Integrální počet

k,
ž
ž
e
e
ξξξξ
ξξξξ
i
i
∈∈∈∈
∈∈∈∈
<
<
x
x
i
i
-
-
1
1
,
,
x
x
i
i
>
>
,
,
pak d
pak d
ě
ě
len
len
í
í
D
D
4.
4.
Ur
Ur
č
č
itý in
tegr
itý in
tegr
á
á
l
l
square6
square6
nazveme d
nazveme d
ě
ě
len
len
í
í
m s vybranými body.
m s vybranými body.
V dal
V dal
ší
ší
m budeme uva
m budeme uva
ž
ž
ovat pouze
ovat pouze
d
d
ě
ě
len
len
í
í
s vybranými body a budeme je
s vybranými body a budeme je
zjednodu
zjednodu
š
š
en
en
ě
ě
nazývat d
nazývat d
ě
ě
len
len
í
í
mi.
mi.
square6
square6
4.2 Integr
4.2 Integr
á
á
ln
ln
í
í
sou
sou
č
č
et
et
square6
square6
Nech
Nech
ť
ť
f
f
:
:
<
<
a
a
,
,
b
b
>
>
→→→→
→→→→
R
R
je funkce
je funkce
,
,
4.
4.
Ur
Ur
č
č
itý in
tegr
itý in
tegr
á
á
l
l
square6
square6
D
D
d
d
ě
ě
len
len
í
í
intervalu
intervalu
<
<
a, b
a, b
>
>
. Pak
. Pak
č
č
í
í
slo
slo
square6
square6
Nazveme integr
Nazveme integr
á
á
ln
ln
í
í
m sou
m sou
č
č
tem
tem
p
p
ř
ř
í
í
slu
slu
š
š
-
-
ným
ným
funkci
funkci
f
f
a d
a d
ě
ě
len
len
í
í
D
D
.
.
(((()
)))
(((()
)))(
((()
)))
-1
=1
D,

n
ii
i
i
ff
x
x
ξξξξ
=−=−=−=−
∑∑∑∑
S
4.
4.
Ur
Ur
č
č
itý in
tegr
itý in
tegr
á
á
l
l
square6
square6
4.3 Ur
4.3 Ur
č
č
itý (
itý (
Riemann
Riemann
ů
ů
v
v
) integr
) integr
á
á
l
l
square6
square6
Nech
Nech
ť
ť
f
f
:
:
< a,
< a,
b
b
>
>
→→→→
→→→→
R
R
je ohrani
je ohrani
č
č
en
en
á
á
funkce.
funkce.
Ř
Ř
ekneme,
ekneme,
ž
ž
e f je
e f je
integrovateln
integrovateln
á
á
(
(
integrabiln
integrabiln
í
í
, integrace schopn
, integrace schopn
á
á
) na
) na
intervalu
intervalu
< a,
< a,
b
b
>
>
, existuje
, existuje
-
-
li
li
č
č
í
í
slo
slo
I
I
∈∈∈∈
∈∈∈∈
R
R
tak,
tak,
ž
ž
e
e
ke ka
ke ka
ž
ž
d
d
é
é
mu
mu
ε
ε
>0
>0
existuje
existuje
δδδδ
δδδδ
>0
>0
tak,
tak,
ž
ž
e pro ka
e pro ka
ž
ž
d
d
é
é
d
d
ě
ě
len
len
í
í
D i
n
tervalu
D i
n
tervalu
< a,
< a,
b
b
>
>
,
,
jeho
jeho
ž
ž
norma
norma
γγγγ
γγγγ
(D)
(D)
<
<
δδδδ
δδδδ
,
,
plat
plat
í
í
4.
4.
Ur
Ur
č
č
itý in
tegr
itý in
tegr
á
á
l
l
square6
square6
Č
Č
í
í
slo I nazýv
slo I nazýv
á
á
me
me
ur
ur
č
č
itým integr
itým integr
á
á
lem
lem
a p
a p
íš
íš
eme
eme
square6
square6
D
D
á
á
le definujeme
le definujeme
(((()
)))
D,
fI
εεεε
−
>
}
}
a
a
square6
square6
M
M
=
=
sup
sup
{
{
f
f
(
(
x
x
)
)
|
|
x
x
∈∈∈∈
∈∈∈∈
<
<
a
a
,
,
b
b
>
>
},

