Vypracované příklady

sin(α)gcos(α) − 2lT2gcos(α)
µ = tan(α)− 2lT2gcos(α) .= 0,047
Což je koeficient tření mezi běžkami a sněhem. Výrobci vosků a skluznic se snaží tuto hodnotu pokud
možno minimalizovat. Známe-li koeficient tření, můžeme najít takový sklon svahu, při kterém je zrychlení
běžkaře nulové.
ax = 0
gsin(α)−µgcos(α) = 0
sin(α)−µcos(α) = 0
sin(α) = µcos(α)
sin(α)
cos(α) = µ
tan(α) = µ
α = arctan(µ) .= 0,047rad ≈ 2,7◦
Je to mezní, rovnovážný stav, kdy je součet všech sil nulový a běžkař se pohybuje rovnoměrně přímočaře.
Ani nezrychluje, ani nezpomaluje a záleží jen na tom, na jakou rychlost se předtím rozjel. Na prudším
svahu by rychlost narůstala, na mírnějším by se naopak pohyb po čase zastavil.
20
Za zmínku stojí zajímavá skutečnost – pro malé úhly (musíme je vyjadřovat v radiánech) platí, že
sinus i tangens je přibližně roven svému argumentu. To znamená, že i koeficient tření je zhruba roven
meznímu úhlu. Současně platí, že údaj o klesání uvedený v procentech přibližně souhlasí s úhlem svahu.
Takže nebudeme daleko od pravdy, když usoudíme, že potřebujeme pětiprocentní klesání svahu (0,05) na
to, abychom mohli sjet kopec bez námahy na běžkách s koeficientem tření 0,05.
12. Balistické kyvadlo
Balistické kyvadlo je jednoduché zařízení pro měření rychlosti střel. Princip je založen na tom, že měříme
vodorovnou výchylku zavěšeného předmětu, do kterého narazí střela a uvízne v něm. Pokusem bylo zjištěno,
že se dřevěná kostka o hmotnosti M=0,1kg vychýlila o d=0,3m poté, co se na ni přilepila vystřelená
plastelínová kulička o hmotnosti m=2g. Kostka je zavěšena na dvoumetrové niti a před nárazem volně
visela v rovnovážné poloze.
• Nakreslete obrázek a vyznačte jednotlivé fáze děje.
• Vyjádřete původní rychlost střely pomocí rychlosti kostky s nalepenou střelou a hmotností M a m.
Náraz střely byl dokonale nepružný.
• Vypočítejte výšku h, o kterou se zvýší poloha kostky při maximální výchylce.
Práci gravitační síly počítejte přímo z definice práce.
• Výškovou výchylku h vyjádřete pomocí stranové výchylky d.
Využijte Pythagorovu větu – závěs tvoří přeponu, stranová výchylka d představuje jednu z odvěsen.
• Číselně vypočítejte rychlost střely.
Řešení:
Celý děj rozdělme na tři fáze, které označme A, B a C. Rychlost střely budeme značit v a rychlost kostky V .
Pomocí indexů A, B nebo C budeme rozlišovat, ke které fázi se rychlost vztahuje. Stav A bude odpovídat
situaci před nárazem střely do kostky. Rychlost vA je počáteční rychlost střely, kterou máme vypočítat.
Rychlost VA je nulová – je to rychlost kostky před nárazem. Fáze B nastane těsně poté, co se střela nalepí
na kostku, přičemž dále se obě tělesa pohybují stejnou rychlostí (vB = VB). Gravitační síla vykoná mezi
stavy B a C zápornou práci, a tím na okamžik zastaví pohyb obou těles, což odpovídá stavu C. Kostka i
střela mají nulovou rychlost (vC = VC = 0) a nacházejí se ve výšce h ve srovnání s rovnovážným stavem.
Víme, že celková hybnost střely i kostky před nárazem musí být stejná, jako hybnost obou těles těsně po
nárazu. Dále platí, že rychlosti po nárazu jsou stejné.
pA = pB
mvA + MVA = mvB + MVB
mvA = mvB + MvB
vA = vB + MmvB
vA =
parenleftbigg
1 + Mm
parenrightbigg
vB
21
Nyní vypočítejme vztah mezi rychlostí vB a výškou h. Ze zkušenosti s podobnými typy příkladů lze tušit
výsledek vB = √2gh, ale využijme situace k podrobnému odvození přímo z definice mechanické práce.
