moderní fyzika

vou, tj. že mohou vystupovat v podobě vlnění, ohýbat se a interferovat.
Vlnové charakteristiky částic, tj. především vlnová délka λ, frekvence f a vlnové číslo vlnění
příslušného k částici jsou dány vztahy:

E
f
h
= ( 4.1 )
h
p
λ=
( 4.2 )
a
2
22
hh
p
pp
k
π
ππ
λ
====
!

( 4.3 )

Konstanta ħ vystupující v předchozích vztazích se nazývá Diracova konstanta. Je dána
vztahem
2
h
π
=! , ( 4.4 )

kde h je Planckova konstanta, a její hodnota činí . Js 10054,1
34−
⋅=!
Tato hypotéza byla v roce 1927 prokázána Davissonovým – Germerovým pokusem.
Oba fyzici navrhli experiment, při němž ostřelovali monokrystal kovu nízkoenergetickými
elektrony a pozorovali rozložení intenzity odražených elektronů. Očekávali spojité rozložení
odražených elektronů – což se mělo na světlocitlivé vrstvě (fotografii) projevit jako kruhová
skvrna s pomalu a plynule slábnoucím zčernáním směrem od středu k okraji – ale namísto
toho obdrželi soustavu zřetelných soustředných kružnic, tj. pravidelné střídání světlých a
tmavých kruhových proužků. Tmavá mezikruží odpovídala místům, kam elektrony dopadaly
velmi často (a proto tam film zčernal), zatímco světlá mezikruží byla na těch místech, kam
dopadlo málo elektronů a kde tedy film nezčernal. Experiment ukázal, že elektrony se chovají
podobně jako světlo při průchodu tenkou dielektrickou vrstvou, tj. že se chovají jako vlnění,
které se láme a odráží na rovinách odpovídajících krystalickým rovinám v monokrystalu a
následně interferuje jako obyčejné vlnění.

Moderní fyzika 11
Teprve daleko později, až v roce 1961, byl proveden modelový experiment, při kterém
se nechal dopadat svazek elektronů na štěrbinu a na stínítku se poté pozorovala nikoli pouze
stopa elektronového svazku (tj. obraz štěrbiny „promítnutý“ na stínítku, podobně jako stopa
elektronového svazku v televizoru), nýbrž interferenční obrazec, podobně jako tomu je u
interferenčního obrazce vzniklého při dopadu světla na štěrbinu.

4.1 Shrnutí kapitoly 4
Částice se mohou chovat jako vlnění a lze jim přiřadit vlnové vlastnosti, které lze popsat
veličinami sloužícími pro popis vlnění, především vlnovou délkou a frekvencí. Tyto dvě
základní vlnové charakteristiky jsou dány rovnicemi (4.1) a (4.2).

Příklad 4.1:

Jaká je vlnová délka de Broglieovy vlny elektronu, jehož kinetická energie je 120 eV?

Řešení:

De Broglieovu vlnovou délku elektronu najdeme z rovnice (4.2) ze známé hybnosti
elektronu. Pro kinetickou energii elektronu použijeme nerelativistický vztah E
k
= mv
2
/2.
Pokud do něj dosadíme kinetickou energii E
k
= 120 eV, obdržíme pro rychlost elektronu v =
6,5.10
-6
m/s, což rychlost dostatečně nízká oproti rychlosti světla (c = 3.10
-8
m/s), takže
skutečně lze použít nerelativistické vztahy jak pro energii, tak pro hybnost (p = mv). Po
vyloučení rychlosti z obou výrazů dostaneme
p = √(2mE
k
) = √(2 . 9,11 . 10
-31
. 120 . 1,602 . 10
-19
) = 5,91 . 10
-24
kg.m/s (4.5)

Dosazením do rovnice (4.2) poté obdržíme:

λ = h/p = 6,63 . 10
=34
/ 5,91 . 10
-24
= 1,12 . 10
=10
m = 0,112 nm. (4.6)

Poznámka: Výsledek je číselně shodný s typickou velikostí atomu.