},

potom
potom
plat
plat
í
í
:
:
square6
square6
Je
Je
-
-
li
li
f
f
spojit
spojit
á
á
potom existuje podle
potom existuje podle
(((()
)))
1
d
b
a
mf
x
x
M
ba
≤≤≤≤≤≤≤≤
−−−−
Gb3Gb3Gb3Gb3
4.
4.
Ur
Ur
č
č
itý in
tegr
itý in
tegr
á
á
l
l
square6
square6
Weierstrassovy
Weierstrassovy
mezihodnotov
mezihodnotov
é
é
v
v
ě
ě
ty
ty
č
č
í
í
slo
slo
ξξξξ
ξξξξ
∈∈∈∈
∈∈∈∈
<
<
a
a
,
,
b
b
>
>
tak,
tak,
ž
ž
e
e
square6
square6
V
V
ě
ě
ta
ta
Nech
Nech
ť
ť
a
a
<
<
c
c
<
<
b
b
. J
. J
e
e
-
-
li
li
f
f
integro
integro
-
-
vateln
vateln
á
á
na
na
<
<
a
a
,
,
b
b
>
>
, pak je
, pak je
integrova
integrova
-
-
teln
teln
á
á
na
na
<
<
a
a
,
,
c
c
>
>
i
i
<
<
c
c
,
,
b
b
>
>
a plat
a plat
í
í
(((()
)))
(((()
)))
1
d
b
a
ff
x
x
ba
ξξξξ
====
−−−−
∫∫∫∫
4.
4.
Ur
Ur
č
č
itý in
tegr
itý in
tegr
á
á
l
l
square6
square6
4.4 Funkce horn
4.4 Funkce horn
í
í
meze
meze
square6
square6
Nech
Nech
ť
ť
f
f
:
:
<
<
a
a
,
,
b
b
>
>
→→→→
→→→→
R
R
je
je
integrovateln
integrovateln
á
á
funkce. Funkc
funkce. Funkc
í
í
horn
horn
í
í
meze
meze
nazýv
nazýv
á
á
me
me
funkci
funkci
ΦΦΦΦ
ΦΦΦΦ
:
:
<
<
a
a
,
,
b
b
>
>
→→→→
→→→→
R
R
definovanou
definovanou
p
p
ř
ř
edpisem
edpisem
(((()
)))(
((()
)))(
((()
)))
dd
d
bc
b
aa
c
fx
x
f
x
x
fx
x
=+=+=+=+
Gb3Gb3Gb3Gb3Gb3
Gb3Gb3Gb3Gb3
Gb3Gb3Gb3
4.
4.
Ur
Ur
č
č
itý in
tegr
itý in
tegr
á
á
l
l
square6
square6
Obdobn
Obdobn
ě
ě
funkc
funkc
í
í
doln
doln
í
í
meze
meze
rozum
rozum
í
í
me funkci
me funkci
ΨΨΨΨ
ΨΨΨΨ
:
:
<
<
a
a
,
,
b
b
>
>
→→→→
→→→→
R
R
definovanou p
definovanou p
ř
ř
edpisem
edpisem
square6
square6
square6
square6
Funkce
Funkce
ΦΦΦΦ
ΦΦΦΦ
a
a
ΨΨΨΨ
ΨΨΨΨ
definovan
definovan
é
é
p
p
ř
ř
edcho
edcho
-
-
z
z
í
í
mi
mi
p
p
ř
ř
edpisy jsou spojit
edpisy jsou spojit
é
é
.
.
(((()
)))(
((()
)))
d
x
a
xf
t
t
Φ=Φ=Φ=Φ=
∫∫∫∫
.
(((()
)))(
((()
)))
d
b
x
xf
t
t
Ψ=Ψ=Ψ=Ψ=
∫∫∫∫
4.
4.
Ur
Ur
č
č
itý in
tegr
itý in
tegr
á
á
l
l
square6
square6
V
V
ě
ě
ta. Je
ta. Je
-
-
li funkce
li funkce
f
f
:
:
<
<
a
a
,
,
b
b
>
>
→→→→
→→→→
R
R
v okol
v okol
í