Soustřeďme se na energetické přeměny mezi stavy B a C. Změní se kinetická energie kostky i střely,
zatímco gravitační síla vykoná mechanickou práci. Zaveďme souřadnou soustavu tak, že její počátek bude
v rovnovážné poloze kostky, přičemž osa x bude směřovat doprava a osa y nahoru. Ve stavu B se budou obě
tělesa nacházet v bodě [0;0], zatímco stav C bude odpovídat poloze [d;h]. Gravitační síla působí na obě
tělesa, a to pouze v ose y. Znaménko bude záporné, protože gravitace má opačný směr než námi zvolená
osa y.
BZ = [0; −(M + m)g]
nekonečně malá změna dráhy dD6 bude mít tyto složky:
dD6 = [dx; dy]
V definici práce se integruje skalární součin síly a dráhy, takže dráha v ose x vymizí (násobí se nulou).
Práce gravitační síly (od B do C) musí být rovna součtu změn mezi C a B u mechanické energie kostky i
střely.
parenleftbigg1
2mv
2
C −
1
2mv
2
B
parenrightbigg
+
parenleftbigg1
2MV
2
C −
1
2MV
2
B
parenrightbigg
=
integraldisplay C
B
BZ ·dD6
−12mv2B − 12MV 2B =
integraldisplay C
B
0·dx−(M + m)gdy
1
2mv
2
B +
1
2MV
2
B =
integraldisplay C
B
(M + m)gdy
1
2mv
2
B +
1
2Mv
2
B = (M + m)g[y]
C
B
(m+ M)v2B = 2(M + m)g(yC −yB)
v2B = 2g(h−0)
vB =
radicalbig
2gh
Čímž jsme dostali očekávaný výsledek. Bylo by možné namítnout, že kromě gravitace působí ještě tahová
síla závěsu CC. Jenže ta je po celou dobu kolmá na dráhu, a tak skalární součin CC ·dD6 = 0. Tahová síla tedy
nekoná práci.
Dosadíme-li rychlost vB do vztahu pro rychlost střely, dostáváme
vA =
parenleftbigg
1 + Mm
parenrightbiggradicalbig
2gh
Tento vzorec by již bylo možné použít pro měření rychlosti střely, kdybychom zjišťovali svislou výchylku
kostky. Z praktického hlediska je však měření vodorovné výchylky přesnější, a tak ještě pomocí Pythagorovy
věty vyjádříme h pomocí délky závěsu l a stranové výchylky d:
h = l−√l2 −d2
Výšku h dosadíme do předchozího vztahu a tím získáme konečný výsledek.
vA =
parenleftbigg
1 + Mm
parenrightbiggradicalBig
2g(l−√l2 −d2) .= 34,3ms−1 ≈ 124kmh−1
13. Kotouč cirkulárky
Kotouč cirkulárky, který za sekundu vykonal 100 otáček, se náhle uvolnil, upadl a rozjel se po podlaze dílny.
Vypočítejte jeho maximální rychlost. Průměr kotouče je 20cm a moment setrvačnosti válce se vypočítá
J = 12mR2.
• Nakreslete obrázek, zvolte souřadnou soustavu a zakreslete působící sílu.
• V souladu se zvolenou souřadnou soustavou rozepište složky síly a její moment.
22
• Najděte vztah mezi úhlovým zrychlením a zrychlením středu kotouče.
• Rovnici zintegrujte podle času. Meze integrálu budou představovat počáteční a koncový stav.
Integrál ze zrychlení je rychlost.
• Jaká podmínka platí pro kutálení kotouče po podlaze?
• Číselně vypočítejte výsledek.
Řešení:
Na kotouč cirkulárky, který dopadl na zem, působí především vodorovná síla BY, která je způsobena tím,
jak se zuby roztočené pily zasekly do podlahy. Reakce podlahy je příčinou toho, že se kotouč rozjede, tj.
bude se zrychlovat jeho těžiště.
Jiné síly nebudeme brát v úvahu. Na kotouč sice působí ještě gravitační síla (směrem dolů) a normálová
síla podlahy (směrem nahoru), ale tyto dvě síly i jejich momenty se vzájemně vyruší.
