Integrální počet

INTEGR
INTEGR
Á
Á
LN
LN
Í
Í
PO
PO
Č
Č
ET
ET
Neur
Neur
č
č
it
ý integr
it
ý integr
á
á
l
l
1.
1.
Prim
it
iv
n
Prim
it
iv
n
í
í
funkce
funkce
square6
square6
1.1 Z
1.1 Z
á
á
kladn
kladn
í
í
pojmy
pojmy
Nech
Nech
ť
ť
I je interval v
I je interval v
R
R
a
a
f : I
f : I
→→→→
→→→→
R
R
funkce . Funkci
funkce . Funkci
F
F
nazveme primitivn
nazveme primitivn
í
í
k funkci
k funkci
f
f
v intervalu
v intervalu
I
I
, plat
, plat
í
í
-
-
li pro
li pro
ka
ka
ž
ž
d
d
é
é
x
x
∈∈∈∈
∈∈∈∈
I
I
vztah
vztah
F
F
/
/
(
(
x
x
) =
) =
f
f
(x).
(x).
Je
Je
-
-
li funkce
li funkce
F
F
primitivn
primitivn
í
í
k jist
k jist
é
é
funkci
funkci
f
f
v intervalu
v intervalu
I
I
, pak funkce
, pak funkce
f
f
je v
je v
I
I
spojit
spojit
á
á
.
.
square6
square6
Je
Je
-
-
li
li
F
F
primitivn
primitivn
í
í
k funkci
k funkci
f
f
v
v
interva
interva
-
-
lu
lu
I
I
a
a
c
c
∈∈∈∈
∈∈∈∈
R
R
, pak funkce
, pak funkce
G =
G =
F
F
+
+
c
c
je
je
primitivn
primitivn
í
í
k funkci
k funkci
f
f
v interva
l
u
v interva
l
u
I
I
.
.
square6
square6
Jestli
Jestli
ž
ž
e funkce
e funkce
F
F
a
a
G
G
jsou primitivn
jsou primitivn
í
í
k funkci
k funkci
f
f
v intervalu
v intervalu
I
I
, pak funkce
, pak funkce
F
F
–
–
G
G
je konstantn
je konstantn
í
í
.
.
square6
square6
Z p
Z p
ř
ř
edchoz
edchoz
í
í
ho vyplýv
ho vyplýv
á
á
,
,
ž
ž
e k dan
e k dan
é
é
1.
1.
Prim
it
iv
n
Prim
it
iv
n
í
í
funkce
funkce
1.
1.
Prim
it
iv
n
Prim
it
iv
n
í
í
funkce
funkce
square6
square6
funkci
funkci
f
f
bu
bu
ď
ď
neexistuje primitivn
neexistuje primitivn
í
í
fun
fun
-
-
kce
kce
, nebo jich existuje v n
, nebo jich existuje v n
ě
ě
jak
jak
é
é
m
m
intervalu nekone
intervalu nekone
č
č
n
n
ě
ě
mnoho.
mnoho.
square6
square6
Symbolem
Symbolem
∫∫∫∫
∫∫∫∫
f
f
(
(
x
x
)
)
d
d
x
x
ozna
ozna
č
č
ujeme libo
ujeme libo
-
-
volnou primitivn
volnou primitivn
í
í
funkci funkce
funkci funkce
f
f
a
a
nazýv
nazýv
á
á
me jej neur
me jej neur
č
č
it
ým integr
it
ým integr
á
á
lem
lem
funkce
funkce
f
f
a p
a p
íš
íš
eme
eme
∫∫∫∫
∫∫∫∫
f
f
(
(
x
x
)
)
d
d
x
x
=
=
F
F
(
(
x
x
) +c
) +c
,
,
1.
1.
Prim
it
iv
n
Prim
it
iv
n
í
í
funkce
funkce
square6
square6
kde
kde
F
F
je n
je n
ě
ě
kter
kter
á
á
primitivn
primitivn
í
í
funkce
funkce
funkce
funkce
f
f
. (Rovnost mezi neur
. (Rovnost mezi neur
č
č
itými
itými
integr
integr
á
á
ly je rovnost a
ly je rovnost a
ž
ž
na aditivn
na aditivn
í
í
kon
kon
-
-
stantu
stantu
).
).
square6
square6
Plat
Plat
í
í
: Nech
: Nech
ť
ť
f
f
je spojit
je spojit
á
á
na
na
I
I
, pak k
, pak k
n
n
í
í
existuje primitivn
existuje primitivn
í
í
funkce v
funkce v
I
I
.
.
Ve
Ve
v
v
zorc
zorc
í
í
ch
ch
na
da
l
na
da
l
ší
ší
ch stran
ch stran
á
á
ch nen
ch nen
í
í
uvedena multiplikativn
uvedena multiplikativn
í
í
konstanta!
konstanta!
2. Z
2. Z
á
á
kladn
kladn
í
í
integra
integra
č
č
n
n
í
í
vzorce
vzorce
1
10
0
21
0
1
30
4
)d
)d
,
d
)l
n

