Elektrostatické pole

1
ELEKTROSTATICKÉ POLE

Názory na podstatu elektrických a magnetických jevů se vyvíjely po několik století
tak, jak byly postupně objevovány a vysvětlovány jejich jednotlivé zákony. V úvodu se
alespoň stručně seznámíme s rozvojem názorů na podstatu elektrických a magnetických jevů.
První elektrické a magnetické jevy byly náhodně pozorovány již ve starověku. Řecký
filozof Thales Miletský (635-545 před n.l.) zjistil, že jantar třený vlněnou látkou přitahuje
drobné lehké předměty. Podle řeckého názvu jantaru „elektrón“ byly tyto jevy nazvány
elektrickými. Antický filozof Aristotelés (384-322) př.n.l.) se ve svých spisech zmiňuje
o magnetovci (Fe
3
O
4
), který přitahuje železné piliny. Podle města Magnésia v Malé Asii,
v okolí kterého byla naleziště této železné rudy, byly tyto jevy nazvány magnetickými.
Soustavným zkoumáním elektrických a magnetických jevů se zabýval až asi o dva tisíce
let později anglický lékař W. Gilbert (1540-1603). Dospěl k závěru, že elektrické
a magnetické jevy jsou navzájem zcela odlišné a nemají žádnou vnitřní souvislost. Toto pojetí
se udržovalo ve fyzice déle než dvě století.
K většímu rozvoji experimentálního zkoumání obou jevů dochází až v 18. století.
Kvantitativní vyšetřování elektrických a magnetických jevů provedl v r. 1785 francouzský
fyzik Ch. A. Coulomb (1736-1806). Zkoumal síly působící mezi elektrickými náboji
a magnetickými póly a dospěl k zákonům formálně obdobným Newtonovu gravitačnímu
zákonu. Vzájemné silové účinky elektrických nábojů nebo magnetických pólů byly
vysvětlovány „působením na dálku“. O objevení elektrického proudu se zasloužil r. 1790
italský lékař L. Galvani (1737-1798). Na základě jeho objevu byl pak A. Voltou (1745-
1827) sestrojen první zdroj elektrického proudu, který se na počest Galvaniho nazývá
galvanickým článkem.
Elektrické a magnetické jevy byly až do počátku 19. století zkoumány izolovaně a byly
považovány za odlišné. V r. 1819 uveřejnil dánský fyzik H. Ch. Oersted (1777-1851)
pojednání o silovém působení obvodu, jímž protéká elektrický proud, na magnetku a ukázal
tím vzájemnou souvislost elektrických a magnetických jevů. Na Oerstedův objev navázal
J. B. Biot (1774-1862) a F. Savart (1791-1841), kteří objevili zákon magnetického
působení proudového elementu zobecněný později P. S. Laplacem (1749-1827).
Velký význam pro objasnění souvislostí mezi elektrickými a magnetickými jevy měly
pokusy, které prováděl v letech 1820-1825 francouzský fyzik A. M. Ampère (1775-1836).
Na základě svých pokusů ukázal, že vodič protékaný proudem má stejné silové účinky jako
permanentní magnet. Mnohé z Ampèrových představ a zákonů jím vyjádřených platí dodnes.
V roce 1826 G. S. Ohm (1787-1854) stanovil vztah mezi proudem a elektrickým
napětím. Koeficient úměrnosti nazval odpor vodiče. Zákony proudu ve větvících se obvodech
formuloval v roce 1847 G. R. Kirchhoff (1824-1887).
Zásluhu na dalším rozvoji názorů a poznatků o elektřině a magnetismu má anglický
fyzik M. Faraday (1791-1867) svým objevem elektromagnetické indukce v r. 1831. Kromě
vyslovení zákona elektromagnetické indukce se zasloužil o zavedení představy existence
elektrického pole, prostřednictvím něhož na sebe silově působí elektrické náboje.
2
Faradayovy poznatky matematicky zformuloval a dále rozvinul r. 1863 skotský fyzik
J. C. Maxwell (1831-1879) v rovnicích, které byly po něm pojmenovány. Maxwellovy
rovnice vyjadřují souvislost mezi elektrickým a magnetickým polem. Maxwell ve své teorii
používá pojem elektromagnetického pole, které má část elektrickou a magnetickou. Ve svých
důsledcích dala Maxwellova teorie základ teorii elektromagnetických vln, jejichž existenci se
podařilo r. 1887 dokázat německému fyzikovi H. Hertzovi (1857-1894). Maxwellova teorie
rovněž dala základ vzniku elektromagnetické teorii světla, čímž byla dokázána souvislost
mezi elektřinou, magnetismem a optikou. Závěrem lze říci, že Maxwellova teorie
elektromagnetického pole je dodnes základem mnoha elektrotechnických oborů.


