Diferenciální počet

f
:
y
=
f
(
u
)
G86
má
derivaci v bod
ě
u
o
=
f
(
x
o
).
G86
Potom složená
f
unkce
G86
f
o
g
:
y
=
f
(
g
(
x
))
má
derivaci v bod
ě
x
o
a platí
(
f
o
g
)
/
(
x
o
) =
f
/
(
u
o
) .
g
/
(
x
o
).
G86
V Leibnizov
ě
zápisu
derivace má
formule následující
tvar:
Derivace
funkce
box3
.
box3
..
dy
dy
du
dx
du
dx
====
(((()
)))
(((()
)))
(((()
)))
(((()
)))
(((()
)))
(((()
)))
1
18
0
1
19
0
20
/
/
/
)l
n
;
)l
o
g
;
ln
);
xx
a
aa
aa
a
a
xa
xa
xa
x
a
R
−−−−
=>=>=>=>
=>=>=>=>
=∈=∈=∈=∈
Derivace
funkce
G86
4.6 Derivace vyšších
ř
ád
ů
G86
Je-li
f
/
derivace
f
unkce
f
na
otev
ř
e-
ném intervalu
J
, m
ů
že se stát, že fun-
kce
f
/
má
na
J
nebo jeho
č
ásti sama
derivaci. Potom tuto derivaci nazýváme derivací
druhého
ř
ádu
, nebo též
druhou derivací
f
unkce
f
a zna
č
íme
f
//
,
Derivace
funkce
G86
nebo
též
.
G86
Rekursí
definujeme derivace
n
-tého
ř
ádu
f
(
n
)
= (
f
(
n
-
1
)
)
/
. Je
výhodné
defi-
novat
také
nultou derivaci
f
(0)
=
f
.
2
2
df
dx
Derivace
funkce
G86
4.7 Diferenciály vyšších
ř
ád
ů
G86
Má-li funkce
fn
-tou derivaci
(je-li n-krát
diferencovatelná) v
bod
ě
x
o
, potom funkci
G86
d
n
f
(
x
0
) =
f
n
(
x
0
).
h
n
G86
prom
ě
nné
h
∈∈∈∈
R
nazýváme diferen-
ciálem
n
-tého
ř
ádu funkce
f
v
x
0
.
Derivace
funkce
G86
Použijeme-li pro p
ř
ír
ů
stek
h
ozna
č
ení
dx
, píšeme
n
-tý
d
iferenciál ve tvaru
G86
d
n
f
(
x
0
) =
f
n
(
x
0
).
dx
n
.
G86
Odtud dostáváme Leibnizovo
ozna
č
ení
n
-té
derivace:
(((()
)))
(((()
)))
(((()
)))
n
n
o
o
n
df
x
fx
dx
====
V
ě
ty
o st
ř
ední
hodnot
ě
G86
V
ě
ta Rolleova
G86
1
. spojitá
na
<
a
,
b
>
G86
2. diferencovatelná
na
(
a
,
b
)
G86
3. platí
f
(
a
) =
f
(
b
)
.
G86
Potom existuje bod
ξξξξ
∈∈∈∈
(
a
,
b
)
pro
V
ě
ty
o st
ř
ední
hodnot
ě
G86
který platí
f
/
(
ξξξξ
) = 0
.
G86
V
ě
ta
Cauchyova
G86
Nech
ť
funkce
f
,
g
jsou
G86
1
. spojité
na
<
a
,
b
>
G86
2. diferencovatelné
na
(
a
,
b
)
V
ě
ty
o st
ř
ední
hodnot
ě
G86
3.
g
/
(
x
)
≠≠≠≠
0
na
(
a
,
b
)
.
G86
Potom existuje bod
ξξξξ∈
∈∈∈
(
a
,
b
)
tak, že
G86
.
(((()
)))(
((()
)))
(((()
)))(
((()
)))
(((()
)))
(((()
)))
/
/
fb
fa
f
gb
ga
g
ξξξξ
ξξξξ
−−−−
====
−−−−
V
ě
ty
o st
ř
ední
hodnot
ě
G86
V
ě
ta Lagrangeova
G86
1
. spojitá
na
<
a
,
b
>
G86
2. diferencovatelná
na
(
a
,
b
)
G86
Potom existuje bod
ξξξξ
∈∈∈∈
(
a
,
b
)
,ž
e
G86
f
(
b
) –
f
(
a
) = (
b
–
a
)
f
/
(
ξξξξ
)
.
V
ě
ty
o st
ř
ední
hodnot
ě
G86
D
ů
sledek
G86
Funkce
f
je konstantní
na
( a,
b
)
když
a jen když
f
/
(
x
)
= 0
na
( a,
b
)
.
L´Hospitalova
p
ravidla
G86
5.
1
Neur
č
ité
výrazy
G86
V této
č
ásti si všimneme limit, na které
nelze aplikovat pravidla pro jejich výpo
č
et uvedená
v 2.6.
G86
Tak na limitu
(((()
)))
(((()
)))
lim
xa
fx
gx
→→→→
L´Hospitalova
p
ravidla
G86
nem
ů
žeme použít v
ě
ty o limit
ě
podílu,
je-li limita funkce
g
(
x
)
pro
x
jdoucí
k