)d
xx
x
x
xx
x
x
xx
x
ex
e
αααα
αααα
αααα
αααα
++++
====
=≠
−
>
=≠
−
>
=≠
−
>
=≠
−
>
++++
=≠=≠=≠=≠
====
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
r
eál
né
2. Z
2. Z
á
á
kladn
kladn
í
í
integra
integra
č
č
n
n
í
í
vzorce
vzorce
square6square6
(((()
)))
50
1
67
82
1
2
2
)d
ln
)c
o
s
d
s
i
n
)s
i
n
d
c
o
s
d
)t
a
n
,
co
s
x
x
a
ax
a
a
a
xx
x
xx
x
x
xx
n
n
x
ππππ
=>
≠
=>
≠
=>
≠
=>
≠
====
=−=−=−=−
=≠
+
=≠
+
=≠
+
=≠
+
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
a
cel
é
2. Z
2. Z
á
á
kladn
kladn
í
í
integra
integra
č
č
n
n
í
í
vzorce
vzorce
(((()
)))
9
10
1
11
11
12
1
12
1
1
2
d
)c
o
t
a
n
,

sin
d
)a
r
c
t
a
n
d
)l
n
d
)l
n
x
xx
n
n
x
x
x
x
xx
xx
x
xx
x
ππππ
=−
≠
=−
≠
=−
≠
=−
≠
====
++++
−−−−
====
−+−+−+−+
=+
+
=+
+
=+
+
=+
+
++++
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
2
2
2
2
ce
lé
2. Z
2. Z
á
á
kladn
kladn
í
í
integra
integra
č
č
n
n
í
í
vzorce
vzorce
(((()
)))
(((()
)))
(((()
)))
(((()
)))
(((()
)))
(((()
)))
13
1
1
1
14
1
1
15
0
1
16
0
/
d
)l
n
d
)
a
r
csi
n
)d
l
n
)d
x
xx
x
x
x
xx
x
fx
xf
x
f
x
fx
fa
x
b
x
F
a
x
b
a
a
=+
−
>
=+
−
>
=+
−
>
=+
−
>
−−−−
=>
−−−−−−−−
∫∫∫∫
3.
3.
Integra
Integra
č
č
n
n
í
í
metody
metody
square6
square6
Parci
Parci
á
á
ln
ln
í
í
zlomky p
zlomky p
ř
ř
í
í
slu
slu
š
š
n
n
é
é
dvojici kom
dvojici kom
-
-
plexn
plexn
ě
ě
sdru
sdru
ž
ž
ených ko
ených ko
ř
ř
en
en
ů
ů
jsou obecn
jsou obecn
ě
ě
tvaru
tvaru
square6
square6
P
P
ř
ř
i integraci
i integraci
square6
square6
postupujeme tak,
postupujeme tak,
ž
ž
e
e
č
č
itatele uprav
itatele uprav
í
í
me
me
na derivaci výrazu uvnit
na derivaci výrazu uvnit
ř
ř
z
z
á
á
vorky ve
vorky ve
(((()
)))
Ax
b
xb
x
c
++++
++++++++
2
3.
3.
Integra
Integra
č
č
n
n
í
í
metody
metody
square6
square6
jmenovateli:
jmenovateli:
square6
square6
Prvn
Prvn
í
í
integr
integr
á
á
l spo
l spo
č
č
teme snadno sub
teme snadno sub
-
-
stituc
stituc
í
í
x
x
2
2
+b.x + c = t ,
+b.x + c = t ,
(
(
2x+b
2x+b
)
)
d
d
x
x
=
=
d
d
t
t
.
.
(((()
)))
(((()
)))
(((()
)))
dd
d
nn
n
Ax
B
A
x
b
xx
xb
x
c
xb
x
c
Ab
x
B
xb
x
c
++++++++
=+=+=+=+
++
++
++
++
++
++
++
++

