Elektrostatické pole

že potenciál má v počátečních bodech obou
trajektorií stejnou hodnotu a rovněž v koncových bodech má stejnou hodnotu. (Trajektorie III
a IV spojují stejnou dvojici ekvipotenciálních ploch.)

Obr. 9 Elektrické siločáry (modře) a příčné řezy ekvipotenciálních ploch (žlutě)
a) v homogenním elektrickém poli, b) v elektrickém poli bodového náboje
19
V elektrickém poli bodového náboje stejně jako v poli náboje rozloženého středově
symetricky jsou ekvipotenciálními plochami soustředné kulové plochy. Ekvipotenciální
plochy v homogenním poli tvoří svazek vzájemně rovnoběžných rovin kolmých k siločarám
(obr. 5.10).
Ekvipotenciální plochy jsou vždy kolmé k siločárám, a tedy také k elektrické intenzitě
E
r
(protože její směr je dán tečnou k elektrickým siločarám). Složka vektoru intenzity
elektrického pole E
r
rovnoběžná s ekvipotenciální plochou je tedy nulová.


20
4 Elektrostatické jevy ve vodičích a nevodičích
V látkovém prostředí reagují velké soubory nabitých částic na vnější pole různě také
proto, že nosiče nábojů jsou v látkách různě vázány. Podívejme se na chování různých druhů
látek, které se ocitnou v elektrickém poli.



4.1 Vodiče a nevodiče
Podobně jako bodový náboj, také soustava bodových nábojů vytváří ve svém okolí
elektrické pole, jehož intenzita je dána vektorovým součtem intenzit polí jednotlivých nábojů.
Proto i různě nabitá tělesa se přitahují i odpuzují podobně jako dva bodové náboje.
V některých látkách (např.v kovech, v pitné vodě, v lidském těle) se může část jejich
náboje pohybovat značně volně. Takové látky nazýváme vodiče. V jiných látkách (např. ve
skle, v destilované vodě, v ebonitu a vůbec ve většině umělých hmot) se nemůže volně
pohybovat prakticky žádný náboj. Tyto látky nazýváme nevodiče (izolátory, dielektrika).
Přiblížením tělesa nabitého např. záporně k elektricky neutrálnímu vodiči dojde ve
vodiči pod vlivem elektrického pole tohoto nabitého tělesa (nepohyblivého) k téměř
okamžitému přeskupení volných (vodivostních) elektronů. Záporně nabité elektrony se
shromáždí na té části vodiče, která je k záporně nabitému tělesu co nejdál. Na druhém konci
tyče budou naopak elektrony chybět – převládat tam bude kladný náboj.

Obr. 10 Vznik indukovaného náboje na povrchu vodiče

Elektrony se ve vodiči přeskupí vždy tak, aby uvnitř vodiče byla výsledná intenzity
elektrického pole E
r
nulová. Pokud by tomu tak nebylo, musela by na vodivostní elektrony
působit i po jejich přesunu síla EeF
rr
= a náboj by se musel ve vodiči dále pohybovat, což
nenastává.
Přeskupování volných elektronů ve vodičích nacházejících se ve vnějším
elektrostatickém poli nazýváme elektrostatickou indukcí.
21
Kladný náboj shromážděný po přeskupení na povrchu části vodiče blíže k nabitému
tělesu je příčinou toho, že nabité těleso a vodič se začnou přitahovat přestože měděný vodič je
jako celek neutrální (počet kladných nábojů se rovná počtu záporných nábojů). Celkový náboj
na jeho povrchu je nulový.
Bez ohledu na to, zda je vodič plný nebo dutý, rozloží se indukovaný náboj na jeho
povrchu tak, aby pole jím vyvolané po sečtení s původním polem blízkého nabitého tělesa
vytvořilo vždy výsledné elektrické pole nulové intenzity 0=E
r
. Intenzita elektrického pole
vně vodiče je 0≠
vnější
E
r
, ovšem jeho hodnota je také ovlivněna indukovaným nábojem.
Dojde-li ke změně nabitého tělesa (tj. změně ním buzeného pole), indukovaný náboj se
přeskupí tak, aby znovu platilo 0=E
r
.
Třeme-li měděnou tyč vlnou a přitom ji držíme v ruce, nebudeme schopni ji nabít,
neboť jak tyč, tak my jsme vodiče. Tření sice vyvolá nerovnováhu náboje na tyči, ale
přebytečný náboj je okamžitě odveden s tyče naším tělem do podlahy a na tyči žádný
přebytečný náboj nezůstane. Uzemnit předmět znamená vytvořit vodivou cestu mezi ním
a zemským povrchem. Vybít předmět znamená jej zneutralizovat, tj. vyrovnat jakoukoli
cestou množství kladného a záporného náboje, který na něm je.
V kovech se mohou pohybovat pouze vodivostní elektrony, kladné ionty tvořící mřížku
kovu zůstávají na místě. Předměty se tedy nabíjejí kladně pouze díky odvedení části
záporných nábojů. Polovodiče (např. křemík a germanium) jsou látky, které mají vlastnosti
mezi vodiči a izolátory. Revoluce mikroelektroniky, která tolik změnila naše životy, byla
umožněna jen díky přístrojům zkonstruovaným z polovodičových materiálů.


