Integrální počet

ϕψ
(
)
,
αβ
()
()
Lt
t
t
ii
22
d
β
α



=ϕ
+
ψ






5. Geometrick
5. Geometrick
é
é
aplikace
aplikace
square6
square6
tak
tak
ž
ž
e je
e je
()
(
)
()
(
)
()
(
)
()
..
sin
1
co
s


=1
c
o
s
,
=
s
i
n

xt
r
t
t
,
y
t
r
t
,
t,
tr
t
t
r
t
=ϕ
=
−
=
ψ
=
−
∈α
β
ϕ−
ψ
()
2
2
22
2
0
1c
o
s
s
i
n
d
Lr
t
r
t
t
=−
+
=
π
5. Geometrick
5. Geometrick
é
é
aplikace
aplikace
2
π
2
π
00
1-
co
s
22
c
o
s
d
2
d
2
t
rt
t
r
t
=−
=
=
∫
∫
[]
2
π
2
π
0
0
2s
i
n
d
2
2
c
o
s
8
2
t
rt
r
-
t
r
.
==
=
∫
INTEGR
INTEGR
Á
Á
LN
LN
Í
Í
PO
PO
Č
Č
ET
ET
Nevlast
n
Nevlast
n
í
í
integr
integr
á
á
l
l
6. Nevlastn
6. Nevlastn
í
í
integr
integr
á
á
l
l
square6
square6
Ur
Ur
č
č
itý integr
itý integr
á
á
l jsme definovali za dvou
l jsme definovali za dvou
p
p
ř
ř
edpoklad
edpoklad
ů
ů
:
:
square6
square6
1
) Interval
1
) Interval
<
<
a
a
,
,
b
b
>
>
je kone
je kone
č
č
ný.
ný.
square6
square6
2) Funkce
2) Funkce
f
f
:
:
<
<
a
a
,
,
b
b
>
>
→→→→
→→→→
R
R
je
je
square6
square6
ohrani
ohrani
č
č
en
en
á
á
.
.
square6
square6
V n
V n
á
á
sleduj
sleduj
í
í
c
c
í
í
č
č
á
á
sti pod
sti pod
á
á
me definici
me definici
integr
integr
á
á
lu tak,
lu tak,
ž
ž
e od t
e od t
ě
ě
chto omezuj
chto omezuj
í
í
c
c
í
í
ch
ch
6. Nevlastn
6. Nevlastn
í
í
integr
integr
á
á
l
l
square6
square6
p
p
ř
ř
edpoklad
edpoklad
ů
ů
upust
upust
í
í
me. Takový integr
me. Takový integr
á
á
l
l
se bude nazývat nevlast
se bude nazývat nevlast
í
í
na rozd
na rozd
í
í
l na
l na
rozd
rozd
í
í
l od integr
l od integr
á
á
l
l
ů
ů
vlastn
vlastn
í
í
ch, kter
ch, kter
é
é
jsme
jsme
studovali a
studovali a
ž
ž
dosud.
dosud.
square6
square6
6.1 Nevlastn
6.1 Nevlastn
í
í
integr
integr
á
á
l v
l v
neomezen
neomezen
é
é
m intervalu
m intervalu
square6
square6
Bu
Bu
ď
ď
f
f
funkce definovan
funkce definovan
á
á
v intervalu
v intervalu
<
<
a
a
, +
, +
∞∞∞∞
∞∞∞∞
)
)
. Nech
. Nech
ť
ť
f
f
je
je
integrovateln
integrovateln
á
á
6. Nevlastn
6. Nevlastn
í
í
integr
integr
á
á
l
l
square6
square6
v intervalu
v intervalu
<
<
a
a
,
,
ξξξξ
ξξξξ
>
>
pro ka
pro ka
ž
ž
d
d
é
é
ξξξξ
ξξξξ
>
>
a
a
.
.
Nech
Nech
ť
ť
existuje vlastn
existuje vlastn
í
í
limita
limita
square6
square6
Pak tuto limitu nazýv
Pak tuto limitu nazýv
á
á
me
me
nevlastn
nevlastn
í
í
m in
m in
-
-
tegr
tegr
á
á
lem
lem
funkce
funkce
f
f
v intervalu
v intervalu
<
<
a
a
, +
, +
∞∞∞∞
∞∞∞∞
)
)
,
,
p
p
íš
íš
eme
eme
()
()
lim
d
d
aa
fx
x
f
x
x
.