−−−−

++++++++
∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫
22
2
2
2
2
3.
3.
Integra
Integra
č
č
n
n
í
í
metody
metody
square6
square6
Pro
Pro
n
n
=
=
1
1
dost
dost
á
á
v
v
á
á
me výsledek
me výsledek
square6
square6
ln
ln
|
|
t
t
|
|
=
=
ln
ln
|
|
x
x
2
2
+
+
bx
bx
+
+
c
c
|
|
square6
square6
Pro
Pro
n
n
>
>
1
1
dost
dost
á
á
v
v
á
á
me
me
square6
square6
Druhý integr
Druhý integr
á
á
l nejprve uprav
l nejprve uprav
í
í
me ta
me ta
k
k
,
,
ž
ž
e z
e z
á
á
vorku dopln
vorku dopln
í
í
me na
me na
ú
ú
plný
plný
č
č
tverec
tverec
(((()
)))
1
1
11
2
n
n
xb
x
c
t
nn
−−−−
−−−−
++++++++
====
−−−−−−−−
3.
3.
Integra
Integra
č
č
n
n
í
í
metody
metody
square6
square6
Dostaneme:
Dostaneme:
square6
square6
Na posledn
Na posledn
í
í
integr
integr
á
á
l aplikuje
l aplikuje
-
-
square6
square6
me
me
rekurentn
rekurentn
í
í
vzorec.
vzorec.
(((()
)))
22
,d
d
2
d
+
4
24
d
n
n
b
xt
x
t
x
b
bb
ca
xc
t
ta
+=
=
+=
=
+=
=
+=
=
========


−−−−
+−+−+−+−



====
++++
∫∫∫∫
∫∫∫∫
2
2
2
oz
na
č
ím
e


3.
3.
Integra
Integra
č
č
n
n
í
í
metody
metody
square6
square6
3.5 Integrace iracion
3.5 Integrace iracion
á
á
ln
ln
í
í
ch funkc
ch funkc
í
í
square6
square6
V dal
V dal
ší
ší
m textu budeme symbolem
m textu budeme symbolem
square6
square6
R
R
[
[
f
f
1
1
(
(
x
x
),
),
f
f
2
2
(
(
x
x
), . . . ,
), . . . ,
f
f
n
n
(x
(x
),
),
]
]
rozum
rozum
ě
ě
t
t
funkci, kter
funkci, kter
á
á
vznikne kone
vznikne kone
č
č
ným po
ným po
č
č
tem
tem
racion
racion
á
á
ln
ln
í
í
ch operac
ch operac
í
í
(se
(se
č
č
í
í
t
t
á
á
n
n
í
í
m, od
m, od
č
č
í
í
t
t
á
á
-
-
n
n
í
í
m, n
m, n
á
á
soben
soben
í
í
m, d
m, d
ě
ě
len
len
í
í
m) z konstant a
m) z konstant a
funkc
funkc
í
í
f
f
1
1
(
(
x
x
),
),
f
f
2
2
(
(
x
x
), . . . ,
), . . . ,
f
f
n
n
(x
(x
),
),
definova
definova
-
-
3.
3.
Integra
Integra
č
č
n
n
í
í
metody
metody
square6
square6
ných
ných
na t
na t
é
é
ž
ž
e mno
e mno
ž
ž
in
in
ě
ě
M
M
.
.
square6
square6
Neur
Neur
č
č
it
ý integr
it
ý integr
á
á
l
l
square6
square6
kde
kde
k
k
1
1
,
,
k
k
2
2
, . . . ,
, . . . ,
k
k
n
n
jsou p
jsou p
ř
ř
irozen
irozen
á
á
č
č
í
í
sla,
sla,
lze upravit na integr
lze upravit na integr
á
á
l z racion
l z racion
á
á
ln
ln
í
í
funkce
funkce
R
R
1
1
(
(
t
t
)
)
substituc
substituc
í
í
,
,
12
11
1
,
,
,...
,
d
n
kk
k
Rx
x
x
x
x

∫∫∫∫
k
tx
====
1
3.
3.
Integra
Integra
č
č
n
n
í
í
metody
metody
square6
square6
kde
kde
k
k
je nejmen
je nejmen
ší
ší
spole
spole
č
č
ný n
ný n
á
á
sobek
sobek
č
č
í
í
sel
sel
k
k
1
1
,
,
k
k
2
2
, . . . ,
, . . . ,
k
k
n
n
.
.
square6
square6
Neur
Neur
č
č
it
ý integr
it
ý integr
á
á
l
l
square6
square6
Kde
Kde
k
k
1
1
,
,
k
k
2
2
, . . . ,
, . . . ,
k
k
n
n
jsou
jsou
p
p
ř
ř
irozen
irozen
á
á
č
č
í
í
sla
sla
1
11
,.
.
.
d
n
kk
ax
b
a
x
b
Rx
x
cx
d
c
x
d