a
rovna nule, má-li navíc v tomto bod
ě
stejnou hodnotu i limita funkce
f
(
x
)
.
P
ř
esto uvedený podíl m
ů
že mít a dokon-
ce
vlastní
limitu. Podobná
situace vzniká,
vyšet
ř
ujeme-li limitu rozdílu dvou funkcí
L´Hospitalova
p
ravidla
G86
Z nichž
k
aždá
má
nevlastní
limitu +
∞
.
Tyto a jim analogické
p
ř
ípady limit na-
zýváme
neur
č
ité
v
ýrazy
a d
ě
líme je
na n
ě
kolik typ
ů
.
G86
1
.Je-li
lim
f
(
x
) = lim
g
(
x
) = 0
potom
G86
nazýváme neur
č
itým výra-
(((()
)))
(((()
)))
lim
fx
gx
L´Hospitalova
p
ravidla
G86
zem typu
.
G86
2. Je-li lim f(x) = lim g(x) = +
∞
potom
G86G86G86
nazýváme neur
č
itým výrazem typu .
00
(((()
)))
(((()
)))
lim
fx
gx
∞∞∞∞∞∞∞∞
L´Hospitalova
p
ravidla
G86
3. Je-li
lim
f
(
x
) = 0
,
lim
g
(
x
) = +
∞
,
potom
lim
f
(
x
) .
g
(
x
)
nazýváme
neur
č
itým výrazem typu 0
.
∞
.
G86
4. Je-li
lim
f
(
x
) =
lim
g
(
x
) = +
∞
,
potom
lim (
f
(
x
) -
g
(
x
) )
nazýváme neur
č
itým
výrazem typu
∞
-
∞
.
G86
5. Je–li
lim
f
(
x
) =
1
,
lim
g
(
x
) = +
∞
L´Hospitalova
p
ravidla
potom
lim (
f
(
x
))
g
(
x
)
nazýváme
neur
č
itým výrazem typu
1

∞∞∞∞
.
6.
Je–li
lim
f
(
x
) = +
∞
,
lim
g
(
x
) = 0
potom
lim (
f
(
x
))
g
(
x
)
nazýváme
neur
č
itým výrazem typu
∞
0
.
7. Je-li
lim
f
(
x
) = lim
g
(
x
) = 0
potom
L´Hospitalova
p
ravidla
G86
limitu
lim (
f
(
x
))
g
(
x
)
nazýváme
neur
č
itým výrazem typu
0
0
.
box3
Uvedeme pravidla na výpo
č
et
prvních dvou typ
ů
, zbývající
p
ř
ípady
se budeme na n
ě
který z nich p
ř
e-
vést.
L´Hospitalova
p
ravidla
G86
První
L
´Hospitalovo
pravidlo
G86
Nech
ť
funkce
f
a
g
jsou diferencova-
telné
n
a
U(
a
) -
{
a
}
pro n
ě
které
o
kolí
U(
a
)
bodu
a
a platí
:

G86
1
.
(((()
)))(
((()
)))
0
lim
lim
xa
xa
fx
g
x
→→→→→→→→
========
L´Hospitalova
p
ravidla
G86
2.
G86
Potom také
.
(((()
)))
(((()
)))
/
/
lim
xa
fx
b
gx
→→→→
====
(((()
)))
(((()
)))
lim
xa
fx
b
gx
→→→→
====
L´Hospitalova
p
ravidla
G86
Druhé
L´Hospitalovo
p
ravidlo
G86
Nech
ť
funkce
f
a
g
jsou
diferencovatelné
na
U(
a
) -
{
a
}
pro
n
ě
které
o
kolí
U(
a
)
bodu
a
a platí
:
G86
1
.
(((()
)))
lim
xa
gx
→→→→
=+
∞
=+
∞
=+
∞
=+
∞
L´Hospitalova
p
ravidla
box3
2.
(((()
)))
(((()
)))
(((()
)))
(((()
)))
/
/
lim
,
lim
xaxa
fx
b
gx
fx
b
gx
→→→→→→→→
====
====
potom
tak
é
Aproximace funkce
G86
6.
1
Taylor
ů
vp
o
l
y
n
o
m
G86
Funkci
f
nahradíme v dosti malém okolí
bodu
x
o
polynomem
T.
Budeme
požadovat, aby v tomto bod
ě
byly spl-
n
ě
ny
následující
podmínky :
G86
1
. hodnota
f
v
x
o
se shoduje s hodno-
tou
T
v tomto bod
ě
.
Aproximace funkce
box3
2.
Hodnoty všech derivací
f
unkce
f
se v
malém okolí
b
odu
x
o
shodují
s hodno-
tami
polynomu
T
až
do
n
-tého
ř
ádu.
G86
Takovou vlastnost má
polynom
G86
stru
č
n
ě
ji
(((()
)))
(((()
)))
(((()
)))
(((()
)))
(((()
)))
(((()
)))
1
/
T
...
!!
n
n
oo
no
o
o
fx
f
x
xf
x
x
x
x
x
n
=+
−
+
+
−
=+
−
+
+
−
=+
−
+
+
−
=+
−
+
+
−
Aproximace funkce
G86
který se nazývá
n
-tý
T
aylor
ů
v
polynom v
bod
ě
x
o
. Pro
x
o
= 0
se polynom
T
n
nazývá
polynom Maclaurin
ů
v.
G86
Nech
ť
funkce
f
je
(
n
+
1
)
-krát
d
iferenco-
vatelná
na jistém okolí
U(
x
o
)
bodu
x
o
.
(((()
)))
(((()
)))
(((()
)))
(((()
)))
0
T
!
k
n
n
o
no
k
fx
xx
x
k
====
=−=−=−=−
∑∑∑∑
Aproximace funkce
G86
potom pro
x
∈∈∈∈
U(
x
o
)
platí
G86
f
(
x
) = T
n
(
x
) + R (
x
)
G86
p
ř
i
č
emž
G86
kde
ξξξξ
leží
mezi body
x
,
x
o
to jest
(((()
)))
(((()
)))
(((()
)))
(((()
)))
1
1
1
R
()
!
n
n
o
f
xx
x
n
ξξξξ
++++
++++
=−=−=−=−
++++
Pr
ů
b
ě
h funkce
G86
ξξξξ
= x
o
+
δδδδ
(x –x
o
) , 0 <
δδδδ
<
1
G86
7.
1
Pr
ů
b
ě
h funkce
G86
V tomto odstavci bude
J
zna
č
it interval
(otev
ř
ený, uzav
ř
ený, polouzav
ř
ený),
J
o
jeho
vnit
ř
ek.
G86
Nech
ť
f
je spojitá
n
a
J
a diferencova-
Pr
ů
b
ě
h funkce
G86
telná
n
a
J
o
. Potom f je neklesající,
resp. Nerostoucí
na J když
a jen když
G86
f
/
(
x
)
≥≥≥≥
0
, resp.
f
/
(
x
)
≤≤≤≤
0
na
J
o
☺☺☺☺
G86
V
ě
ta. Nech
ť
funkce
f
je spojitá
na
J
a
diferencovatelná
na J
o
. Potom f je
rostoucí
,
resp. klesající
na J práv
ě
když
je
f
/
(
x
)
≥≥≥≥
0
, resp.
f
/
(
x
)
≤≤≤≤
0
,
Pr
ů
b
ě
h funkce
G86
p
ř
i
č
emž
r
ovnost
f
/
(
x
) = 0
nenastane
na žádném podintervalu intervalu
J
o
.
G86
7.2 Lokální
extrémy
G86
Funkce
f
mé
v bod
ě
x
o
lokální
maxi-
mum
(
minimum
), když
existuje okolí
U(
x
o
)
⊂⊂⊂⊂
D
f
, tak že pro
x
∈∈∈∈
U(
x
o
)
platí
f
(
x
)
≤≤≤≤
f
(
x
o
) (
f
(
x
)
≥≥≥≥
f
(
x
o
) ) .
Pr
ů
b
ě
h funkce
G86
Nutná
podmínka pro lokální
extrém
G86
Má-li funkce
f
v bod
ě
x
o
lokální
e
x-
trém potom
f
/
(
x
o
) = 0
, nebo
f
/
(
x
o
)
neexistuje.
☺☺☺☺
G86
Stacionární
b
od
G86
Bod
x
o
ve kterém je
f
/
(
x
o
) = 0
se na-
zývá
stacionární
bod funkce
f
.
Pr
ů
b
ě
h funkce
G86
Posta
č
ující
p
odmínka pro eistenci
lokálního extrému ve stacionárním bod
ě
G86
Nech
ť
funkce
f
má
druhou derivaci ve
svém stacionárním bod
ě
x
o
.
G86
Jeli
f
//
(
x
o
)>
0

