadratickou odchylku od střední hodnoty vztahem

2
()
i
x
xx
n
δ
−
= ( 5.31 )

Střední kvadratická odchylka je zřejmě mírou toho, jak se hodnoty dané fyzikální
veličiny při opakovaných měření rozptylují okolo střední hodnoty. Poněvadž odmocnina
vystupující v definici střední kvadratické odchylky je nepohodlná, pracuje se zpravidla s její
druhou mocninou, tj. – explicitně řečeno – s druhou mocninou střední kvadratické odchylky,
neboli se střední hodnotou druhé mocniny odchylky od střední hodnoty. Odchylka je fyzikální
veličinou jaká každá jiná, a proto pro ni lze definovat také její operátor, tj. operátor odchylky
od střední hodnoty

ˆˆ ˆ
FF F∆= −
(5.32)

Poté lze definovat operátor druhé mocniny odchylky od střední hodnoty vztahem

() ()
2
2
ˆˆˆˆˆ
FFFFF∆=∆∆=− (5.33)

a dále pak vypočíst střední hodnotu druhé mocniny odchylky od střední hodnoty. Na
výpočet střední hodnoty libovolné veličiny, a tedy i střední hodnoty druhé mocniny odchylky
od střední hodnoty, lze použít operátorový výraz ( 5.13 ). Bude tedy platit

() ()
()()
22
ˆˆ ˆ
F F dx F F dx F F dx
∗
∗∗
∆=Ψ∆Ψ=Ψ∆∆Ψ=∆Ψ∆Ψ
∫∫∫

(5.34)

Nyní chceme, aby střední kvadratická odchylka této fyzikální veličiny od střední
hodnoty byla rovna nule, tj. aby částice ve stavu popisovaném touto funkcí měla ostrou
hodnotu. Znamená to, že musí být splněna rovnice

()
2
ˆ
0F∆=
(5.35)

V této rovnici se za integrálem (5.34) objevuje druhá mocnina absolutní hodnoty vlnové
funkce, a integrál tedy může být roven nule pouze tehdy, je-li alespoň jedna z funkcí v
součinu za integrálem rovna nule. Musí tedy platit:

()
ˆˆ ˆ ˆ
0FF F F−Ψ=⇒Ψ=Ψ
(5.36)

neboli

Moderní fyzika 23
ˆ
FFΨ= ⋅Ψ
(5.37)

Pokud bude tato rovnice splněna, pak uvažovaná veličina nabývá hodnoty F, která je
totožná její střední hodnotou – neboli daná veličina nabývá neustále stále téže hodnoty F,
která je tedy ostrou hodnotou této veličiny. Tedy podmínkou pro to, aby daná veličina měla
ostrou hodnotu F, je to, že vlnová funkce popisující stav částice bude vyhovovat poslední
rovnici, přičemž hodnota F vystupující v poslední rovnici bude právě tou ostrou hodnotou,
které má částice v daném stavu nabývat.
Mění se zde tedy přístup k vlnové funkci a ostré hodnotě fyzikální veličiny. Až dosud
jsme při všech úvahách (mlčky) předpokládali, že vlnovou funkci známe, a operátor jsme
aplikovali na již existující vlnovou funkci (například při výpočtu střední hodnoty). Nyní však
budeme prostřednictvím operátoru přímo hledat vlnovou funkci, a to tak, že vyžadujeme, aby
byla splněna poslední rovnice, která se nazývá rovnice pro vlastní hodnoty operátoru. Vlnová
funkce, která se získá řešením rovnic pro vlastní hodnoty operátoru, se pak nazývá vlastní
funkcí (daného operátoru).
Vzhledem k tomu, že vlastní funkce popisuje reálné stavy částice, musí tato vlnová
funkce splňovat jakési požadavky. Vlastní funkce musí být:
• spojitá
• nenulová
• ohraničená
• kvadraticky integrovatelná a
• v prostoru jednoznačná.
Funkce vyhovující těmto požadavkům se nazývá regulární.

