Diferenciální počet

((()
)))
(((()
)))
(((()
)))
,
lim
lim
xa
xa
xa
fx
fx
++++
→→→→
→→→→
∈+
∞
∈+
∞
∈+
∞
∈+
∞
====
(((()
)))
(((()
)))
(((()
)))
,
lim
lim
xa
xa
xa
fx
fx
−−−−
→→→→
→→→→
∈−
∞
∈−
∞
∈−
∞
∈−
∞
====
Limita
funkce
box3
Vidíme, že naše funkce má
v bod
ě
nula
levostrannou a pravostrannou limitu.
box3
Funkce
f
má
ve vnit
ř
ním bod
ě
defini
č
-
ního
oboru limitu, když
a jen když
má
v
tomto bod
ě
ob
ě
jednostranné
limity a ty
se sob
ě
rovnají.
☺☺☺☺
Limita
funkce
box3
2.4 Limita posloupnosti
box3
Protože množina
N
všech p
ř
irozených
č
ísel má
jediný hromadný bod +
∞∞∞∞
, má
u posloupnosti smysl vyšet
ř
ovat jen
limitu . Posloupnost, která
m
á
vlastí
limitu, se nazývá
konvergentní,
která
m
á
nevlastní
limitu nebo nemá
lim
n
n
a
→+
∞
→+
∞
→+
∞
→+
∞
Limita
funkce
box3
žádnou limitu,
divergentní
.
box3
Jestliže
č
leny posloupnosti (a
n
) mají
n
ě
jakou vlastnost V pro všechna
n
z
n
ě
jakého okolí
bodu +
∞∞∞∞
,
ř
ekneme že
a
n
mají
vlastnost V pro skoro všechna
n
, (tj. pro všechna
n
až
na kone
č
ný
po
č
et výjimek)
Limita
funkce
box3
2.5 Hromadný bod posloupnosti, horní
a dolní
limita
box3
Bod
b
nazveme hromadným bodem
posloupnosti (
a
n
) jestliže pro každé
okolí
U(
b
)
je
a
n
∈∈∈∈
U(
b
)
pro nekone
č
n
ě
mnoho index
ů
n
.
box3
Odtud vidíme, že pokud má
posloup-
nost
l
imitu, je tato limita hromadným
Limita
funkce
box3
bodem této posloupnosti. V obecném p
ř
ípad
ě
posloupnost m
ů
že mít víc
hromadných bod
ů
. Nejv
ě
tší
h
romadný
bod posloupnosti (
a
n
) se nazývá
horní
llimita
a
zna
č
í
s
e lim sup
a
n
, nejmen-
ší
hromadný se nazývá
dolní
limita a
zna
č
í
s
e lim inf
a
n
.
Limita
funkce
box3
P
ř
íklad:
box3
-
1
, 0,
1
, -
1
, 0,
1
, -
1
, 0,
1
, . . .
box3
Tato posloupnost má
t
ř
i hromadné
body. Horní
l
imita je
1
a dolní
limita -
1
.
box3
Cauchy
ů
v
k
onvergen
č
ní
princip.
box3
Č
íselná
posloupnost
(
a
n
)
je konver
–
gentní
když
a jen když
ke každému
Limita
funkce
box3
εεεε
> 0
e
xistuje
i
ndex
n
o
tak, že pro
všechna
n
,
m
>
n
o
je
|
a
n
–
a
m
|<

εεεε
.
box3
2.6 V
ě
ty
o lim
itách
box3
Nech
ť
. Potom
box3
existuje okolí
U(
a
),
že pro všechna
box3
x
≠≠≠≠
a
,
x
∈∈∈∈
U(
a
)
platí
f
(
x
) <
g
(
x
).
☺☺☺☺
(((()
)))(
((()
)))
lim
lim
xa
xa
fx
g
x
→→→→→→→→

