Elektrostatické pole

ůsobící v daném
místě na kladný testovací náboj Q
0
a tohoto náboje je v daném místě elektrického pole
veličina stálá, nezávislá na velikosti testovacího náboje. Tímto podílem je definována
vektorová veličina, která má velikost a směr a nazývá se intenzita elektrického
pole v daném místě ve vakuu, tj. v bodě P:



Obr. 3 a) Kladný testovací náboj Q
0
umístěný do bodu P v blízkosti nabitého tělesa. Na testovací náboj
působí elektrostatická síla F
r
. b) Intenzita E
r
elektrického pole v bodě P, které je buzeno
nabitým tělesem.

Pokud je výsledné pole způsobené několika bodovými náboji, určíme jeho intenzitu
pomocí principu superpozice. Podle rovnice (4) je tedy intenzita výsledného pole v místě
testovacího náboje rovna
2
00
4
1
r
Q
Q
F
E
πε
==
r
r
.
(5)
9
Intenzita elektrického pole E
r
je vektor, jehož směr a orientace v libovolném bodě
elektrického pole je dán směrem a orientací síly působící na kladný testovací náboj Q
0

umístěný v tomto bodě.
Velikost intenzity elektrického pole v daném bodě prostoru je číselně rovna síle, kterou pole
v tomto bodě působí na kladný jednotkový náboj. Je-li Q
0
= +1 C, je (ne ovšem rozměrově)
FE
rr
= .
V soustavě SI je jednotkou elektrické intenzity newton na coulomb (N.C
-1
), ale častěji
se udává jednotka volt na metr (V.m
-1
).
Bez důkazu zde uvedeme dva tzv. slupkové teorémy elektrostatiky, které jsou
užitečné při výpočtech intenzit kulových vodičů.

1. Kulová slupka nabitá rovnoměrně rozloženým nábojem přitahuje nebo odpuzuje nabité
částice stejně, jako kdyby veškerý náboj slupky byl soustředěn v jejím středu.
2. Kulová slupka nabitá rovnoměrně rozloženým nábojem nepůsobí žádnou elektrostatickou
silou na nabité částice umístěné uvnitř (v dutině) slupky.
V následující tabulce jsou uvedeny velikosti intenzity v některých konkrétních
případech.

Elektrické pole Velikost intenzity (N.C
-1
)
Na povrchu jádra uranu 3.10
21

Uvnitř atomu vodíku (Bohrův poloměr, HRW – 24.56Ú) 5.10
11

Při elektrickém průrazu ve vzduchu 3.10
6

V blízkosti nabitého válce fotokopírovacího stroje 10
5

V blízkosti nabitého plastikového hřebenu 10
3

V dolní vrstvě atmosféry 10
2

Uvnitř měděného vodiče v elektrických obvodech v domácnosti 10
-2



2.1 Elektrické siločáry
Elektrostatické pole lze graficky znázornit pomocí elektrických siločar. Jsou to
myšlené orientované čáry (křivky), které v každém bodě pole určují velikost i směr vektoru
elektrické intenzity. Podél siločar by se v elektrostatickém poli pohyboval kladný
.......
21
0
0
0
02
0
01
0
n
n
EEE
Q
F
Q
F
Q
F
Q
F
E
rrr
rrrr
r
+++=+++== (6)
10
jednotkový náboj. Orientace siločáry se na ní vyznačuje šipkou. Vztah k vektoru E
r
je
následující:
• směr vektoru E
r
určuje orientovaná tečna k siločáře,
• velikost vektoru E
r
určuje hustota siločar na jednotku kolmé plochy.
Siločáry vycházejí z kladných nábojů a končí v záporných nábojích nebo v nekonečnu.
Protože intenzita E
r
je v každém bodě definována jednoznačně, siločáry se neprotínají.






Obr. 4 Vektory elektrické intenzity v několika
bodech kolem kladného orientovaného
náboje







Obr. 5 Siločáry pole dvou stejně velkých
bodových nábojů opačných znamének.
Náboje se navzájem přitahují.
V jednom bodě je zobrazen vektor
intenzity: má směr tečny k siločáře
procházející tímto bodem.