1 Elektrický náboj v elektrostatickém poli

1.1 Elektrický náboj
Na základě pokusů z elektrostatiky
1
je známo, že některá tělesa mohou za určitých
podmínek silově působit na jiná tělesa. Každý z nás se s elektrostatickými jevy setkal
v běžném životě – např. při česání se přitahují suché vlasy k hřebenu a někdy přitom slyšíme
slabé praskání a ve tmě vidíme drobné jiskření.
Uvažujme tyto dva pokusy:
1. Ebonitovou tyč, kterou jsme třeli vlněnou látkou, zavěsíme nevodivým vláknem tak,
aby se mohla volně otáčet. Přiblížíme-li k zavěšené tyči druhou ebonitovou tyč, kterou
jsme rovněž třeli vlněnou látkou, pozorujeme, že zavěšená tyč je odpuzována, jak je
ukázáno na obr.1a.
2. Vezměme nyní skleněnou tyč, kterou jsme třeli kouskem hedvábí a přibližme ji
k zavěšené ebonitové tyči. Pozorujeme jev opačný než v případě prvém. Ebonitová tyč
je skleněnou tyčí přitahována (viz obr. 1b).


ebonit (-) ebonit (-)
ebonit (-) sklo (+)


Obr. 1a Obr. 1b
Dvě souhlasně nabitá tělesa se odpuzují Dvě nesouhlasně nabitá tělesa se přitahují
Tyče tedy třením získaly novou vlastnost, která se projevuje silovým působením.
Říkáme také, že tyče byly zelektrovány, nebo že získaly elektrický náboj. Skutečnost, že

1
Elektrostatika je část nauky o elektřině, ve které se předpokládá, že nosiče elektrického náboje jsou
v relativním klidu vzhledem ke zvolené inerciální vztažné soustavě souřadnic.
3
zavěšená ebonitová tyč byla v prvním případě odpuzována a ve druhém přitahována, vede
k závěru, že existují dva druhy elektrických nábojů, přičemž náboje stejného druhu se
odpuzují a náboje různého druhu se přitahují.
Pro tyto síly vzájemného působení mezi náboji platí zákon akce-reakce (podrobněji jste
jej probrali v mechanice). Protože mezi náboji nelze zjistit žádný jiný rozdíl než odlišnost ve
směru jejich silového působení, stačí elektrické náboje rozdělit pouze podle znaménka na
kladné a záporné náboje. Odpověď na otázku, který ze dvou druhů nábojů lze pokládat za
kladný a který za záporný, je záležitostí konvence. Zelektrovaná nabitá skleněná tyč nese
podle dohody kladný náboj a zelektrovaná ebonitová tyč náboj záporný.
Pokud předmět obsahuje stejné množství kladného a záporného náboje, jeví se jako
elektricky neutrální (není nabitý). Převažuje-li naopak jeden typ náboje nad druhým, říkáme,
že předmět je nabitý (kladně nebo záporně). Nabité předměty mohou na sebe silově působit.
Vzájemné přitahování a odpuzování nabitých těles má mnoho průmyslových aplikací,
např. elektrostatické nanášení barev a naprašování, zachycování popílku v komínech,
bezdotykový inkoustový tisk nebo fotokopírování.
Všechny dosavadní zkušenosti ukazují, že elektrický náboj nemůže existovat
samostatně, ale vždy jen ve spojení s určitou látkou. Hovoříme-li tedy o elektrickém náboji,
rozumíme tím vždy nabitou částici či nabité těleso apod.