í
bodu
bodu
x
x
spojit
spojit
á
á
, m
, m
á
á
funkce horn
funkce horn
í
í
meze
meze
ΦΦΦΦ
ΦΦΦΦ
v bod
v bod
ě
ě
x
x
derivaci a plat
derivaci a plat
í
í
ΦΦΦΦ
ΦΦΦΦ
/
/
(
(
x
x
) =
) =
f
f
(
(
x
x
)
)
.
.
square6
square6
Je
Je
-
-
li funkce
li funkce
f
f
spojit
spojit
á
á
na
na
<
<
a
a
,
,
b
b
>
>
.
.
Pak
Pak
funkce horn
funkce horn
í
í
meze
meze
ΦΦΦΦ
ΦΦΦΦ
definovan
definovan
á
á
square6
square6
je primitivn
je primitivn
í
í
funkc
funkc
í
í
k funkci
k funkci
f
f
. Je
. Je
-
-
li
li
F
F
(((()
)))(
((()
)))
d
x
a
xf
t
t
Φ=Φ=Φ=Φ=
∫∫∫∫
4.
4.
Ur
Ur
č
č
itý in
tegr
itý in
tegr
á
á
l
l
square6
square6
libovoln
libovoln
á
á
primit
ivn
primit
ivn
í
í
funkce k funkci
funkce k funkci
f
f
na
na
intervalu
intervalu
<
<
a
a
,
,
b
b
>
>
,
,
pak jist
pak jist
ě
ě
plat
plat
í
í
square6
square6
ΦΦΦΦ
ΦΦΦΦ
(
(
x
x
) =
) =
F
F
(
(
x
x
) +
) +
c
c
.
.
square6
square6
Konstantu
Konstantu
c
c
vypo
vypo
č
č
í
í
t
t
á
á
me, polo
me, polo
ž
ž
í
í
me
me
-
-
li
li
x
x
=
=
a
a
.
.
Pak plat
Pak plat
í
í
()
(
)
=
Gb3
a
a
af
t
d
t
=
ΦΦΦΦ
0
4.
4.
Ur
Ur
č
č
itý in
tegr
itý in
tegr
á
á
l
l
square6
square6
a
a
odtud
odtud
square6
square6
0 =
0 =
ΦΦΦΦ
ΦΦΦΦ
(
(
a
a
) =
) =
F
F
(
(
a
a
) +
) +
c
c
tedy
tedy
c
c
=
=
-
-
F
F
(
(
a
a
).
).
Tak
Tak
ž
ž
e
e
naz
naz
á
á
v
v
ě
ě
r
r
dost
dost
á
á
-
-
v
v
á
á
me
me
square6
square6
ΦΦΦΦ
ΦΦΦΦ
(
(
x
x
) =
) =
F
F
(
(
x
x
)
)
-
-
F
F
(
(
a
a
)
)
.
.
square6
square6
Odtud plyne v
Odtud plyne v
ě
ě
ta Newton
ta Newton
-
-
Leibnizova
Leibnizova
.
.
square6
square6
V
V
ě
ě
ta. Bu
ta. Bu
ď
ď
funkce
funkce
f
f
spojit
spojit
á
á
na
na
<
<
a
a
,
,
b
b
>
>
,
,
4.
4.
Ur
Ur
č
č
itý in
tegr
itý in
tegr
á
á
l
l
square6
square6
F
F
primitivn
primitivn
í
í
funkce k funkci
funkce k funkci
f
f
na
na
<
<
a
a
,
,
b
b
>
>
, pak
, pak
square6
square6
Tento vztah umo
Tento vztah umo
ž
ň
ž
ň
uje po
uje po
č
č
í
í
tat ur
tat ur
č
č
itý in
itý in
-
-
tegr
tegr
á
á
l
l
pomoc
pomoc
í
í
primitivn
primitivn
í
í
funkce.
funkce.
()
(
)
(
)
- .
Gb3
b
a
f
x
x
=