4.2 Vlastní kapacita vodiče
Ve stavu elektrostatické rovnováhy musí být na povrchu i uvnitř osamělého nabitého
vodiče stejně velký potenciál ϕ (jinak by totiž vznikal mezi místy s různým potenciálem
pohyb náboje, tj. elektrický proud).
Nejsou-li v blízkosti vodiče jiné vodiče, náboj na vodiči je přímo úměrný jeho
potenciálu. Konstanta úměrnosti se nazývá vlastní kapacita osamělého vodiče C.
Platí
Jednotkou kapacity je farad (F) , F = C.V
-1
.
Náboj přivedený na izolované vodivé těleso se rozloží pouze na vnějším povrchu tělesa,
na vodivé kouli a válci rovnoměrně. Uvnitř vodiče je intenzita elektrického pole nulová. Podíl
náboje a plochy povrchu vodiče je tzv. plošná hustota náboje σ :
Intenzita vodivé koule ve vakuu nebo ve vzduchu je na jejím povrchu (tj. pro r = R)
ϕ
Q
C = .
(18)
S
Q
=σ
(19)
22
Použijeme-li vztahu pro plošnou hustotu náboje na povrchu koule, dostaneme

Vztah (21)
0
εσ=E neplatí pouze pro vodivou nabitou kouli ve vakuu. Platí pro nabitý
vodič libovolného tvaru. Tuto zákonitost vyjadřuje tzv. Coulombova věta:

Velikost vektoru intenzity elektrostatického pole na povrchu vodiče ve vakuu je rovna podílu
plošné hustoty náboje a permitivity vakua. Vektor intenzity je vždy kolmý k povrchu vodiče.

Příklad 9
Kapacity dvou izolovaných koulí jsou C
1
= 20 pF a C
2
= 30 pF. Jejich náboje jsou
Q
1
= 3.10
-8
C a Q
2
= 4,5.10
-8
C. a) Určete potenciály obou koulí. b) Jak velký náboj se
přemístí mezi koulemi, když je vzájemně vodivě spojíme?
Řešení:
a) Z definice kapacity obdržíme pro potenciál koule
C
QQ
C =⇒= ϕ
ϕ

Potenciál první a druhé koule je tedy
3
12
8
1
10.
2
3
10.20
10.3
==
−
−
ϕ V ,
3
12
8
2
10.
2
3
10.30
10.5,4
==
−
−
ϕ V .
b) Náboj se nepřemístí, neboť potenciály obou koulí jsou stejné.