Základní vlastnosti elektrických nábojů jsou popsány ve třech zákonech:
• Zákon zachování elektrického náboje
Dané množství látky obsahuje stejný počet kladných a záporných nábojů. Jestliže třeme
skleněnou tyč hedvábím, předá skleněná tyč určité množství záporného náboje hedvábí.
Skleněná tyč se tak nabíjí kladně a naopak hedvábí se nabíjí záporně. Celkový náboj
elektricky izolované soustavy (tj. soustavy, jejíž hranicí nemohou procházet náboje), která je
v tomto případě tvořena tyčí a hedvábím, zůstává zachován. Tento poznatek vyjadřuje zákon
zachování elektrického náboje: Hodnota celkové elektrického náboje v elektricky izolované
soustavě je rovna algebraickému součtu všech nábojů v soustavě a je neměnná .
• Zákon kvantování elektrického náboje
Dalším významným poznatkem je zjištění, že elektrický náboj je kvantován. Milikan
(1911) přímým pokusem zjistil, že libovolný elektrický náboj Q je celistvým násobkem
určitého elementárního náboje e. Je známo, že látka se skládá z atomů, a že atomy se skládají
z jádra, které nese kladný elektrický náboj a z elektronů, které mají záporný elektrický náboj.
Náboj elektronu je právě oním záporným elementárním nábojem a náboj protonu, který
je v jádru atomu, má stejně velký kladný elementární náboj. Absolutní hodnoty obou
elementárních nábojů označujeme symbolem e (elektron Q
e

= − e , proton Q
p
= + e) .
Naměřená hodnota elementárního náboje v SI soustavě jednotek je
e = 1,602.10
-19
C ,
kde C (coulomb) je jednotka elektrického náboje v SI soustavě jednotek. Každý náboj
může podle tohoto zákona nabývat pouze hodnot
Q = ne , kde n je celé číslo.
4
• Zákon invariantnosti elektrického náboje
Hodnota elektrického náboje se při pohybu nemění. Velikost náboje je nezávislá
(tj. invariantní) na rychlosti, jíž se pohybuje nosič náboje.

Příklad 1
Elektricky neutrální měděná mince o hmotnosti m = 3,11 g obsahuje stejné množství
kladného a záporného náboje. Jaká je velikost Q celkového kladného (nebo záporného) náboje
obsaženého v minci?
Řešení:
Neutrální atom má záporný náboj o velikosti Ze, představovaný jeho elektrony,
a kladný náboj o stejné velikosti, představovaný protony v jádře. Pro měď je atomové číslo
Z = 29 (viz tabulky), tj. atom mědi má 29 protonů, a je-li elektricky neutrální, také 29
elektronů.
Náboj velikosti Q, který hledáme, je roven NZe, kde N je počet atomů v minci. Určíme
ho tak, že násobíme počet molů mědi v minci počtem atomů obsažených v jednom molu
(Avogadrovou konstantou NA = 6,02·10
23
mol
-1
). Počet molů mědi v minci je
m
mm , kde
m
mm = 63,5 g·mol
-1
je molární hmotnost mědi (viz tabulky). Je tedy
22
1
123
10.95,2
)g.mol5,63(
)g11,3(
)mol10.02,6( ===
−
−
m
A
m
m
NN .
Velikost celkového kladného nebo záporného náboje v minci je pak
C00013710.60,1.29.10.95,2
1922
===
−
NZeQ .
To je obrovský náboj. Pro srovnání: třete-li ebonitovou tyč vlněnou látkou, můžete na tyč
přemístit stěží náboj o velikosti 10
-9
C.

