Jednoduché rezistivní obvody

Kapitola 2
Jednoduché rezistívne obvody.
V ďalšom uvedieme základné metódy analýzy jednoduchých rezistívnych elektrických obvodov. Myslíme tým
obvody, ktoré sa skladajú z jedného zdroja napätia (prúdu), ktorý napája sústavu ľubovoľného množstva
rezistorov. Zameriame sa na typické štruktúry, ktoré je dobré poznať a rutinne s nimi narábať. V praxi
elektrickýchobvodovsa s nimi častostretneme - delič prúdu a napätia, sériovo-paralelnýobvoda usporiadania
do hviezdy a do trojuholníka. Všeobecnejším metódam analýzy aj zložitejších elektrických sietí sa potom
budeme venovať v ďalších kapitolách.
2.1 Sériové spojenie rezistorov. Odporový delič napätia.
Odporový delič napätia je zložený z N rezistorov zapojených do série (obr. 2.1).
Obr. 2.1: Odporový delič napätia.
Uvažujme, že na celej takejto sériovej kombinácii je napätie u. Napíšeme rovnicu 2. Kirchhoffovhozákona
pre slučku S
−u + u1 + u2 + ···+ uN = 0 (2.1)
Hovoríme, že celkové napätie u sa na rezistoroch delí na napätia (u1,u2,...,uN). Všetkými rezistormi tečie
rovnaký prúd i. Napätie na ľubovoľnom rezistore vyjadríme z Ohmovho zákona
uk = Rk.i; k = 1,...,N (2.2)
Dosadíme napätie na k−tom rezistore z (2.2) do (2.1) a vyjadríme celkové napätie u
u = i.
Nsummationdisplay
k=1
Rk. (2.3)
Do rovnice (2.2) dosadíme za prúd z (2.3) a dostaneme vzťah pre napätie na k−tom rezistore
uk = RkR
1 + R2 + ··· + RN
· u. (2.4)
2.2. PARALELNÉ SPOJENIE REZISTOROV. ODPOROVÝ DELIČ PRÚDU. 21
Ak by sme celú sériovú kombináciu jedným nahradili rezistorom R tak, aby pri prúde i bolo na ňom také
isté napätie u, ako v prípade sériovej kombinácie rezistorov, jeho odpor by musel byť rovný súčtu odporov
sériovo zapojených rezistorov
R =
Nsummationdisplay
k=1
Rk. (2.5)
Obr. 2.2: Delič napätia zložený z dvoch rezistorov.
V praxi sa v elektrických obvodoch často stretávame s deličom napätia zloženým z dvoch rezistorov
(obr. 2.2). Je preto praktické zapamätať si vzťah pre napätie u2 na výstupe takéhoto deliča
u2 = R2R
1 + R2
· u (2.6)
2.2 Paralelné spojenie rezistorov. Odporový delič prúdu.
Odporový delič prúdu sa skladá z N paralelne zapojených rezistorov (obr. 2.3).
Obr. 2.3: Odporový delič prúdu.
Napíšeme rovnicu 1. Kirchhoffovho zákona pre uzol 1
i = i1 + i2 + ···+ iN (2.7)
Hovoríme, že prúd i sa delí na prúdy i1,i2,...,iN. Takúto paralelnú kombináciu rezistorov preto nazývame
odporový delič prúdu. Na všetkých rezistoroch je rovnaké napätie u. Prúd k−tym rezistorom ik vyjadríme
pomocou Ohmovho zákona
ik = 1R
k
· u = Gk.u; k = 1,...,N (2.8)
a dosadíme do rovnice (2.7). Pre prúd k−tym rezistorom platí
ik = GkG
1 + G2 + ···+ GN
·i. (2.9)
Ak by sme celú paralelnú kombináciu rezistorom nahradili jedným rezistorom R tak, aby pri prúde i bolo na
ňom také isté napätie u, jeho vodivosť by musela byť rovná súčtu vodivostí paralelne zapojených rezistorov
G =
Nsummationdisplay
k=1
Gk, (2.10)
22 KAPITOLA 2. JEDNODUCHÉ REZISTÍVNE OBVODY.
resp.
1
R =
Nsummationdisplay
k=1
1
Rk. (2.11)
Obr. 2.4: Delič prúdu zložený z dvoch rezistorov.
V praxi sa v elektrických obvodoch často stretávame s deličom prúdu zloženým z dvoch rezistorov
(obr. 2.4). Je preto praktické zapamätať si vzťah pre výsledný odpor R takejto paralelnej kombinácie dvoch
rezistorov
R = R1.R2R
1 + R2
(2.12)
a taktiež vzťah pre prúd ramenom takéhoto deliča
i2 = R1R
1 + R2
· i, i1 = R2R
1 + R2
·i. (2.13)
2.3 Sériovo–paralelná kombinácia rezistorov.
Viacnásobným kombinovaním sériovo a paralelne spojených skupín rezistorov vytvárame viac, či menej
zložité sériovo–paralelné obvody.
Obr. 2.5: Rezistory zapojené sériovo-paralelne (a) a ich náhrada (b).
Na obr. 2.5a je najjednoduchší možný sériovo-paralelne usporiadaných rezistorov. Takúto skupinu rezis-
torov môžeme vzhľadmo na uzly 1 a 2 považovať za dvojpól. Predstavme si, že takýto dvojpól potrebujeme
zjednodušiť - nahradiť jedným rezistorom R (obr. 2.5b). Inými slovami, potrebujeme nájsť celkový odpor R
medzi uzlami 1 a 2. Rezistor s odporom R je vzhľadom na uzly 1 a 2 ekvivalentný pôvodnej sériovoparalelnej
kombinácii rezistorov. Pri napätí u ním musí pretekať taký istý prúd i, aký pretekal celou sériovo-paralelnou
kombináciou.
Pri zjednodušovaní treba v sériovo–paralelnom obvode vždy nájsť skupinu rezistorov zapojených para-
lelne alebo sériovo, a nahradiť ju jedným. Tento postup treba opakovať dovtedy, kým sa obvod nezjednoduší
na jeden rezistor.
V našom prípade vidno, že rezistory R2 a R3 sú zapojené paralelne, preto ich môžeme nahradiť jedným,
ktorý označíme R23, pričom
R23 = R2.R3R
2 + R3
(2.14)
Rezistory R1 a R23 sú zapojené do série, teda pre výsledný odpor R platí
R = R1 + R23 (2.15)
2.4. ELEKTRICKÉ OBVODY S ODPOROVOU HVIEZDOU A TROJUHOLNÍKOM. 23
Po dosadení (2.14) do (2.15) dostaneme pre výsledný odpor R vzťah
R = R1.R2 + R2.R3 + R3.R1R
2 + R3
. (2.16)
2.4 Elektrické obvody s odporovou hviezdou a trojuholníkom.
Pri úpravách rezistívnych sietí sa môžeme stretnúť s prípadom, kedy v elektrickom obvode nájdeme skupiny
rezistorov, ktoré nie sú zapojené ani do série, ani paralelne. Na základe vyššie uvedených postupov obvod
nevieme zjednodušiť.
Obr. 2.6: O