ξ∞
ξ→
∞
=
()
lim
d
a
fx
x
.
ξ
ξ→
∞
6. Nevlastn
6. Nevlastn
í
í
integr
integr
á
á
l
l
square6
square6
a
a
ř
ř
í
í
k
k
á
á
me,
me,
ž
ž
e integr
e integr
á
á
l
l
konverguje
konverguje
. Je
. Je
-
-
li funkce
li funkce
f
f
takov
takov
á
á
,
,
ž
ž
e
e
p
p
ř
ř
edchoz
edchoz
í
í
limita neexistuje, pak
limita neexistuje, pak
ř
ř
í
í
k
k
á
á
me,
me,
square6
square6
ž
ž
e integr
e integr
á
á
l
l
diverguje
diverguje
.
.
square6
square6
Podobn
Podobn
ě
ě
definujeme jako
definujeme jako
()
d
a
fx
x
∞
∫
()
d
a
fx
x
∞
∫
()
lim
d
a
fx
x
.
ξ→
∞
ξ
()
d
a
fx
x
−∞
6. Nevlastn
6. Nevlastn
í
í
integr
integr
á
á
l
l
square6
square6
6.2 Integr
6.2 Integr
á
á
l z neohrani
l z neohrani
č
č
en
en
é
é
funkce
funkce
square6
square6
Nech
Nech
ť
ť
je funkce
je funkce
f
f
definovan
definovan
á
á
v
v
inter
inter
-
-
valu
valu
<
<
a
a
,
,
b
b
>.
>.
Nech
Nech
ť
ť
je
je
f
f
v ka
v ka
ž
ž
d
d
é
é
m in
m in
-
-
tervalu
tervalu
(
(
b
b
-
-
δδδδ
δδδδ
,
,
b
b
), 0
), 0
<
<
δδδδ
δδδδ
<
<
b
b
–
–
a
a
ohrani
ohrani
-
-
č
č
en
en
á
á
. Nech
. Nech
ť
ť
pro ka
pro ka
ž
ž
d
d
é
é
ξξξξ
ξξξξ
∈∈∈∈
∈∈∈∈
(
(
a
a
,
,
b
b
)
)
square6
square6
existuje integr
existuje integr
á
á
l a nech
l a nech
ť
ť
square6
square6
existuje limita Pak tuto
existuje limita Pak tuto
()
d
a
fx
x
ξ
∫
()
a
fx
x
ξ
b
lim
d
ξ
→
∫
6. Nevlastn
6. Nevlastn
í
í
integr
integr
á
á
l
l
square6
square6
Limitu nazýv
Limitu nazýv
á
á
me
me
nevlastn
nevlastn
í
í
m integr
m integr
á
á
lem
lem
funkce
funkce
f
f
v intervalu
v intervalu
<
<
a
a
,
,
b
b
)
)
a
a
p
p
íš
íš
eme
eme
square6
square6
Podobn
Podobn
ě
ě
definujeme nevlastn
definujeme nevlastn
í
í
integr
integr
á
á
l z
l z
funkce neohrani
funkce neohrani
č
č
en
en
é
é
na intervalu
na intervalu
(
(
a
a
,
,
b
b
>
>
square6
square6
Vztahem .
Vztahem .
square6
square6
V obou p
V obou p
ř
ř
í
í
padech op
padech op
ě
ě
t
t
ř
ř
í
í
k
k
á
á
me,
me,
ž
ž
e integr
e integr
á
á
l
l
konverguje, je
konverguje, je
-
-
li limita napravo vlastn
li limita napravo vlastn
í
í
.
.
()
()
ξ
ξ
b
dl
i
m
d
b
aa
fx
x
f
x
x
.
→
=
∫
∫
−−−−
()
()
ξ
ξ
dl
i
m
d
bb
a
a
fx
x
f
x
x
→
=
∫∫
++++
6. Nevlastn
6. Nevlastn
í
í
integr
integr
á
á
l
l
square6
square6
Je
Je
-
-
li funkce
li funkce
f
f
definov
definov
á
á
na na intervalu
na na intervalu
<
<
a
a
,
,
b
b
)
)
( kde
( kde
b
b
eventu
eventu
á
á
ln
ln
ě
ě
= +
= +
∞∞∞∞
∞∞∞∞
), in
), in
-
-
tegrovateln
tegrovateln
á
á
na libovoln
na libovoln
é
é
m intervalu
m intervalu
square6
square6
<
<
a
a
,
,
c
c
),
),
c
c
<
<
b
b
p
p
ř
ř
i
i
č
č
em
em
ž
ž
square6
square6
je nevlastn
je nevlastn
í
í
,
,
ř
ř
ekneme
ekneme
ž
ž
e integr
e integr
á
á
l
l
square6
square6
m
m
á
á
singularitu v horn
singularitu v horn
í
í
mezi
mezi
.