1.2 Coulombův zákon
Z předchozí kapitoly již víme, že základním projevem elektrických nábojů je jejich
vzájemné silové působení. Abychom mohli odhlédnout od rozložení elektrických nábojů na
nabitých tělesech, zavedeme pojem bodový náboj
2
. Je to takový náboj, který je soustředěný
v prostoru relativně malém vzhledem ke vzdálenosti, v níž sledujeme jeho silové účinky.
První měření sil působících mezi nabitými kovovými kuličkami, které lze považovat za
bodové náboje, prováděl v letech 1784-1785 Ch. A. Coulomb pomocí torzních vah. Na
základě těchto měření dospěl k závěru, že velikost síly, kterou na sebe působí dva bodové
náboje je přímo úměrná součinu obou nábojů a nepřímo úměrná čtverci jejich vzdálenosti
2
21
r
QQ
kF = .
(1)


2
Pojem bodový náboj je analogií hmotného bodu v mechanice.
5
Mají-li oba náboje stejná znaménka, vzniklá síla je odpudivá. Jestliže oba náboje
mají opačná znaménka, je přitažlivá.

Obr. 2 Přitažlivá nebo odpudivá síla mezi bodovými náboji v klidu působí ve spojnici obou
nábojů. Jestliže uvažujeme více než dva náboje, platí rovnice (5.1) pro každou dvojici
nábojů.
Coulombův zákon (1) má velmi podobný tvar jako Newtonův gravitační zákon:
2
21
r
mm
GF = ,


kde G je gravitační konstanta. Na rozdíl od elektrostatických sil jsou však gravitační síly vždy
přitažlivé. U obou těchto sil klesá jejich velikost s čtvercem vzdálenosti.
Konstanta k v rovnici (1) je v soustavě SI vyjádřena vztahem
πε4
1
=k N.m
2
.C.
-2
,


ve kterém veličina ε je permitivita prostředí.
Lze ji vyjádřit vztahem
0
εεε
r
= , kde
21212
0
.m.NC10.8542,8
−−−
=&ε
(2)
je permitivita vakua, neboli elektrická konstanta a ε
r
je relativní permitivita prostředí (blíže
v kap. 4). V následující tabulce jsou uvedeny hodnoty relativní permitivity pro různá prostředí


vakuum 1
vzduch 1,000 54
olej ricinový 4,5
slída 5,4
olej silikonový 2,7
voda (20 °C)
80,4
plexisklo 3,7
parafin 1,7-2,3
papír kondenzátorový 3,5
6
Coulombův zákon v SI soustavě má pak ve vakuu (a přibližně i ve vzduchu) tvar
2
21
0
4
1
r
QQ
F
πε
= .
(3)

Jsou-li oba bodové náboje vzhledem k pozorovací soustavě v klidu, má síla, kterou
působí bodový náboj
2
Q na bodový náboj
1
Q stejnou velikost, ale opačný směr než síla,
kterou působí náboj
1
Q na
2
Q .
Máme-li v prostoru n nabitých částic (bodových nábojů), je silové působení mezi
nábojem např. 1 a 4 na přítomnosti ostatních nábojů nezávislé. Výsledná síla
1
F
r
působící na
částici 1 je tedy rovna vektorovému součtu sil, kterými na ni působí všechny ostatní náboje 2,
3, 4,…,n. Říkáme, že platí princip superpozice:
Jak již bylo uvedeno, Coulombův zákon byl potvrzen dosud všemi pokusy, a to s velkou
přesností. Výsledky experimentů s rozptylem nabitých částic prokázaly navíc platnost
Coulombova zákona i v měřítku atomu, pokud vzdálenosti nabitých částic neklesnou pod
hodnotu (10
-12
– 10
-13
) cm, tj. pod rozměry jádra atomu.
Elektrický náboj patří k základním fyzikálním veličinám. Jednotka náboje C však není
jednotkou základní, ale odvozenou z jednotky elektrického proudu ampéru (A):
1 coulomb je množství náboje, které projde průřezem vodiče za 1 sekundu,
protéká-li jím proud 1 ampéru.