++++++++









++++++++









++++++++









∫∫∫∫
3.
3.
Integra
Integra
č
č
n
n
í
í
metody
metody
square6
square6
a plat
a plat
í
í
ad
ad
–
–
bc
bc
≠≠≠≠
≠≠≠≠
0
0
je mo
je mo
ž
ž
no substituc
no substituc
í
í
square6
square6
,
,
square6
square6
Kde
Kde
k
k
je nejmen
je nejmen
ší
ší
spole
spole
č
č
ný n
ný n
á
á
sobek
sobek
č
č
í
í
sel
sel
k
k
1
1
,
,
k
k
2
2
, . . . ,
, . . . ,
k
k
n
n
p
p
ř
ř
ev
ev
é
é
st na integr
st na integr
á
á
l
l
z racion
z racion
á
á
ln
ln
í
í
funkce
funkce
R
R
1
1
(
(
t
t
).
).
k
ax
b
t
cx
d
++++

====

++++

1
3.
3.
Integra
Integra
č
č
n
n
í
í
metody
metody
square6
square6
N
N
á
á
sleduj
sleduj
í
í
c
c
í
í
typy integr
typy integr
á
á
l
l
ů
ů
upravujeme
upravujeme
na postupn
na postupn
ě
ě
na integr
na integr
á
á
ly z racion
ly z racion
á
á
ln
ln
í
í
ch
ch
funkc
funkc
í
í
po p
po p
ř
ř
í
í
slu
slu
š
š
ných substituc
ných substituc
í
í
ch :
ch :
2222
,d
,
c
o
s
,d
,
t
a
n
Rx
a
x
x
x
a
t
Rx
a
x
x
x
a
t
−=−=−=−=+=+=+=+=
∫∫∫∫∫∫∫∫
3.
3.
Integra
Integra
č
č
n
n
í
í
metody
metody
square6
square6
a
a
square6square6
(((()
)))
22
,d
,
co
s

sin
a
Rx
x
a
x
x
t
a
x
t
−=−=−=−=
====
∫∫∫∫
nebo
3.
3.
Integra
Integra
č
č
n
n
í
í
metody
metody
square6
square6
3.6 Integrace goniometrických funkc
3.6 Integrace goniometrických funkc
í
í
(Funkce
(Funkce
R
R
bude m
bude m
í
í
t stejný význam jako v p
t stejný význam jako v p
ř
ř
edchoz
edchoz
í
í
kapitole.)
kapitole.)
square6
square6
Uprav
Uprav
í
í
me substituc
me substituc
í
í
square6square6
(((()
)))
sin
,
c
o
s
d
Rx
x
x
Gb3Gb3Gb3Gb3
(((()
)))
ta
n
,
2 x
tx
ππππππππ
GaaGbaGaa
Gba
GaaGbaGaa
Gba
=∈
−
=∈
−
=∈
−
=∈
−
GacGbcGac
Gbc
GacGbcGac
Gbc
3.
3.
Integra
Integra
č
č
n
n
í
í
metody
metody
square6
square6
Na integr
Na integr
á
á
l z racion
l z racion
á
á
ln
ln
í
í
funkce
funkce
.
.
square6
square6
Plat
Plat
í
í
-
-
li
li
pro
pro
funkci
funkci
R
R
speci
speci
á
á
ln
ln
ě
ě
square6
square6
R (sin
R (sin
x
x
,
,
-
-
cos
cos
x
x
) =
) =
-
-
R (sin
R (sin
x
x
, cos
, cos
x
x
)
)
lze pou
lze pou
ž
ž
í
í
t substituci
t substituci
square6
square6
t
t
= sin
= sin
x
x
,
,
[
[
x
x
∈∈∈∈
∈∈∈∈
(
(
-
-
ππππ
ππππ
/ 2 ,
/ 2 ,
ππππ
ππππ
/ 2
/ 2
)
)
]
]
square6
square6
Plat
Plat
í
í
-
-
li pro funkci
li pro funkci
R
R
square6
square6
R (
R (
-
-
sin
sin
x
x
, cos
, cos
x
x
) =
) =
-
-
R (sin
R (sin
x
x
, cos
, cos
x
x
)
)
3.
3.
Integra
Integra
č
č
n
n
í
í
metody