>
=+
∞
>
>
=+
∞
>
>
⇒⇒⇒⇒
=+
∞
=+
∞
=+
∞
=+
∞
(((()
)))(
((()
)))
(((()
)))(
((()
)))
0
0
lim
,
o
h
ra
ni
č
en
á
lim
.
xa
xa
fx
g
x
fx
g
x
→→→→
→→→→
====
⇒⇒⇒⇒
====
Limita
funkce
box3
2.8 Limita složené
f
unkce
box3
Nech
ť
box3
1
.
a
je hromadný bod množiny
D
f
, kde
f
=
h
o
g
.
box3
2. existují
limit
y
(((()
)))(
((()
)))
lim
,
lim
.
xa
u
c
cg
x
d
h
u
→→→→→→→→
========
Limita
funkce
box3
3. Na jistém okolí
b
odu
a
je pro
x
≠≠≠≠
a
také
g
(
x
)
≠≠≠≠
c.
box3
Potom existuje limita složené
f
unkce
f
v bod
ě
a
, p
ř
i
č
emž
box3
☺☺☺☺
(((()
)))
lim
xa
fx
d
→→→→
====
Limita
funkce
box3
2.9 N
ě
které
d
ů
ležité
limity
0
11
a)
1
b
)

1
1
c)
1
d


1
→∞
→
−
∞
→−
∞
→


+=
+=






+=
+=




x+
x
c
xx
lim
e
l
im
e
lim
e
lim
e
xx
xx
xx
cxx
Spojitost
f
unkce
box3
3.
1
Spojitos
t
v
bod
ě
box3
Ř
ekneme, že funkce
f
je spojitá
v
bod
ě
a
,
když
box3
Poznamenejme, že z definice spojitosti plyne: Pokud je
f
spojitá
v
bod
ě
a
potom
nutn
ě
a
pat
ř
íd
o

D
f
a je jejím hromadným
bodem.
()
(
)
.
→
=
xa
lim
fx
f
a
Spojitost
f
unkce
G86
3.2 Jednostranná
spojitost
G86
Funkce
f
je v bod
ě
a
spojitá
z
leva
(zprava), jestliže
G86
Funkce
f
je spojitá
v
e vnit
ř
ním bod
ě
defini
č
ního oboru, když
a jen když
je
v tomto bod
ě
spojitá
z
leva i zprava.
()
(
)
()
(
)
(
)
,
+
xa
xa
lim
lim
fx
f
a
fx
f
a
→→
==
−−−−
G86
existuje ale je r
ů
zná
o
d
f
(
a
)
. Ukazuje
se užite
č
né
rozt
ř
ídit nespojitosti do
dvou druh
ů
podle následující
definice.
Spojitost
f
unkce
box3
3.3. Druhy nespojitosti v bod
ě
box3
Jestliže
funkce
f
není
v bod
ě
a
spojitá,
potom
ř
íkáme, že je v tomto bod
ě
nespo-
jitá
, nebo že má
v bod
ě
a
nespojitost.
Nespojitost v bod
ě
a
m
ů
že na
st
at z
n
ě
kolika p
ř
í
č
in. Bu
ď
f
není
v bod
ě
a
definována
(
a
∉∉∉∉
D
f
)
, nebo neexistuje v
bod
ě
a
vlastní
l
imita funkce
f
, p
ř
ípadn
ě
vlastní
l
imita
e
xistuje, ale je
r
ů
zná
od
f
(
a
)
.
Spojitost
f
unkce
box3
U
k
az
uje s
e
už
ite
č
né
rozt
ř
ídit nespojitosti do
dvou dvou druh
ů
–
v
iz následující
definice.
box3
Nech
ť
funkce
f
má
v bod
ě
a
nespojitost.
Ř
ekneme, že nespojitost v bod
ě
a
je
prvního druhu
, jestliže funkce
f
má
v tom-
to bod
ě
vlastní
j
ednostranné
limity.
Č
íslo
box3
nazýváme
skok
funkce
f
v
bod
ě
a
.
(
)
()
()
→→
=−
sa
+-
xa
x
a
lim
lim
fx
fx
Spojitost
f
unkce
box3
Nespojitost prvního druhu, ve které
j
e skok
nulový, se na
zývá
odstranitelná
nespo-
jitost.
box3
Nespojitosti, které
nejsou prvního druhu se
nazývají
nespojitosti
druhého druhu
.
box3
Platí: Nech
ť
fun
kce
f
,
g
jsou
spojité
v