Souřadnou soustavu zvolme tak, že její počátek umístíme do středu kotouče. Osa x nechť směřuje
doprava, osa y nahoru. Na kotouč působí jediná síla BY, o které víme pouze to, že je vodorovná. Zvolíme
ji například tak, aby směřovala doprava, stejně jako osa x. Rozepíšeme rameno této síly (tj. souřadnice
jejího působiště), její složky a pomocí vektorového součinu vyjádříme moment:
D6F = [0;−R;0]
BY = [F;0;0]
C5F = D6F ×BY = [0;0;RF]
Víme, že síla způsobuje zrychlení středu hmotnosti tělesa, zatímco moment síly způsobuje úhlové zrychlení
tělesa. Platí, že
CP = BYm =
bracketleftbiggF
m;0;0
bracketrightbigg
ε = C5J =
bracketleftbigg
0;0; RFJ
bracketrightbigg
Vidíme, že zrychlení středu kotouče se odehrává pouze v ose x, zatímco úhlové zrychlení má nenulovou
složku jen v ose z. Proto se další výpočty budou týkat pouze těchto složek a vztahy již nebudou vektorové.
a = Fm
ε = RFJ
Získali jsme dvě jednoduché rovnice, ve kterých ale vystupují tři neznámé funkce. O síle F totiž nevíme
téměř nic – ani jak je velká, ani jak dlouho trvá její působení a navíc zcela jistě závisí na čase a my
nevíme jak. Z rovnic vyplývá, že zrychlení (jak translační, tak úhlové) závisí na velikosti síly F, takže i
obě zrychlení jsou funkcemi času, přičemž tento průběh neznáme. Správně bychom měli psát a(t), ε(t) a
F(t). Můžeme dosadit sílu z první rovnice do druhé, čímž dostaneme
ε = RmaJ
Ze zadání víme, že moment setrvačnosti válce J se vypočítá J = 12mR2, čímž se vztah zjednoduší na
ε = 2Ra
23
Získali jsme rovnici, která popisuje vztah mezi úhlovým a translačním zrychlením, ale obě tato zrychlení
nejsou konstanty, protože nějak závisejí na čase. Přesto víme, že integrací zrychlení podle času získáme
rychlost, ať už je průběh funkcí jakýkoli. Zintegrujeme obě strany rovnice v mezích od A do B. V tomto
kroku je potřeba rozlišovat, že R je konstanta (a můžeme ji vytknout před integrál), zatímco a a ε jsou
funkce času.
integraldisplay B
A
εdt = 2R
integraldisplay B
A
adt
[ω]BA = 2R [v]BA
ωB −ωA = 2R(vB −vA)
Počáteční stav A i koncový stav B známe. Na začátku byla rychlost středu kotouče nulová, tj. vA = 0,
zatímco úhlovou rychlost ωA můžeme snadno zjistit z údajů v zadání (známe rychlost rotace). Ve stavu B
se rychlost otáčení snížila na ωB, zatímco rychlost středu kotouče nabyla hodnoty vB.
ωB −ωA = 2RvB
V koncovém stavu B platí, že se kotouč již kutálí po podlaze. To znamená, že musí existovat vztah mezi
jeho úhlovou rychlostí ωB a rychlostí jeho středu vB. Čím rychleji pojede, tím rychleji se musí otáčet. Jak
vidíme z obrázku, směr otáčení bude v záporném smyslu, zatímco rychlost vB bude kladná. Je-li poloměr
kotouče R, bude platit, že −ωB = vB/R.
−vBR −ωA = 2RvB
−ωA = 3RvB
vB = −ωAR3 = −−2πfR3 = 2·π·100·0,13 .= 21ms−1
Počáteční úhlová rychlost ωA byla záporná a koncová rychlost vyšla kladná, což souhlasí s obrázkem. Vy-
počítali jsme konečnou rychlost kotouče, aniž bychom potřebovali vědět, jak dlouho celý proces trval a jak
přesně probíhal. Je potřeba si uvědomit, že příklad nelze vypočítat pomocí zákona zachování mechanické
energie, protože část energie se spotřebuje na teplo (poničení podlahy atd.).
14. Palice a kůl
Dvacetikilogramová palice (M = 20kg) dopadla z výšky h = 1m na dřevěný kůl o hmotnosti m = 10kg
a ten se zabořil do hlíny o d = 5cm hlouběji.
• Nakreslete obrázek, souřadnou osu x a její počátek.