Obr. 6 Siločáry pole dvou stejně velkých
kladných nábojů. Náboje se
navzájem odpuzují. V jednom bodě
pole je zobrazen vektor intenzity,
který má směr tečny k siločáře
procházející tímto bode.



11
Příklad 4
Určete velikost intenzity elektrického pole v bodě, který je uprostřed mezi dvěma
bodovými náboji Q
1
= 60 µC a Q
1
= 40 µC. Náboje se nacházejí v petroleji
o permitivitě prostředí
0
2εε = a jsou vzdáleny cm25=R .
Řešení:


V bodě uprostřed na spojnici nábojů Q
1
a Q
2
je intenzita elektrického pole dána (podle
principu superpozice) součtem intenzit pole od obou nábojů.
21
EEE
rrr
+= .
Vektory intenzit mají opačné směry a vzhledem k tomu, že náboj Q
1
je větší, má i intenzita
elektrického pole
1
E
r
, které je buzeno nábojem Q
1
, větší velikost. Výsledná intenzita E
r
bude
tedy mít směr k náboji Q
2
.
() ()
2
2
2
2
2
1
21
4
1
4
1
RR
QQ
EEE
πεπε
−=−= .
Po matematických úpravách a dosazení
0
2εε = obdržíme pro velikost výsledné intenzity
()
21
2
0
2
1
QQ
R
E −=
πε
.
Číselně:
()
()
166
2
212
V.m10.76,510.4060
10.25.10.85,8.14,3.2
1
−−
−−
=−=E

V bodě uprostřed mezi oběma náboji má vektor intenzita elektrického pole velikost
5,76.10
6
V.m
-1
a jeho směr v tomto bodě je od náboje Q
1
k náboji Q
2
.

Při znázorňování elektrostatického pole můžeme teoreticky sestrojit nekonečně mnoho
siločar. Hustota siločar je však podle konvence taková, aby jejich počet na jednotku plochy,
kolmé na směr siločar, byl číselně roven velikosti intenzity elektrického pole E
r
.
Tam, kde je „hustota“ siločar větší, tam má i pole větší intenzitu a je tedy schopno
vyvolat větší silové působení.



E
r
Q
1
Q
2
1
E
r
2
E
r
12
2.2 Bodový náboj v elektrickém poli
Ocitne-li se nabitá částice v elektrostatickém poli, působí na ni elektrostatická síla
vyjádřená vztahem
kde Q je náboj částice (včetně znaménka) a E
r
je intenzita vnějšího pole
3
.
Síla má směr intenzity ( EF
rr
↑↑ ), jestliže náboj částice je kladný.
Je-li náboj záporný, má směr opačný ( EF
rr
↑↓ ).

Při pohybu volné nabité částice hmotnosti m v elektrostatickém poli intenzity E
r
nabude
částice ve směru siločar zrychlení, jehož velikost je rovna
Působí-li na částici více sil, musíme tyto síly sečíst (vektorově !!). Sečítat můžeme
samozřejmě i síly různého původu – např. síly elektrické a gravitační. Celkové zrychlení
částice pak obdržíme jako podíl velikosti výsledné síly a hmotnosti částice.

Příklad 5
Kulička o hmotnosti 10 g je elektricky nabita nábojem
9
3
5
10.
−
C. S jak velkým
zrychlením se bude tato kulička pohybovat v homogenním elektrickém poli, jehož intenzita
má velikost 300 V.cm
-1
?
Řešení:
Síla, která působí na kuličku v homogenním elektrickém poli, má velikost
EQF = .
Tuto sílu můžeme vyjádřit z Newtonova pohybového zákona
maF = .
Porovnáním obou vztahů dostaneme
m
EQ
aEQma =⇒=
Po dosazení číselných hodnot obdržíme
23
3
9
3
5
4
m.s10.5
10.10
10..10.3
−−
−
−
==a .

Kulička se bude v elektrickém poli pohybovat se zrychlením 5.10
-3
m.s
-2
.