.
square6
square6
Obdobn
Obdobn
ě
ě
definujeme
definujeme
singularitu v doln
singularitu v doln
í
í
()
d
b
a
fx
x
∫
()
d
b
a
fx
x
∫
6. Nevlastn
6. Nevlastn
í
í
integr
integr
á
á
l
l
square6
square6
mezi integr
mezi integr
á
á
lu.
lu.
square6
square6
V mnoha p
V mnoha p
ř
ř
í
í
padech nen
padech nen
í
í
nutn
nutn
é
é
zn
zn
á
á
t
t
hodnotu nevlastn
hodnotu nevlastn
í
í
ho integr
ho integr
á
á
lu, sta
lu, sta
č
č
í
í
v
v
ě
ě
d
d
ě
ě
t, zda integr
t, zda integr
á
á
l konverguje nebo
l konverguje nebo
diverguje. Na tuto ot
diverguje. Na tuto ot
á
á
zku d
zku d
á
á
vaj
vaj
í
í
odpo
odpo
-
-
v
v
ěď
ěď
tak zvan
tak zvan
á
á
konvergen
konvergen
č
č
n
n
í
í
kriteria.

kriteria.

N
N
ě
ě
kter
kter
á
á
si uvedeme. Budeme je for
si uvedeme. Budeme je for
-
-
mulovat
mulovat
pro nevlastn
pro nevlastn
í
í
integr
integr
á
á
ly se
ly se
singularitou v horn
singularitou v horn
í
í
mezi. Pro integr
mezi. Pro integr
á
á
ly
ly
6. Nevlastn
6. Nevlastn
í
í
integr
integr
á
á
l
l
square6
square6
Se singularitou v doln
Se singularitou v doln
í
í
mezi plat
mezi plat
í
í
tvrzen
tvrzen
í
í
analogick
analogick
á
á
.
.
square6
square6
Bu
Bu
ď
ď
f
f
funkce definovan
funkce definovan
á
á
na intervalu
na intervalu
square6
square6
<
<
a
a
,
,
b
b
)
)
, nech
, nech
ť
ť
m
m
á
á
singularitu
singularitu
square6
square6
v horn
v horn
í
í
mezi.
mezi.
square6
square6
6.3 Kriteria konvergence
6.3 Kriteria konvergence
square6
square6
Nech
Nech
ť
ť
konverguje. Pak
konverguje. Pak
()
d
b
a
fx
x
∫
()
d
b
a
fx
x
∫
6. Nevlastn
6. Nevlastn
í
í
integr
integr
á
á
l
l
square6
square6
tak
tak
é
é
integr
integr
á
á
l konverguje
l konverguje
.
.
square6
square6
Jsou
Jsou
-
-
li spln
li spln
ě
ě
ny p
ny p
ř
ř
edpoklady p
edpoklady p
ř
ř
edchoz
edchoz
í
í
square6
square6
v
v
ě
ě
ty,
ty,
ř
ř
í
í
k
k
á
á
me,
me,
ž
ž
e integr
e integr
á
á
l
l
konverguje absolutn
konverguje absolutn
ě
ě
.
.
square6
square6
V
V
ě
ě
ta tedy ukazuje,
ta tedy ukazuje,
ž
ž
e z absolutn
e z absolutn
í
í
kon
kon
-
-
vergence
vergence
integr
integr
á
á
lu plyne jeho
lu plyne jeho
konver
konver
-
-
gence
gence
.
.
()
d
b
a
fx
x
∫
()
d
b
a
fx
x
∫
6. Nevlastn
6. Nevlastn
í
í
integr
integr
á
á
l
l
square6
square6
Srovn
Srovn
á
á
vac
vac
í
í
kriterium
kriterium
.
.
Bu
Bu
ď
ď
te funkce
te funkce
f
f
,
,
g
g
definov
definov
á
á
ny v intervalu
ny v intervalu
<
<
a
a
,
,
b
b
)
)
pro n
pro n
ě
ž
ě
ž
plat
plat
í
í
0
0
≤≤≤≤
≤≤≤≤
f
f
(
(
x
x
)
)
≤≤≤≤
≤≤≤≤
g
g
(
(
x
x
)
)
pro
pro
x
x
∈∈∈∈
∈∈∈∈
<
<
a
a
,
,
b
b
).