Na první pohled tyto požadavky vypadají celkem „přirozeně“, avšak ve skutečnosti
představují pro vlnové funkce velice vážné omezení, takže z velkého spektra funkcí, které
splňují rovnici pro vlastní hodnoty operátoru, zůstane pouze nějaká jejich podmnožina.
Analogicky způsobí požadavky regularity vlnové funkce to, že vlastní hodnoty operátoru
budou také nějakým způsobem omezeny; obecně budou tvořit pouze nějakou podmnožinu
množiny všech komplexních čísel. Vlastní hodnoty operátorů mohou být v konkrétních
případech buď diskrétní hodnoty nebo spojité hodnoty (např. intervaly dovolených hodnot)
nebo mohou být spojité v celém reálném intervalu.
Souhrnně lze říci, že fyzikální veličiny nabývají ostrých hodnot v těch stavech, které
jsou popsány vlastními funkcemi operátoru příslušné fyzikální veličiny. Např. částice bude
mít ostré hodnoty hybnosti tehdy, jestliže se bude nacházet ve stavu, který bude popsán
vlnovou funkcí, jež bude vlastní funkcí operátoru hybnosti. Pokud se částice bude nacházet ve
stavu, který je popsán vlnovou funkcí, která ale již není vlastní funkcí operátoru hybnosti (je
například superpozicí takovýchto funkcí), pak hybnost v tomto stavu (tj. „mezistavu“) již
nebude mít ostrou hodnotu, ale bude nabývat jednotlivých hodnot úměrně tomu, jak jsou
jednotlivé vlastní funkce operátoru hybnosti „zastoupeny“ v superponované vlnové funkci
popisující daný mezistav.