bod
ě
a
, který je hromadným bodem mno-
žiny
D
f
∩∩∩∩
D
g .
Potom jsou v tomto bod
ě
spojité
t
aké
f
unkce
f + g
,
f-g
,
f . g
a
Spojitost
f
unkce
G86
je-li navíc
g
(
a
)
≠≠≠≠
0
i funkce .
G86
Nech
ť
a
je hromadným bodem defi-
ni
č
ního
oboru složené
f
unkce
f =h
o
g
.
Je-li funkce
g
spojitá
v
bod
ě
a
, a
funkce
h
spojitá
v
bod
ě
g
(
a
)
, potom
složená
f
unkce
f
je spojitá
v
bod
ě
a
.
(složení
spojitých funkcí
je spojitá
funkce).
f
g
Spojitost
f
unkce
G86
3.4 V
ě
ty o funkcích spojitých na
uzav
ř
eném intervalu
G86
V
ě
ta Weierstrassova
G86
Je-li funkce
f
spojitá
na uzav
ř
eném
intervalu
<
a
,
b
>,
potom nabývá
v
<
a
,
b
>
aspo
ň
v jednom bod
ě
svého
maxima a aspo
ň
v jednom bod
ě
svého
Spojitost
f
unkce
G86
minima.
G86
V
ě
ta Bolzano-Weierstrassova
Nech
ť
funkce
f
je spojitá
n
a uzav
ř
e-
ném
intervalu
<
a, b
>
a je
f
(
a
)
≠≠≠≠
f
(
b
)
.
Pak ke
ka
ždé
m
u
č
íslu
Q
, pr
o k
t
eré
je
f
(
a
)<
Q
<
f
(
b
),
nebo
f
(
a
)>
Q
>
f
(
b
)
existuje
q
∈∈∈∈
(
a
,
b
) ,
že
f
(
q
) =
Q
.
Spojitost
f
unkce
G86
D
ů
sledek
1
. Je-li funkce
f
spojitá
na
<
a
,
b
>
a
f
(
a
).
f
(
b
) <
0
, pak existuje
q
∈∈∈∈
<
a
,
b
>
, že
f
(
q
) = 0
.
G86
D
ů
sledek 2. Je-li funkce
f
spojitá
a

prostá
na
<
a
,
b
>
,
potom je zde ryze
monotonní.
Spojitost
f
unkce
G86
3.5 V
ě
ta o spojitosti inversní
funkce
G86
Nech
ť
funkce
f
je spojitá
n
a uzav
ř
e-
ném
intervalu
<
a
,
b
>
a nech
ť
k ní
exis-
tuje inversní
funkce
f
–
1
. Potom funkce
f
–
1
je spojitá
n
a
f
( <
a
,
b
> )
.
Derivace
funkce
G86
4.
1
Derivace
v bod
ě
G86
Nech
ť
pro funkci
f
definovanou na
n
ě
kterém okolí
U(
x
0
) (U(
x
0
)
⊂⊂⊂⊂
D
f
)
existuje vlastní
limita
()
()
(
)
00
/
h0
fx
+
h
-
f
x
fx
=
l
i
m
h
→
Derivace
funkce
G86
Potom tuto limitu nazýváme derivacífunkce
f
v bod
ě
x
0
.
G86
Je-li
f
definována na
U(
x
0
)
∩∩∩∩
<
x
0
,+
∞∞∞∞
)
resp. na
U(
x
0
)
∩∩∩∩
(-
∞∞∞∞
,
x
0
)
a existují-li
jednostranné
limity
G86
Derivace
funkce
box3
,
()
()
(
)
→
00
'
+
h0
+
fx
+
h
-
f
x
fx
=
l
i
m
h
()
()
(
)
→
00
'
-
h0
-
fx
+
h
-
f
x
f
x
=
lim
h
Derivace
funkce
box3
potom
f
+
’(
x
0
)
nazýváme derivací
zprava a
f
-
’(
x
0
)
derivací
z
leva
funkce
f
v bod
ě
x
0
.
box3
1
) Ozna
č
íme-li
x
0
+
h
=
x
m
ů
žeme zapisovat derivaci
taky následovn
ě
:
Derivace
funkce
G86
Podobn
ě
pro jednostranné
derivace.
G86
2) Ozna
č
ení
derivace
f
’
(
x
o
)
je zavede-
né
Lagrangem. Leibniz
zavedl ozna
č
ení
G86
stru
č
n
ě
ji
.
(((()
)))
(((()
)))
(((()
)))
'
lim
o
o
o
xx
o
fx
fx
fx
xx
→→→→
−−−−
====
−−−−
o
xx
df
dx
====