4.2 Kontrolní otázky ke kapitole 4
HRW – Otázky 39.12 – 14, 39.15 (porovnejte s elektronem urychleným napětím 32
kV), 39.17
4.3 Neřešené příklady ke kapitole 4
HRW – Cvičení a otázky 39.49 – 56, 39.58 – 65
12 FEKT Vysokého učení technického v Brně

5 Základní představy kvantové mechaniky
Cíl: V této kapitole bude vytvořen základní pojmový aparát kvantové mechaniky.
Budou vysvětleny hlavní pojmy kvantové mechaniky, tj. zejména stav částice, vlnová
funkce a princip superpozice. Bude objasněn pravděpodobnostní význam vlnové funkce
a bude vysvětlen rozdíl mezi střední hodnotou fyzikální veličiny měřené na souboru
velkého počtu částic a konkrétní hodnotou téže veličiny pro jednu konkrétní částici.
Dále budou zavedeny operátory fyzikálních veličin a budou vysvětleny pojmy
komutativnost operátorů, vlastní funkce a vlastní hodnoty operátoru. Na závěr kapitoly
bude pojednáno o současné měřitelnosti fyzikálních veličin a bude formulován poznatek
o nemožnosti současného měření určitých párů fyzikálních veličin (Heisenbergův
princip neurčitosti) jakožto důsledek obecné vlastnosti nekomutujících operátorů.

Experimenty a úvahy prováděné ve 20. a 30. letech 20. století vedly v obecné podobě k
následujícímu poznatku: Určité charakteristiky látek (např. energie, hybnost, poloha) mohou v
mikrosvětě nabývat pouze diskrétních, nespojitých hodnot.

Tento poznatek je v hlubokém rozporu s dosavadními, „klasickými“ fyzikálními
představami. Až dosud byly charakteristiky hmotných objektů spojité. Pokusme se navrhnout
analogii v oblastech každodenního života, které jsou všem dobře známé. Pokud máme např.
auto jedoucí po silnici, asi každý bez zaváhání uvede, že poloha auta na dálnici se mění
spojitě a že rychlost auta se rovněž mění spojitě. Myšlenka, že by rychlost auta mohla nabývat
pouze diskrétních hodnot nebo že by se auto mohlo nacházet pouze v diskrétních polohách a v
žádných jiných, by se patrně setkala s posměchem či v lepším případě s nevírou, poněvadž by
to bylo něco, co odporuje naší každodenní zkušenosti.