• Jakou práci vykonala gravitační síla při pádu palice?
Zintegrujte gravitační sílu podél dráhy.
• Jakou rychlost bude mít palice těsně před dopadem na kůl?
• Jakou rychlost bude mít palice i kůl těsně po srážce?
Předpokládejte dokonale nepružnou srážku.
• Vypočítejte energii, která se při srážce přeměnila na teplo.
• Jak velkou (průměrnou) sílu překonává kůl při zarážení do země?
Působení gravitační síly v tomto kroku zanedbejte.
Řešení:
Příklad je řešen zdánlivě komplikovaným způsobem, ale jeho smysl nespočívá v tom, že zjistíme číselný
výsledek, ale spíše v pochopení pojmu energie a definice práce.
Celý děj můžeme rozdělit na čtyři stavy (viz obrázek), které označme A, B, C a D. Dále zaveďme
rychlost palice V a rychlost kůlu v. Index u příslušné rychlosti bude označovat stav, ke kterému se rychlost
24
vztahuje. Stav A odpovídá situaci, kdy palice ještě nebyla spuštěna. Rychlosti ve stavu A jsou nulové
(VA = vA = 0). Stav B odpovídá okamžiku těsně před dopadem palice na kůl, kdy palice má rychlost VB
a kůl je stále v klidu (vB = 0). Fáze C nastane po dokonale nepružné srážce. Rychlosti Vc a vC jsou stejné
(VC = vC), přičemž palice a kůl se pohybují spolu. Pohyb obou těles je brzděn tím, jak kůl proniká do
země. Palice i kůl urazí dráhu d a dále se již nepohybují, což odpovídá stavu D (VD = vd = 0).
Nejprve vypočítejme práci, kterou vykoná gravitační síla mezi stavy A a B. Na první pohled lze
odhadnout, že to bude Mgh, ale při výpočtu vyjděme přímo z definice práce vykonané silou.
Pohyb se děje pouze v jedné souřadné ose. Nechť osa x směřuje dolů a její počátek umístěme na horní
konec kůlu. Vypočítáme práci, kterou vykoná gravitační síla mezi stavy A a B:
BZ = [Mg]
dD6 = [dx]
E =
integraldisplay B
A
BZ ·dD6 =
integraldisplay B
A
Mgdx = Mg
integraldisplay B
A
dx = Mg[x]BA =
= Mg(xB −xA) = Mg(0−(−h)) = Mgh = 20·10·1 = 200J
Práce gravitační síly způsobí přírůstek kinetické energie palice, z čehož vypočítáme rychlost palice ve
stavu B.
1
2MV
2
B −
1
2MV
2
A = Mgh
1
2MV
2
B = Mgh
1
2V
2
B = gh
VB =
radicalbig
2gh = √2·10·1 .= 4,5ms−1
Poté dojde k dokonale nepružné srážce palice a kůlu. Víme, že hybnost celé soustavy je stavu B stejná jako
ve stavu C. Dále víme, že rychlost obou těles po srážce je stejná, tedy VC = vC. Tuto rychlost vypočítáme:
pB = pC
MVB + mvb = MVC + mvC
MVB = MVC + mVC
MVB = VC(M + m)
VC = MVBM + m = M
√2gh
M + m =
20·√2·10·1
20 + 10
.= 3ms−1
Srážkou se kinetická energie palice snížila, zatímco kinetická energie kůlu se zvýšila. Nikoli však o stejnou
hodnotu. Jednalo se o nepružnou srážku, takže došlo ke „ztrátěcsquotedblright určité části energie, přesněji řečeno k její
25
přeměně na teplo. Tuto tepelnou energii zjistíme tak, že sečteme rozdíly kinetické energie obou těles.
∆E =
parenleftbigg1
2MV
2
C −
1
2MV
2
B
parenrightbigg
+
parenleftbigg1
2mv
2
C −
1
2mv
2
B
parenrightbigg
= 12MV 2C − 12MV 2B + 12mv2C =
= 12MV 2C − 12M2gh+ 12mV 2C = 12V 2C(M + m)−Mgh =
= 12
parenleftbiggM√2gh
M + m
parenrightbigg2
(M + m)−Mgh = 12 M
22gh
(M + m)2(M + m)−Mgh =
= M
2gh
M + m −Mgh =
202 ·10·1
20 + 10 −20·10·1
.= −67J
Vyšlo záporné číslo, takže celková kinetická energie se skutečně zmenšila.