(((()
)))
(((()
)))
,
o
o
df
x
df
x
dx
dx
Derivace
funkce
G86
3. Má-li funkce
f
v bod
ě
x
0
derivaci,
ř
íkáme o ní, že je diferencovatelná
v
bod
ě
x
0
.
G86
Platí: Je-li funkce
f
diferencovatelná
v bod
ě
x
0
, potom je v tomto bod
ě
spojitá.
☺☺☺☺
Derivace
funkce
G86
4.2 Derivace na otev
ř
eném intervalu
G86
P
ř
edpokládejme, že funkce
f
je defino-
vaná
na otev
ř
eném intervalu
(
a
,
b
)
a
má
v každém bod
ě
x
∈∈∈∈
(
a
,
b
)
derivaci
f
‘
(
x
).
Potom je na
(
a
,
b
)
definovaná
funkce
f
‘,
kterou
nazýváme derivací
funkce
f
.
Derivace
funkce
G86
Poznámky k definici.
G86
1
) Funkci
f
, která
m
á
derivaci na inter-
valu
(
a
,
b
)
nazýváme diferencovatel-
nou
na
(
a
,
b
).
G86
2) Definici je možno použít také
pro
uzav
ř
ený interval
<
a
,
b
>
, potom však
krom
ě
existence derivace v každém
Derivace
funkce
G86
bod
ě
intervalu
(
a
,
b
)
požadujeme
existenci derivace zprava v bod
ě
a
a
existenci derivace zleva v bod
ě
b
.
G86
4.3 Diferenciál funkce
G86
Je-li funkce
f
diferencovatelná
v bod
ě
x
0
.
Potom funkci
f
‘
(
x
0
).
h
prom
ě
nné
h
∈∈∈∈
R
nazýváme
diferenciálem
funkce
f
v bod
ě
x
0
a zna
č
íme
Derivace
funkce
G86
d
f
(
x
0
)
= f
’
(
x
0
).
h
.
G86
Prom
ě
nnou
h
nazýváme p
ř
ír
ů
st-kem
argumentu.
G86
Je-li funkce
f
diferencovatelná
na
intervalu
(
a
,
b
)
potom
f
’
(
x
).
h
Derivace
funkce
G86
je
funkcí
dvou pro-m
ě
nných
G86
x
∈∈∈∈
(
a
,
b
),
h
∈∈∈∈
(-
∞∞∞∞
, +
∞∞∞∞
),
G86
Kterou nazýváme diferenciálem funkce f
a ozna
č
ujeme
d
f
(
x
)
nebo
d
f
,
G86
Zvolíme-li speciáln
ě
f
:
f
(
x
) =
x
, potom
G86
df
(
x
) =
dx
=
1
.
h
Derivace
funkce
G86
Výsledek
dx
=
h
budeme nadále pou-
žívat všude, Bude tedy
G86
df
(
x
) =
f
/
(
x
).
dx
G86
4.4 Aproximace p
ř
ír
ů
stku funkce
G86
diferenciálem
G86
P
ř
ír
ů
stkem funkce
f
v bod
ě
x
se
Derivace
funkce
square6
nazývá
rozdíl
square6
∆∆∆∆
f
(
x
) =
f
(
x
+
h
) –
f
(
x
)
.
square6
Je-li
f
/
(
x
)
≠≠≠≠
0
, potom
(((()
)))
(((()
)))
(((()
)))(
((()
)))
(((()
)))
00
1
,
lim
lim
.
.
hh
fx
fx
h
f
x
df
x
f
x
h
→→→→→→→→
∆+
−
∆+
−
∆+
−
∆+
−
========
Derivace
funkce
G86
Proto pro dostate
č
n
ě
malá
h
je
G86
odtud
G86
(((()
)))
(((()
)))
1
fx
df
x
∆∆∆∆
≈≈≈≈
(((()
)))(
((()
)))
fx
d
f
x
∆≈∆≈∆≈∆≈
Derivace
funkce
G86
4.5 Derivace n
ě
kterých elementárních
G86
funkcí
G86
1
) (
c
)
/
= 0
( c = konstanta)
G86
2) (
x
n
)
/
=
n.x
n
-
1
,
n
∈∈∈∈
N
G86
3) (
sin
x
)
/
= cos
x
G86
4) (
cos
x
)
/
= -
s
in
x
Derivace
funkce
box3
5) (
e
x
)
/
= e
x
G86
Pro v
ě
tší
p
ř
ehlednost budeme místo
funkcí
f
(
x
)
a
g
(
x
)
psát pouze
u
a
v
.
G86
Zapamatujeme si následující
pravidla
pro derivování
sou
č
tu, rozdílu, sou
č
inu
a podílu :
P
ř
edpokládejme,
ž
e
u
a
v
mají
derivace.
Derivace
funkce
box3
(
c
.
u
)
/
= c.u
/
box3
(
u
±±±±
v
)
/
=
u
/
±±±±
v
/
box3
(
u.v
)
/
=
u
/
v
+
u v
/
2
0
/
//
uu
v
u
v
v
vv
−−−−