3
Nazýváme tak pole, které v místě, kde se částice nachází, budí ostatní náboje. Nabitá částice není ovlivněna
svým vlastním elektrickým polem.
EQF
rr
= ,
(7)
m
EQ
m
F
a == .
(8)
13

Příklad 6
V Milikanově zařízení (na obr.) pro měření elementárního náboje e má kapka oleje
o poloměru 76,2=R µm přebytečný náboj tří elektronů. Jaká je velikost a směr intenzity
elektrického pole, která způsobí, že kapka zůstává v zařízení v klidu? Hustota oleje je
3
kg.m920
−
=ρ . Vztlak vzduchu je malý vzhledem k tíhové síle mg a můžeme jej tedy
zanedbat.
Řešení:
Má-li být kapka v rovnováze, musí elektrostatická síla působící na kapku směřovat
vzhůru a mít velikost mg.
Z rovnice (7) plyne, že síla má velikost EeF )3(= . Hmotnost kapky vyjádříme jako
součin jejího objemu a hustoty.
Rovnováha sil pak dává
EegR )3(
3
4
3
=ρπ ,
odtud
e
gR
E
9
4
3
ρπ
= .
Po dosazení hodnot

16
19
36
N.C10.65,1
)10.6,1.(9
8,9.920.)10.76,2(4
−
−
−
==
π
E .

Protože kapka je nabita záporně, plyne z z rovnice (7) , že E
r
a F
r
mají opačný směr:
EeF
rr
3−= . Vektor E
r
musí tedy směřovat svisle dolů. Jeho velikost je 1,6.10
6
N.C
-1
.



Milikanovo zařízení pro měření elementárního náboje e. Jestliže nabitá olejová kapka
prochází otvorem v desce P
1
do komory C, můžeme její pohyb řídit zapínáním a vypínáním
spínače S, tedy vytvářením nebo rušením elektrického pole v komoře C. Kapku pozorujeme
mikroskopem a z doby průchodu mezi dvěma vodorovnými vlákny v ohniskové rovině
okuláru měříme její rychlost.

14
3 Potenciál elektrického pole
Jistou (matematickou) nevýhodou intenzity elektrického pole je fakt, že se jedná
o vektorovou veličinu. Na její určení potřebujeme nejenom velikost, ale i směr. Z tohoto
důvodu byla zavedena veličina, která je pro popis pole stejně vhodná, má však povahu
skaláru. Tato veličina se nazývá potenciál elektrického pole ϕ.
Při zavádění nové veličiny v elektrostatickém poli se můžeme opřít o analogii s polem
gravitačním, kterou jsme již zmiňovali u Coulombova zákonu.
Elektrostatickému poli (systému složenému ze dvou nebo více nabitých částic) lze tedy
přiřadit potenciální energii
p
E , kterou nazýváme elektrostatickou nebo též elektrickou.
Přemístí-li se v takovém systému částice z bodu 1 do bodu 2, pak elektrostatická síla vykoná
na částici práci W. Odpovídající změna potenciální energie je


Pole gravitační i pole elektrostatické jsou konzervativními poli. Pro elektrostatickou sílu
platí stejně jako pro jiné konzervativní síly, že práce touto silou vykonaná nezávisí na
trajektorii.
Elektrický potenciál v daném bodě elektrického pole je roven podílu práce W, kterou
musejí vykonat síly pole při přemístění kladného jednotkového náboje Q
0
z daného bodu do
místa s nulovým potenciálem, a velikosti tohoto náboje. Za místo s nulovým potenciálem se
obvykle volí bod v nekonečnu, v technické praxi místo vodivě spojené se zemí.
Jednotkou potenciálu je volt (V), V = J.C
-1
.
Elektrický potenciál ϕ v okolí nepohybujícího se osamoceného náboje Q ve vzdálenosti r od
tohoto náboje můžeme vyjádřit vztahem .
Na rozdíl od intenzity pole klesá potenciál nepřímo úměrně první mocnině vzdálenosti.
Může být kladný i záporný podle toho, jaké je znaménko náboje Q , který je zdrojem pole.
Princip superpozice platí i pro potenciál: soustava n bodových nábojů má potenciál
WEEE
ppp
−=−=∆
21