Fb
Fa
d
4.
4.
Ur
Ur
č
č
itý in
tegr
itý in
tegr
á
á
l
l
square6
square6
Rozd
Rozd
í
í
l
l
F
F
(
(
b
b
)
)
–
–
F
F
(
(
a
a
)
)
se ozna
se ozna
č
č
uje
uje
znakem
znakem
square6
square6
4.5 Metoda per partes pro ur
4.5 Metoda per partes pro ur
č
č
itý
itý
integr
integr
á
á
l
l
square6
square6
Nech
Nech
ť
ť
funkce
funkce
u
u
,
,
v
v
maj
maj
í
í
spojit
spojit
é
é
derivace
derivace
na
na
<
<
a
a
,
,
b
b
>.
>.
Potom plat
Potom plat
í
í
()
.
Gaa
Gba
Gac
Gbc
ba
Fx
4.
4.
Ur
Ur
č
č
itý in
tegr
itý in
tegr
á
á
l
l
square6
square6
4.6 Metoda substituce v ur
4.6 Metoda substituce v ur
č
č
it
it
é
é
m
m
integr
integr
á
á
lu
lu
square6
square6
Nech
Nech
ť
ť
funkce
funkce
f
f
je spojit
je spojit
á
á
na
na
<
<
A,
A,
B >
,
B >
,
funkce
funkce
g
g
m
m
á
á
spojitou derivaci na
spojitou derivaci na
<
<
α
α
,
,
β
β
>
>
a
a
nech
nech
ť
ť
pro ka
pro ka
ž
ž
d
d
é
é
t
t
∈∈∈∈
∈∈∈∈
<
<
α
α
,
,
β
β
>
>
plat
plat
í
í
[]
dd
bb
b
//
a
aa
uv
x
u
v
u
v
x
=−
4.
4.
Ur
Ur
č
č
itý in
tegr
itý in
tegr
á
á
l
l
square6
square6
A
A
≤≤≤≤
≤≤≤≤
g
g
(
(
t
t
)
)
≤≤≤≤
≤≤≤≤
B
B
. Polo
. Polo
ž
ž
í
í
me
me
-
-
li
li
a =
a =
g
g
(
(
α
α
)
)
,
,
b =
b =
g
g
(
(
β
β
)
)
plat
plat
í
í
square6
square6
Dal
Dal
ší
ší
v
v
ě
ě
ta o substituci.
ta o substituci.
square6square6
Nech
Nech
ť
ť
funkce
funkce
f
f
je
je
integrovateln
integrovateln
á
á
na
na
<
<
A,
A,
B >,
B >,
g
g
:
:
<
<
α
α
,
,
β
β
>
>
→→→→
→→→→
<
<
A
A
,
,
B
B
>
>
je
je
(
)
()
()
dd
b
/
a
fx
x
f
g
t
g
t
t
β
α

=

4.
4.
Ur
Ur
č
č
itý in
tegr
itý in
tegr
á
á
l
l
square6
square6
funkce ryze
funkce ryze
monotonn
monotonn
í
í
a nech
a nech
ť
ť
g
g
m
m
á
á
na
na
<
<
α
α
,
,
β
β
>
>
spojitou derivaci
spojitou derivaci
g
g
/
/
.
.
Ozna
Ozna
č
č
me
me
g
g
(
(
α
α
) = a
) = a
,
,
g
g
(
(
β
β
) =
) =
b
b
.
.
Potom plat
Potom plat
í
í
(
)
()
()
dd
b
/
a
fx
x
f
g
t
g
t
t
β
α