nastává
v bod
ě
x
o
lokální
minimum, je-li
f
//
(
x
o
)<
0

nastává
v bod
ě
Pr
ů
b
ě
h funkce
G86
x
o
lokální
m
aximum.
☺☺☺☺
G86
V
ě
ta Nech
ť
ve stacionárním bod
ě
x
o
funkce
f
je
G86
f
(
k
)
(
x
o
) = 0
pro
k
=
1
, 2, . . . ,
n
-
1
,
G86
f
(
n
)
(
x
o
)
≠≠≠≠
0.
G86
Je-li
n
sudé, nastává
v
x
o
extrém a to
Pr
ů
b
ě
h funkce
G86
lokální
m
aximum, je-li
f
(
n
)
(
x
o
) < 0
a
lokální
m
inimum, je-li
f
(
n
)
(
x
o
) > 0.
Je
–li
n
liché, extrém v
x
o
nenastává.
G86
Poznámka o
absolutních
extrémech.
Pro nalezení
absolutního extrému funk-
ce
f
na uzav
ř
eném intervalu je nutné
krom
ě
výpo
č
tu relativních extrém
ů
Pr
ů
b
ě
h funkce
G86
vypo
č
ítat i hodnoty
v hrani
č
ních
bodech.
G86
7.3 Funkce konvexní
a
konkávní
G86
Nech
ť
funkce
f
je spojitá
n
a
J
a dife-
rencovatelná
na
J
o
.
Ř
ekneme, že
f
je na
J
konvexní, resp.
Konkávní, jestliže pro každé
x
∈∈∈∈
J
o
a
Pr
ů
b
ě
h funkce
G86
a pro každé
h
, pro které
x +
h
∈∈∈∈
J
, je
rozdíl
G86
∆∆∆∆
f
(
x)
–
d
f
(
x)
> 0
resp.
∆∆∆∆
f(
x
)
–d
f(
x
)
<
0