Nyní vypočítáme sílu BY, která působí na kůl (i palici) při zarážení do země. Tato síla vykoná práci
po dráze o délce d, přičemž zabrzdí palici i kůl (VD = vd = 0). Při výpočtu předpokládejme, že síla BY je
konstantní a tudíž je možno ji vytknout před integrál.
BY = [F]
dD6 = [dx]
parenleftbigg1
2MV
2
D −
1
2MV
2
C
parenrightbigg
+
parenleftbigg1
2mv
2
D −
1
2mv
2
C
parenrightbigg
=
integraldisplay D
C
BY ·dD6
−12MV 2C − 12mv2C =
integraldisplay D
C
F dx
−12MV 2C − 12mV 2C = F
integraldisplay D
C
dx
−12V 2C(M + m) = F[x]DC
−12
parenleftbiggM√2gh
M + m
parenrightbigg2
(M + m) = F(xD −xC)
− M
2gh
M + m = F(d−0)
F = − M
2gh
d(M + m)
.= −2700N
Vyšlo záporné číslo, což je v pořádku, protože síla BY směřuje na opačnou stranu než osa x. Předpokládali
jsme, že síla BY byla konstantní, což neodpovídá realitě. Můžeme však říct, že náš výsledek reprezentuje
střední hodnotu síly.
15. Zkrácení provazu kónického kyvadla
Drobný předmět byl zavěšen na vlákně a obíhal po kružnici o poloměru RA=1m rychlostí vA=1ms−1.
Tahem za opačný konec vlákna se délka závěsu zkrátila tak, že se poloměr oběžné kružnice zmenšil na
RB=0.5m. Vypočítejte oběžnou rychlost po zkrácení vlákna.
• Nakreslete obrázek a souřadnou soustavu.
Její střed zvolte do místa, kde je uchycen provaz.
• Zjistěte polohu, rychlost, hybnost a moment hybnosti. Který člen nazýváme moment setrvačnosti?
• Jakým momentem působí tahová a gravitační síla?
• Která veličina se zachovává?
• Vypočítejte, jak se změní rychlost.
Řešení:
26
V tomto příkladu lze využít zákon zachování momentu hybnosti. Nejprve ale musíme moment hybnosti
vypočítat a také zjistit, zda se v tomto případě opravdu zachovává. Moment hybnosti je definován C4 = D6×D4,
a to znamená, že k jeho určení musíme zjistit polohu a hybnost. Předmět rovnoměrně obíhá po kružnici,
takže závislost jeho polohy na čase bude
D6 = [Rsin(ωt);Rcos(ωt);−h]
Počátek souřadné soustavy je umístěn do bodu závěsu, proto musí být z-ová souřadnice rovna −h. Jestliže
známe závislost polohy na čase, můžeme zderivováním zjistit rychlost
DA = dD6dt = [Rωcos(ωt);−Rωsin(ωt);0]
a když rychlost vynásobíme hmotností, dostaneme hybnost.
D4 = mDA = [mRωcos(ωt);−mRωsin(ωt);0]
Nyní již můžeme pomocí vektorového součinu zjistit moment hybnosti.
C4 = D6 ×D4 = [−hmRωsin(ωt);−hmRωcos(ωt);−mR2ωsin2(ωt)−mR2ωcos2(ωt)]
a z-ovou složku lze zjednodušit.
C4 = D6 ×D4 = [−hmRωsin(ωt);−hmRωcos(ωt);−mR2ω]
S příkladem to sice nijak nesouvisí, ale je zajímavé si povšimnout, že z-ová složka momentu hybnosti
nezávisí na čase, takže při oběhu je stále stejná. V našem případě směřuje dolů. Navíc nezávisí ani na h,
takže počátek souřadné soustavy bychom mohli libovolně posouvat podél osy z a moment hybnosti by
v této ose vždy vyšel stejně. V obou zbývajících osách, x-ové a ypsilonové ale na čase závisí a mění se.