(9)
0
Q
W
=ϕ .
(10)
r
Q
0
4
1
πε
ϕ =
(11)
∑∑
==
==
n
i
i
i
n
i
i
r
Q
1
0
1
4
1
πε
ϕϕ ,
(12)
15
kde Q
i
je znamená hodnotu i-tého bodového náboje a r
i
jeho vzdálenost od bodu, v němž
potenciál určujeme. Na rozdíl do součtu vektorového v případě intenzity elektrického pole,
sečítání potenciálů se jedná o součet algebraický (daleko jednodušší matematická operace).

Obr. 7
Počítačem vytvořený prostorový
graf závislosti ϕ na vzdálenosti r od
kladného bodového náboje (je
umístěn v počátku roviny xy).
Nekonečná hodnota potenciálu,
která plyne ze vztahu (11) není
pochopitelně zobrazena.






Příklad 7
Dva nepohyblivé náboje velikosti Q = +2,0 µC jsou od sebe vzdáleny d = 2,0 cm.
a) Je-li ϕ = 0 v nekonečnu, určete hodnotu elektrického potenciálu v bodě C. b) Přenesme třetí
náboj Q
0
= +2,0 µC z nekonečna do bodu C. Jak velkou práci musíme vykonat? c) Jak velká
je poté elektrická potenciální energie soustavy těchto tří nábojů?
Řešení:
a) Položíme-li nulovou hladinu potenciálu do
nekonečna, pak pro bodový náboj Q platí:
r
Q
0
4
1
πε
ϕ = . Pole v bodě C je buzena dvěma
náboji stejného znaménka a velikosti v bodech A a B.
Jejich vzdálenost od bodu C je
2
d
r = (z Pythagorovy věty).
Potenciál v bodě C je pak roven
d
QQ
d
BAC
2
4
1
2
4
1
2
0
2
0
πεπε
ϕϕϕ ==+= .
Číselně (s přihlédnutím, že konstanta
0
4
1
πε
má velikost přibližně 9.10
9
N.m
2
.C
-2
):
V10.5,210.38,25
10.2
41,1.10.2
.10.9.2
68
2
6
9
===
−
−
&ϕ .
A B
16
b) Práce, kterou musíme vykonat při přenášení náboje Q
0
do bodu C je podle (10) rovna
QW
C
ϕ= .
Po dosazení hodnot J1,510.2.10.5,2
66
==
−
&W .
c) Elektrická potenciální energie dvojice nábojů je dána vztahem
r
QQ
E
p
21
0
4
1
πε
= .
Pole je nyní tvořeno třemi náboji, musíme tedy sečíst potenciální energie všech dvojic
()221
4
1
2
4
1
2
2
0
2
22
0
,,,,,
+=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+=+=++=
d
QQ
d
Q
EEEEEE
d
ACpABp
stejné
BCpACpABpp
πεπε
4434421

Po dosazení:
9,6)83,3(
10.2
10.4
.10.9
2
12
9
==
−
−
&
p
E J.


