Diferenciální počet

DIFERENCIÁLNÍPO
Č
ET
ZÁKLADNÍ
POJMY
Základní
pojmy
diferenciálního po
č
tu.
box3
1
Zobrazení.
box3
Zobrazením
f
množiny
A
do
množiny
B
je p
ř
edpis, který ke
každému prvku
a
z množiny
A
p
ř
i
ř
adí
práv
ě
jeden
b
prvek z
množiny
B
. Prvek
b
nazýváme
hodnotou zobrazení
f
v
a
, nebo
též
obraz
a
a
zna
č
íme
f
(
a
).
Základní
pojmy
diferenciálního po
č
tu.
box3
Zobrazení
f
množiny
A
do množiny
B
zapisujeme
č
asto
box3
f
: A
→→→→
B
.
box3
Množinu
A
nazýváme defini
č
ní
obor a
množinu
box3
B
=
f
(
A
)={
f
(
a
) l
a
∈
A
}
box3
oborem hodnot.
Základní
pojmy
diferenciálního po
č
tu.
box3
Dv
ě
zobrazení
f
,
g
jsou si rovna
box3
f = g
mají-li tentýž
defini
č
ní
obor
A
a
platí-li
∀∀∀∀
a
∈∈∈∈
A
f
(
a
)
= g
(
a
)
.
box3
Zúžení
f
na
C
⊆⊆⊆⊆
A
píšeme
f /
C,
box3
Defini
č
ní
obor je
A
∩∩∩∩
C.
Základní
pojmy
diferenciálního po
č
tu
box3
1
.2 Reálná
funkce jedné
reálné
prom
ě
nné.
box3
Zobrazení
f
, jehož
defini
č
ní
obor a
obor hodnot jsou podmnožinymnožiny
R
nazýváme reálnou funkcí
jedné
r
eálné
prom
ě
nné, dále krátce
funkcí,
Základní
pojmy
diferenciálního po
č
tu
box3
Bude-li funkce
f
zadána formulí
f
(
x
) =
a
x
budeme
č
asto mluvit o funkci
a
x.
V tomto p
ř
ípad
ě
se musí
zadat
defini
č
ní
obor. Dohodneme se, že
pokud defini
č
ní
obor nebude zadán,
budeme za n
ě
j automaticky považovat
množinu všech
č
ísel
x
,
Základní
pojmy
diferenciálního po
č
tu
box3
pro která
m
á
daná
formule smysl.
box3
1
.3. Graf funkce
.
box3
Je-li v rovin
ě
E
2
,
dána ortogonál-
ní
soustava sou
ř
adnic, m
ů
žeme
funkci
f
zobrazit pomocí
j
ejího
Základní
pojmy
diferenciálního po
č
tu
box3
grafu.
Grafem
funkce
f
je množina
všech bod
ů
[[[[
x
,
y
]]]]∈
∈∈∈
E
2
takových,
že
x
∈∈∈∈
D
a
y
=
f
(
x
).
box3
Rovnici
y
=
f
(
x
) nazýváme
rovnicí
g
rafu funkce
f
.
Základní
pojmy
diferenciálního po
č
tu
box3
1
.4 Složená
f
unkce.
box3
Jsou-li
f
,
g
funkce, m
ů
žeme vyt-
vo
ř
it
novou funkci
f
°°°°
g
, p
ř
edpisem:
f
°°°°
g
(
x
) =
f
(
g
(
x
) )
. Funkci
f
°°°°
g
na-
zýváme
složenou funkcí
,
funkci
f
vn
ě
jší
složkou a funkci
gv
n
i
t
ř
ní
složkou složené
f
unkce
f
°°°°
g .
Základní
pojmy
diferenciálního po
č
tu
box3
Defini
č
ním oborem složené
f
unkce
je množina
box3
D
f
°°°°
g
=
{x