G86
kde
G86
∆∆∆∆
f
(
x
)=
f
(
x
+
h
) –
f
(
x
)
G86
je p
ř
ír
ů
stek funkce
f
v bod
ě
x
a
Pr
ů
b
ě
h funkce
G86
d
f
(x) = f
/
(
x
).
h
= (
f
/
(
x
) d
x
)
G86
Je diferenciál v tomto bod
ě
.
G86
Poznámka. Graf konvexní
funkce leží
nad
te
č
nou, graf konkávní
funkce leží
pod
te
č
nou. (geometrická
charakteristika).
G86
V
ě
ta. Nech
ť
funkce
f
je spojitá
na
J
a
Pr
ů
b
ě
h funkce
G86
a dvakrát diferencovatelná
na
J
o
, potom
f
je na
J
konvexní, resp. konkávní,
práv
ě
když
f
//
(
x
)
≥≥≥≥
0,
resp.
f
//
(
x
)
≤≤≤≤
0
na
J
o
,
p
ř
i
č
emž
není
f
//
(
x
) = 0
na žádném pod-
intervalu
J
o
.
G86
Inflexní
b
od
G86
Nech
ť
funkce
f
je diferencovatelná
v bo-
Pr
ů
b
ě
h funkce
G86
d
ě
x
o
.
Ř
ekneme, že
x
o
je inf
l
exním
bodem funkce
f
, jestl
i
že existuje
ε
> 0
tak, že
f
je konvexní
na
intervalu
(
x
o
–
ε
,
x
o
)
a konkávní
na
intervalu
(
x
o
,
x
o
+
ε
),
nebo
f
je
konkávní
na
(
x
o
–
ε
,
x
o
)
a konvexní
na
(
x
o
,
x
o
+
ε
)
.
Pr
ů
b
ě
h funkce
G86
Nutná
podmínka pro inflexi
G86
Je-li
x
o
inflexním
bodem funkce
f
,
potom bu
ď
f
//
(
x
o
) = 0
nebo
f
//
(
x
o
)
neexistuje.
G86
Posta
č
ující
p
odmínka pro inflexi
Nech
ť
f
(
k
)
(
x
o
) = 0
pro
k
= 2, 3, . . . ,
n
-
1
Pr
ů
b
ě
h funkce
f
(
n
)
(
x
o
) = 0.
Je-li
n
liché, potom
x
o
je inflexním
bodem funkce
f
, je-li
n
sudé
po-
tom v
x
o
inflexe
nenastává.
7.4 AsymptotyP
ř
ímka
x
=
a
se nazývá
asymptotou
bez sm
ě
rnice (vertikální
a
symptotou)
Pr
ů
b
ě
h funkce
G86
grafu funkce
f
, jestliže alespo
ň
jedna z
jednostranných limit funkce
f
v bo-d
ě
a
je nevlastní.
G86
P
ř
ímka
y
=
a x
+
b
se nazývá
asymptotou se sm
ě
rnicí
g
rafu funkce f ,
jestliže
(((()
)))(
((()
)))
0
lim
x
fx
a
x
b
→+
∞
→+
∞
→+
∞
→+
∞

−+
=
−+
=
−+
=
−+
=

Pr
ů
b
ě
h funkce
G86
nebo
G86
V
ě
ta Jestliže p
ř
ímka
y
=
ax
+
b
je
asymptotou funkce
f
, potom
(((()
)))(
((()
)))
0
lim
x
fx
a
x
b
→−
∞
→−
∞
→−
∞
→−
∞

−+
=
−+
=
−+
=
−+
=

(((()
)))
(((()
)))
lim
lim
,
fx
a
x
bf
x
a
x
====




=−=−=−=−




Pr
ů
b
ě
h funkce
G86
kde
lim
je bu
ď
nebo .
G86
Vyšet
ř
ení
p
r
ů
b
ě
hu funkce
G86
Vyšet
ř
it pr
ů
b
ě
h funkce znamená
z
ískat
dostatek informací
o nejvýznamn
ě
jších
vlastnostech funkce o nichž
b
yla
ř
e
č
v
této
č
ásti –
d
iferenciálním po
č
tu.
lim
x
→−
∞
→−
∞
→−
∞
→−
∞
lim
x
→+
∞
→+
∞
→+
∞
→+
∞
Pr
ů
b
ě
h funkce
G86
Krom
ě
ur
č
ení
defini
č
ního oboru, bod
ů
nespojitosti, nulových bod
ů
a ur
č
ení
významných limit, se jedná
hlavn
ě
o
ur
č
ení
interval
ů
monotonie, lokálních a
absolutních extrém
ů
, interval
ů
konvexi-
ty a konkávity, inflexních
bod
ů
asym-
ptot
a kone
č
n
ě
na
č
rtnutí
g
rafu funkce.