Jednoduché rezistivní obvody

1
R57 =
1
R5 +
1
R6 +
1
R7,
odtiaľ R57 = 12Ω.
Rezistory R3, R4 a R57 sú zapojené do série, nahradíme ich jedným rezistorom, ktorý označíme R37 (obr. b)
R37 = R3 + R4 + R57 = 40Ω.
Rezistory R2 a R37 sú zapojené paralelne, nahradíme ich jedným rezistorom, ktorý označíme R27 (obr. c)
R27 = R2.R37R
2 + R37
= 20Ω.
Rezistory R1 a R27 sú zapojené do série, teda pre celkový odpor R rezistívnej siete vzhľadom na svorky
zdroja U (obr. d) dostaneme
R = R1 + R27 = 30Ω.
Vypočítame prúd I1
I1 = UR = 0,8A.
Z obvodu na obr. d už žiadny ďalší prúd vypočítať nevieme. Postupným zjednodušovaním sme strácali prvky
pôvodnej siete, teda aj prúdy, ktoré sú v pôvodnom obvode. Musíme sa preto vrátiť späť k obr. b. V tomto
2.5. PRÍKLADY. 27
obvode už nájdeme prúdy I2, I3 a I4. Môžeme začať napríklad prúdom I2 –vypočítame ho pomocou vzťahu
pre delič prúdu s dvoma paralelnými rezistormi (2.13)
I2 = I1 · R37R
2 + R37
= 0,4A
Prúdy I3 a I4 vypočítame pomocou 1. Kirchhoffovho zákona
I3 = I1 −I2 = 0,4A,
I4 = −I3 = −0,4A.
Vrátime sa do pôvodného obvodu, kde vypočítame napätie U57
U57 = I3.R57 = 4,8V.
Napätie U57 je na celej paralelnej kombinácii R5, R6 a R7, teda prúdy týmito rezistormi už môžeme vypočítať
pomocou Ohmovho zákona
I5 = U57R
5
= 0,16A, I6 = U57R
6
= 0,12A, I7 = −U57R
7
= −0,12A.
Nakoniec sa presvedčíme, že v obvode platí Tellegenova veta. Vypočítame výkony všetkých dvojpólov a
overíme, že ich súčet je rovný nule. Prúd zdrojom je orientovaný proti smeru jeho napätia, teda jeho výkon
vypočítame podľa vzťahu
PU = −U.I1.
Výkon Pk spotrebovaný k-tym rezistorom vypočítame podľa vzťahu
Pk = Rk.I2k; k = 1,...,7.
Výsledky sú uvedené v tabuľke.
Prvok Výkon[W]
U –19,2
R1 6,4
R2 6,4
R3 1,28
R4 3,2
R5 0,768
R6 0,576
R7 0,576summationtext
P 0
28 KAPITOLA 2. JEDNODUCHÉ REZISTÍVNE OBVODY.
Príklad 5 V obvode na obr. 5 vypočítajte všetky prúdy.
Obr. 5.
U = 35V, R0 = 10Ω, R1 = 25Ω, R2 = 50Ω, R3 = 20Ω, R4 = 10Ω, R5 = 50Ω.
Riešenie.
Žiadne rezistory v zadanej sieti nie sú zapojené navzájom ani sériovo, ani paralelne. Sieť však obsahuje
tri odporové hviezdy - R0−R1−R2, R1−R3−R5, R2−R4−R5 a dva odporové trojuholníky R1−R2−R5
a R3 − R4 − R5. Skúsme transfigurovať niektorý trojuholník na hviezdu, napríklad R1 − R2 − R5. Obvod
po transfigurácii je na obr. a. Pretože sme použili ekvivalentnú hviezdu, ostatné napätia a prúdy vo zvyšku
siete (UAB, I, I3, I4) sa nezmenili. Prúdy I1, I2 a I5 ale v takejto zmenej sieti nenájdeme, pretože sa v
nej nenachádzajú prvky, ktorými tiekli! Výhodou ale je, že máme sériovo-paralelnú odporovú sieť, ktorú už
vieme zjednodušiť.