metody

square6
square6
lze pou
lze pou
ž
ž
í
í
t substituci
t substituci
square6
square6
t
t
= cos
= cos
x
x
,
,
[
[
x
x
∈∈∈∈
∈∈∈∈
( 0
( 0
,
,
ππππ
ππππ
)
)
]
]
square6
square6
Plat
Plat
í
í
-
-
li pro funkci
li pro funkci
R
R
square6
square6
R (
R (
-
-
sin
sin
x
x
,
,
-
-
cos
cos
x
x
) = R (sin
) = R (sin
x
x
, cos
, cos
x
x
)
)
square6
square6
Lze pou
Lze pou
ž
ž
í
í
t substituci
t substituci
square6
square6
t =
t =
tan
tan
x ,
x ,
[
[
x
x
∈∈∈∈
∈∈∈∈
(
(
-
-
ππππ
ππππ
/ 2 ,
/ 2 ,
ππππ
ππππ
/ 2
/ 2
)
)
]
]
INTEGR
INTEGR
Á
Á
LN
LN
Í
Í
PO
PO
Č
Č
ET
ET
Ur
Ur
č
č
itý integr
itý integr
á
á
l
l
4.
4.
Ur
Ur
č
č
itý in
tegr
itý in
tegr
á
á
l
l
square6
square6
4.1 D
4.1 D
ě
ě
len
len
í
í
intervalu
intervalu
square6
square6
M
M
ě
ě
jme
jme
d
d
á
á
na
na
č
č
í
í
sla
sla
square6
square6
a
a
=
=
x
x
o
o
<
<
x
x
1
1
< . . . <
< . . . <
x
x
n
n
-
-
1
1
<
<
x
x
n
n
=
=
b
b
.
.
square6
square6
Mno
Mno
ž
ž
inu
inu
interval
interval
ů
ů
square6
square6
D =
D =
{
{
<
<
x
x
o
o
,
,
x
x
1
1
> ,
> ,
<
<
x
x
1
1
,
,
x
x
2
2
> , . . .
> , . . .
square6
square6
. . . ,
. . . ,
<
<
x
x
n
n
-
-
1
1
,
,
x
x
n
n
>
>
}
}
square6
square6
nazýv
nazýv
á
á
me
me
d
d
ě
ě
len
len
í
í
m interval
u
m interval
u
<
<
a
a
,
,
b
b
>
>
,
,
4.
4.
Ur
Ur
č
č
itý in
tegr
itý in
tegr
á
á
l
l
square6
square6
4.1 D
4.1 D
ě
ě
len
len
í
í
intervalu
intervalu
square6
square6
M
M
ě
ě
jme
jme
d
d
á
á
na
na
č
č
í
í
sla
sla
square6
square6
a
a
=
=
x
x
o
o
<
<
x
x
1
1
< . . . <
< . . . <
x
x
n
n
-
-
1
1
<
<
x
x
n
n
=
=
b
b
.
.
square6
square6
Mno
Mno
ž
ž
inu
inu
interval
interval
ů
ů
square6
square6
D =
D =
{
{
<
<
x
x
o
o
,
,
x
x
1
1
> ,
> ,
<
<
x
x
1
1
,
,
x
x
2
2
> , . . .
> , . . .
square6
square6
. . . ,
. . . ,
<
<
x
x
n
n
-
-
1
1
,
,
x
x
n
n
>
>
}
}
square6
square6
nazýv
nazýv
á
á
me
me
d
d
ě
ě
len
len
í
í
m interval
u
m interval
u
<
<
a
a
,
,
b
b
> ,
> ,
4.
4.
Ur
Ur
č
č
itý in
tegr
itý in
tegr
á
á
l
l
square6
square6
body
body
x
x
o
o
,
,
x
x
1
1
, . . . ,
, . . . ,
x
x
n
n
-
-
1
1
,
,
x
x
n
n
d
d
ě
ě
l
l
í
í
c
c
í
í
mi
mi
body.
body.
square6
square6
Č
Č
í
í
slo
slo
γγγγ
γγγγ
(D) =
(D) =
max
max
{
{
x
x
1
1
-
-
x
x
o
o
,
,
x
x
2
2
-
-
x
x
1
1
, . . .
, . . .
. . . ,
. . . ,
x
x
n
n
–
–
x
x
n
n
-
-
1
1
}
}
square6
square6
Nazveme normou d
Nazveme normou d
ě
ě
len
len
í
í
D
D
. Je
. Je
-
-
li
li
D
D
d
d
ě
ě
-
-
len
len
í
í
m intervalu
m intervalu
< a, b >
< a, b >
a pro ka
a pro ka
ž
ž
d
d
é
é
i
i
= 1, 2, . . . ,
= 1, 2, . . . ,
n
n
jsou vybr
jsou vybr
á
á
ny body
ny body
ξξξξ
ξξξξ
i
i
tak,
ta