2
0
4
1
R
Q
E
επ
= .
(20)
00
2
0
2
0
4
1
4
1
ε
σ
ε
π
επε
====
S
Q
R
Q
R
Q
E .
(21)
23
4.3 Kapacita kondenzátoru
Jsou-li v blízkosti vodiče jiné vodiče, vzniká soustava vodičů. Jakýkoliv náboj, který
bychom přiložili na jeden z vodičů, vyvolá v soustavě jev elektrostatické indukce.
Přeskupením nábojů se výrazně změní rozložení elektrostatického pole ve srovnání
s případem, kdy je nabitý vodič osamělý. Každá dvojice vodičů bude pak navzájem spojena
určitým množstvím siločar, vycházejících vždy z povrchu vodiče, jenž má vyšší potenciál
a končících na povrchu těch vodičů, které mají potenciál nižší. Říkáme, že v soustavě vznikly
kapacitní vazby a pojem vlastní kapacity vodiče zde ztrácí svůj smysl, neboť je zřejmé, že
změnou polohy některého z vodičů (přiblížením, vzdálením) vždy změníme i velikost
kapacitních vazeb.
V praktické elektrotechnice se kapacitní vazba vznikající mezi dvojicí vodivých těles
využívá ke shromažďování nábojů opačného znaménka a uchování energie v zařízeních, jež
se nazývají kondenzátory.

Kondenzátory slouží v současném
elektronickém a mikroelektronickém světě
všestranně, a to nejen jako zásobárny
elektrické energie.



Obr. 11 Různé druhy kondenzátorů


Základními prvky každého kondenzátoru jsou dva vodiče, zvané elektrody, které jsou
blízko sebe, ale přitom jsou odděleny. Bez ohledu na jejich skutečný tvar se jim často říká
„desky“.


Obr. 12 Dva vodiče (elektrody) elektricky izolované od sebe i okolí tvoří kondenzátor. Je-li
kondenzátor nabit, nesou elektrody náboje Q stejně velké, ale opačných znamének.
24
V dalším výkladu se omezíme na rovinný kondenzátor. Znak −− kterým kondenzátor
znázorňujeme ve schématech, je odvozen právě z deskového kondenzátoru; užívá se ho však
pro kondenzátory obecně.
Kapacita kondenzátora je definována vztahem
kde U je napětí na kondenzátoru.
Rovinný nebo také deskový kondenzátor bude fungovat bez kapacitních vazeb na okolí
jenom tehdy, jestliže budou jeho desky s plochou S vzdálené o d dostatečně velké a jestli se
na nich nacházejí souměrně náboje Q
1
= Q a Q
2
= - Q. Pak opravdu prakticky všechny
siločáry začínají na vnitřní straně kladně nabité desky a končí na vnitřní straně záporně nabité
desky. Pole považujeme za homogenní a pro napětí na kondenzátoru platí EdU = .

Obr. 13 Zobrazení deskového kondenzátoru. Elektrické pole v prostoru mezi deskami je
homogenní – takové pole zobrazujeme rovnoběžnými a stejně hustými čarami.
Nehomogenita pole při kraji desek je prakticky zanedbatelná.
Plošná hustota náboje na vnitřních stranách desek je SQ±=σ . Vyjádříme-li plošnou
hustotu z Coulombovy věty (21) a oba vztahy porovnáme, dostaneme pro náboj Q:
Po dosazení do definičního vztahu (22) obdržíme pro kapacitu deskového kondenzátoru
Kapacita deskového kondenzátoru je dána pouze jeho rozměry: je přímo úměrná
velikosti plochy desek a nepřímo úměrná jejich vzdálenosti.
Co se stane, vyplníme-li prostor mezi deskami kondenzátora dielektrikem – elektricky
nevodivým materiálem? M. Faraday (po něm je pojmenována jednotka kapacity) zjistil, že
dielektrika lze charakterizovat veličinou
r
ε , kterou nazval relativní permitivita. Tato veličina
udává, kolikrát vzroste kapacita kondenzátoru. Platí
0
εεε
r
= , pro vakuum je tedy 1=
r
ε .
U
QQ
C =
−
=
21
ϕϕ
,
(22)
S
d
U
ESQ
00
εε == .
(23)
d
S
U
Q
C
0
ε== .
(24)
25

V prostoru zcela vyplněném dielektrikem s relativní permitivitou ε
r
platí i nadále
všechny rovnice elektrostatiky vakua, pokud výraz
0
ε

nahradíme výrazem
r
εε
0
.