Příklad 2
Vzdálenost mezi elektronem a protonem v atomu vodíku je přibližně 0,53.10
-10
m. Jaká
je velikost a) elektrostatické síly a b) gravitační síly působící mezi těmito dvěma částicemi?
Řešení:
Známy jsou tyto veličiny: R = 0,53.10
.10
m , e = 1,6.10
-19
C , gravitační konstanta
2211
kg.N.m10.7,6
−−
=κ , hmotnost elektronu a protonu m
e
= 9,1.10
-31
kg m
p
= 1,7.10
-27
kg.

a) Z Coulombova zákona vychází pro velikost elektrostatické síly hodnota
N10.1,8N)10.3,5.()10.6,1.(10.9
4
1
8211219
2
2
0
−−−−
===
R
e
F
e
πε
.

n
FFFFF
11413121
...
rrrrr
++++= .
(4)
7
Q
3

1
F
r
2
F
r
Q
1
Q
2
x L-x
b) Z Newtonova gravitačního zákona je velikost gravitační síly
N10.7,3N)10.3,5.(10.7,1.10.1,9.10.67,6
47211273111
2
===
−−−−
R
mm
F
pe
g
κ .
Z uvedeného příkladu je vidět, že v tomto případě je velikost elektrostatické síly asi 2.10
39
krát
větší než velikost síly gravitační.


Příklad 3
Ve vzdálenosti L od sebe se nacházejí dva pevně umístěné kladné bodové náboje Q
1
a Q
2
. Do kterého bodu na spojnici obou nábojů musíme umístit třetí bodový náboj Q
3
, aby
výsledná elektrická síla na něj působící byla nulová?
Řešení:


Na náboj Q
3
(na obrázku je kladný) působí náboj Q
1
silou
1
F
r
a zároveň náboj Q
2
silou
2
F
r
.
Má-li být výsledná síla nulová, musí mít tyto síly stejnou velikost:
21
FF = .
Platí:
()
2
32
0
2
31
0
4
1
4
1
xL
QQ
x
QQ
−
=
πεπε
, odkud .)(
2
2
2
1
xQxLQ =−

Protože L – x > 0, můžeme rovnici odmocnit, takže obdržíme
21
1
21
)(
QQ
Q
LxxQxLQ
+
=⇒=− .
Chceme-li, aby na náboj Q
3
nepůsobila žádná síla, musíme jej umístit do vzdálenosti x od
náboje Q
1
. Na znaménku náboje Q
3
přitom nezáleží.



8
2 Intenzita elektrického pole
V předchozí kapitole jsme zkoumali silové působení mezi dvěma bodovými náboji,
které se nacházejí v určité vzdálenosti. Jistě vás přitom napadla otázka, jak může jeden náboj
působit na druhý, když se nedotýkají? Odpověď je jednoduchá: působení mezi elektrickými
náboji se uskutečňuje prostřednictvím elektrického pole, které kolem sebe v prostoru vytváří
každý náboj (nebo nabité těleso). V případě, že elektrické náboje se nepohybují vzhledem
k pozorovací soustavě, je vzniklé pole elektrostatické.
O existenci elektrického pole se můžeme přesvědčit pomocí testovacího (zkušebního)
náboje Q
0
, který vložíme do zkoumaného pole. Působí-li na testovací náboj síla elektrického
původu, pak v tomto místě existuje elektrické pole. Testovací náboj Q
0
je kladný náboj,
který je tak malý, že svým elektrickým polem neovlivňuje původní elektrické pole, které
pomocí testovacího náboje zkoumáme.
K vyšetřování pole můžeme za testovací náboj použít např. malou nabitou bezovou
kuličku zavěšenou na silonovém vlákně. Vkládáme-li postupně kuličku do různých míst
elektrického pole, zjistíme různě velké výchylky kuličky z rovnovážné polohy. Z velikosti
výchylky můžeme usuzovat na velikost elektrické síly, která v daném místě působí na
testovací náboj.
Výsledky mnoha podobných pokusů vedou k závěru, že podíl síly p