Částice v mikrosvětě se však chovají jinak než objekty v makroskopickém světě a platí
pro ně jiné zákony, totiž zákony nového oboru fyziky, který se začal vyvíjet právě ve 20. a 30.
letech 20. století a pro který se ustálil název kvantová mechanika (někdy také ve starší
literatuře vlnová mechanika). Přesněji řečeno: Zákony kvantové mechaniky jsou univerzální
fyzikální zákony, které platí v celém nám známém vesmíru, a tedy nutně také i v našem
makrosvětě. V rovnicích kvantové fyziky však vystupuje hmotnost objektů, přičemž se
vzrůstající hmotností objektů se jejich chování přibližuje klasickým představám, tak jak jsou
vyjádřeny např. Newtonovými zákony. Pro částice s hmotností větší než hmotnost jednoho
atomu už prakticky není zapotřebí používat rovnice kvantové mechaniky a při jejich popisu se
plně vystačí s rovnicemi klasické mechaniky. Pro popis chování objektů s menší hmotností –
např. elektronů – je však kvantová mechanika již nezbytná, poněvadž jejich chování, které je
poté pro praktické aplikace tak důležité (pásová struktura pevných látek a na ní založená
veškerá fyzika a technologie polovodičů), již nelze na základě klasické mechaniky objasnit.
5.1 Stav částice
Ústředním pojmem kvantové mechaniky je „stav“ částice. Pojem „stav“ se používal již i
v klasické fyzice, zde však především jako stav systému (např. v termodynamice). Pokud se v
Moderní fyzika 13
klasické fyzice vyskytovala částice, používaly se k jejímu popisu veličiny jako poloha,
rychlost, hybnost, energie, zrychlení atd. Částice se poté považovala za plně popsanou,
jestliže byly výše uvedené veličiny známy popř. jestliže je alespoň bylo možno určit. Klasická
fyzika nepředpokládala, že by tyto veličiny nemusely mít smysl, a rozlišovala v podstatě
pouze dvě možnosti – veličiny jako poloha, rychlost atd. jsou známy (a poté je částice plně
popsána) nebo tyto veličiny známy nejsou (např. v systémech o velkých počtech částic, např.
ve statistické fyzice), nicméně jednoznačně existují a je to pouze problém nedostatečné
výpočetní kapacity či neznámých počátečních podmínek, že je nedokážeme stanovit. Stav
částice (pokud se tento pojem v klasické fyzice vůbec použil) je v klasické fyzice pouze
souhrnem jejích jednotlivých parametrů. V kvantové fyzice je pojetí pojmu stav přesně
opačné – částice se vždy nachází v nějakém stavu, který je plně popsán jistou vlnovou
funkcí. Pokud se částice nachází v nějakém stavu, pak je možné, že nějaká veličina, která je k
této částici přiřazena (např. poloha či rychlost), může mít přesně a jednoznačně měřitelnou
hodnotu, ale je také možné, že v daném stavu vůbec není možné dané částici nějakou určitou
hodnotu příslušné veličiny přiřadit. To je představa, která je v klasické fyzice zcela neznámá.

Stav částice je tedy tím primárním, výchozím, co danou částici charakterizuje, a
všechny ostatní veličiny jsou tedy od ní odvozené. V kvantové mechanice se proto často
používá obrat „částice v tomto stavu má takovou a takovou rychlost (polohu, energii atd.)“.
5.2 Vlnová funkce
Matematickým popisem stavu částice je její vlnová funkce, pro kterou se zpravidla
používá označení Ψ, popř. Ψ(x,y,z,t), aby se tak vyznačily nezávislé proměnné, na nichž
hodnota vlnové funkce závisí. Hledání vlnových funkcí a jejich následující interpretace je
jednou z hlavních náplní činnosti v kvantové fyzice. Později se ukáže, že pro popis částice
není zapotřebí pracovat s celou vlnovou funkcí, ale pouze s některými vybranými hodnotami,
které z této vlnové funkce vyplývají.
5.3 Volná částice
V kvantové fyzice se často používá pojem „volná částice“. Tímto pojmem se rozumí
částice, která není podrobena žádným silovým omezením a která ani není vázána na nějakou
omezenou část prostoru. Je to částice, o niž se ví pouze to, že má hmotnost m, kinetickou
energii E a popř. hybnost p. Je to pouze abstrakce, něco podobného jako ideální plyn nebo
dokonalý nevodič, ale je užitečná pro další výklad.

Vlnová funkce volné částice vyhlíží následovně

() ([]txkjAtx ..exp., ω−=Ψ ) ( 5.1 )

Vlnová funkce má tvar jednoduché harmonické funkce definované na celé ose x, a
popisuje tedy volnou částici pohybující se podél osy x. Harmonická funkce se v celém svém
průběhu, v intervalu od – ∞ do + ∞, nijak nemění, periodicky se opakuje, „je pořád stejná“.
Proto se také volná částice může nacházet v libovolném místě, její poloha není nijak omezena
a současně ani nijak určena. Z porovnání de Broglieových vztahů a předchozí rovnice
14 FEKT Vysokého učení technického v Brně
vyplývá, že volná částice má energii
π
ω
2
hE = a hybnost
π2
k
hp = . Významem amplitudy A
se budeme zabývat dále. Později její hodnota vyplyne z požadavku, aby vlnová funkce byla
normována (viz dále). Zatím budeme předpokládat (aniž by obsah tohoto pojmu byl jasný), že
vlnové funkce, které zde budou používány, normovány jsou.
Základním principem kvantové mechaniky je princip superpozice. Jeho obsahem je
následující tvrzení: Jestliže se částice může nacházet ve stavu Ψ
1
(přesněji řečeno ve stavu
popsaném vlnovou funkcí Ψ
1
) a dále jestliže se může za týchž podmínek nacházet ve stavu Ψ
2