Obr. a.
Rezistory ekvivalentnej hviezdy RA, RB a RC určíme pomocou transfiguračných vzťahov (2.17)
RA = R1.R2R
1 + R2 + R5
= 10Ω,
RB = R5.R1R
1 + R2 + R5
= 10Ω,
RC = R2.R5R
1 + R2 + R5
= 20Ω.
Vypočítame celkový odpor siete R vzhľadom na zdroj napätia
R = R0 + RA + (RB + R3).(RC + R4)R
B + R3 + RC + R4
= 35Ω
2.5. PRÍKLADY. 29
a celkový prúd I získame pomocou Ohmovho zákona
I = UR = 1A.
Prúd I3 môžeme vypočítať pomocou vzťahu pre delič prúdu (2.13)
I3 = I · RC + R4R
B + R3 + RC + R4
= 0,5A,
prúd druhým ramenom deliča I4 už môžeme určiť pomocou 2. Kirchhoffovho zákona
I4 = I −I3 = 0,5A
V transfigurovanej vypočítame napätie UBC – napíšeme rovnicu 2. Kirchhoffovho zákona pre slučku S
UBC = R3.I3 −R4.I4 = 5V
Zvyšné prúdy vypočítame pomocou 1. Kirchhoffovho zákona pre uzly B a A
I1 = I3 + I5 = 0,6A,
I2 = I −I1 = 0,4A.
Nájdime v obvode riešenie aj iným spôsobom – opačnou transfiguráciou. Skúsime vypočítať prúdy v sieti
tak, že nahradíme niektorú odporovú hviezdu trojuholníkom. Transfigurujme napríklad hviezdu RA–RC–RD
(obr. b).
U
R0
RDA
RCD
RAC
R4
R2
A
C
D
I I2
I4
UAD
UCD
Obr. b.
Rezistory ekvivalentného trojuholníka RAC, RCD a RDA určíme pomocou transfiguračných vzťahov
(2.18).
RAC = R5 + R1 + R5.R1R
3
= 137,5Ω,
RCD = R3 + R5 + R3.R5R
1
= 110Ω,
RDA = R1 + R3 + R1.R3R
5
= 55Ω.
Znova sme dostali sériovo-paralelný obvod. Pre vyššiu prehľadnosť zlúčime paralelné dvojice rezistorov R2–
RAC a R4–RCD (obr. c)
R′ = RAC.R2R
AC + R2
= 1103 Ω; R′′ = RCD.R4R
CD + R4
= 556 Ω.
30 KAPITOLA 2. JEDNODUCHÉ REZISTÍVNE OBVODY.
Obr. c.
Vypočítame celkový odpor R siete vzhľadom na zdroj napätia
R = R0 + RDA.(R
′ + R′′)
RDA + R′ + R′′ = 35Ω
a z Ohmovho zákona celkový prúd I
I = UR = 0,5A.
Napíšeme rovnicu 2. Kirchhoffovho zákona pre slučku S
UAD −U + R0.I = 0,
odtiaľ
UAD = U −R0.I = 25V.
Pomocou vzťahu pre delič napätia (2.6) získame napätie UCD
UCD = R
′′
R′ + R′′ · UAD = 5V.
To isté napätie UCD je prítomné aj v sieti na obr. b, teda pre prúd I4 platí
I4 = UCDR
4
Vrátime sa do sieti na obr. b. Pomocou rovnice 2. Kirchhoffovho zákona
R2.I2 + UCD −UAD = 0
získame prúd I2
I2 = UAD −UCDR
2
= 0,4A.
Ostatné prúdy vypočítame pomocou 1. Kirchhoffovho zákona (obr. b)
I1 = I −I2 = 0,6A, I3 = I −I4 = 0,5A, I5 = I1 −I3 = 0,1A.
Vidíme, že v prípade obidvoch transfigurácií sa podarilo pretvoriť sieť na sériovo–paralelnú. Transfigu-
rácia trojuholníka na hviezdu (obr. a) však viedla na jednoduchšiu sieť. Obvod, ktorý sme dostali po úprave,
mal menší počet úsekov.