Příklad 10
Rovinný kondenzátor, jehož desky mají plošný obsah S = 4.10
-3
m
2
a jsou od sebe
vzdáleny d = 1.10
-4
m, byl nabit nábojem Q = 0,36 µC. a) Jak velké je napětí U mezi
deskami? je-li permitivita dielektrika mezi těmito deskami ε = 75.10
-12
F.m
-1
?
Řešení:
Kapacita je definována vztahem
U
Q
C = . Pro deskový kondenzátor platí
d
S
C ε= .
Spojením těchto dvou rovnic obdržíme pro napětí na kondenzátoru
S
Qd
U
ε
=
Po dosazení číselných hodnot obdržíme 120
10.4.10.75
10.1.10.36,0
312
46
===
−−
−−
S
Qd
U
ε
V.
Napětí na kondenzátoru má velikost 120 V.

4.4 Energie nabitého kondenzátoru
Při nabíjení kondenzátoru (tj. přidávání nábojů různých znamének na jeho desky)
musíme překonávat elektrostatické síly, kterými na sebe náboje působí.
Čím větší náboj se shromažďuje na elektrodách kondenzátoru, tím více práce je nutné
vykonat k přenosu dalších elektronů. Práce, která byla potřebná k nabití kondenzátoru, je
obsažena v elektrickém poli mezi jeho elektrodami ve formě elektrické potenciální energie
Ep. Uvolnit ji pak můžeme vybitím kondenzátoru v elektrickém obvodu obdobně, jako
můžeme uvolnit mechanickou potenciální energii nahromaděnou v nataženém luku uvolněním
tětivy, aby se tato energie přeměnila na kinetickou energii šípu.
Je možno ukázat, že práci při nabíjení kondenzátoru lze vyjádřit následujícími vztahy
Elektrická energie nabitého kondenzátoru je dána vztahem
Energie nabitého kondenzátoru E
C
je soustředěna v elektrickém poli mezi jeho elektrodami.
C
Q
CUQUWE
p
2
2
2
1
2
1
2
1
==== .
(25)
2
2
1
CUE
C
= .
(26)
26
Příklad 11
Paměťový prvek dynamické paměti RAM na čipu má kapacitu 55 fF. Kolik elektronů je
nutno dodat na jeho zápornou elektrodu, aby získal napětí 5,3 V? (Jak velká je jednotka fF?)
Řešení:
1 fF = 10
-15
F. Počet n elektronů je dán podílem Q/e , kde e je elementární náboj.
Z rovnice (22) plyne:
6
19
15
10.8,1
10.6,1
3,5.10.55
====
−
−
e
CU
e
Q
n .

Tento počet elektronů je velmi malý. Např. smítko prachu tak malé, že se v podstatě nikdy
neusadí a většinou se vznáší, obsahuje asi 10
17
elektronů (a stejný počet protonů).

4.5 Řazení kondenzátorů
Jakkoli složité seskupení kondenzátorů v elektrickém obvodu můžeme považovat za
spojení bloků, v nichž jsou jednotlivé kondenzátory zapojeny sériově nebo paralelně.
Probereme proto tato dvě základní spojení.
Paralelní spojení (vedle sebe)
Na obr. 14 a) je skupina tří kondenzátorů připojených paralelně k baterii B. Protože
baterie udržuje na svých svorkách napětí U, je totéž napětí U na každém kondenzátoru.
Při spojení kondenzátorů paralelně (neboli vedle sebe) je napětí na celé skupině
kondenzátorů stejné jako napětí na každém z nich.
Hledáme výslednou kapacitu
p
C celé skupiny kondenzátorů (obr. 14 b). Jinými slovy
hledáme kapacitu jediného (ekvivalentního) kondenzátoru, kterým můžeme nahradit tuto
skupinu kondenzátorů v tom smyslu, že při téže hodnotě napětí U přiloženého na kondenzátor
o kapacitě
p
C na něm bude náboj Q stejně velký jako na celé nahrazované skupině.