=≠=≠=≠=≠

Derivace
funkce
G86
6)
(cosh
x
)
/
= sinh
x
G86
7)
(sinh
x
)
/
= cosh
x
(((()
)))
(((()
)))
2
2
1
8
1
9
/
/
)t
a
n
co
s
)c
o
t
a
n
sin
x
x
x
x
====
−−−−
====
Derivace
funkce
box3
.
(((()
)))
(((()
)))
(((()
)))
2
2
1
1
10
1
1112
/
/
/
)t
a
n
h
co
sh
)c
o
t
a
n
h
si
n
h
);
nn
x
x
x
x
xn
x
n
Z
−−−−
====
−−−−
====
=∈=∈=∈=∈
Derivace
funkce
G86
V
ě
ta
o derivaci
složené
f
unkce
G86
Nech
ť
f
:
y
=
f
(
x
) ,
x
∈∈∈∈
(
a
,
b
)
G86
g : x = g(y) , y
∈∈∈∈
(
α
,
β
)
G86
Jsou navzájem inversní
funkce a platí:
G86
1
. funkce
g
je spojitá
na
(
α
,
β
)
G86
2. v bod
ě
y
o
∈∈∈∈
(
α
,
β
)
existuje derivace
Derivace
funkce
G86
g
/
(
y
o
)
≠
0.
G86
Potom
v
bod
ě
x
o
=
g
(
y
o
)
existuje
také
f
/
(
x
o
)
a platí(((()
)))
(((()
)))
1
/
/
.
o
o
fx
gy
====
Derivace
funkce
V Leibnizov
ě
zápisu derivací
má
pos-
lední
formule tvar
1
.
dy
dx
dx
dy
====
Derivace
funkce
box3
.
(((()
)))
(((()
)))
(((()
)))
2
2
2
1
13
1
1
14
1
1
15
1
/
/
/
)a
r
c
s
i
n
)a
r
c
c
o
s
)a
r
c
t
a
n
x
x
x
x
x
x
====
−−−−
=−=−=−=−
−−−−
====
++++
Derivace
funkce
G86
V
ě
ta o derivaci složené
f
unkce
G86
Nech
ť
funkce
g
:
u
=
g
(
x
)
má
(((()
)))
(((()
)))
2
1
16
1
1
17
/
/
)a
r
c
c
o
t
a
n
)l
n
x
x
x
x
=−=−=−=−
++++
====
Derivace
funkce
G86
derivaci v bod
ě
x
o
a funkce