∈∈∈∈
D
g
/ g(x)
∈∈∈∈
D
f
}.
box3
P
ř
íklad.
box3
f : f(
y
) =
y
∈[∈[∈[∈[
-
1
/2,
∞
]]]]
box3
g : g(x) = sin
xx
∈[∈[∈[∈[
-
π
/2,
π
/2
]]]]
box3
f
°°°°
g = x
∈[∈[∈[∈[
-
π
/6,
π
/2
]]]]
1
2
sin
x
+
1
y
+
Základní
pojmy
diferenciálního po
č
tu
box3
1
.5 Funkce prostá
a funkce
inversní.
box3
Funkce
f
se nazývá
prostá,
nebo
vzájemn
ě
jednozna
č
ná, jestliže pro
dv
ě
r
ů
zné
hodnoty argumentu jsou
r
ů
zné
i
p
ř
íslušné
f
unk
č
ní
hodnoty, to
znamená:
Základní
pojmy
diferenciálního po
č
tu
box3
x
1
,
x
2
∈∈∈∈
D
,
x
1

≠≠≠≠
x
2
⇒⇒⇒⇒
f
(
x
1
)
≠≠≠≠
f
(
x
2
)
.
box3
P
ř
íklady.
box3
f
(
x
) =
x
;
x
∈∈∈∈
R
box3
f
(
x
) = cos
x
;
x
∈[∈[∈[∈[
0,
π
]]]]
box3
Je-li
f
prostá
funkce, potom funkcí
inversní
k funkci
f
rozumíme funkci
f
-
1

jejímž
defini
č
ním oborem je obor
Základní
pojmy
diferenciálního po
č
tu
box3
hodnot funkce
f
a pro každou dvojici
box3
(
x
,
y
),
x
∈∈∈∈
D
f
,
y
∈∈∈∈
f
( D
f
)
platí
box3
y
=
f
(
x
),
když
a jen když
x
=
f
-
1
(
y
).
box3
P
ř
íklad.
box3
f
:
f
(
x
)=
x
2
x
∈∈∈∈[
[[[
0, +
∞∞∞∞
)
box3
f
-
1
:
f
-
1
(
y
) =
y
∈∈∈∈[
[[[
0, +
∞∞∞∞
)
y
Základní
pojmy
diferenciálního po
č
tu
box3
1
.6 Algebraické
operace mezi
funkcemi.
box3
Jsou-li
f, g
funkce a
c
konstanta,
kterou lze chápat jako konstantnífunkci tj. funkci, která
k
aždému
reálnému
č
íslu p
ř
i
ř
adí
t
utéž
hodnotu
c
, m
ů
žeme definovat nové
f
unkce
Základní
pojmy
diferenciálního po
č
tu
box3
f
+
g
,
f
-
g
,
f. g
,
f / g
a
c.f
následujícími p
ř
edpisy:
box3
f
+
g
: (
f
+
g
)(
x
) =
f
(
x
) +
g
(
x
)
box3
D
f
+
g
= D
f
∩∩∩∩
D
g
box3
f
-
g
: (
f
-
g
)(
x
) =
f
(
x
) -
g
(
x
)
box3
D
f-g
= D
f
∩∩∩∩
D
g
Základní
pojmy
diferenciálního po
č
tu
box3
f. g
: (
f. g
)(
x
) =
f
(
x
)
. g
(
x
)
box3
D
f.g
= D
f
∩∩∩∩
D
g
box3box3
D
f/g
= {
D
f
∩∩∩∩
D
g
/ g
(
x
)
≠≠≠≠
0 }
()
()
()
:
fx
ff
x
gg
g
x
=
Základní
pojmy
diferenciálního po
č
tu
box3
Tyto nové
f
unkce budeme nazývat
sou
č
et, rozdíl, sou
č
in podíl funkcí
f
,
g
a
c
násobek funkce
f
.
box3
1
.7 Monotonní
funkce
box3
Funkci
f
nazveme na množin
ě
box3
M
⊆⊆⊆⊆
D
f
rostoucí,
(
klesající
), když
pro
každé
d
va body
x
1
,
x
2
∈∈∈∈
M pro
n
ě
žj
e

x
1

<
x
2
, platí
f
(
x
1
) <
f
(
x
2
),
Základní
pojmy
diferenciálního po
č
tu
box3
(
f
(
x
1
) >
f
(
x
2
) ).
box3
Funkci
f
nazveme
neklesající
box3
(
nerostoucí
)
na
množin
ě
M
když
pro každé
d
va body
x
1
,
x
2
∈∈∈∈
M
pro n
ě
žj
e
x
1