Obr. 14 a, b
Celkový náboj této soustavy je dán součtem nábojů tří kondenzátorů

.)(
321321321
UCCCUCUCUCQQQQ ++=++=++=

27
Výsledná kapacita soustavy paralelně spojených kondenzátorů je
Tento výsledek můžeme zobecnit na jakýkoliv počet kondenzátorů (n kondenzátorů
spojených paralelně:


Sériové spojení (za sebou)
Obr. 15 a) ukazuje skupinu tří kondenzátorů připojených sériově k baterii B. Baterie
udržuje napětí U mezi levou a pravou svorkou skupiny kondenzátorů. Jednotlivé
kondenzátory mají kapacity C
1
, C
2
a C
3
, součet napětí na každém z nich dává celkové napětí
soustavy U
1
+ U
2
+ U
3
= U.
Při spojení kondenzátorů do série (neboli za sebou) je napětí na celé skupině
kondenzátorů rovno součtu napětí na jednotlivých kondenzátorech.

Obr. 16 a,b
Na každém kondenzátoru je stejně velký náboj Q, a to i tehdy, jsou-li kondenzátory
různé a mají různé kapacity. Pro vysvětlení si povšimněme část elektrického obvodu, která je
označená přerušovanou čárou na obr. 15 a). Tato část je elektricky izolovaná od zbytku
obvodu, nemůže tedy získat ani ztratit žádný elektrický náboj. Baterie může v izolované části
náboj pouze indukovat, tedy přerozdělit ten náboj, který tam již je.
Když baterie dodá náboj +Q na horní elektrodu kondenzátoru C
1
, pak tento náboj
přitáhne elektrony z izolované části, tj. přerozdělí je. Toto přerozdělení způsobí, že spodní
elektroda kondenzátoru C
1
získá náboj -Q a horní elektroda kondenzátoru C
2
získá náboj +Q.
321
CCC
U
Q
C
p
++== .
(27)
∑
=
=
n
i
ip
CC
1
.
(28)
28
Stejné přerozdělení proběhne také u kondenzátorů C
2
a C
3
. Konečným výsledkem je stejný
náboj Q na každém z nich.
Celkový náboj dodaný baterií je ovšem Q, nikoli snad3Q. Baterie dodala náboj +Q,
který přímo přešel na nejvrchnější elektrodu (obr. 5.16a), a odebrala náboj -Q z nejspodnější
elektrody celé kombinace. Ostatní elektrody kondenzátorů se nabily pouze tím, že se
přerozdělily náboje mezi vodivě spojenými elektrodami sousedních kondenzátorů.
Pro celkové napětí na sériové kombinaci kondenzátorů platí
.
111
321321
321
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++=++=++=
CCC
Q
C
Q
C
Q
C
Q
UUUU
Výsledná kapacita této soustavy je podle rovnice (21) dána vztahem
U
Q
C
s
= .
Porovnáme-li oba vztahy, dostaneme pro soustavu kondenzátorů zapojených sériově
Vztah platí opět pro libovolný počet sériově spojených kondenzátorů:

Příklad 12
Kapacitní dělič napětí má dělit napětí 2.10
3
V. Jeden z kondenzátorů má kapacitu
900 pF. a) Jakou kapacitu musí mít druhý kondenzátor? b) Jaká je celková kapacita tohoto
děliče a jak velká je jeho energie při plném napětí?
Řešení:
C
1
C
2

a) Kapacita kondenzátoru je dána vztahem
U
Q
C = . Pro napětí U
1
a U
2
na kondenzátorech
platí U
1
:U
2
= 1:5 , přičemž .,
2
2
1
1
C
Q
U
C
Q
U ==
Po dosazení ,5
21
C
Q
C
Q
= odkud .
5
1
2
C
C = Číselně 180
5
900
2
==C pF.
b) Kondenzátory jsou spojeny do série, takže pro celkovou kapacitu platí
21
111
CCC
+= . Odtud
21
21
CC
CC
C
+
= ,
po dosazení 150
180900
180.900
=
+
=C pF.
.
1111
321
CCCC
s
++=
(29)
∑
=
=
n
i is
CC
1
11
.
(30)
29
Energie kondenzátoru je vyjádřena vztahem
2
2
1
CUE
C
= , číselně
42312
10.3)10.2.(10.150
2
1
−−
==
C
E J.
Druhý kondenzátor musí mít kapacitu 180pF. Celková kapacita děliče je 150 pF a jeho
energie při plném napětí je 3.10
-4
J.