(přesněji řečeno ve stavu popsaném vlnovou funkcí Ψ
2
), pak se také může nacházet ve stavu,
který je popsán lineární kombinací obou uvedených vlnových funkcí, tj. ve stavu Ψ, kde platí:

2211
Ψ⋅+Ψ⋅=Ψ aa ( 5.2 )

Tento stav je z hlediska obou dvou předchozích stavů jakýmsi „mezistavem“ mezi stavy
Ψ
1
a Ψ
2
. Pro jednoduchost budeme dále uvažovat, že součet čtverců
2
2
2
1
aa + je roven
jedné. (Pokud by tento požadavek nebyl splněn, je možné vydělit funkci Ψ výrazem
2
2
2
1
aa + , a poté by již koeficienty u funkcí Ψ
1
a Ψ
2
tento požadavek splňovaly).
Vzniká otázka, jak se má tento princip superpozice interpretovat, jakou energii a
hybnost tato částice nacházející se v „mezistavu“ má. Interpretace je následující: Jestliže
budeme provádět experiment s částicemi popsanými touto vlnovou funkcí, budeme získávat
jako výsledky měření energie hodnoty E
1
nebo E
2
a hodnoty hybnosti p
1
nebo p
2
, ale žádné
jiné. Jestliže provedeme experiment s dostatečně velkým počtem částic, ukáže se, že částice o
energii E
1
a hybnosti p
1
jsou ve výsledku experimentu zastoupeny v počtu, který je úměrný
výrazu |a
1
|
2
a analogicky, že částice o energii E
2
a hybnosti p
2
jsou ve výsledku experimentu
zastoupeny v počtu, který je úměrný výrazu |a
2
|
2
. Před provedením experimentu nemůžeme
ani při znalosti podmínek experimentu říci předem, jaké hodnoty ta která konkrétní částice
nabude. Zjednodušeně řečeno, částice se až v okamžiku realizace experimentu „rozhodne“,
jaké hodnoty bude nabývat, a v tomto smyslu je tedy chování jedné individuální částice
nepředpověditelné. Jedná se o představu, která je v klasické fyzice nemyslitelná. (Představme
si například, že – v analogii k částici – máme auto a že jsou zadány jisté omezující podmínky,
které popisují jeho pohyb. V závislosti na počátečních podmínkách se pak auto bude v daném
čase t nacházet např. v místě o souřadnici x
1
a o rychlosti v
1
, není však možné a ani vůbec
představitelné, že by se nacházelo – v tomtéž čase a za shodných počátečních podmínek –
např. v místě o souřadnici x
2
a o rychlosti v
2
). Dá se také říci, že stav Ψ
1
je ve stavu Ψ
zastoupen úměrně |a
1
|
2
a stav Ψ
2
je ve stavu Ψ zastoupen úměrně |a
2
|
2
.

Příklad 5.1:
Nechť je dána vlnová funkce . Pak stav Ψ
1
0,8 0, 6Ψ= ⋅Ψ + ⋅Ψ
2
1
je ve stavu Ψ
zastoupen úměrně číslu 0,8
2
= 0,64, tj. pravděpodobnost, že částice bude nabývat hodnoty
energie E
1
a hodnoty hybnosti p
1
, je rovna 64 %. Analogicky stav Ψ
2
je ve stavu Ψ zastoupen
úměrně číslu 0,6
2
= 0,36, tj. pravděpodobnost, že částice bude nabývat hodnoty energie E
2
a
hodnoty hybnosti p
2
, je rovna 36 %.