3.1 Elektrické napětí
Při řešení technických problémů je podstatně významnější veličinou rozdíl potenciálů
dvou bodů elektrostatického pole. Tímto rozdílem je definována veličina napětí mezi těmito
body.
Zde první bod pole má potenciál ϕ
1
, druhý bod má potenciál ϕ
2
, přičemž oba potenciály
určujeme vzhledem k témuž vztažnému bodu. S přihlédnutím ke vztahu (10) můžeme pro
napětí psát také vztah
kde
∞
W je práce vykonaná elektrickým polem při přemístění částice s nábojem Q
z nekonečna do uvažovaného bodu.
Napětí stejně jako potenciál se měří ve voltech, jeho hodnota už však nezáleží na výběru
vztažného bodu. Podle definice (13) může napětí nabývat kladných i záporných hodnot.
Je zřejmé, že kladný jednotkový náboj má tendenci pohybovat se z místa o vyšším
potenciálu do místa s potenciálem nižším. Tento směr mají totiž také elektrické siločáry.
Protože elektrické napětí je číselně rovno práci potřebné k přenesení náboje +1C z bodu 1 do
bodu 2, dá se očekávat, že při přenášení částice s libovolným nábojem Q bude tato práce
rovna Q násobku napětí. Pak
12
ϕϕϕ −=∆=U .
(13)
Q
W
U
∞
−= ,
(14)
QUEW
p
=∆=
→21
.
(15)
17
Vztahem (14) jsme vyjádřili změnu potenciální energie částice, která je nosičem
bodového náboje. Mlčky jsme přitom předpokládali, že nabitá částice měla jak v bodě 1, tak
i v bodě 2 stejnou kinetickou energii. Pokud by ovšem částice o hmotnosti m měla v bodě 1
rychlost v
1
a v bodě 2 rychlost v
2
, došlo by působením vnějších sil i ke změně kinetické
energie
k
E∆ . Pak bychom museli vztah (14) použít v rozšířeném tvaru:
Umístíme-li do elektrostatického pole volnou nabitou částici (na kterou nepůsobí vnější
síly – může se tedy vlivem pole volně pohybovat), začne se částic vlivem coulombovských sil
spontánně přemísťovat ve směru daném vektorem E
r
(tj. podél siločar ) a vztah (15) přejde ve
tvar
To je matematické vyjádření zákona zachování energie v elektrostatickém poli:
Volná nabitá částice se při pohybu v elektrostatickém poli chová tak, že součet její
kinetické a potenciální energie je v každém místě pole konstantní.


Příklad 8
Malá částice s nábojem Q a hmotností m vletěla rychlostí v
0
do homogenního
elektrostatického pole o intenzitě E
r
, jejíž směr byl rovnoběžný se směrem vektoru
0
v
r
.
Částice byla v poli zabržděna na dráze s. Kolik nadbytečných elektronů se na ní nacházelo?
Řešení:
Vzhledem k tomu, že částice byla zabržděna ve směru rovnoběžném se siločárami
elektrického pole, musí nést záporný náboj Q. Její pohyb byl rovnoměrně zpomalený, takže
pro její rychlost a uraženou dráhu můžeme psát
atvv −=
0
,
2
0
2
1
attvs −= .
Z těchto dvou vztahů a ze vztahu (5.8) dostaneme pro velikost zpomalení částice a:
Es
mv
Q
m
EQ
s
v
a
22
2
0
2
0
=⇒== .
Počet nadbytečných elektronů je pak
e
Q
n = .
Počet nadbytečných elektronů n, které nabitá částice obsahuje, je dán podílem velikosti jejího
náboje a elementárního náboje e.


2
1
2
221
2
1
2
1
mvmvQUEEW
kp
−+=∆+∆=
→
.
(16)
2
1
2
2
2
1
2
1
mvmvQU −= .
(17)
18
3.2 Ekvipotenciální plochy
Body, ve kterých má elektrický potenciál stejnou hodnotu, tvoří ekvipotenciální
plochu (myšleno nebo reálnou). Při přemístění částice mezi body 1 a 2, které leží na téže
ekvipotenciální ploše, nevykoná elektrické pole žádnou úhrnnou práci. To vyplývá z rovnic
(12) a (13): je-li ϕ
1 =
ϕ
2
, je W = 0.
Vzhledem k tomu, že práce elektrostatické síly je nezávislá na trajektorii, je vykonaná
práce nulová, a to pro libovolnou trajektorii spojující body 1 a 2, bez ohledu na to, zda celá
trajektorie leží, či neleží na ekvipotenciální ploše.


Obr. 8 Části čtyř ekvipotenciálních ploch. Jsou zobrazeny čtyři trajektorie (I, II, III, IV), po
nichž se může pohybovat nabitá částice a naznačeny jsou dvě elektrické siločáry.

Práce vykonaná silou tohoto pole v případě trajektorie I nebo trajektorie II je nulová,
protože každá z nich začíná a končí na téže ekvipotenciální ploše.
Práce vykonaná při přesunu nabité částice podél trajektorie III i trajektorie IV je
nenulová a v obou případech stejně velká, proto