=

5. Geometrick
5. Geometrick
é
é
aplikace
aplikace
square6
square6
5.1 Obsah rovinn
5.1 Obsah rovinn
é
é
oblasti
oblasti
square6
square6
Bu
Bu
ď
ď
funkce
funkce
f
f
uvnit
uvnit
ř
ř
intervalu
intervalu
< a, b >
< a, b >
kladn
kladn
á
á
a
a
integrovateln
integrovateln
á
á
. Obsah
. Obsah
P
P
rovin
rovin
-
-
n
n
é
é
oblasti zadan
oblasti zadan
é
é
nerovnostmi
nerovnostmi
square6
square6
a
a
≤≤≤≤
≤≤≤≤
x
x
≤≤≤≤
≤≤≤≤
b
b
,
,
0
0
≤≤≤≤
≤≤≤≤
y
y
≤≤≤≤
≤≤≤≤
f
f
(
(
x
x
)
)
square6
square6
Je d
Je d
á
á
n integr
n integr
á
á
lem
lem
()
d
b
a
Pf
x
x
.
=
5. Geometrick
5. Geometrick
é
é
aplikace
aplikace
Nech
Nech
ť
ť
jsou funkce
jsou funkce
f
f
a
a
g
g
na intervalu
na intervalu
< a, b >
< a, b >
integrovateln
integrovateln
é
é
a nech
a nech
ť
ť
v
v
intervalu
intervalu
(a,
(a,
b
b
)
)
je
je
f
f
<
<
g
g
. Obsah
. Obsah
oblasti, ur
oblasti, ur
č
č
en
en
é
é
nerovnostmi
nerovnostmi
a
a
≤≤≤≤
≤≤≤≤
x
x
≤≤≤≤
≤≤≤≤
b
b
,
,
f
f
(
(
x
x
)
)
≤≤≤≤
≤≤≤≤
y
y
≤≤≤≤
≤≤≤≤
g
g
(x)
(x)
vypo
vypo
č
č
í
í
t
t
á
á
me podle
me podle
vztahu .
vztahu .
()
()
d
b
a
Pg
x
f
x
x


=−


5. Geometrick
5. Geometrick
é
é
aplikace
aplikace
square6
square6
5.2
5.2
Objem t
Objem t
ě
ě
lesa
lesa
square6
square6
Bu
Bu
ď
ď
d
d
á
á
no t
no t
ě
ě
leso
leso
( uzav
( uzav
ř
ř
en
en
á
á
oblast
oblast
M
M
⊂⊂⊂⊂
⊂⊂⊂⊂
E
E
3
3
), jeho
), jeho
ž
ž
pr
pr
ů
ů
m
m
ě
ě
tem do osy
tem do osy
x
x
je
je
interval
interval

.
.
Nech
Nech
ť
ť
jeho
jeho
ř
ř
ez rovinou
ez rovinou
o rovnici
o rovnici
x
x
=
=
x
x
o
o
,
,
kde
kde
x
x
o
o
∈∈∈∈
∈∈∈∈

m
m
á
á
obsah
obsah
u
u
(
(
x
x
o
o
) ,
) ,
kde funkce
kde funkce
u
u
je spojit
je spojit
á
á
na intervalu
na intervalu

.
.
Objem
Objem
V
V
t
t
ě
ě
lesa je
lesa je
pak ur
pak ur
č
č
en ur
en ur
č
č
itým integr
itým integr
á
á
lem
lem
:
:
5. Geometrick
5. Geometrick
é
é
aplikace
aplikace
square6
square6
5.3 Objem rota
5.3 Objem rota
č
č
n
n
í
í
ho t
ho t
ě
ě
lesa
lesa
square6
square6
Bu
Bu
ď
ď
f
f
spojit
spojit
á
á
funkce v intervalu
funkce v intervalu