Moderní fyzika 15
V této souvislosti se používá pojem ostrá a neostrá hodnota. Říkáme, že energie a
hybnost mají ve stavech Ψ
1
a Ψ
2
ostrou hodnotu, ve stavu Ψ neostrou hodnotu. V kvantové
fyzice se často vyskytují takové stavy, v nichž má jedna veličina ostrou hodnotu, zatímco
druhá veličina má neostrou hodnotu.
5.4 Kontrolní otázky k podkapitole 5.3
1. Jak vypadá vlnová funkce volné částice ? Nakreslete ji graficky a napište její
analytické vyjádření.
2. Co to je princip superpozice ?
3. Vysvětlete pojmy ostrá a neostrá hodnota.
5.5 Střední hodnota energie částice
V mezistavu není předem známa hodnota fyzikální veličiny určité konkrétní částice,
např. její energie. Průměrná hodnota však známa je; lze ji přesně vypočítat a poté také
experimentálně ověřit. V předchozím příkladě vypočteme střední hodnotu energie E takto:


2
2
1
2
.6,0.8,0 EEE +=
( 5.3 )

obecněji tedy

2
2
21
2
1
.. EaEaE +=
( 5.4 )

Výsledek je možné interpretovat takto: Při experimentu s částicí popsanou vlnovou
funkcí Ψ se u každé jednotlivé částice zjistí buď energie E
1
nebo energie E
2
, přičemž až do
dosažení výsledku měření nebude možné říci, které hodnoty to bude. Měřením v jednotlivých
po sobě následujících experimentech se tedy bude vytvářet soubor jednotlivě změřených
hodnot energie s tím, že energie E
1
se bude vyskytovat v 64 % případů a energie E
2
ve 36 %
případů. Pokud se experiment bude opakovat dostatečně mnohokrát nebo pokud bude
proveden jednou, ale hromadně s velkým počtem částic, bude se střední hodnota energie
částice blížit k hodnotě E , přičemž shoda mezi střední hodnotou energie zjištěnou z
experimentů a teoreticky očekávanou hodnotou E bude tím lepší, čím větší počet částic se
bude experimentu účastnit.
Je tedy zřejmé, že pro „výslednou“ střední hodnotu energie mají velký význam
koeficienty a
1
a a
2
. Tento poznatek se nyní pokusíme formulovat přesněji.
5.6 Pravděpodobnostní význam vlnové funkce (HRW 40.3)
V experimentech s fotony (tepelné záření, fotoefekt) mělo vlnění související s fotonem
jednoduchou fyzikální interpretaci – bylo to elektromagnetické vlnění, tj. v prostoru
existovalo časově proměnné elektromagnetické pole. Nabízí se otázka, jaký význam má
vlnová funkce, resp. jaký charakter má vlnění, jehož frekvence a vlnová délka jsou popsány
de Broglieovými vztahy, „co to je za vlnění“, „vlnění čeho“.
16 FEKT Vysokého učení technického v Brně
Vlnová funkce Ψ vyjadřuje stav částice a nelze ji spojovat s nějakou konkrétní
měřitelnou veličinou, jakou je např. u elektromagnetického vlnění intenzita elektrického pole
E či magnetická indukce B. Také její hodnotu nelze měřit. Vlnová funkce popisuje stav
částice, tj. výskyt částice v určité části prostoru a v určitém čase; veličina
2
Ψ je hustotou
pravděpodobnosti výskytu částice v dané poloze, tedy výraz dV
2
Ψ udává elementární
pravděpodobnost, že se částice vyskytuje v části prostoru o objemu dV. Píšeme:

()dVzyxdP
2
,,Ψ= , ( 5.5 )

přičemž dP udává pravděpodobnost, že se částice popsaná vlnovou funkcí Ψ nachází v
prostorovém útvaru o objemu dV, např. v útvaru ve tvaru kvádru (x, x+dx) x (y, y+dy) x (z,
z+dz). Pravděpodobnost P
0
(již nikoli elementární), že částice se nachází v konkrétní části
prostoru V
0
, je pak dána výrazem:

()dVzyxP
V
∫
Ψ=
0
2
0
,,
( 5.6 )

Pokud částice vůbec existuje, pak se musí někde v prostoru nacházet, a
pravděpodobnost jejího výskytu v celém prostoru je rovna 1 (jistotě). Vlnová funkce Ψ(x,y,z)
tedy musí splňovat podmínku

() 1,,
2
=Ψ
∫
dVzyx
celk
V

( 5.7 )

Funkce, které tuto podmínku splňují, se nazývají normované vlnové funkce a v dalším
budeme předpokládat, že všechny dále používané funkce tuto podmínku splňují. (Pokud by
tento požadavek nebyl splněn, je možné vydělit nenormovanou funkci Ψ výrazem
()dVzyx
celk
V
∫
Ψ
2
, , načež tato nová vlnová funkce by již normovací podmínku splňovala). Pro
úplnost je třeba dodat, že existují i vlnové funkce, které sice tímto způsobem normovat nelze
(např. vlnová funkce volné částice), ale přesto je lze používat. Jejich výklad by překročil
rámec tohoto textu.
Charakter vlnové funkce, popisující stav částice, je tedy podstatně odlišný od charakteru
analogické funkce popisující elektromagnetické vlnění, tj. závislosti intenzity elektrického či
magnetického pole (popř. indukce) na čase a souřadnicích. Zatímco u elektromagnetického
pole udává hodnoty funkce E(x,y,z,t) hodnotu intenzity elektrického pole v daném místě
prostoru a v daném čase, a je to tedy veličina, kterou lze (alespoň principiálně) naměřit;
vlnová funkce Ψ udává „pouze“ výskyt částice v daném stavu a žádný přímo měřitelný
výsledek neposkytuje. Při měření se daná částice na daném místě prostoru a v daném čase
buď nachází nebo nenachází – to jsou jediné dva možné výsledky experimentu s jednou
konkrétní částicí. Teprve při opakování experimentu s velkým počtem částic se ukazuje, že
elementární pravděpodobnost dP, že daná částice v daném stavu se bude v dané části prostoru
dV nacházet, je rovna ()dVzyx
2
,,Ψ , načež pravděpodobnost výskytu částice je úměrná
počtu částic nacházejících se v objemu dV, což už je měřitelná veličina.
Moderní fyzika 17
5.7 Kontrolní otázky k podkapitole 5.6
Jaký je význam vlnové funkce Ψ(x,y,z) ?
5.8 Střední hodnota obecných fyzikálních veličin (jiných než energie)
Jestliže pravděpodobnost výskytu částice ve stavu, v niž nějaká fyzikální hodnota
nabývá konkrétní hodnoty u, je dP, pak střední hodnota této veličiny u je zřejmě rovna

∫
= udPu
( 5.8 )

(Jedná se o vztah z matematické teorie pravděpodobnosti, který nemá s fyzikou nic
společného, leda snad to, že se ve fyzice používá). Problém může nastat ve způsobu výpočtu
integrálu, poněvadž z hlediska matematiky je zapotřebí, aby výraz, který se integruje, byl
funkcí integrační proměnné, což v předchozím vztahu obecně splněno není. Předchozí vztah
lze snadno použít pro výpočet střední hodnoty souřadnice

∫
= xdPx
( 5.9 )

poněvadž elementární pravděpodobnost dP lze vyjádřit jako ()dxzyx
2
,,Ψ , takže lze psát

()
∫∫
ΨΨ=Ψ= dxxdxxxx
*
2
( 5.10 )

Při zápisu jsme využili matematický poznatek, že druhou mocninu absolutní hodnoty
komplexního čísla lze vyjádřit jako součin tohoto komplexního čísla s číslem k němu
komplexně sdruženým (označeným v předchozí rovnici