<
x
2
, platí
box3
f
(
x
1
)
≤≤≤≤
f
(
x
2
),
(
f
(
x
1
)
≥
f
(
x
2
) ).
Základní
pojmy
diferenciálního po
č
tu
box3
Funkce rostoucí
a
funkce klesající
se nazývají
ryze monotonní
,
f
unkce
neklesající
a nerostoucí
s
e nazývají
monotonní
.
box3
V
ě
ta. Je-li funkce
f
ryze monotonní
na
D
f
, potom k ní
existuje inversní
funkce
f
-
1
, která
j
e také
ryze mono-
tonní
a to rostoucí, je-li
f
rostoucí
Základní
pojmy
diferenciálního po
č
tu
box3
a klesající, je-li
f
klesající.
box3
1
.8 Funkce sudé
a liché.
box3
Funkci
f
definovanou pro
x
∈∈∈∈
(-
a
,
a
)
box3
nazýváme
sudou
(
lichou
)
, když
pro
všechna
x
z tohoto intervalu platí
box3
f
(-
x
) =
f
(
x
) (
f
(-
x
) = -
f
(
x
) )
Základní
pojmy
diferenciálního po
č
tu
box3
1
.9 Funkce periodické.
box3
Funkci
f
nazveme periodickou, když
existuje
č
íslo
p
≠≠≠≠
0
takové, že
box3
f
(
x
+
p
) =
f
(
x
)
pro
k
aždé
x
∈∈∈∈
D
f.