Kdybychom ale přidali další vlákno a další předmět o stejné hmotnosti symetricky na opačnou stranu osy,
podařilo by se vynulovat moment hybnosti v x-ové i ypsilonové ose. Moment hybnosti by pak zůstal stále
stejný a byl by rovnoběžný s osou rotace. Proto byla zavedena veličina zvaná moment setrvačnosti, což je
součet mR2 pro všechny body tvořící rotující symetrické těleso. Ještě jednou si představme další přidaný
bod o hmotnosti m, takže moment setrvačnosti by byl J = 2mR2 a mohli bychom psát, že
C4 = Jω
přičemž ω by v této souvislosti byl vektor2 a byl by rovnoběžný s momentem hybnosti.
2Bohužel, symbol omega se někdy používá jako skalár a někdy jako vektor. Symbolem ω (skalárem) se označuje úhlová rychlost či
frekvence, která často s rotací souvisí jen vzdáleně – například u oscilátorů. U rotace těles se používá veličina ω, což je vektor a nese
v sobě informaci o směru osy rotace.
27
To jsme ale v úvahách poněkud odbočili. Nyní si všimněme, jaké síly a jaké momenty sil na předmět
působí. Tahová síla vlákna je vždy rovnoběžná s vektorem D6, takže její moment je evidentně nulový.
Gravitační síla BZ bude mít složky
BZ = [0;0;−mg]
a pomocí vektorového součinu zjistíme její moment.
C5G = D6 ×BZ = [−mgRcos(ωt);mgRsin(ωt);0]
Jak je vidět, v ose z žádný moment síly nepůsobí. To znamená, že se v ose z bude zachovávat moment
hybnosti. Je to důsledek druhé impulsové věty, která říká, že
dC4
dt = C5
a tudíž se moment hybnosti nebude měnit, protože v ose z je nulový moment síly.
Mz = 0 ⇒ Lz = konst.
Platí to samozřejmě pouze v ose z. V ose x ani y se moment hybnosti nezachovává, protože v těchto
osách působí moment gravitační síly. Jestliže víme, že moment hybnosti v ose z zůstává stále stejný i když
zkrátíme závěs, můžeme snadno vypočítat oběžnou rychlost vB po zkrácení závěsu:
LzA = LzB
−mR2AωA = −mR2BωB
R2AωA = R2BωB
R2A vAR
A
= R2B vBR
B
vB = RAvAR
B
= 2ms−1
Mohli bychom na situaci pohlížet i tak, že se zmenšil moment setrvačnosti a aby moment hybnosti zůstal
stejný, musela se zvýšit úhlová rychlost.
16. Rychlost špuntu šampaňského
Při otvírání šampaňského byla zátka uvolněna natolik, že její další pohyb byl již samovolný. V tom oka-
mžiku byla ještě zaražena l=2cm hluboko do láhve. Vypočítejte výletovou rychlost zátky, je-li přetlak
uvnitř láhve 0,5MPa, průměr hrdla d=20mm a hmotnost zátky 10 gramů.
• Nakreslete obrázek, vyznačte působící síly (tlakovou sílu BYp a třecí sílu CC) a zvolte souřadnou osu.
Počátek souřadné soustavy umístěte na úroveň hrdla láhve a osa x nechť směřuje ven z láhve.
• Třecí síla je úměrná zaražení zátky, tedy T = βx. Víme, že síly jsou v rovnováze, když x = −l,
z čehož lze určit konstantu úměrnosti β.
• Vypočítejte práci, kterou vykoná výslednice sil.
Platí, že E =
integraldisplay 0
−l
BY ·dD6, přičemž dD6 = [dx]
• Z kinetické energie zátky vypočítejte rychlost.
28
Na zátku působí tlaková síla BYp a třecí síla CC. Třecí síla je tím větší, čím hlouběji je zátka zaražena.
Hloubka zaražení je totéž, co x-ová souřadnice. Síla bude přímo úměrná x, přičemž konstantu úměrnosti
označme β.
Vyjádříme složky obou působících sil:
CC = [βx]
BYp = [Fp]
Výslednice sil BY je součtem třecí a tlakové síly:
BY = CC +BYp = [βx+ Fp]
Je-li x = −l, pak BY = 0 (mezní stav, kdy síly jsou v rovnováze). Z toho určíme konstantu úměrnosti β.
β(−l) + Fp = 0
β(−l) = −Fp
β = Fpl
Snadno nyní můžeme napsat vztah pro výslednici sil. Dále víme, že výsledná síla koná práci po dráze dD6.
Zátka se pohybuje pouze v x-ové souřadnici.
BY =
b