,
,
uvnit
uvnit
ř
ř
tohoto intervalu kladn
tohoto intervalu kladn
á
á
.
.
P
P
ř
ř
edpo
edpo
-
-
kl
kl
á
á
dejme
dejme
,
,
ž
ž
e obrazec ohrani
e obrazec ohrani
č
č
ený
ený
č
č
arami
arami
x
x
=
=
a
a
,
,
x
x
=
=
b
b
,
,
y
y
=0,
=0,
y
y
=
=
f
f
(
(
x
x
), rotuje kolem osy
), rotuje kolem osy
x
x
. Vznikne rota
. Vznikne rota
č
č
n
n
í
í
t
t
ě
ě
leso, jeho
leso, jeho
ž
ž
pr
pr
ů
ů
m
m
ě
ě
t
t
()
d
b
a
Vu
x
x
=
5. Geometrick
5. Geometrick
é
é
aplikace
aplikace
square6
square6
do osy
do osy
x
x
je interval
je interval

.
.
Obsah
Obsah
ř
ř
ezu rovinou o rovnici
ezu rovinou o rovnici
x
x
=
=
x
x
o
o
je
je
obsah kruhu o polom
obsah kruhu o polom
ě
ě
ru
ru
f
f
(
(
x
x
o
o
), tedy
), tedy
u
u
(
(
x
x
o
o
) =
) =
ππππ
ππππ
[
[
f
f
(
(
x
x
o
o
)
)
]
]
2
2
. Ze spojitosti
. Ze spojitosti
funkce
funkce
f
f
na intervalu
na intervalu

plyne
plyne
spojitost funkce
spojitost funkce
u
u
na tomto intervalu.
na tomto intervalu.
Tak
Tak
ž
ž
e pro objem rota
e pro objem rota
č
č
n
n
í
í
ho t
ho t
ě
ě
lesa
lesa
vynikl
vynikl
é
é
ho rotac
ho rotac
í
í
funkce
funkce
f
f
kolem o
s
y
kolem o
s
y
5. Geometrick
5. Geometrick
é
é
aplikace
aplikace
square6
square6
x
x
–
–
ov
ov
é
é
plat
plat
í
í
n
n
á
á
sleduj
sleduj
í
í
c
c
í
í
formule :
formule :
square6
square6
5.4 D
5.4 D
é
é
lka rovinn
lka rovinn
é
é
k
k
ř
ř
ivky
ivky
square6
square6
Bu
Bu
ď
ď
f
f
spojit
spojit
á
á
funkce definovan
funkce definovan
á
á
v
v
inter
inter
-
-
valu
valu

a maj
a maj
í
í
c
c
í
í
zde spojitou derivaci
zde spojitou derivaci
f
f
/
/
.
.
D
D
é
é
lku k
lku k
ř
ř
ivky ur
ivky ur
č
č
enou grafem funkce
enou grafem funkce
f
f
()
2
d
b
a
Vf
x
x

=


π
5. Geometrick
5. Geometrick
é
é
aplikace
aplikace
square6
square6
na intervalu
na intervalu

vypo
vypo
č
č
í
í
t
t
á
á
me podle
me podle
vzorce
vzorce
square6
square6
Je
Je
-
-
li jednoduch
li jednoduch
á
á
rovinn
rovinn
á
á
k
k
ř
ř
ivka ur
ivka ur
č
č
en
en
á
á
parametrickými rovnicemi
parametrickými rovnicemi
()
2
1d
b
'
a
Lf
x
x
.

=+




()
()
(
)
xt
,
y
t
,
t
,
==
∈
β
ϕψ
α
5. Geometrick
5. Geometrick
é
é
aplikace
aplikace
square6
square6
tak,
tak,
ž
ž
e funkce maj
e funkce maj
í
í
v intervalu
v intervalu
square6
square6
spojit
spojit
é
é
derivace, pak jej
derivace, pak jej
í
í
d
d
é
é
lka
lka
je d
je d
á
á
na vzorcem
na vzorcem
square6
square6
P
P
ř
ř
í
í
klad. Vypo
klad. Vypo
č
č
í
í
tejte d
tejte d
é
é
lku jednoho ob
lku jednoho ob
-
-
louku cykloidy.
louku cykloidy.
,