Č
íslo
p
nazýváme periodou funkce
f
.
box3
Je-li
p
periodou pak také
kp
, kde
k
je libovolné
celé
č
íslo, r
ů
zné
od nuly
Základní
pojmy
diferenciálního po
č
tu
box3
je také
periodou funkce
f
. Existuje-li
nejmenší
k
ladné
č
íslo
p
, které
j
e peri-
odou
funkce
f
, nazývá
se toto
č
íslo
primitivní
periodou
.
box3
Nejznám
ě
jší
p
ř
íklady periodických
funkcí
jsou funkce sin
x
, cos
x
, tan
x
,
cotan
x
. První
d
v
ě
mají
primitivní
Základní
pojmy
diferenciálního po
č
tu
box3
periodu 2
π
, druhé
dv
ě
π
.
box3
1
.
1
0 Funkce ohrani
č
ená.
box3
Funkce
f
se nazývá
shora ohrani
č
e-
ná, na množin
ě
M
⊆⊆⊆⊆
D
f
, když
existuje
č
íslo
c
takové, že
f
(
x
)
≤≤≤≤
c
,
x
∈∈∈∈
M.
box3
Funkce
f
se nazývá
zdola ohrani
č
e-
ná, na množin
ě
M
⊆⊆⊆⊆
D
f
, když
existuje
Základní
pojmy
diferenciálního po
č
tu
box3
č
íslo
d
takové, že
f
(
x
)
≥≥≥≥
d
,
x
∈∈∈∈
M.
Funkce
f
se nazývá
ohrani
č
ená
na
množin
ě
M
, je-li na ní
shora i zdola
ohrani
č
ená.
box3
1
.
11
Posloupnosti
.
box3
Zobrazení, jehož
defini
č
ním oborem
je množina všech p
ř
irozených
č
ísel
N
, nazýváme posloupností.
Základní
pojmy
diferenciálního po
č
tu
box3
Jedná-li se o reálnou funkci, mluvíme o posloupnosti reálných č
ísel. Podobn
ě
zobrazení
N
→→→→
C
nazveme posloupností
k
omplexních
č
ísel. Ozna
č
íme-li
a
n
obraz
č
ísla
n
∈∈∈∈
N
potom p
ř
íslušnou posloupnost
ozna
č
ujeme .
()
1
n
n
a
∞
=
Základní
pojmy
diferenciálního po
č
tu
box3
Je-li a rostoucíposloupnost p
ř
irozených
č
ísel, potom
box3
složené
z
obrazení
nazývá-
box3
me
vybranou z posloupností
box3
P
ř
íklad.
box3
Posloupnost
1
, 4, 9,
1
6, 25,
. . .
()
1
n
n
a
∞
=
()
1
k
k
n
∞
=
()
1
k
n
k
a
∞
=
()
1
n
n
a
∞
=
Základní
pojmy
diferenciálního po
č
tu
box3
je vybraná
z posloupnosti
box3
1
, 2, 3, 4,
. . .
.
box3
1
.
1
2 Vlastnosti bod
ů
a množin v
R.
box3
Okolím
bodu
a
∈∈∈∈
R
rozumíme kaž-
dý
otev
ř
ený interval
box3
(
a
-
εεεε
,
a
+
εεεε
),
box3
kde
εεεε
>0.
Základní
pojmy
diferenciálního po
č
tu
box3
Okolí
bodu
a
ozna
č
íme
U
(
a
), nebo
podrobn
ě
ji
U
(
a
,
εεεε
), bod
a
se nazývá
st
ř
edem okolí
a
kladné
č
íslo
εεεε
polo-
m
ě
rem
okolí, je tedy
box3
U
(
a
,
εεεε
) = {
x
∈∈∈∈
R
|l
x –
a
l<
εεεε
}.
D
oplníme-li množinu
R
o nejv
ě
tší
prvek +
∞
a o nejmenší
p
rvek -
∞
Základní
pojmy
diferenciálního po
č
tu
box3
(nevlastní
body), dostáváme dopln
ě
-
box3
nou
(rozší
ř
enou) množinu bod
ů
.
box3
Okolím
U
(
+
∞∞∞∞
)
bodu
+
∞∞∞∞
budeme
box3
rozum
ě
t každý interval (
k
,
+
∞∞∞∞
),
podobn
ě
okolím bodu
-
∞∞∞∞
každý
interval (-
∞∞∞∞
,
k
), kde
k
∈∈∈∈
R
.
R
Základní
pojmy
diferenciálního po
č
tu
box3
Bod
a
∈∈∈∈
,
nazveme hromadným
bodem
množiny
M
⊆
R
, když
v kaž-
dém
jeho okolí
l
eží
a
lespo
ň
jeden
bod
x
≠≠≠≠
a
,
x
∈∈∈∈
M
.
box3
Množina
M
⊂⊂⊂⊂
R
se nazývá
shora
ohrani
č
ená, když
existuje
č
íslo
c
, že
pro všechna
x
∈∈∈∈
M
je
x
≤≤≤≤
c
.
R
Základní
pojmy
diferenciálního po
č
tu
box3
Množina
M
⊂⊂⊂⊂
R
se nazývá
zdola
ohrani
č
ená, když
existuje
č
íslo
d
,
že pro všechna
x
∈∈∈∈
M
je
d
≤≤≤≤
x
.
Č
íslo
c
se nazývá
horní
hranice
a
č
íslo
d
dolní
hranice.
box3
Množina M se nazývá
ohrani
č
ená,
Základní
pojmy
diferenciálního po
č
tu
box3
je-li množina
M
shora ohrani
č
ená,
potom
její
nejmenší
h
ranice se nazývá
supremum
množiny
M
. Není-li shora
ohrani
č
ená, je její
supremum
+
∞∞∞∞
.
box3
Je-li množina
M
zdola ohrani
č
ená,
potom
její
nejv
ě
tší
h
ranice se nazývá
infimum
m
nožiny
M
. Není-li zdola
ohrani
č
ená, je její
infimum
-
∞∞∞∞
.
Základní
pojmy
diferenciálního po
č
tu
box3
Každá
neprázdná
shora (zdola) ohra-
ni
č
ená
m
nožina
M
⊂⊂⊂⊂
R
má
v
R
supremum
(
infimum
).
box3
Je-li
m
1
=sup
M
,
m
2
=inf
M
a jestliže
m
1
∈∈∈∈
M
resp.
m
2
∈∈∈∈
M,
potom užíváme
také
název
maximum
a
minimum
.
Limita
funkce
box3
2. LIMITY FUNKCÍ
a POLOUPNOSTÍ
box3
2.
1
Limita funkce
box3
Ř
íkáme, že funkce
f
má
v bod
ě
a
limitu
b
, když
box3
1
)
a
je hromadným bodem množiny
D
f
box3
2) ke každému okolí
U
(
b
) existuje okolí
Limita
funkce
box3
U(
a
),
takové
že pro všechna
x
≠≠≠≠
a ,
box3
x
∈∈∈∈
U(
a
)
∩∩∩∩
D
f
je
f
(
x
)
∈∈∈∈
U(
b
).
box3
Potom píšeme ,
box3
nebo
box3
f
(
x
)
→→→→
b
pro
x
→→→→
a.
box3
Je-li
b
≠≠≠≠
mluvíme o vlastní
limit
ě
,
()
lim
xa
fx
b
→
=
±∞±∞±∞±∞
Limita
funkce
box3
v opa
č
ném p
ř
ípad
ě
o limit
ě
nevlastní.
box3
Všimn
ě
me si, že v definici limity je
vylou
č
en bod
x = a
, tudíž
liit
a
f
unkce v
bod
ě
a nezá-visí
na tom, zda a jak je
funkce v bod
ě
definovaná
Proto dv
ě
funkce, které
s
e liší
od sebe pouze v
bod
ě
a
budou mít v tomto bod
ě
bu
ď
tutéž
limitu, nebo nebude mít limitu
žádná
z nich.
Limita
funkce
box3
Jsou-li body
a
,
b
vlastní
(reálná
č
ísl
a
) a
ozna
č
íme-li písmeny
εεεε
,
δ
jejich polo-
m
ě
ry
okolí
U(
a
), U(
b
)
v tomto po
ř
adí, lze
podmínku 2. v definici limity formulovat :
box3
Ke každému
εεεε
> 0
existuje
δ
> 0
t
akové,
že
pro všechna
x
∈∈∈∈
D
f
, pro která
j
e
box3
0<
|