).
square6
square6
Nech
Nech
ť
ť
integr
integr
á
á
ly
ly
maj
maj
í
í
singularitu v horn
singularitu v horn
í
í
mezi. Pak
mezi. Pak
kon
kon
-
-
verguje
verguje
-
-
li integr
li integr
á
á
l konverguje
l konverguje
square6
square6
tak
tak
é
é
integr
integr
á
á
l
l
()
()
dd
bb
aa
fx
x
,
g
x
x
∫
∫
()
d
b
a
gx
x
()
d
b
a
fx
x
.
6. Nevlastn
6. Nevlastn
í
í
integr
integr
á
á
l
l
square6
square6
Diverguje
Diverguje
-
-
li integr
li integr
á
á
l
l
square6
square6
diverguje tak
diverguje tak
é
é
integr
integr
á
á
l .
l .
square6
square6
Limitn
Limitn
í
í
srovn
srovn
á
á
vac
vac
í
í
kriterium
kriterium
square6
square6
Bu
Bu
ď
ď
te
te
f
f
,
,
g
g
dv
dv
ě
ě
nez
nez
á
á
porn
porn
é
é
funkce
funkce
definovan
definovan
é
é
v intervalu
v intervalu
<
<
a
a
,
,
b
b
) ;
) ;
nech
nech
ť
ť
square6
square6
Integr
Integr
á
á
ly maj
ly maj
í
í
square6
square6
singularitu v horn
singularitu v horn
í
í
mezi. Nech
mezi. Nech
ť
ť
()
d
b
a
fx
x
∫
()
d
b
a
gx
x
()
()
dd
bb
aa
fx
x
,
g
x
x
∫∫
6. Nevlastn
6. Nevlastn
í
í
integr
integr
á
á
l
l
square6square6
.
.
Je
Je
-
-
li
li
c
c
<
<
+
+
∞∞∞∞
∞∞∞∞
a
a
integr
integr
á
á
l
l
square6
square6
konverguje, konverguje i
konverguje, konverguje i
square6
square6
Integr
Integr
á
á
l . Je
l . Je
-
-
li
li
c
c
> 0 a
> 0 a
(
)
(
)
xb
lim
fx
c
gx
→
=
−−−−
()
d
b
a
gx
x
()
d
b
a
fx
x
∫
6. Nevlastn
6. Nevlastn
í
í
integr
integr
á
á
l
l
square6
square6
Integr
Integr
á
á
l diverguje, diverguje
l diverguje, diverguje
square6
square6
tak
tak
é
é
integr
integr
á
á
l .
l .
square6
square6
6.4 Obecn
6.4 Obecn
á
á
definice nevlastn
definice nevlastn
í
í
ho
ho
integr
integr
á
á
lu
lu
square6
square6
V p
V p
ř
ř
edchoz
edchoz
í
í
ch
ch
ú
ú
vah
vah
á
á
ch jsme
ch jsme
vy
vy
š
š
et
et
ř
ř
ova
ova
-
-
li pouze ty nevlastn
li pouze ty nevlastn
í
í
integr
integr
á
á
ly, kter
ly, kter
é
é
()
d
b
a
gx
x
∫
()
d
b
a
fx
x
∫
6. Nevlastn
6. Nevlastn
í
í
integr
integr
á
á
l
l
square6
square6
m
m
ě
ě
ly singularitu v jedn
ly singularitu v jedn
é
é
mezi. Tyto
mezi. Tyto
ú
ú
vahy zobecn
vahy zobecn
í
í
me.
me.
square6
square6
Nech
Nech
ť
ť
funkce
funkce
f
f
je definov
je definov
á
á
na v
na v
inter
inter
-
-
valu
valu
<
<
a
a
,
,
b
b
>
>
s výjimkou kone
s výjimkou kone
č
č
n
n
é
é
ho
ho
po
po
č
č
tu bod
tu bod
ů
ů
. Nech
. Nech
ť
ť
existuj
existuj
í
í
č
č
í
í
sla
sla
square6
square6
c
c
1
1
,
,
c
c
2
2
, . . . ,
, . . . ,
c
c
n
n
∈∈∈∈
∈∈∈∈
(
(
a
a
,
,
b
b
)
)
square6
square6
tak,
tak,
ž
ž
e integr
e integr
á
á
ly
ly
6. Nevlastn
6. Nevlastn
í
í
integr
integr
á
á
l
l
square6
square6
maj
maj
í
í
singularitu pouze v jedn
singularitu pouze v jedn
é
é
mezi.
mezi.