24 FEKT Vysokého učení technického v Brně
5.10 Kontrolní otázky k podkapitole 5.9
1. Uveďte, jak vypadají operátory polohy, hybnosti a energie.
2. Jak se stanoví střední hodnota libovolné fyzikální veličiny částice, znáte-li
vlnovou funkci této částice a operátor fyzikální veličiny.
3. Co je vlastní funkce a vlastní hodnota operátoru?
4. Co vyjadřuje pojem regularita funkce ?
5. Jak souvisí ostrá hodnota fyzikální veličiny s vlastní funkcí operátoru příslušného
k této fyzikální veličině?
6. Kdy, za jakých okolností, se pozorují neostré hodnoty fyzikálních veličin ?
5.11 Současná měřitelnost fyzikálních veličin a Heisenbergovy relace
neurčitosti (HRW 39.8)
V kapitole o komutativnosti operátorů bylo uvedeno, že pokud lze dva různé operátory
aplikovat na nějaký soubor vlnových funkci v libovolném pořadí s týmž výsledkem, pak tyto
operátory komutují. Z pohledu předchozí kapitoly musí být tato vlnová funkce, při působení
na niž oba operátory komutují, vlastních funkcí obou operátorů. Pokud tedy dva operátory
komutují, pak to znamená, že mají společné vlastní funkce; obecněji říkáme, že mají společný
systém vlastních funkcí. Jestliže je však nějaká vlnová funkce vlastní funkcí operátoru ,
pak to znamená, že fyzikální veličina příslušející tomuto operátoru nabývá ostré hodnoty F.
Analogicky platí, že když je nějaká vlnová funkce vlastní funkcí jiného operátoru G , pak to
znamená, že fyzikální veličina příslušející tomuto operátoru nabývá ostré hodnoty G. Protože
v případě komutujících operátorů je studovaná vlnová funkce Ψ vlastní funkcí obou
operátorů, znamená to, že částice ve stavu popsaném touto vlnovou funkcí Ψ má ostré
hodnoty veličiny F i veličiny G – a ty se pak dají zjistit měřením.
ˆ
F
ˆ
Jak ovšem již z kapitoly o komutativnosti operátorů víme, je tento stav spíše výjimkou,
poněvadž operátory spolu častěji spíše nekomutují než komutují. To ale znamená, že běžným
(převažujícím) případem bude situace, kdy studovaná vlnová funkce y je vlastní funkcí
jednoho operátoru (např. energie) a již nikoli vlastní funkcí nějakého jiného operátoru G
(např. souřadnice). To pak znamená, že částice ve stavu popsaném touto vlnovou funkcí ψ
nabývá ostré hodnoty veličiny F, ale že hodnoty veličiny G jsou již rozmazány; veličina G má
neostrou hodnotu. To je právě jedna z novinek, kterou kvantová fyzika přináší: Jestliže jedna
z měřených veličin má ostrou hodnotu, pak druhá veličina již ostrou hodnotu mít nemusí.
Tomu je třeba jasně rozumět: Nejedná se o nějakou nedokonalost měřicí aparatury, ale o
vnitřní základní vlastnost hmoty – přesné určení jedné fyzikální veličiny principiálně vylučuje
možnost přesného stanovení jiné fyzikální veličiny. Je to opět jeden z rysů kvantové fyziky,
který je v klasické fyzice zcela neznámý.
ˆ
F
ˆ
Představme si analogii opět s autem jedoucím po dálnici. Podle předchozího odstavce je
možné z dvojice fyzikálních veličin popsaných nekomutujícími operátory přesně určit vždy
nejvýše jednu z nich; u druhé veličiny lze určit pouze nějakou střední hodnotu. Typické
nekomutující operátory jsou operátory souřadnice a hybnosti. Zřejmě tedy v souladu s
vlastnostmi nekomutujících operátorů lze u auta jedoucího po dálnici určit pouze například
souřadnici, ale již nikoli hybnost (tj. vlastně rychlost). Myšlenka, že jakmile určíme u
pohybujícího se auta jeho polohu, nelze již určit jeho rychlost, je něco zcela nového (a pro
dopravní polici sledující dodržování povolené rychlosti by to bylo velice nepříjemné). Je to
prostě poznatek, který je v hlubokém rozporu s našimi dosavadními zkušenostmi s objekty z
Moderní fyzika 25
makrosvěta. Nicméně i navzdory zkušenostem z makrosvěta je poznatek o omezení současné
měřitelnosti dvou fyzikálních veličin platný.
Poznámka: Skutečnost, že u auta jedoucího po dálnici lze v praxi současně stanovit
polohu i rychlost, je dána tím, že z kvantově mechanického pohledu se auto nachází v určitém
stavu, jehož vlastní hodnoty jedné veličiny (např. rychlosti či naopak souřadnice) leží v těsné
blízkosti vedle sebe, ať již diskrétně nebo spojitě. Může nastat taková situace, že vlnová
funkce popisující auto na dálnici je vlastní funkcí operátoru hybnosti, a proto tedy můžeme
stanovit rychlost auta zcela přesně. Tato vlnová funkce popisující auto na dálnici však již
nemůže být vlastní funkcí operátoru souřadnice, protože operátory hybnosti a souřadnice
nekomutují. Proto souřadnice (poloha) auta již není ostrá, ale rozmazaná. Potud je vše
principiálně jasné (snad), ale jak to, že tedy auto ve skutečnosti má přesnou polohu i přesnou
rychlost (policie to dokáže zaznamenat zcela přesně) ? Vysvětlení je takové: Hodnota
souřadnice je neostrá a rozmazaná, ale pouze v intervalu, který je pro prakticky dosažitelnou
přesnost měření polohy na dálnici zcela bezvýznamný, např. u auta nacházejícího se na
kilometru 100 na dálnici bude tento interval například (100 000,000 000 001 ; 100 000,000
000 002) v metrech měřených od Prahy. Tj. „rozmazanost“ údaje polohy je až na15. (slovy
patnáctém) platném místě, tj. na úrovni meziatomových vzdáleností v krystalech. Pro
praktickou aplikaci – současné stanovení polohy a rychlosti auta – je tedy tato rozmazanost
zcela bez významu. Rozmazání takového řádu bude mít ovšem význam na atomární či
subatomární úrovni.
Stav, kdy vlnová funkce je vlastní funkcí jednoho operátoru a současně není vlastní
funkcí druhého operátoru, je ovšem pořád ještě velice příznivá. Zkusme se podívat na situaci
z jiného úhlu pohledu: Určitá konkrétní fyzikální situace, tj. určitý konkrétní stav částice v
mikrosvětě, je popsán jednou konkrétní vlnovou funkcí ψ. Ta představuje úplný popis částice
a jejího stavu. Nyní ovšem existuje velké množství operátorů fyzikálních veličin, obecně
poloha, hybnost, energie, moment hybnosti atd. Proto bude zřejmě č