x –
a
|
<
δ
, platí
|
f
(
x
) –
b
|
<
εεεε
.
Limita
funkce
box3
2.2 Nejjednodušší
p
ř
íklady limit
(((()
)))
(((()
)))
14
1
25
0
1
1
30
.
lim
.
lim
.
lim
.
lim
.
lim
x
x
xa
x
xa
x
x
cc
a
a
xa
a
a
x
→+
∞
→+
∞
→+
∞
→+
∞
→→→→
→→
−
∞
→→
−
∞
→→
−
∞
→→
−
∞
→±
∞
→±
∞
→±
∞
→±
∞
==
+
∞
>
==
+
∞
>
==
+
∞
>
==
+
∞
>
==
>
==
>
==
>
==
>
====
Limita
funkce
box3
2.3 V
ě
ta o jednozna
č
nosti limity
box3
Funkce
f
má
v bod
ě
a nejvýše jednu
limitu.
box3
Uvážíme-li funkci vidíme, že blížíme-li se s prom
ě
nnou
x
k nule po
kladných hodnotách nabývá
funkce
stále v
ě
tších kladných hodnot, naopak
1
x
Limita
funkce
box3
postupujeme-li k nule po záporných hodnotách klesají
f
unk
č
ní
hodnoty k
-
∞∞∞∞
. Z
ř
ejm
ě
limita této funkce v bod
ě
0 neexistuje. Provedeme-li ale restrikci (omezení) této funkce na množinu kladných
č
ísel, lze na této
množin
ě
provést výpo
č
et limity dané
funkce.
Limita
funkce
box3
Takovou limitu nazýváme jednostran-nou
limitou funkce
f
.
box3
1
. limita zprava
box3
2. limita zleva
(