Pak
Pak
definujeme
definujeme
()
()
()
12
1
1
dd
d
n
cc
b
ac
c
fx
x
,
fx
x
,
.
.
.
,
fx
x
∫∫
∫
()
()
()
()
12
1
dd
d
d
n
bc
c
aa
c
b
c
fx
x
f
x
x
fx
x
...
f
x
x
=++
++
∫∫
∫
∫
6. Nevlastn
6. Nevlastn
í
í
integr
integr
á
á
l
l
square6
square6
jestli
jestli
ž
ž
e v
e v
š
š
echny integr
echny integr
á
á
ly na prav
ly na prav
é
é
stran
stran
ě
ě
konverguj
konverguj
í
í
. V tomto p
. V tomto p
ř
ř
í
í
pad
pad
ě
ě
ř
ř
í
í
k
k
á
á
me,
me,
ž
ž
e tak
e tak
é
é
integr
integr
á
á
l na lev
l na lev
é
é
stran
stran
ě
ě
konverguje.
konverguje.
square6
square6
6.5 Hlavn
6.5 Hlavn
í
í
hodnota integr
hodnota integr
á
á
lu
lu
square6
square6
Tento integr
Tento integr
á
á
l jsme definovali jako
l jsme definovali jako
sou
sou
č
č
et dvou nevlastn
et dvou nevlastn
í
í
ch integr
ch integr
á
á
l
l
ů
ů
()
d
fx
x
∫
∞∞∞∞
−∞−∞−∞−∞
6. Nevlastn
6. Nevlastn
í
í
integr
integr
á
á
l
l
square6
square6
P
P
ř
ř
itom
itom
c
c
je libovoln
je libovoln
é
é
re
re
á
á
ln
ln
é
é
č
č
í
í
slo. Mimo
slo. Mimo
takto definovaný integr
takto definovaný integr
á
á
l m
l m
á
á
uplatn
uplatn
ě
ě
n
n
í
í
jeho
jeho
hlavn
hlavn
í
í
hodnota
hodnota
, kterou definujeme:
, kterou definujeme:
()
()
()
dd
d
c
c
fx
x
f
x
x
fx
x
=+
∞∞∞∞∞∞∞∞
−∞
−
∞
−∞
−
∞
−∞
−
∞
−∞
−
∞
()
()
ξ
ξ
-
ξ
dl
i
m
d
V.
P
.
f
x
x
f
x
x
→
=
∞∞∞∞
∞∞∞∞
−∞−∞−∞−∞
6. Nevlastn
6. Nevlastn
í
í
integr
integr
á
á
l
l
square6
square6
za p
za p
ř
ř
edpokladu,
edpokladu,
ž
ž
e existuje vlastn
e existuje vlastn
í
í
square6
square6
integr
integr
á
á
l
l
pro ka
pro ka
ž
ž
d
d
é
é
ξξξξ
ξξξξ
>
>
0.
0.
square6
square6
Symbol V.P. (nebo v.p.) je odvozen z
Symbol V.P. (nebo v.p.) je odvozen z
francouzsk
francouzsk
é
é
ho
ho
valeur
valeur
principale
principale
. Jest
. Jest
-
-
square6
square6
li
li
ž
ž
e
e
integr
integr
á
á
l konverguje
l konverguje
exis
exis
-
-
square6
square6
tuje i jeho hlavn
tuje i jeho hlavn
í
í
hodnota a je mu rovna.
hodnota a je mu rovna.
()
-
d
fx
x
ξ
ξ
∫
()
-
d
fx
x
ξ
ξ
∫
6. Nevlastn
6. Nevlastn
í
í
integr
integr
á
á
l
l
square6
square6
V p
V p
ř
ř
í
í
pad
pad
ě
ě
divergence, diverguje
divergence, diverguje
ales
ales
-
-
po
po
ň
ň
jeden z integr
jeden z integr
á
á
l
l
ů
ů
square6
square6
ale hlavn
ale hlavn
í
í
hodnota m
hodnota m
ů
ž
ů
ž
e existovat.
e existovat.
()
()
0
0
dd
fx
x
,
fx
x
∞∞∞∞
−∞−∞−∞−∞